NB: Ich denke, das ist ein ziemlich halbherziger Job, und ich entschuldige mich dafür, aber nachdem ich in den Kommentaren meinen Mund geöffnet habe, muss ich wohl etwas schreiben, um ihn zu sichern.

Wir beginnen mit Fermis goldener Regel für alle Übergänge. Die Wahrscheinlichkeit des Übergangs ist $$ P_ {i \ bis f} = \ frac {2 \ pi} {\ hbar} \ left | M_ {i, f} \ right | ^ 2 \ rho $$ span> wobei $ \ rho $ span> die Dichte der Endzustände ist, die proportional zu $ p ist ^ 2 $ span> für massive Partikel. Um die Rate ^{1 sup> für alle möglichen Endzustände zu finden, summieren wir diese Wahrscheinlichkeiten inkohärent. Wenn die Massendifferenz zwischen Anfangs- und Endzustand viel geringer ist als die $ W $ span> -Masse, wird das Matrixelement $ M_ {i , f} $ span> hängt nur schwach (hah!) vom jeweiligen Zustand ab und die Summe wird durch eine Summe nur über die Zustandsdichte gut angenähert: $$ P_ \ text {Zerfall} \ approx \ frac {2 \ pi} {\ hbar} \ left | M _ {} \ right | ^ 2 \ int_ \ text {alle Ergebnisse} \ rho. $$ span > Diese Summe wird zusammenfassend als Phasenraum bezeichnet, der dem Zerfall zur Verfügung steht. In diesen Fällen ist das Matrixelement auch aus dem von Dr. BDO diskutierten Grund recht klein.}

Die Berechnung des Phasenraums kann ziemlich kompliziert sein, da sie alle uneingeschränkten Impulse von übernehmen muss die Produkte. Für Zerfälle in zwei Körperzustände stellt sich heraus, dass es einfach ist. In den Endzuständen gibt es keine Freiheit außer der $ 4 \ pi $ span> -Winkelverteilung im Zerfallsrahmen (ihre sind) acht Freiheitsgrade in zwei 4-Vektoren, aber 2 Massen und die Erhaltung von vier Impulsen machen alle aus, mit Ausnahme der Azimut- und Polarwinkel eines der Teilchen.

Die Zerfälle, nach denen Sie gefragt haben, sind drei Körperzustände. Das gibt uns zwölf Freiheitsgrade abzüglich drei Einschränkungen von Massen, vier von der Erhaltung des 4-Impulses, wodurch fünf übrig bleiben. Drei davon sind die Euler-Winkel, die die Ausrichtung des Zerfalls beschreiben (und ein Faktor von $ 8 \ pi ^ 2 $ span> bis $ \ rho $ span>), also beträgt unsere Summe mehr als zwei nicht-trivalente Momente. Das Integral sieht ungefähr so ​​aus wie $$ \ begin {array} \\\ rho \ propto \ int p_1 ^ 2 \ mathrm {d} p_1 \ int p_2 ^ 2 \ mathrm {d} p_2 \ int \ mathrm {d} (\ cos \ theta) & \ delta (m_0 - E_1 - E_2-E_3) \\ & \ Delta (E_1 ^ 2 - m_1 ^ 2 - p_1 ^ 2) \\ & \ delta (E_2 ^ 2 - m_2 ^ 2 - p_2 ^ 2) \\ & \ delta (E_2 ^ 2 - m_2 ^ 2 - p_2 ^ 2) \\ & \ delta (\ vec {p} _1 + \ vec {p} _2 + \ vec {p} _3) \ end {array} $$ span>, das in Monte Carlo einfacher zu berechnen ist als von Hand. (Übrigens - der Grund für die Einführung des scheinbar redundanten Integrals über den Winkel $ \ theta $ span> zwischen den Impulsen der Partikel 1 und 2 wird in kurzer Zeit offensichtlich).

Bei Beta-Zerfällen ist der Restkern im Vergleich zur freigesetzten Energie sehr schwer, was das oben Genannte in einer Grenze vereinfacht.

