Frage:
Symplektische Struktur der Allgemeinen Relativitätstheorie
genneth
2011-10-12 16:10:33 UTC
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Inspiriert von der Physik. SE: Steigt die Dimensionalität des Phasenraums, wenn sich das Universum ausdehnt?

Ich habe mich über symplektische Strukturen in GR gewundert so etwas wie eine Louiville-Form? Nach meinem dilettanten Verständnis entspricht die Existenz der ADM-Formulierung im Wesentlichen der für generische Fälle, aber es ist mir unklar, wie Grenzen dies ändern. Insbesondere weiß ich, dass wenn man eine innere Grenze hat, die Evolution im Allgemeinen nicht hamiltonisch ist; Wenn andererseits die innere Grenze ein isolierter Horizont ist, ist sie hamiltonisch, wenn das erste Gesetz der Schwarzlochthermodynamik eingehalten wird (siehe http://arxiv.org/abs/gr-qc/0407042). a>).

Die schärfere Form der Frage ist also, was kosmologisch passiert.

(Und wie bei einer Frage auf Forschungsebene (?) üblich: Wie lauten die Google-fähigen Suchbegriffe, um mehr darüber zu erfahren?)

Walds Buch über GR enthält einen Abschnitt über den Hamilton-Formalismus in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Es ist ein unendlichdimensionales System, daher muss man ein wenig vorsichtig sein, wenn man über eine symplektische Struktur spricht. Es hat sicherlich eine Poisson-Struktur und ist eingeschränkt. Die Poisson-Reduktion gibt Ihnen eine formal symplektische Struktur.
Verwandte: http://physics.stackexchange.com/q/75001/
Einer antworten:
Urs Schreiber
2011-10-12 17:26:10 UTC
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Beachten Sie zunächst, dass der Phasenraum jeder Theorie nichts anderes als der Raum aller ihrer klassischen Lösungen ist. Die traditionelle Darstellung von Phasenräumen durch Felder und ihre kanonischen Impulse auf einer Cauchy-Oberfläche ist nur eine Möglichkeit, alle Lösungen - wenn möglich - anhand von Anfangswertdaten zu parametrisieren. Dies ist oft möglich, bringt jedoch alle Nachteile mit sich, die eine Auswahl von Koordinaten immer mit sich bringt. Der Phasenraum selbst existiert unabhängig von diesen Entscheidungen und ob sie überhaupt existieren. Um diesen Punkt hervorzuheben, spricht man manchmal von kovariantem Phasenraum .

Dies ist bekannt, auch wenn es in vielen Lehrbüchern etwas verborgen bleibt. Weitere Details und eine ausführliche und kommentierte Referenzliste finden Sie im $ n $ Lab-Eintrag Phasenraum .

Beachten Sie dann den Phasenraum jeder Feldtheorie, die aus einer lokalen Aktionsfunktion stammt (was bedeutet, dass es das Integral eines Lagrange ist, das nur von endlich vielen Ableitungen der Felder abhängt), wird kanonisch ausgestattet eine kanonische Liouville-Form und eine kanonische präsymplektische Form. Die Funktionsweise wird auch im Phasenraum ausführlich erläutert. Eine gute klassische Referenz ist Zuckerman, eine gemächlichere Diskussion findet sich in Crncovic-Witten.

Diese kanonische präsymplektische Form, die im Phasenraum eines jeden existiert Die lokale Theorie wird im reduzierten Phasenraum symplektisch. Dies ist der Raum, der durch Quotientieren der Eichsymmetrien erhalten wird. Dieser Quotient ist oft sehr schlecht benommen, existiert aber immer gut als " abgeleiteter" Quotient und wird als solcher vom BV-BRST-Komplex modelliert (wie dort diskutiert) ). Die gesamte (Lagrange-) BV-BRST-Maschinerie ist dazu da, die kanonische symplektische Form zu erzeugen, die auf dem reduzierten Phasenraum jeder lokalen Aktionsfunktion existiert.

Da die Einstein-Hilbert-Aktion und alle ihre üblichen Varianten mit Materiekopplungen usw. eine lokale Aktionsfunktion ist, gilt dies alles für die Schwerkraft. Kürzlich haben Fredenhagen et al. haben den kovarianten Phasenraum der Schwerkraft (und seine Liouville-Form) sorgfältig diskutiert, siehe die hier aufgeführten Referenzen.

