Bei der Verschränkung geht es nicht um Interaktion oder Informationsübertragung zwischen verschränkten Partikeln.
Betrachten Sie die Spinverschränkung zweier Spin - $ \ frac {1} {2} $ -Partikel: Lassen Sie sie sich im Singulettzustand befinden relativ zu einer beliebigen Achse (z. B. Z-Achse):
$$ | \ Psi \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ | \ uparrow_z, \ downarrow_z \ rangle - | \ downarrow_z, \ uparrow_z \ rangle \) $$
Die Fähigkeit $ P $, beide Partikel im Zustand $ | i zu messen, j \ rangle $ mit $ i, j \ in \ {\ uparrow, \ downarrow \} $ wobei die Achse beider Messungen den Winkel $ \ theta $ einschließt, ist gegeben durch: $$ P_ {i, j} = \ | \ langle i, j | \ Psi \ rangle \ | ^ 2 = \ frac {1} {4} (1 - i \ cdot j \ cdot \ cos \ theta) $$ Wenn wir $ i nehmen, ist j $ 1 und -1 für $ \ uparrow $ bzw. $ \ downarrow $.
Die reduzierte Propability $ p_i $, nur ein Teilchen zu messen (z. B. wenn wir uns nicht um das andere kümmern), ist gegeben durch : $$ p_i = \ sum_ {j \ in \ {1, -1 \}} P_ {i, j} = \ frac {1} {2} $$
Die Bedingung Die Wahrscheinlichkeit, das andere Teilchen zu messen ( nachdem wir bereits über die Messung des ersten Teilchens Bescheid wissen), ist gegeben durch: $$ \ tilde {p} _ {j | i} = \ frac { P_ {i, j}} {p_i} = \ frac {1} {2} (1 - i \ cdot j \ cdot \ cos \ theta) $$
Dies beinhaltet den Winkel $ \ theta $ und normalerweise beginnt man hier damit, über Nichtlokalität und augenblickliche Aktionen zu streiten, die das Ergebnis des Experiments verändern, wenn wir den Winkel $ \ theta $ am ersten Messgerät ändern.
Dies ist jedoch nicht wahr. Wenn es sich um bedingte Wahrscheinlichkeiten handelt, haben wir bereits eine Messung durchgeführt und die Messachse der ersten Messung festgelegt. Das anschließende Ändern dieser Achse wirkt sich nicht auf die Propabilität aus, da der Winkel $ \ theta $ relativ zur gemessenen Achse ist. Durch Ändern der Achse der zweiten Messung wird nur die Wahrscheinlichkeit geändert, die das Ergebnis der späteren Messung für den ersten Beobachter vorhersagt, da er über dieses zusätzliche Wissen verfügt.
Die Propability für den zweiten Beobachter bleibt gleich, da dies die reduzierte Propability ist (er weiß nichts über die erste Messung): $$ p_j = \ sum_ {i \ in \ { 1, -1 \}} P_ {i, j} = \ frac {1} {2} $$
Kurz gesagt: Ohne das zusätzliche Wissen über die erste Messung ist die Verschränkung für die zweite nicht wichtig Beobachter. Um dieses zusätzliche Wissen zu erlangen, muss ein zusätzlicher Informationstransfer zum zweiten Beobachter erfolgen, der durch Relativität-Kausalität ($ v \ le c $ usw.) eingeschränkt wird. Verschränkung bricht also weder die Kausalität noch kann sie Informationen übertragen.
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Manchmal kommt man zu dem Argument, dass die Verletzung von Bell-Ungleichungen zeigt, dass Verschränkung immer noch etwas mehr ist als es die klassische Wahrnehmung erlauben würde. Schauen wir uns also einen bestimmten Erwartungswert an. Die Achse für die Spinmessung ist mit normalisierten Vektoren $ \ vec {a} $ und $ \ vec {b} $ zu kennzeichnen, so dass $ \ vec {a} \ cdot \ vec {b} = \ cos \ theta $. Betrachten Sie \ begin {Gleichung} \ langle \ Psi | \ vec {a} \ cdot \ vec {S_1} \ \ \ vec {b} \ cdot \ vec {S} _2 | \ Psi \ rangle = - \ frac {\ hbar ^ 2} {4} \ vec {a} \ cdot \ vec {b} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {4} \ cos \ theta \ tag {1 } \ end {Gleichung}, dies ist der Erwartungswert des Produkts beider Messergebnisse. Hier haben wir $ \ vec {S} = \ frac {\ hbar} {2} (\ sigma_x, \ sigma_y, \ sigma_z) ^ T $ mit $ \ sigma_x, \ sigma_y, \ sigma_z $ die Pauli-Matrizen. Wir folgen jetzt der Argumentation von John Bell in seinem Originalwerk, da andere, ähnliche Ungleichungen auf demselben Problem beruhen.
