Frage:
Was ist das physikalische Problem, dessen Antwort $ e $ in der Potenz von $ \ pi $ ist, obwohl alle gegebenen Zahlen Einheit sind?
Mitsuko
2020-02-26 23:42:47 UTC
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Vor einigen Jahren sagte mir mein Physiklehrer, seine Schüler, dass es ein elegantes Physikproblem gibt, bei dem alle angegebenen Zahlen Einheit sind, aber die Antwort lautet $ e $ in der Potenz von $ π $ span>, dh

$ e ^ \ pi $ span>,

wobei e = 2,718 ... die Basis des natürlichen Logarithmus ist und π = 3,14 ... pi ist, die Konstante, die üblicherweise als Verhältnis von a definiert wird Kreisumfang zu seinem Durchmesser.

Bis jetzt bin ich ein Universitätsstudent, der etwas studiert, das nichts mit Physik zu tun hat, und ich habe kürzlich meine obige Erinnerung in einem Gespräch mit einem Physiker erwähnt, dem ich geholfen habe, sein Englisch in seinen Physikartikeln zu verbessern. Kurz gesagt, er bezweifelt sehr, dass ein solches physikalisches Problem besteht. Er glaubt, dass entweder ich meinen Schullehrer missverstanden habe oder die Formulierung des Problems zu langwierig oder unnatürlich ist. Aber ich erinnere mich deutlich an die Worte meines Lehrers, dass die Formulierung des Problems einfach und die Lösung elegant ist. Leider weiß ich nicht, worum es bei diesem Problem geht. Ich habe versucht zu googeln, aber keine Spur bekommen.

Was ist das für ein mysteriöses Problem, oder gibt es ein physikalisches Problem, das der obigen Beschreibung entspricht?

Sind Sie auf komplexe Zahlen gestoßen, als Ihr Physiklehrer diese Zahl erwähnte?
@R.Romero: Er erwähnte die Existenz eines solchen Problems sehr kurz und als Nebenbemerkung, die nichts mit dem Thema dieser speziellen Lektion zu tun hat, und sagte uns nicht einmal, worum es bei dem Problem geht.Soweit ich mich erinnere, wurden in dieser Lektion oder in Bezug auf diese Bemerkung keine komplexen Zahlen diskutiert oder erwähnt.Ich bin sicher, dass ich mich an die richtige Bemerkung erinnere, d. H. Die Antwort ist * e * in der Potenz von * π * und enthält nicht * i *.
Drei antworten:
G. Smith
2020-02-26 23:52:01 UTC
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$ e ^ \ pi $ span> ist die Quadratwurzel des Verhältnisses der Lastspannung zur Haltespannung für ein mit $ 1 $ span> volle Umdrehung um eine Winde, wenn der Reibungskoeffizient $ 1 $ span> ist.

Wenn ich " $ 1 $ span> halbe Umdrehung" sagen darf, ohne die Anforderung "Einheit" zu verletzen, ist es nicht erforderlich, die Quadratwurzel zu ziehen.

Die Beziehung ist

$$ T_ \ text {load} = T_ \ text {hold} \, e ^ {\ mu \ phi} $$ span>

wobei $ \ mu $ span> der Reibungskoeffizient und $ \ phi $ span> der Umhüllungswinkel ist, wie im Wikipedia-Artikel „ Capstan-Gleichung“ erläutert.

Wenn Sie nicht "eine halbe Umdrehung" anstelle von "volle Umdrehung, geteilt durch 2" sagen, wird die Formulierung eleganter - und natürlicher?Wenn beide Enden eines Seils an den Seiten hängen, ist dies eine ganz natürliche Position.
@Ruslan Ich habe die Antwort überarbeitet, um das angeforderte Kriterium „* alle * angegebenen Zahlen sind * Einheit *“ zu erfüllen.
@Ruslan möchten wir die Anzahl der Einheiten in der Frage maximieren.: P.
knzhou
2020-02-27 01:20:06 UTC
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Die Frage in der vorhandenen Antwort ist mit ziemlicher Sicherheit die, auf die sich Ihr Lehrer bezog. Zur Veranschaulichung werde ich eine weitere Frage geben, die funktioniert.