Daraus folgt die "Dimension" des kovarianten Phasenraums der Schwerkraft hängt weder von der "Größe des Universums" ab, noch ist es sinnvoll, dies überhaupt zu fragen. Eine gegebene Kosmologie ist ein einzelner Punkt in diesem Phasenraum (oder besser gesagt im reduzierten Phasenraum, nachdem Symmetrien herausquotientiert wurden) zur vollen kovarianten Schwerkraft. Für diese könnte die Geschichte anders sein.

Eine sehr schöne Antwort, obwohl ich den algebraischen Konstruktionen nicht ganz folge (ich werde einfach der Mathematik vertrauen!). Um mir die Dinge physikalisch klar zu machen, in dieser Sprache: ist die Existenz eines kovarianten Phasenraums für eine Topologie mit einem isolierten Horizont als innere Grenze aufgrund einer genau definierten lokalen Chern-Simons-Theorie an dieser Grenze (die Details) sind in der Ashketar Zeitung in der Frage)? Und dass dies für andere Arten von Horizonten fehlschlägt, weil man keine lokale Feldtheorie als Grenztheorie konstruieren kann?
Gute Antwort, der Punkt, dass der Phasenraum ein kovariantes Objekt ist, sollte allgemein anerkannt werden.
Für die Aufzeichnung ist Ashtekar keine Lücke, wenn es um die kovariante Phasenraum-Cosntruktion der symplektischen Struktur geht. Wenn Sie sich die Referenzliste auf der von Urs zitierten nLab-Seite ansehen, sehen Sie die Artikel von Lee-Wald und Ashtekar-Bombelli-Reula, die auch häufig als Standardreferenzen zu diesem Thema verwendet werden. Tatsächlich wird der in Abschnitt 7.2 des von Ihnen zitierten Papiers niedergeschriebene Begriff $ \ Omega_V $, den Ashtekar aufschreibt, mit genau dieser Methode konstruiert. Ich kann mehr über den Grenzbegriff $ \ Omega_S $ sagen, aber ich muss ihn zuerst etwas genauer betrachten.
Ich denke, der größte Teil der interessanten Physik befindet sich im letzten Satz: Die vollständige Lösung, die über den kosmologischen Horizont hinausgeht, definiert einen Punkt in diesem viel zu großen Phasenraum, dem Raum aller Einsteinschen Metriken, aber die ursprüngliche Frage betraf die Reduktion der Phase Raum, um die Dynamik eines kosmologischen Fleckens zu beschreiben. Diese Reduktion sollte dazu führen, dass es effektivere Freiheitsgrade gibt, wenn sich das Universum ausdehnt, und der Reduktionsprozess ist mysteriös. Ich denke, der Geist der Frage ist: Können Sie eine Reduzierung der Kausalflecken verstehen?
Der Grenzbegriff $ \ Omega_S $ in Ashtekars Artikel scheint alles mit einem Grenzbegriff von Chern-Simons zu tun zu haben, der der Wirkung von GR hinzugefügt wurde, während die "Entropie des Schwarzen Lochs" untersucht wurde. Siehe http://arxiv.org/abs/gr-qc/9710007. Der von Urs beschriebene kovariante Phasenraumformalismus gibt Ihnen beide Begriffe $ \ Omega_V $ und $ \ Omega_S $, ohne dass Sie auf die Motivation für diesen zusätzlichen Begriff achten müssen.
Ein Hinweis zur Vorsicht: Diese symplektischen Formen müssen durch Integration über eine Cauchy-Oberfläche erhalten werden. Während die Oberfläche $ M_1 $ in Fig. 6 von gr-qc / 0407042 Cauchy ist, sind es weder $ M $ noch $ M_2 $, da einige nicht dehnbare zeitliche Kurven $ M_1 $ und $ \ Delta $ schneiden können, aber keine von die anderen beiden Oberflächen. Um die richtige symplektische Form zu erhalten, muss die Integration über $ M $ oder $ M_2 $ durch die Integration über den entsprechenden in der Vergangenheit gerichteten Teil von $ \ Delta $ ergänzt werden. Dies muss bei der Berechnung des Oberflächenterms $ \ Omega_S $ berücksichtigt werden.