Das Argument lautet wie folgt: Nehmen Sie ein klassisches statistisches System mit nicht versteckten und versteckten Variablen an, die alle mit $ \ vec {\ lambda} = (\ lambda_1, \ dots, \ lambda_n) $ für einige $ n \ in gekennzeichnet sind \ mathbb N $. Darüber hinaus gibt es zwei Funktionen $ A (\ vec {a}, \ vec {\ lambda}) $ und $ B (\ vec {b}, \ vec {\ lambda}) $, die die Ergebnisse der Spinmessung an Partikel 1 liefern bzw. 2. Sie können nur $ \ pm \ frac {\ hbar} {2} $ ergeben, da dies das einzige Ergebnis des Experiments ist. Diese Funktionen hängen nur von einer Messachse ab, da zwischen den Messgeräten 1 und 2 keine Aktion stattfinden darf (dies ist die angenommene Lokalität ).
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Da das System auf statistischer Basis untersucht wird, existiert eine Propability-Dichte $ \ varrho (\ vec {\ lambda}) $, die eine Funktion der Systemparameter $ \ vec {ist. \ lambda} $ und ermöglicht die Berechnung des Erwartungswerts $$ E (\ vec {a}, \ vec {b}) = \ int \ varrho (\ vec {\ lambda}) \ cdot A (\ vec {a}, \ vec {\ lambda}) B (\ vec {b}, \ vec {\ lambda}) \ d ^ n \ lambda $$, was dem von oben (1) entsprechen sollte, wenn dies der Fall ist ist auf klassischer, lokaler Basis zu interpretieren (Hinweis: Man kann diskrete statistische Variablen durch Begriffe wie $ \ sum_j \ alpha_j \ cdot \ delta (c_j- \ lambda_m) $ einbeziehen). Die böswillige Annahme hier ist, dass $ \ varrho $ keine Funktion der Achsenvektoren $ \ vec {a} $ und $ \ vec {b} $ ist. Dies ist jedoch für klassische Systeme mit Korrelation ganz natürlich. Der Punkt ist: Zulassen von $ \ varrho (\ vec {\ lambda}, \ vec {a}, \ vec {b}) $ oder sogar nur $ \ varrho (\ vec {\ lambda}, \ vec {a} \ cdot \ vec {b}) $, die Bellschen Ungleichungen können nicht abgeleitet werden! Solche Propabilitätsdichten können eine Verletzung der Ungleichung verursachen. Um das zu verstehen, werde ich sie jetzt ableiten und darauf hinweisen, welcher Schritt mit der modifizierten Dichte nicht möglich ist:
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Angenommen, $$ E (\ vec {a}) , \ vec {b}) = - \ frac {\ hbar ^ 2} {4} \ vec {a} \ cdot \ vec {b} \ tag2 $$,
so dass die quantenmechanische Beschreibung mit der klassischen übereinstimmt. Für $ \ vec {a} = \ vec {b} $: \ begin {Gleichung} \ begin {align} - \ frac {\ hbar ^ 2} {4} & = \ int \ underbrace {\ varrho (\ vec { \ lambda})} _ {\ ge 0} \ cdot \ underbrace {A (\ vec {a}, \ vec {\ lambda}) B (\ vec {a}, \ vec {\ lambda})} _ {\ ge - \ frac {\ hbar ^ 2} {4}} \, d ^ n \ lambda \\ & \ Leftrightarrow \\ 0 & = \ int \ underbrace {\ varrho (\ vec {\ lambda})} _ {\ ge 0} \ cdot \ left (\ underbrace {A (\ vec {a}, \ vec {\ lambda}) B (\ vec {a}, \ vec {\ lambda}) + \ frac {\ hbar ^ 2} {4}} _ {\ ge 0} \ right) \, d ^ n \ lambda \ end {align} \ end {Gleichung}, da $ \ varrho $ eine normalisierte Propabilitätsdichte ist. Daraus folgt, dass \ begin {Gleichung} \ begin {ausgerichtet} A (\ vec {a}, \ vec {\ lambda}) B (\ vec {a}, \ vec {\ lambda}) = - \ frac {\ hbar ^ 2} {4} \ end {align} \ end {Gleichung} ist eine gültige Gleichung unter dem Integral mit $ \ varrho $. Dies kann nur gelten, wenn \ begin {Gleichung} \ begin {ausgerichtet} B (\ vec {a}, \ vec {\ lambda}) = - A (\ vec {a}, \ vec {\ lambda}) \ end { ausgerichtet} \ tag3 \ end {Gleichung}. Beachten Sie, dass dies für jeden Vektor $ \ vec {a} $ gilt. Nehmen Sie nun einen anderen normalisierten Vektor $ \ vec {c} $ und führen Sie die folgenden Berechnungen durch: \ begin {align} \ frac {\ hbar ^ 2} {4} | (- \ vec {a} \ cdot \ vec {b}) - (- \ vec {a} \ cdot \ vec {c}) | & = | E (\ vec {a}, \ vec {b}) - E (\ vec {a}, \ vec {c}) | \\ & = \ left | - \ int \ varrho (\ vec {\ lambda}) \ cdot (A (\ vec {a}, \ vec {\ lambda}) A (\ vec {b}, \ vec {\ lambda}) - A (\ vec {a}, \ vec {\ lambda}) A (\ vec {c}, \ vec {\ lambda})) \, d ^ n \ lambda \ right | \\ & = \ left | \ int \ varrho (\ vec {\ lambda}) \ cdot A (\ vec {a}, \ vec {\ lambda}) A (\ vec {b}, \ vec {\ lambda}) \ cdot (1 - \ frac {4} {\ hbar ^ 2} A (\ vec {b}, \ vec {\ lambda}) A (\ vec {c}, \ vec {\ lambda})) \, d ^ n \ lambda \ right | \\ & \ le \ int | \ varrho (\ vec {\ lambda}) | \ cdot | A (\ vec {a}, \ vec {\ lambda}) A (\ vec {b}, \ vec {\ lambda}) | \ cdot | 1 - \ frac {4} {\ hbar ^ 2} A (\ vec {b}, \ vec {\ lambda}) A (\ vec {c}, \ vec {\ lambda}) | \, d ^ n \ lambda \\
& = \ int \ varrho (\ vec {\ lambda}) \ cdot (\ frac {\ hbar ^ 2} {4} - A (\ vec {b}, \ vec {\ lambda}) A (\ vec {c }, \ vec {\ lambda})) \, d ^ n \ lambda \\ & = \ frac {\ hbar ^ 2} {4} + E (\ vec {b}, \ vec {c}) = \ frac {\ hbar ^ 2} {4} - \ frac {\ hbar ^ 2} {4} \ vec {b} \ cdot \ vec {c} \ tag4 \ end {align}
Im ersten Gleichheit haben wir (2) verwendet. Im zweiten haben wir (3) verwendet. Im dritten haben wir $ A (\ vec {b}, \ vec {\ lambda}) ^ 2 = \ frac {\ hbar ^ 2} {4} $ verwendet. Der vierte Schritt ist die Dreiecksungleichung für Integrale. Im fünften Schritt haben wir $ A (\ vec {a}, \ vec {\ lambda}) A (\ vec {b}, \ vec {\ lambda}) = \ pm \ frac {\ hbar ^ 2} {4 verwendet } $ und $ \ varrho (\ vec {\ lambda}) \ ge 0 $. Im letzten Schritt haben wir (2) und die Tatsache verwendet, dass $ \ varrho $ normalisiert ist.
Wir haben also endlich die Bellsche Ungleichung \ begin {Gleichung} \ begin {ausgerichtet} | \ vec {a} \ cdot \ vec {b} - \ vec {a} \ cdot \ vec {c} | + \ vec {b} \ cdot \ vec {c} \ le 1 \ ,, \ end {align} \ tag5 \ end {Gleichung}, die für eine Auswahl von $ \ vec {a}, \ vec {verletzt werden kann b}, \ vec {c} $. Dies zeigt normalerweise, dass unsere erste Annahme (2) falsch ist. Daher sollte kein klassisches lokales System in der Lage sein, den Erwartungswert (1) zu beschreiben.