Es gibt $ N $ span> identische kleine Scheiben, die auf einem Tisch mit der Gesamtmasse $ M $ span> liegen. Eine andere Scheibe mit der Masse $ m $ zielt sehr genau darauf ab, jede Scheibe genau einmal abzuprallen und dann entgegen der Richtung, in die sie kam. Vernachlässigen Sie Kollisionen zwischen den Discs.

enter image description here

Was ist der Grenzwert von $ M / m $ $ N \ bis \ infty $ span> / span> damit das möglich ist? Wie ist bei diesem Wert das Verhältnis der Anfangs- und Endgeschwindigkeit der Disc?

$ e ^ {\ pi} $ . Insbesondere müssen Sie nicht einmal von Hand einstellbare Parameter auf einen einstellen, wie Sie im Capstan-Problem $ \ mu = 1 $ span> einstellen müssen. In diesem Problem ist $ M $ span> beliebig, $ N $ span> wird auf unendlich gesetzt und $ m $ span> ist festgelegt, wenn $ M $ span>.

Die Verbindung zwischen diesen Problemen besteht darin, dass der $ e $ span> von einer Art exponentiellem Zerfall stammt, während der $ \ pi $ span> ergibt sich aus der Tatsache, dass sich in einem Halbkreis $ \ pi $ span> Bogenmaß befinden. (Das Problem wird gelöst, indem der Winkel berücksichtigt wird, um den sich die Geschwindigkeit der Masse $ m $ span> drehen muss. Dies ist $ \ pi $ span>.)

Was ist, wenn die $ N $ identischen Scheiben nicht auf einem Halbkreis liegen müssen?Wenn wir nur verlangen, dass die eingehende Scheibe in die entgegengesetzte Richtung geht und die Masse der $ N $ identischen Scheiben minimiert, ist das Verhältnis der Anfangs- zur Endgeschwindigkeit der Scheibe immer noch $ e ^ π $ als $N → ∞ $?Wenn nicht, wie können wir den ursprünglichen Zustand schwächen, so dass die Antwort $ e ^ π $ lautet?
@user21820 Ja, das ist richtig, die Discs müssen sich überhaupt nicht im Halbkreis befinden, und die Antwort bleibt dieselbe.Der Schlüssel zur Lösung des Problems besteht darin, zu beachten, dass jede einzelne Kollision den Winkel der Geschwindigkeit nur in der Größenordnung von $ m / (M / N) $ drehen kann.Dies hängt also nicht von der globalen Anordnung der Discs im Weltraum ab.
R. Romero
2020-02-27 02:23:14 UTC
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Unvollständiger Detektiv. Kein physikalisches Beispiel, sondern ein mathematisches, von dem aus man möglicherweise auf mehrere physikalische Probleme verallgemeinern kann.

Wenn Sie eine Änderungsrate einer Menge haben, die proportional zu dieser Menge ist, dh $ \ frac {dx} {dt} = kx $ span>, dann $ x = c_0e ^ {kt} $ span>, wobei $ c_0 $ span> der Anfangswert von x ist.

Wenn $ c_0 = 1 $ span>, dann eine Sekunde später $ x = e ^ \ pi $ span> .

Was könnte also $ k = \ pi $ span> machen? $ k $ span> kann die Bogenlänge eines Halbkreises, die Fläche eines Einheitskreises oder das Volumen eines Zylinders mit Einheitsradius und -höhe sein.

Wenn also eine Änderungsrate proportional zum Barwert der Menge und einer dieser physikalischen Eigenschaften ist, sollten wir $ e ^ \ pi $ span> haben.

Bereich ist ein Flaschenhals für mehrere Prozesse. Chemische Reaktionen, Bakterienwachstum, Wärmeübertragung.



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