Ähm ... Sie beginnen mit einem ruhenden Objekt und bemerken, dass es sich in verschiedene Richtungen bewegt, wenn Sie es in verschiedene Richtungen drücken?Beachten Sie dann, dass Sie mehr als zwei (drei für planare Geometrien und vier für vollständige 3D-Geometrien) nicht kolineare Kräfte anordnen können, um sich gegenseitig aufzuheben (hoffentlich haben Sie in Ihrer Klasse eine Krafttabellenübung durchgeführt und dies selbst getan).

Die Demonstration eines bereits in Bewegung befindlichen Objekts ist etwas weniger offensichtlich, aber Sie können die Ideen hier aufgreifen und verallgemeinern.

In gewissem Sinne ist dies so offensichtlich, dass es schwer zu beantworten ist, da fast alles, was Sie mit Kräften tun, von ihrer Vektornatur Gebrauch macht.

Vektoren sind Dinge, die sich wie kleine Pfeile hinzufügen. Pfeile geben dem Schwanz eine Spitze.

Die Anzahl der Steine ​​ist kein Vektor. 2 Steine ​​+ 2 Steine ​​= 4 Steine.

Verschiebung ist ein Vektor. Wenn Sie sich 2 Fuß nach links und 2 Fuß nach links bewegen, haben Sie sich 4 Fuß bewegt. Zwei Pfeile mit einer Länge von 2 Fuß nach links und einer Spitze zum Schwanz entsprechen einem Pfeil mit einer Länge von 4 Fuß nach links.

Wenn Sie sich 2 Fuß nach links und 2 Fuß nach rechts bewegen, sind Sie zum Start zurückgekehrt. Dies ist das gleiche und überhaupt nicht bewegend. Auf diese Weise können Sie keine Steine ​​hinzufügen.

Force fügt so hinzu. Zwei kleine Kräfte links entsprechen einer großen Kraft links. Gleiche Kräfte links und rechts entsprechen keiner Kraft. Deshalb ist Kraft ein Vektor.

Bearbeiten - Die Kommentare werfen einen Punkt auf, den ich beschönigt habe. Dieser Punkt wird normalerweise nicht eingeführt, wenn Vektoren eingeführt werden.

Mathematiker definieren einen Vektor als Dinge, die sich wie kleine Pfeile verhalten, wenn sie addiert und mit Skalaren multipliziert werden. Physiker fügen eine weitere Anforderung hinzu. Vektoren müssen bei Koordinatensystemtransformationen invariant sein.

Ein kleiner Pfeil existiert unabhängig davon, wie Sie ihn betrachten. Ein kleiner Pfeil ändert sich nicht, wenn Sie sich drehen, sodass er jetzt nach vorne zeigt. Entsprechend ändern sich kleine Pfeile nicht, wenn Sie den Pfeil so drehen, dass er nach vorne zeigt.

Dies liegt daran, dass der Raum homogen und isotrop ist. Es gibt keine speziellen Orte oder Richtungen im Raum, die Sie oder einen Pfeil verändern würden, wenn Sie an einen neuen Ort oder eine neue Ausrichtung verschoben würden. (Wenn Sie sich von der Erdschwerkraft entfernen, ist dies anders. Wenn dies wichtig ist, müssen Sie auch die Erde bewegen.)

Im Gegensatz dazu ist ein Skalar eine einzelne Zahl, die sich bei Koordinatensystemtransformationen nicht ändert. Die Anzahl der Steine ​​ist ein Skalar.

Die Koordinaten, die eine Vektoränderung beschreiben, wenn das Koordinatensystem geändert wird. Die linke Komponente eines Vektors ist kein Skalar.

Es gibt einen mathematischen 1-D-Vektorraum parallel zur linken Koordinate eines Vektors.Wenn Sie das Koordinatensystem drehen, kann es parallel zu der Vorwärtskomponente sein.Ein Physiker würde nicht sagen, dass es sich um einen Vektorraum handelt.

Ein kleiner Nitpick: Kraft ist not ein Vektor. Wie der Impuls ist es ein Covector oder One-Form und eine Kovariante. Sie können dies auf verschiedene Arten sehen:

• Aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit: Kraft ist eine lineare Funktion, die infinitesimale Verschiebungen $ \ delta \ mathbf {x} $ (ein Vektor) auf infinitesimale Änderungen der Energie $ F \ delta \ mathbf {x} $ (ein Skalar) abbildet. und daher per Definition ein Covector.

