Sie haben Einschränkungen dupliziert, denn wenn ein Partikel in allen drei Dimensionen mit allen anderen Partikeln eingeschränkt ist, werden alle Partikel eingeschränkt. Die Anzahl der Einschränkungen beträgt 3 (N - 1).

Nehmen Sie als Beispiel drei Partikel a, b und c. Wenn a relativ zu b und auch relativ zu c festgelegt ist, sind b und c relativ zueinander festgelegt, ohne dass neue Einschränkungen eingeführt werden müssen.

Jedes Teilchen, aus dem ein mechanisches System besteht, kann durch drei unabhängige Variablen lokalisiert werden, die einen Punkt im Raum kennzeichnen.

Sie können zunächst ein beliebiges Partikel im starren Körper auswählen und es beliebig verschieben, wobei Sie drei unabhängige Variablen angeben, die zur Angabe der Position erforderlich sind.

Wenn Sie ein zweites Partikel auswählen, wählen Sie einen anderen Satz von drei unabhängigen Variablen aus, um dessen Position anzugeben. Die offensichtlichen sind sphärische Koordinaten mit dem Ursprung des ersten Partikels. Die erste Einschränkung besteht darin, dass der Radius eine Konstante ist und zwei verbleibende unabhängige Variablen übrig bleiben.

Wenn Sie ein drittes Partikel auswählen, haben Sie die vollständige Freiheit, es um einen beliebigen Winkel um die Achse durch das erste und zweite Partikel zu drehen, was nur einen Freiheitsgrad ergibt, wobei die beiden anderen Variablen eingeschränkt sind.

Für die verbleibenden (N-3) Partikel sind alle drei Koordinaten beschränkt.

Daher beträgt die Gesamtzahl der Freiheitsgrade für einen starren Körper 3 + 2 + 1 = 6 mit 0 + 1 + 2 + 3 (N-3) = (3N-6) Einschränkungen.

Damit die Freiheitsgrade 3N - (3N-6) = 6

Das Problem ist, dass Sie viele Ihrer Einschränkungen doppelt zählen. Wenn die (Vektor-) Verschiebungen zwischen den Partikeln A und B sowie zwischen B und C fest sind, ist die Verschiebung zwischen A und C fest. Daher ist die Einschränkung des Abstands zwischen A und C redundant und kann nicht separat gezählt werden.

Man könnte dies durch mathematische Induktion tun. Beginnen Sie mit vier Partikeln, deren Abstände sich nicht ändern. Eine einfache Aufzählung zeigt, dass es nur sechs Freiheitsgrade gibt. Fügen Sie nun ein weiteres Partikel hinzu, dessen Abstände relativ zu den anderen fest sind. Es gibt keine uneingeschränkten Freiheitsgrade, die dieses Teilchen in das System bringt. Dasselbe können wir für ein System von N Partikeln tun. Dies wird im mathematischen Sprachgebrauch nicht streng angegeben, sondern enthält das Prinzip des Beweises.

Diese Einschränkungen sind nicht unabhängig.

Sie zählen hier doppelt. Nehmen wir drei Teilchen. Sie zählen $ \ binom {3} {2} = 3 $ DOFs, richtig? Das Festlegen des Vektorabstands zwischen Partikel 1 und 2 und das anschließende Festlegen zwischen 2 und 3 umfasst jedoch das Festlegen zwischen 1 und 3. Mathematisch gesehen ist $ \ vec {d} _ {1,3} = \ vec {d} _ {1,2} + \ vec {d} _ {2,3} $

Der einfachere Weg, DOFs zu zählen, ist folgender. Für ein Molekül mit N Partikeln beträgt die Anzahl der DOFs $ 3N $. Von diesen werden 3 translatorisch sein. Subtrahieren Sie für ein Punktmolekül (d. H. Ein einzelnes Atom) 3, da es 0 Rotations-DOFs aufweist. Subtrahieren Sie für ein perfekt lineares Molekül 1, da es 2 Rotations-DOFs hat (Rotation entlang seiner Achse ist irrelevant). Jetzt vernachlässigen wir normalerweise Schwingungs-DOFs (bei normalen Temperaturen). Vibrations-DOFs sind die verbleibenden DOFs. Somit haben wir immer insgesamt 3N DOFs, von denen wir nur die translatorischen (3) und rotatorischen (2 oder 3) DOFs zählen können. Siehe Tabelle hier.

Wie andere bereits betont haben, überzählen Sie die Einschränkungen. Ich werde versuchen, dies mit dieser Abbildung zu erklären.

Im Fall von $ N = 2 $ span> bestimmen die Positionen der beiden Punkte bereits den Abstand zwischen ihnen, und daher gibt es keine Einschränkungen.

Im Fall von $ N = 3 $ span> gibt es $ 3 $ span> Einschränkungen: den festen Abstand zwischen dem einen Punkt und den beiden anderen (in schwarz) und dem verbleibenden festen Abstand (in blau). Für $ N = 4 $ span> ist die Logik im Wesentlichen dieselbe.

Mit $ N = 5 $ span> sieht es anders aus. Was Sie getan haben, ist das Zählen der Verbindung zwischen den beiden Punkten, die im Bild nicht verbunden sind, als Einschränkung. Der Grund, warum Sie dies nicht tun können, ist, dass die Position dieser Punkte bereits durch die drei Linien bestimmt wird, die mit ihnen verbunden sind. Die gleiche Schlussfolgerung kann für $ N>5 $ span> gezogen werden.