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Mit der modifizierten Wahrscheinlichkeitsdichte der Die Schritte in (4) sehen folgendermaßen aus: \ begin {align} \ frac {\ hbar ^ 2} {4} | (- \ vec {a} \ cdot \ vec {b}) - ( - \ vec {a} \ cdot \ vec {c}) | & = | E (\ vec {a}, \ vec {b}) - E (\ vec {a}, \ vec {c}) | \ notag \\ & = \ left | - \ int \ varrho (\ vec {\ lambda}, \ vec {a}, \ vec {b}) \ cdot A (\ vec {a}, \ vec {\ lambda}) A (\ vec {b}, \ vec {\ lambda}) - \ varrho (\ vec {\ lambda}, \ vec {a}, \ vec {c}) \ cdot A (\ vec {a}, \ vec {\ lambda}) A (\ vec {c}, \ vec {\ lambda}) \, d ^ n \ lambda \ right | \ notag \\ & = \ left | \ int A (\ vec {a}, \ vec {\ lambda}) A (\ vec {b}, \ vec {\ lambda}) (\ varrho (\ vec {\ lambda}, \ vec {a}, \ vec {b}) - \ varrho (\ vec {\ lambda}, \ vec {a}, \ vec {c}) \ frac {4} {\ hbar ^ 2} A (\ vec {b}, \ vec { \ lambda}) A (\ vec {c}, \ vec {\ lambda})) \, d ^ n \ lambda \ right | \keine Markierung \\
& \ le \ int \ frac {\ hbar ^ 2} {4} \ cdot \ left | \ varrho (\ vec {\ lambda}, \ vec {a}, \ vec {b}) - \ varrho (\ vec {\ lambda}, \ vec {a}, \ vec {c}) \ frac {4} {\ hbar ^ 2} A (\ vec {b}, \ vec {\ lambda}) A (\ vec {c}, \ vec {\ lambda}) \ right | \, d ^ n \ lambda \ end {align} Beachten Sie, dass man nicht von hier aus fortfahren kann, da im Allgemeinen $ \ varrho (\ vec {\ lambda}, \ vec {a}, \ vec {b }) \ ne \ varrho (\ vec {\ lambda}, \ vec {a}, \ vec {c}) $. Auch die zweite Gleichheit sollte hier sowieso nicht funktionieren, da (3) nur dann gültig ist, wenn sie mit $ \ varrho (\ vec {\ lambda}, \ vec {a}, \ vec {a}) multipliziert wird. $. Zum Beispiel, wenn $ \ varrho (\ vec {\ lambda}, \ vec {a}, \ vec {a}) = 0 $ Gleichung (3) im Allgemeinen verletzt werden kann. Trotzdem konnte man nur versuchen, eine andere Dreiecksgleichung für den Begriff $ | \ dots | $ zu verwenden, so dass wir schließlich die Ungleichung \ begin {Gleichung} \ begin {align} | \ vec {a} \ cdot \ vec {b} haben - \ vec {a} \ cdot \ vec {c} | \ le 2 \ ,, \ end {ausgerichtet} \ end {Gleichung}, die von keiner Auswahl von $ \ vec {a}, \ vec {b}, \ vec {c} $ verletzt werden darf.
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Zusammenfassend: Wenn man Propabilitätsdichten $ \ varrho (\ vec {\ lambda}, \ vec {a}, \ vec {b}) $ zulässt, die davon abhängen Bei einigen Messparametern ist die Ableitung einer Ungleichung, die durch quantenmechanische Erwartungswerte verletzt wird, nicht in üblicher Weise möglich. Oben habe ich bereits argumentiert, dass die Abhängigkeit von $ \ vec {a}, \ vec {b} $ im Allgemeinen kein Grund für nicht lokales Verhalten ist, solange die reduzierte Propabilität eines Subsystems nur besteht hing von seinen eigenen Parametern ab. Dieses Problem ist auf Ungleichungen zurückzuführen, die auf denselben Argumenten wie die Bellsche Ungleichung beruhen: siehe zum Beispiel die CHSH-Ungleichung auf Seite 527, Gleichung 2, die häufig in Experimenten verwendet wird!
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Wenn wir also einige Funktionen $ A $ und $ B $ finden würden, die unsere Lokalitätsbedingungen von oben erfüllen, gibt es keinen Grund, an den Erwartungswert (1) zu denken. als nicht lokal. Nimm \ begin {align}
p_ {i, j} (\ vec {a}, \ vec {b}) & = \ frac {1} {4} (1 - ij \ \ vec {a} \ cdot \ vec {b}) \\ A. (i, \ vec {a}) & = \ frac {\ hbar} {2} \ i \\ B (j, \ vec {b}) & = \ frac {\ hbar} {2} \ j \ end { align} Dann haben wir $$ E (\ vec {a}, \ vec {b}) = \ sum_ {i, j \ in \ {1, -1 \}} p_ {i, j} (\ vec {a }, \ vec {b}) \ cdot A (i, \ vec {a}) B (j, \ vec {b}) = - \ frac {\ hbar ^ 2} {4} \ \ vec {a} \ cdot \ vec {b} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {4} \ \ cos \ theta $$, was auf reiner, lokaler und klassischer Basis (1) entspricht.