Der Unterschied zwischen einem Vektor und einem Covektor ist möglicherweise nicht sinnvoll, wenn Sie gerade erst anfangen, etwas über Physik zu lernen. Im Moment kann es für praktische Berechnungen ausreichen, zu wissen, dass Kräfte wie Vektoren von Spitze zu Schwanz hinzugefügt werden können. Aber es ist etwas, auf das Sie mit zunehmender Reife Ihres Verständnisses achten sollten: Wie bei der Dimensionsanalyse ist es hilfreich, mathematisch genau zu verfolgen, was Ihre physischen Objekte sind, um ein tieferes Verständnis aufzubauen und Fehler zu erkennen.

Die Beschleunigung transformiert sich wie ein 3-Vektor unter Rotationen (Gruppe O (3)).

Die Beschleunigung transformiert sich unter Rotationen und Boosts wie ein 4-Vektor (Lorentz-Gruppe O (3,1)).

Die Beschleunigung kann durchaus Teil einer größeren Struktur (z. B. 2-Index-Tensor) unter einer größeren Gruppe von Transformationen sein, einschließlich Rotationen, Boosts, Dehnungen und Translationen.

Mein Punkt ist, wenn Sie sagen, dass Beschleunigung (oder Kraft) ein 3-Vektor (oder etwas anderes) ist, müssen Sie angeben, für welche Gruppe von Transformationen.Zum Beispiel "Transformation beschleunigt sich wie ein 3-Vektor unter Rotationen", und deshalb nennen wir es einen 3-Vektor.

Die wirkliche Antwort ist meiner Meinung nach nicht einige zugrunde liegende philosophische Argumente darüber, was eine Kraft ist. Die eigentliche Antwort lautet: Wenn Sie sich Kraft als Vektor vorstellen, erhalten Sie ein Modell, das das wichtigste Kriterium für jedes Modell erfüllt: Es stimmt mit dem Experiment überein. Es ist auch schön und einfach, was ein zusätzlicher Bonus ist.

Wenn Sie sich Kräfte als Vektoren vorstellen, können Sie Vorhersagen darüber treffen, was passiert, wenn Sie Experimente durchführen, insbesondere Experimente, bei denen Sie mehrere Kräfte gleichzeitig anwenden. Stellen Sie zum Beispiel eine Kiste auf Eis und ziehen Sie mit Seilen mit darin eingebetteten Federschuppen daran, um die Größe aller beteiligten Kräfte zu messen. Messen und notieren Sie alle Kräfte und ihre Richtungen, stellen Sie sich Kräfte als Vektoren vor und berechnen Sie die resultierende Kraft, die auf die Kiste wirkt, die Ihnen eine Vorhersage ihrer Beschleunigung geben sollte. Messen Sie dann die tatsächliche Beschleunigung. Die beiden sollten sich innerhalb eines Fehlers einig sein.

Menschen haben lange Zeit solche Experimente durchgeführt, sowohl mehr als auch weniger raffiniert, und bisher haben wir nichts gefunden, was darauf hindeutet, dass das Denken an Kräfte als Vektoren das falsche Ergebnis liefert. Wenn wir also Kräfte als Vektoren betrachten, erhalten wir höchstwahrscheinlich genaue Ergebnisse, wenn wir das nächste Mal auch eine Vorhersage berechnen müssen.

Wir lernen also, Kräfte als Vektoren zu betrachten, weil sie funktionieren. Und dann können Philosophen darüber streiten, warum es funktioniert, normalerweise indem sie es in den Kontext eines Gesamtbildes stellen, das auch dem Test von Experimenten standgehalten hat.

Abgesehen davon gibt es natürliche Möglichkeiten, auf die Idee zu kommen, sogar zu berücksichtigen , dass Kraft ein Vektor ist.Insbesondere hat jede Kraft eine Richtung und eine Größe.Wie in anderen Kommentaren ausgeführt, bedeutet dies nicht unbedingt, dass es sich um einen Vektor handeln muss (kinetische Energie hat eindeutig eine Richtung und eine Größe, wird aber normalerweise nicht als Vektor betrachtet).Es reicht jedoch aus, zu fragen, ob es sich möglicherweise um einen Vektor handelt, und Experimente um diese Hypothese herum zu entwerfen.

Ich hatte diese Frage auch schon früher und habe gut 5 Stunden damit verbracht.Die Erklärung dafür ist letztendlich nur, dass die Verschiebung wie ein Vektor wirkt.Und die Beschleunigung, die die doppelte Ableitung davon ist, wirkt auch wie eine.Warum wirkt die Verschiebung wie ein Vektor?Nun, es folgt den Regeln der Trigonometrie und Verschiebungen in eine Richtung sind unabhängig von der Verschiebung senkrecht dazu.Daher definieren wir Vektorkonzepte, um dieses Verhalten zu erfassen.Warum folgt die Verschiebung den Regeln der Trigonometrie?Nun, dies wurde mehr oder weniger durch Beobachten als Ableiten festgestellt.Die grundlegendste Grundlage für alles in der Mathematik ist schließlich auch Beobachtung und Logik.