Schließlich ist es nicht besonders mysteriös, sich auf einen kosmologischen Fleck oder eine andere Art von Raumzeit zu beschränken. Bei gegebenen Mannigfaltigkeiten $ X $ und $ Y $ ist der Raum der Lösungen der Einstein-Gleichungen $ \ Gamma (X) $ oder $ \ Gamma (Y) $ auf beiden unendlich dimensional. Darüber hinaus induziert ein Diffeomorphismus $ X \ zu Y $ natürlich die Abbildung $ \ Gamma (Y) \ zu \ Gamma (X) $ durch differentielles Zurückziehen. Man kann sich $ X $ als kleiner als $ Y $ und damit $ \ Gamma (Y) = \ Gamma (X) \ mal $ (zusätzliche Freiheitsgrade) vorstellen. Aber auch $ X $ und $ Y $ könnten ausgetauscht werden. So ist das Leben mit diff-inv und inf-dim.
Vielen Dank, Igor, dass Sie sich die Zeit genommen haben, sich den Artikel anzusehen. Sie könnten oder sollten diese Kommentare möglicherweise sammeln und als Antwort auf die Frage erneut veröffentlichen.
@Igor: die Beschränkung auf einen Kausalfleck ist mysteriös, und das ist der springende Punkt der Frage. Diese Antwort beantwortet nichts und die Kommentare sagen banale / falsche Dinge in einer übermäßig formalen Sprache. Konkret: Was meinst du mit "X und Y können ausgetauscht werden"? Wenn X zu einer Teilmenge von Y diffeomorph ist, dann ist Y nicht zu einer Teilmenge von X diffeomorph. Ein Diffeomorphismus von X zu Y induziert die offensichtliche Einschlusskarte von allen Lösungen auf Y zu allen Lösungen auf X, aber nicht umgekehrt.
@RonMaimon, Ich bin mir nicht sicher, was ich sagen soll, außer um auf die triviale Tatsache hinzuweisen, dass das Intervall $ (0,1) $ diffeomorph zum Subintervall $ (1 / 3,2 / 3) $ von sich selbst ist. Dann ist $ X = Y = (0,1) $ bereits ein Gegenbeispiel zu Ihrer Behauptung. Es ist ebenso einfach, anspruchsvollere und höherdimensionale Beispiele zu konstruieren. Vielleicht könnten wir auch Urteile über den Punkt der Frage auf das Originalplakat verschieben, das diese Antwort übrigens als zufriedenstellend bezeichnete.
@Igor: Das OP war nur eingeschüchtert von all den unglaublich trivialen, aber ach so mathematischen Dingen, die gesagt wurden, und entschied, dass eine hochgestimmte + 11-Antwort in Ordnung und vollständig sein muss. Ist es nicht. Es heißt im Wesentlichen "Phasenraum == Lösungsraum", big duh. In Ihrem Kommentar habe ich "diffeomorph" für "isometrisch" falsch verstanden. Natürlich haben Sie Recht, dass Mannigfaltigkeiten für Submanifolds von sich selbst diffeomorph sein können. Deshalb mag ich Mathe nicht. Ohne eine Basismetrik können Sie den Horizont nicht finden oder den richtigen Begriff des kausalen Patches nicht formulieren. Daher erfordert der korrekte physikalische Begriff der Einbettung eine Grenzübereinstimmung.
Ron, die erste Zeile der OP-Frage, fragt nach der symplektischen Struktur des GR-Phasenraums und ob er eine Liouville-Form hat. In meiner Antwort werden nach einem einleitenden Absatz über den tatsächlichen Phasenraum beide Strukturen im Phasenraum erörtert.
@Urs: Ja, ich habe die Frage aus der Version zum Austausch von Physikstapeln verfolgt, und das eigentliche Problem für mich war die Frage, wie Sie die holographische Dynamik klassisch in einem kleinen Horizontfeld definieren. Diese Antwort beantwortet die übermäßig formale Form der Frage, wie sie hier erscheint, und ich kann mich nicht beschweren, dass Sie eine Frage nicht beantwortet haben, die nicht gestellt wurde.
Crncovic-Witten Link tot: 404 Nicht gefunden :(
Hallo, tolle Antwort!Entschuldigung, ich bin 7 Jahre zu spät, aber können Sie bitte meine verwandte Frage kommentieren?https://physics.stackexchange.com/q/382195/


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