Dies folgt aus dem Äquipartitionssatz. Das Äquipartitionstheorem besagt, dass im thermischen Gleichgewicht die durchschnittliche Energie jedes Freiheitsgrades (jede unabhängige Art und Weise, wie sich das System bewegen kann) $ k_B T / 2 $ ist, wobei $ T $ ist die Temperatur und $ k_B $ (oder nur $ k $) heißt Boltzmann-Konstante. Es gibt drei unabhängige Richtungen, in die sich ein Gasteilchen bewegen kann (drei unabhängige Geschwindigkeitskomponenten), sodass die gesamte kinetische Energie $ 3 \ mal k_B T / 2 $ beträgt. Es ist wichtig zu wissen, dass dies eine statistische Formel ist, die im Durchschnitt nur für eine große Anzahl von Partikeln im Gleichgewicht gilt: Jedes einzelne Partikel kann tatsächlich eine andere kinetische Energie haben. Die Boltzmann-Konstante stellt eine Verbindung zwischen der mikroskopischen und der makroskopischen Welt her, indem sie die typischen durchschnittlichen Energien mikroskopischer Partikel mit den Energien in Beziehung setzt, die erforderlich sind, um die Temperatur einer makroskopischen Masse um einen messbaren Betrag zu ändern.

Die obige Gleichung löst die durchschnittliche kinetische Energie eines gasförmigen Partikels bei einer gegebenen Temperatur auf. k ist als Boltzmannsche Konstante $ k_B = 1.3806503 \ times 10 ^ {- 23} ~ \ mathrm {\ frac {m ^ 2kg} {s ^ 2K}} $ bekannt und entspricht der idealen Gaskonstante geteilt durch die Avagadro-Zahl. $ \ frac {R} {N_A} $.

Woher kommt also die Gleichung?

Die kurze Antwort: Die obige Gleichung leitet sich aus dem idealen Gasgesetz sowie der experimentell verifizierten Tatsache ab, dass 1 Mol eines Gases bei STP besetzt ist ein konstantes Volumen (gemessen mit 22,4 l). Wir können diese Beziehung mit der Masse des gegebenen Partikels verwenden, um zu beweisen, dass die durchschnittliche kinetische Energie nur proportional zur Temperatur des Gases ist.

Die lange Antwort: Diese Seite bietet eine detaillierte Ableitung der obigen Formeln.

Hoffe, das hilft!

Ich habe mir die Notizen angesehen. Hier sind einige Dinge im Gange, von denen einige nicht angegeben sind. Wir müssen auch einige Annahmen treffen. Eine ist, dass die durchschnittliche kinetische Energie eines Teilchens, das sich in eine Richtung $ v $ bewegt, $ mv ^ 2/2 $ ist, wobei $ m $ die Masse des Teilchens ist. Dies ist nicht allzu schwer zu beweisen, aber dies würde uns weit bringen.

Eine andere Annahme ist, dass ein Gas eine durchschnittliche Energie pro Partikel enthält und dass dieser Durchschnitt von der Temperatur abhängt. Durch ein ziemlich kompliziertes Argument kann man zeigen, dass die durchschnittliche Energie pro Teilchen $ kT / 2 $ beträgt, wobei $ T $ die absolute Temperatur in Kelvin und $ k $ eine Konstante ist, die als Boltzmannsche Konstante bekannt ist.

Das Argument lautet dann wie folgt: Das Teilchen kann sich in drei unabhängige Richtungen bewegen. Das heißt, seine Bewegung ändert seine $ x $ -, $ y $ - und $ z $ -Komponenten unabhängig voneinander. Wir müssen also unsere Formeln mit drei multiplizieren, was uns fast die Formel gibt, die Sie oben haben.

Der Unterschied ist der Term $ v ^ 2 $. Das ist definiert als die Summe der durchschnittlichen Energien in den drei unabhängigen Richtungen, $ v ^ 2 = v_x ^ 2 + v_y ^ 2 + v_z ^ 2 $. Da alle Richtungen gleich und unabhängig sind, gehen wir davon aus, dass jede gleichermaßen zur Summe beiträgt. Also $ v ^ 2 = 3v_x ^ 2 $, wo ich der Einfachheit halber $ v_x $ ausgewählt habe, hätte ich jedes der $ v $ verwenden können.