Im Fall des Myonenzerfalls Es ist nicht unangemessen, alle Produkte als ultra-relativistisch zu behandeln, und das oben Gesagte reduziert sich auf $$ \ begin {array} \\\ rho \ propto \ int p_1 ^ 2 \ mathrm {d} p_1 \ int p_2 ^ 2 \ mathrm {d} p_2 \ int \ mathrm {d} (\ cos \ theta) & \ delta (m_0 - E_1 - E_2 - E_3) \\ & \ delta (E_1 - p_1) \\ & \ delta (E_2 - p_2) \\ & \ delta (E_3 - p_3) \\ & \ delta (\ vec {p} _1 + \ vec {p} _2 + \ vec {p} _3) \\ = \ int p_1 ^ 2 \ mathrm {d} p_1 \ int p_2 ^ 2 \ mathrm {d} p_2 \ int \ mathrm {d} (\ cos \ theta) & \ delta (m_0 - p_1 - p_2 - p_3) \\ & \ delta (\ vec {p} _1 + \ vec {p} _2 + \ vec {p} _3) \\ = \ i nt p_1 ^ 2 \ mathrm {d} p_1 \ int p_2 ^ 2 \ mathrm {d} p_2 \ int \ mathrm {d} (\ cos \ theta) & \ delta (m_0 - p_1 - p_2 - \ left | \ vec {p} _1 + \ vec {p} _2 \ right |) \\ = \ int p_1 ^ 2 \ mathrm {d} p_1 \ int p_2 ^ 2 \ mathrm {d} p_2 \ int \ mathrm {d} (\ cos \ theta) & \ delta \ left (m_0 - p_1 - p_2 - \ sqrt {p_1 ^ 2 + p_2 ^ 2 - p_1p_2 \ cos \ theta} \ right) \ end {array} $$ span> Das Integral über dem Winkel wird in einigen Regionen mit Eins und in anderen mit Null bewertet. Dies entspricht der korrekten Zuweisung der Grenzen der beiden anderen Integrale. Schreiben Sie also $ \ delta m = m_0 - m_1 - m_2 - m_3 $ span> Wir erhalten $$ \ begin {array} \ rho & \ propto \ int_0 ^ { \ delta m / 2} p_1 ^ 2 \ mathrm {d} p_1 \ int_0 ^ {\ delta m-p_1} p_2 ^ 2 \ mathrm {d} p_2 \\ & \ propto \ int_0 ^ {\ delta m / 2} p_1 ^ 2 \ mathrm {d} p_1 \ left [\ frac {p_2 ^ 3} {3} \ right] _ {p_2 = 0} ^ {\ delta m-p_1} \\ & \ propto \ int_0 ^ {\ delta m / 2} p_1 ^ 2 \ mathrm {d} p_1 \ frac {(\ delta m - p_1) ^ 3} {3} \ end {array} $$ span>, das ich nicht fertigstellen werde, aber das zeigt Dieser Phasenraum kann als Hi variieren gh Potenz der Massendifferenz (in diesem Fall bis zur sechsten Potenz).

^{1 sup> Die Lebensdauer des Zustands ist umgekehrt proportional zur Wahrscheinlichkeit}

Sie können die Neutronenlebensdauer mithilfe der Dimensionsanalyse abschätzen. Der Beta-Zerfall wird durch die bekannte Vier-Fermion-Fermi-Theorie korrekt beschrieben, daher muss die Amplitude proportional zur Kopplung $ G_F \ ca. 10 ^ {- 5} \ text {GeV} ^ {- 2} $ (die Fermi-Konstante) sein. Die Abklingrate ist proportional zur quadratischen Amplitude:

$$ \ Gamma \ propto G_F ^ 2 \ thinspace. $$

$ \ Gamma $ hat Masseneinheiten, während $ G_F ^ 2 $ hat Einheiten von $ [\ text {Mass}] ^ {- 4} $. Um die Einheiten richtig zu machen, müssen wir

$$ \ Gamma \ propto G_F ^ 2 \ Delta ^ 5 $ haben $

wobei $ \ Delta $ eine Größe ist, die Masseneinheiten hat. Die relevante Massenskala beim Neutronenzerfall ist die Massendifferenz zwischen Neutron und Proton, also $ \ Delta = m_n-m_p \ ca. 10 ^ {- 3} \ text {GeV} $.

Um ein bisschen genauer zu sein, kann man versuchen, die $ \ pi $ -Abhängigkeit der Abklingrate zu erraten. Dies kommt aus dem Phasenraum eines 3-Körper-Zerfalls, der normalerweise

$$ (2 \ pi) ^ 4 \ times \ Big [\ thinspace (2 \ pi) ^ {- 3} lautet. \ times (2 \ pi) ^ {- 3} \ times (2 \ pi) ^ {- 3} \ Big] \ times (\ pi ^ 2) \ \ propto \ \ pi ^ {- 3} \ thinspace. $ $

Der erste Faktor stammt aus der Delta-Funktion zur Erhaltung der vier Impulse, die drei $ (2 \ pi) ^ {- 3} $ in der Klammer stammen aus dem Integrationsmaß der vier Impulse jedes ausgehenden Ereignisses Teilchen und der letzte Faktor kommt von der Integration der Winkelvariablen. Man erhält schließlich die folgende Schätzung

$$ \ Gamma \ propto \ frac {1} {\ pi ^ 3} G_F ^ 2 (m_n-m_p) ^ 5 $$

If Wenn Sie alle Zahlen einstecken, lautet die geschätzte Lebensdauer des Neutrons

$$ \ tau _ {\ text {Neutron}} \ = \ \ Gamma ^ {- 1} \ \ approx \ \ pi ^ 3 \ \ text {sec.} $$

Dies ist etwas kürzer als der reale Wert, der mindestens eine Größenordnung größer ist. Aber es erklärt, warum die Lebensdauer des Neutrons in Bezug auf andere schwache Zerfallsprozesse so groß ist (umgekehrt zur 5. Potenz der kleinen Massendifferenz).

Wie Sie richtig sagen, ist der Neutronenzerfall aufgrund der schwachen Wechselwirkung ein Zerfall. Diese sind aufgrund der Masse des intermediären W-Bosons 81GeV, das die Reaktion verlangsamt, etwas langsamer als andere Zerfälle. Außerdem setzt der Neutronenzerfall nur frei Bei einer kleinen Energiemenge, etwa 1 MeV, ist es das Verhältnis der freigesetzten Energie zur Masse des W, das die Reaktionsgeschwindigkeit festlegt, die somit viel langsamer ist als bei anderen Zerfällen, da alle anderen Teilchenzerfälle viel mehr Energie freisetzen.