Um das Droll-Bit aus dem Weg zu räumen: Sie wissen, dass Kraft ein Vektor aus seiner Definition ist.

Um zu demonstrieren, dass dies wirklich der Fall ist, führen Sie Experimente durch: Befestigen Sie zunächst drei Federwaagen (wie sie die Fischer zum Wiegen von Fischen verwenden) an derselben Stelle aneinander und ziehen Sie die anderen Enden der Waage bei 120 horizontal Gradwinkel mit gleicher Kraft ungleich Null F. Die Konfiguration ist in der schönen ASCII-Grafik unten dargestellt, und Sie können anhand der Messwerte auf jeder Skala feststellen, dass die Kräfte gleich sind.

  F.
           /.
          /.
 F ----- o
          \.
           \.
            F.
 

Sie werden auch feststellen, dass der Befestigungspunkt in der Mitte stationär bleibt, dh die Nettokraft ist Null.

Wenn F ein Skalar wäre, wäre es unmöglich, genau 3 Nicht-Null-Fs in welcher Reihenfolge auch immer zu addieren oder zu subtrahieren und als Ergebnis 0 zu erhalten.

Jetzt, da Sie wissen, dass Kraft kein Skalar ist, würden Sie versuchen, einen Weg zu finden, um die drei Fs zu Null zu addieren, und Sie bemerken, dass, wenn Sie die Richtung jeder Feder mit jedem F koppeln, Sie können genau das bekommen:

  F ----- F, wenn Sie jeweils die Richtung berücksichtigen
  \ / Feder wurde gezogen, können Sie neu anordnen
   \ / die Kräfte, so dass sie eine Schleife bilden,
    F das heißt, sie addieren sich zu Null.
 

Sie würden dann weitere Experimente in verschiedenen Aufbauten durchführen und feststellen, dass die Behandlung der Kraft als Skalar gepaart mit einer Richtung in jedem Fall das richtige Ergebnis liefert. An diesem Punkt würden Sie sich berechtigt fühlen, zu sagen: for the Zu Berechnungszwecken hat die Kraft sowohl eine Größe als auch eine Richtung.

Ein Vektor ist dagegen nichts anderes als eine mit einer Richtung gepaarte Größe. Sie haben also experimentell gezeigt, dass force innerhalb der Messgrenzen ein Vektor ist.

Dies hängt von der Art Ihres Ansatzes und von Ihrer Interpretation des Wortes "Vektor" ab.Konzeptionell ist ein räumlicher Vektor ein mathematisches Objekt, mit dem Größen eingekapselt werden, die sowohl eine Größe als auch eine Richtung haben.Wenn Sie eine Kraft auf etwas anwenden, hängt das Nettoergebnis der Bewegung dieses Objekts nicht nur davon ab, wie stark Sie es drücken, sondern auch von der Richtung, in die Sie es drücken. Daher ist es erforderlich, Kräfte so zu modellieren, dass die Richtungskomponente berücksichtigt wirdErwägung.Dies gilt in drei Dimensionen genauso wie in einer.Das ist der einfachste Weg, darüber nachzudenken.

Aus mathematischer Sicht ist dies, wie Sie bereits erwähnt haben, in der Definition enthalten.

"Wir haben unsere Diskussion auf eindimensionale Bewegung konzentriert. Es ist natürlich anzunehmen, dass für dreidimensionale Bewegungen Kraft wie Beschleunigung, verhält sich wie ein Vektor. "- (Einführung in die Mechanik) Kleppner und Kolenkow.

Newton selbst machte die vektorielle Natur der Kräfte zur ersten und zweiten Folge seiner drei Bewegungsgesetze:

Folgerung I:
Ein Körper aus zwei zusammengefügten Kräften beschreibt die Diagonale eines Parallelogramms in der gleichen Zeit, in der er die Seiten beschreiben würde, durch diese Kräfte auseinander.

Folgerung II:
Und daher wird die Zusammensetzung einer direkten Kraft AD aus zwei beliebigen schrägen Kräften AC und CD erklärt; und im Gegenteil die Auflösung einer direkten Kraft AD in zwei schräge Kräfte AC und CD: welche Zusammensetzung und Auflösung von der Mechanik reichlich bestätigt werden

Kurz gesagt, Kräfte sind kartesische Vektoren im mathematischen Sinne dessen, was einen Vektor ausmacht.