Wenn wir alle Bits zusammenfügen, erhalten wir die Formel oben.

Wir können die ideale Gasgleichung und die Gleichung für den adiabatischen Prozess verwenden, um dies herauszufinden. (Wir verwenden Adiabatikum, da die Arbeit, die wir am Gas leisten, in einem adiabatischen Prozess nicht thermisch übertragen wird, sondern alles in die innere Energie fließt.)

Wir finden die Arbeit allgemein für Gase mit $$ dW = PdV $$ Im Falle eines adiabatischen Prozesses haben wir $$ PV ^ {\ gamma} = const $$ für ein einatomiges Gas ist $ \ gamma = \ frac {f + 2} {f} = \ frac {5} {3} $, wobei f die Freiheitsgrade sind (einer für jede der 3 räumlichen Dimensionen), also $$ PV ^ {\ frac {5} {3}} = const $$ Wenn wir nach P auflösen, bekommen wir $$ P = \ frac {const} {V ^ {\ frac {5} {3}}} $$ was wir in unsere erste Gleichung einstecken, $$ dW = \ frac {const} {V ^ {\ frac {5} {3}}} dV $$ Integrieren bekommen wir $$ \ int dW = \ int \ frac {const} {V ^ {\ frac {5} {3}}} dV $$ $$ W = \ frac {3} {2} \ frac {const} {V ^ \ frac {2} {3}} $$

Wir bringen jetzt das ideale Gasgleichungsgesetz ein, $$ PV = NkT $$ (Beachten Sie, dass $ nR = Nk $.) Wenn wir unsere vierte Gleichung in das ideale Gasgleichungsgesetz einfügen, erhalten wir: $$ \ frac {const} {V ^ \ frac {5} {3}} V = NkT $$ $$ \ frac {const} {V ^ \ frac {2} {3}} = NkT $$

Wir fügen dies nun in unsere Energiegleichung ein. $$ W = \ frac {3} {2} \ frac {const} {V ^ \ frac {2} {3}} = \ frac {3} {2} NkT $$ Die Energie, die wir pro Atom in das System einbringen, ist also $$ U = \ frac {3} {2} kT $$

Dies kommt aus der statistischen Mechanik. Ich bin mir Ihres Hintergrunds nicht sicher, aber ich werde die Ableitung veröffentlichen, die ich kenne. Wenn Sie erweitern müssen, wählen Sie ein Buch über statistische Mechanik wie Grundlagen der statistischen und thermischen Physik von Reif.

Um genau zu sein, lautet die ganze Idee: Wenn man den klassischen Phasenraum $ M $ betrachtet, erhält man eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $ \ rho: M \ to \ mathbb {R} $. Diese Wahrscheinlichkeitsdichte ist genau so unverstanden, wie Sie vielleicht denken:

$$ P (A) = \ int_A \ rho (x) dx $$

ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System in einem Mikrozustand befindet, der im Bereich von Position und Impuls $ A $ enthalten ist.

Die Frage, die man dann zu beantworten versucht, lautet: Wenn man bedenkt, dass sich das System bei der Temperatur $ T $ im thermischen Gleichgewicht befindet, was ist $ \ rho $?

Die Antwort, deren Ableitung in Reifs Buch zu finden ist, lautet (unter Berücksichtigung von $ M = \ mathbb {R} ^ {6N} $ als $ N $ der Anzahl der Partikel)

$$ \ rho (p, q) = \ dfrac {1} {Z} e ^ {- \ beta H (p, q)} $$

mit $ p = (p_1, \ dots, p_N) $ den Impulsen der Teilchen, $ q = (q_1, \ dots, q_N) $ ihren Koordinaten, $ H $ dem Hamilton-Operator des Systems, $ \ beta = (k_B T) ^ {- 1} $ und $ Z $ sind der Normalisierungsfaktor, der als "Partitionsfunktion" von

$$ Z = \ int e ^ {- \ beta H (p, q)} d ^ {3N} p d ^ {3N} q $$

Beachten Sie auch, dass $ p_i = (p_ {ix}, p_ {iy}, p_ {iz}) $ und $ q_i = (q_ {ix}, q_ {iy}, q_ {iz}) $.

