Wenn Sie Mathematik studieren, ist es wichtig, dies mit der folgenden Perspektive zu tun.
Mathematiker erlauben nutzlose, nicht berechenbare Fantasy-Objekte
Mathematiker entscheiden sich oft dafür, in einer Welt zu leben, in der das Axiom von Wahl ist wahr für Mengen von Größen das Kontinuum. Dies ist aus vielen Gründen idiotisch, auch für sie, aber es ist besonders idiotisch für die Physik. Es gibt einfache intuitive Argumente, die belegen, dass jeder Satz ein Volumen oder ein Lebesgue-Maß hat, und sie gehen folgendermaßen vor:
Wählen Sie bei einem Satz S in einem großen Feld B zufällig Punkte aus und berücksichtigen Sie, wann sie landen S. Definieren Sie in der Grenze vieler Würfe das Maß von S als das Volumen von B mal dem Bruchteil der Punkte, die in S landen. Wenn dies funktioniert und es immer funktioniert, ist jede Menge messbar
Diese Definition ist in der Mathematik nicht zulässig, da für das Konzept der zufälligen Auswahl eines Punkts eine Begrenzung des zufälligen Auswahlprozesses der Ziffern erforderlich ist. Der begrenzende Zufallsprozess muss innerhalb der üblichen Mathematik getrennt von den Approximationsprozessen definiert werden, auch wenn die Approximationen fast immer zu einer eindeutigen Antwort konvergieren! Der einzige Grund dafür ist, dass es Axiome von Auswahlkonstruktionen nicht messbarer Mengen gibt, so dass das obige Argument nicht durchgehen darf. Dies führt zu vielen umständlichen Konventionen, die das Verständnis behindern.
Wenn Sie Mathematik lesen, behalten Sie im Hinterkopf, dass jede Menge reeller Zahlen wirklich messbar ist, dass jede Ordnungszahl wirklich zählbar ist (selbst diejenigen, die vorgeben, unzählige zu sein, kollabieren zu zählbaren in tatsächlichen Modellen der Mengenlehre ), und dass alle Fantasieergebnisse der Mathematik aus der Abbildung der reellen Zahlen auf eine Ordnungszahl stammen. Wenn Sie die reellen Zahlen einer Ordnungszahl zuordnen, geben Sie vor, dass ein Modell der Mengenlehre, das vom Skolem-Theorem heimlich gezählt werden kann, alle reellen Zahlen enthält. Dies bewirkt, dass die Menge der reellen Zahlen heimlich zählbar ist. Dies führt nicht zu einem Paradoxon, wenn Sie sich nicht erlauben, reelle Zahlen zufällig auszuwählen, da alle reellen Zahlen, für die Sie Symbole erstellen können, zählbar sind, da nur viele Symbole zählbar sind. Wenn Sie diese Zählbarkeit jedoch offenbaren, indem Sie ein Symbol zulassen, das eine Eins-zu-Eins-Karte zwischen einer Ordnungszahl und den reellen Zahlen darstellt, erhalten Sie Vitali-Theoreme über nicht messbare Mengen. Diese Theoreme können niemals die Physik beeinflussen, da diese "Theoreme" in jeder realen Interpretation falsch sind, selbst innerhalb der Mathematik.
Aus diesem Grund können Sie Folgendes grundsätzlich ignorieren:
- Erweiterte Punktmengen-Topologie --- Die nicht trivialen Ergebnisse der Punktmengen-Topologie sind nutzlos, da sie häufig die Auswahlstruktur des Kontinuums analysieren. Die trivialen Ergebnisse sind lediglich die Wiederholung elementarer Kontinuitätseigenschaften in der satztheoretischen Sprache. Das ganze Feld ist bankrott. Das einzig Nützliche dabei ist das Studium von Topologien auf diskreten Mengen.
- Elementare Maßtheorie: Während die fortgeschrittene Maßtheorie (Wahrscheinlichkeit) sehr wichtig ist, befassen sich die elementaren Behandlungen der Maßtheorie im Wesentlichen mit der Fantasie dass es nicht messbare Mengen gibt. Sie sollten niemals beweisen, dass ein Satz messbar ist, da alle Sätze messbar sind. Ignorieren Sie diesen Teil des Buches und fahren Sie direkt mit den erweiterten Teilen fort.
Diskrete Mathematik ist wichtig
Dies ist für Physiker zunächst etwas schwer zu verstehen, da sie sich vorstellen, dass kontinuierliche Mathematik alles ist, was für die Physik erforderlich ist. Das ist ein Haufen Unsinn. Die eigentliche Arbeit in der Mathematik liegt in den diskreten Ergebnissen, die kontinuierlichen Ergebnisse sind oft nur blasse Schatten viel tieferer kombinatorischer Beziehungen.