Die Ableitung dieser Folgerungen in der Principia ist eher verdächtig. Newtons zweites Gesetz befasst sich mit der Nettokraft auf das Objekt, während Newtons drittes Gesetz darauf eingeht, wie einzelne Kräfte paarweise auftreten. Aber wie kann man diese einzelnen Kräfte mit der Nettokraft in Beziehung setzen? Im Gegensatz zu Kleppner und Kolenkow machen andere Texte einen besseren Job. Die Aussage, dass Kräfte Vektoren sind, ist tatsächlich Newtons viertes Bewegungsgesetz.

Eine Handwellenantwort (z. B. Kleppner und Kolenkow) besteht darin, zu behaupten, dass Kräfte offensichtlich als Vektoren wirken und dann weitergehen. Eine Nicht-Handwellen-Antwort besteht darin, axiomatisch zu behaupten, dass Kräfte Vektoren sind, und dann weiterzugehen. Es gibt einen subtilen, aber signifikanten Unterschied zwischen diesen beiden Antworten. Die Handwellenantwort lässt die Schüler verwirrt. Die axiomatische Behauptung lädt die Schüler ein, das Axiom in Frage zu stellen. Der nächste Schritt besteht natürlich darin, zu testen, ob das Axiom in einer Laborumgebung gilt.

Tatsächlich ist eine physikalische Kraft kein Vektor. Es ist eine Linie in 3D. Eine Linie mit einer Größe. Eine physikalische Kraft enthält die folgenden Eigenschaften

• Richtung, $ \ mathbf {e} $
• Ein Punkt irgendwo entlang der Linie, $ \ mathbf {r} $
• Größe, $ F $

Um eine physikalische Kraft mit einem Vektor zu beschreiben, kombinieren Sie die Größe und die Richtung zu $ ​​\ mathbf {F} = F \, \ mathbf {e} $ einem einzelnen Vektor. Es fehlen jedoch noch die Informationen, die zur Beschreibung einer physischen Kraft erforderlich sind.

Sie benötigen auch einen Ort (den Anwendungspunkt oder die Aktionslinie, wie sie genannt wird). Hier haben Sie die Wahl zwischen einem tatsächlichen Punkt $ \ mathbf {r} $ oder dem entsprechenden Moment über den Ursprung $ \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} $. Wenn Sie Letzteres auswählen, können Sie den Punkt mit $ \ mathbf {r} = \ frac {\ mathbf {F} \ times \ mathbf {M}} {\ | wiederherstellen \ mathbf {F} \ | ^ 2} $.

Der Kraftvektor, mit dem Sie vertraut sind, wird häufig verwendet, da er den Vektoralgebra-Regeln entspricht

• Die Addition erfolgt nach Komponenten $$ \ mathbf {F} _1 + \ mathbf {F} _2 = \ pmatrix {{Fx} _1 + {Fx} _2 \\ {Fy} _1 + {Fy} _2 \\ {Fz} _1 + {Fz} _2} $$

Um physikalische Kräfte mit Vektoren darzustellen, benötigen Sie 6 Komponentengrößen, die als Schrauben bezeichnet werden. $$ \ hat {f} = \ left [\ matrix {\ mathbf {F} \\ \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}} \ right] $$ die den Regeln der linearen Algebra folgen und die Positionsinformationen in sich tragen, um die richtigen geometrischen und algebraischen Ergebnisse zu erzielen.

Überlegen wir uns, was passieren würde, wenn not ein Vektor wäre.

Beachten Sie zunächst Folgendes:

Die Gesetze der Physik sind im Raum unveränderlich. Ein Objekt verhält sich genauso, wenn es von einer Streitmacht angegriffen wird, sei es in Paris oder in Peking.

Außerdem stellen wir fest:

Die Gesetze der Physik sind bei räumlicher Rotation unveränderlich. Wenn Sie einen Fußball treten, wird er von Ihnen entfernt, unabhängig davon, ob Sie nach Westen oder Osten schauen.

Stellen Sie sich nun vor, wir üben eine Kraft auf einen Ball aus, der auf einem Tisch ruht. Nehmen wir an, wir beobachten Folgendes:

Der Ball rollt mit einer Geschwindigkeit von 1 m / s nach Osten.

Warten Sie. Woher kam "Osten"? Warum rollt der Ball nicht nach Westen? Daher schließen wir natürlich:

Die Kraft, die wir auf den Ball ausgeübt haben, muss einige zusätzliche Informationen enthalten.

Diese zusätzlichen Informationen sind Richtung .

Nach dem 2. Newtonschen Bewegungsgesetz ist die auf einen Körper wirkende Kraft proportional zur Impulsänderungsrate und liegt in der Richtung, in der die Kraft ausgeübt wird.Aus der Aussage können Sie nun ersehen, dass die Kraft eine Größe und eine Richtung hat.Daher ist es ein Vektor.Sie können es sogar als Punktprodukt aus Masse (Skalar) und Beschleunigung (Vektor) sehen, das Ihnen einen Vektor gibt.