Was ist nun die Energie? Die Energie ist der Mittelwert von $ H $ unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeitsdichte $ \ rho $, mit anderen Worten:

$$ E = \ langle H \ rangle = \ int \ rho (p, q) H (p, q) d ^ {3N} pd ^ {3N} q = \ dfrac {1} {Z} \ int H (p, q) e ^ {- \ beta H (p, q)} d ^ {3N} pd ^ {3N} q $$

aber es ist klar, dass

$$ H (p, q) e ^ {- \ beta H (p, q)} = - \ dfrac {\ partiell} {\ partiell \ beta} e ^ {- \ beta H (p, q) } $$

also

$$ E = - \ dfrac {1} {Z} \ dfrac {\ partiell} {\ partiell \ beta} \ int e ^ {- \ beta H (p, q)} d ^ {3N} pd ^ {3N} q = - \ dfrac {1} {Z} \ dfrac {\ partielles Z} {\ partielles \ beta} $$

Denken Sie nun an $ N $ freie Teilchen derselben Masse - d. h. ein Gas. In diesem Fall ist der Hamilton-Operator gegeben durch $ H (p, q) = \ sum \ frac {p_i ^ 2} {2m} $ - d. H. Die Summe ihrer kinetischen Energien. In diesem Fall ist es einfach, $ Z $ zu finden, da die Integrale Folgendes berücksichtigen:

$$ Z = \ int e ^ {- \ beta \ sum \ frac {p_i ^ 2} {2m}} d ^ {3N} pd ^ {3N} q = \ prod_ {i = 1} ^ {N. } \ int e ^ {- \ beta \ frac {p_i ^ 2} {2m}} d ^ 3p_i \ int d ^ 3q_i, $$

aber jedes Integral über den Koordinaten gibt nur das Volumen $ V $ der Box an, in der sich die Partikel befinden, also haben wir

$$ Z = V ^ N \ prod_ {i = 1} ^ N \ int e ^ {- \ beta \ frac {p_ {ix} ^ 2} {2m}} d ^ 3 p_ {ix} \ int e ^ {- \ beta \ frac {p_ {iy} ^ 2} {2m}} d ^ 3 p_ {iy} \ int e ^ {- \ beta \ frac {p_ {iz} ^ 2} {2m}} d ^ 3 p_ {iz} $$

Die drei Integrale sind identisch, daher berechnen wir nur einmal mit dem bekannten Gaußschen Integral

$$ Z = V ^ N \ left (\ int e ^ {- \ beta \ frac {p ^ 2} {2m}} dp \ right) ^ {3N} = V ^ N \ left (\ sqrt { \ dfrac {2m \ pi} {\ beta}} \ rechts) ^ {3N} = V ^ N \ links (\ dfrac {2m \ pi} {\ beta} \ rechts) ^ {3N / 2} $$

Berechnen Sie nun $ E $

$$ E = - \ dfrac {1} {Z} \ left (V ^ N (2m \ pi) ^ {3N / 2} \ right) \ left (- \ dfrac {3N} {2} \ beta ^ {- 3N / 2-1} \ right) = \ dfrac {3N} {2} \ dfrac {\ beta ^ {3N / 2}} {V ^ N (2m \ pi) ^ {3N / 2}} \ links (V ^ N (2m \ pi) ^ {3N / 2} \ rechts) \ beta ^ {- 3N / 2-1} $$

Dies ist genau $ E = \ dfrac {3N} {2} \ beta ^ {- 1} $ oder sonst

$$ E = \ dfrac {3N} {2} k_ {B} T $$

was für ein einzelnes Partikel Ihr Ergebnis ergibt.