Der Grund ist, dass das Kontinuum durch einen begrenzenden Prozess definiert wird, bei dem Sie eine Art nehmen von diskreter Struktur und vervollständigen es. Sie können ein Gitter nehmen und es feiner machen, oder Sie können die Rationalitäten nehmen und Dedekind-Schnitte berücksichtigen, oder Sie können Dezimalerweiterungen oder Cauchy-Sequenzen oder was auch immer nehmen. Es ist immer durch eine diskrete Struktur, die abgeschlossen ist.
Dies bedeutet, dass jede Beziehung auf reellen Zahlen wirklich eine Beziehung auf diskreten Strukturen ist, die im Grenzfall wahr ist. Zum Beispiel ist die Lösung einer Differentialgleichung
$$ {d ^ 2x \ über dt ^ 2} = - x ^ 2 $$
wirklich eine asymptotische Beziehung für die Lösungen der folgenden diskreten Approximationen
$$ \ Delta ^ 2 X_n = - \ epsilon x_n ^ 2 $$
Der Punkt ist natürlich, dass viele verschiedene diskrete Approximationen dasselbe ergeben genaues Kontinuumsobjekt. Dies wird in der Mathematik als "Existenz einer Kontinuumsgrenze" bezeichnet, in der statistischen Physik als "Universalität".
Beim Studium von Differentialgleichungen sind die diskreten Strukturen zu elementar, als dass sich Menschen daran erinnern könnten. In der Quantenfeldtheorie gibt es derzeit jedoch keine Kontinuumsdefinition. Wir müssen die Quantenfeldtheorie explizit durch eine Art Gittermodell definieren (dies wird immer zutreffen, aber in Zukunft werden die Menschen die zugrunde liegende diskrete Struktur verschleiern, um die universellen asymptotischen Beziehungen hervorzuheben, wie dies bei Differentialgleichungen der Fall ist). Denken Sie also an die Übersetzung zwischen kontinuierlichen und asymptotischen diskreten Ergebnissen und daran, dass die diskreten Ergebnisse wirklich die grundlegenderen sind.
Studieren Sie also so viel wie möglich:
- Graphentheorie: insbesondere Ergebnisse im Zusammenhang mit der Erdos-Schule
- Diskrete Gruppentheorie: Dies ist ebenfalls wichtig, obwohl die fortgeschrittenen Teile nie auftauchen.
- Kombinatorik: Die asymptotischen Ergebnisse sind wesentlich.
- Wahrscheinlichkeit: Dies ist am schwierigsten zu empfehlen, da die Literatur so verschleiert ist. Aber was kannst du tun? Sie brauchen es.
Studieren Sie keine mathematischen Versionen von Dingen, die zuerst in der Physik entwickelt wurden.
Die Mathematiker haben die in der Physik entwickelte Mathematik nicht gut übersetzt in die Mathematik. Die folgenden Bereiche der Mathematik können also ignoriert werden:
- Allgemeine Relativitätstheorie: Lesen Sie die Physiker, ignorieren Sie die Mathematiker. Sie haben nichts zu sagen.
- Stochastische Prozesse: Lesen Sie die Physiker, ignorieren Sie die Mathematiker. Sie verstehen Pfadintegrale nicht wirklich, haben also nichts zu sagen. Die Nützlichkeit dieser Finanzierung hat sich nachteilig ausgewirkt, da die Bücher absichtlich verschleiert wurden, um elementare Ergebnisse zu verschleiern. Alle Ergebnisse sind in der Physikliteratur irgendwo in der nützlichsten Form.
- Quantenfelder: Lesen Sie die Physiker, insbesondere Wilson, Polyakov, Parisi und diese Generation. Sie haben das Problem wirklich gelöst. Die Mathematiker sind nutzlos. Connes-Kreimer sind eine Ausnahme von dieser Regel, aber sie erwecken die Ergebnisse von Zimmermann wieder zum Leben, von denen ich glaube, dass niemand außer Zimmermann sie jemals verstanden hat. Atiyah / Segal auf topologischen Feldern ist ebenfalls wichtig, und Kac könnte genauso gut ein Physiker sein.
Physik ist die Wissenschaft von Dingen, die tot sind. Keine Logik.
In der Mathematik gibt es viele Ergebnisse, die die allgemeine Natur einer Berechnung analysieren. Diese Berechnungen sind lebendig, sie können so komplex sein, wie Sie möchten. Aber die Physik interessiert sich für die tote Welt, Dinge, die eine einfache Beschreibung in Form einer kleinen Berechnung haben. Dinge wie das Sonnensystem oder ein Salzkristall.
Es macht also keinen Sinn, Logik / Berechnung / Mengenlehre in Physik zu studieren, Sie werden es nicht einmal verwenden. Aber ich denke, dass dies kurzsichtig ist, weil Logik eines der wichtigsten Gebiete der Mathematik ist und um ihrer selbst willen wichtig ist. Leider ist die Logikliteratur undurchsichtiger als jede andere, obwohl Wikipedia und Mathematiküberlauf hilfreich sind.
- Logik / Berechnung / Mengenlehre: Sie werden sie niemals verwenden, aber trotzdem studieren.