Bei der molekularen Untersuchung eines geschlossenen Behälters erhalten wir zunächst unter Verwendung der ersten Bewegungsgleichung "a = Vf / t" als anfänglich Vi = 0, dann können wir die Kraftformel eingeben, um F = m (vf / t) zu erhalten. Wenn wir nun die zweite Bewegungsgleichung verwenden, erhalten wir "d = 1 / 2at ^ 2" als Vi = 0

Geben Sie nun die Arbeitsformel ein, um "W = 1 / 2mVf ^ 2" zu erhalten, da die geleistete Arbeit mit KE identisch ist, sodass E (k, E) = 1 / 2mVf ^ 2 jetzt das Verhältnis der Mittenmasse (in Begriffen) verwendet der Geschwindigkeitsdepression) m1V1 + m2V2 = (m1 + m2) Vcm, wobei Vcm die Geschwindigkeit des Massenzentrums zweier Körpersysteme m1 und m2 ist ... Da wir wissen, dass Momentum (P) = mV2 ist, haben wir P1 + P2 = (m1 + m2) Vcm als m1 = m2 = m (da Moleküle die gleiche Masse haben) damit Nach dem Gesetz der Impulserhaltung P = P1 + P2 P = 2 mVcm Wir betrachten nur die Bewegung der X-Achse, damit wir P = 2mVx schreiben können AS Kraft ist das Verhältnis von Impuls und Zeit
also können wir aus der obigen Beziehung sagen F = 2 mVx / t .... (alpha) wir können t = 2L / Vx bekommen ...... (Beta) unter Berücksichtigung des Moleküls legt es 2 l Abstand in der Zeit t mit der Geschwindigkeit Vx zurück .... Setzen von (Beta) in (Alpha) F = mVx / 2L / Vx ..... => F = mVx ^ 2 / L. Nun wäre der Gesamtausdruck der Durchschnittsgeschwindigkeit V ^ 2 = Vx ^ 2 + Vy ^ 2 + Vz ^ 2 Lassen Sie das Teilchen in allen Achsen die gleiche Geschwindigkeit haben also V ^ 2 = Vx ^ 2 + Vx ^ 2 + Vx ^ 2 Oder wir können V ^ 2 = 3Vx ^ 2 sagen, aus dieser Gleichung können wir Vx ^ 2 = 1 / 3V ^ 2 und diese Gleichung für N Anzahl von erhalten Partikel können geschrieben werden als F = mNV ^ 2/3AL .... (GaMMA) Wobei A die Kraftfläche des Gasbehälters ist Für das Volumen der geschlossenen Kammer, in der sich Moleküle befinden (da es sich um eine rechteckige Kammer vom Würfeltyp handelt), sollte ihr Volumen Fläche * Länge sein also Vp = (mNV ^ 2) / 3 Wo wir Vp aus AL der Gleichung (GaMAA) erhalten haben Jetzt multiplizieren und dividieren wir mit 2 PV = (2/3) (N) (1 / 2mV ^ 2). ' Als K.E = 1 / 2mV ^ 2 damit PV = (2/3) (N) K.E. Wir wissen aus der idealen Gasgleichung. ' PV = nRT nRT = (2/3) (N) K.E. Daraus können wir K.E = 3 / 2nRT / N erhalten Für Moleinheit des Gases ist n = 1 und nach BOLTZMAN R / N = K. also K.E = (3/2) KT

Die "3" stammt aus der Entropie (und damit $ k $) in Abhängigkeit von 3 verschiedenen möglichen Richtungen für den Impuls, der die Energie enthält.
$$ \ begin {align} E& = dQ = TdS \\ S& = k \ log (\ text {Zustände in 3D}) = 3 k \ log (\ text {Zustände in 1D}) \\ E& = 3 k T \ log (\ text {Zustände in 1D}) \ end {align} $$

Vielleicht hat das $ 1/2 $ etwas mit dem Durchschnitt der Entropie zu tun, wenn das $ v $ von $ 0 $ auf $ v $ angehoben wird.Oder versuchen Sie, über $ mv (v / 2) $ einen Impuls $ mv $ aus Energie zu gewinnen.

$ k $ ist ein Umrechnungsfaktor von Temperatur zu Energie.Insbesondere ist es die Steigung der Temperatur gegenüber der Wärmeenergie, die entfernt wird, wenn Sie von $ Q $ Energie zu $ 0 $ (oder $ T $ zu $ 0 $) wechseln.