Interessante Frage. Zuallererst ist es bei der allgemeineren Frage sicherlich möglich, Geräte zu entwerfen, die Schub in einem Superfluid liefern, und einige Beispiele wurden in dem Thread angegeben, mit dem Sie verlinkt haben. Ein einfacher Propeller funktioniert dagegen nicht, wenn wir davon ausgehen können, dass die Viskosität genau Null ist. Wenn es nur sehr klein ist, sollte der Propeller immer noch gut funktionieren.
Nun könnten wir noch fragen, ob es eine Möglichkeit gibt, einen Propeller mit einigen Hilfsvorrichtungen in einer Flüssigkeit ohne Viskosität arbeiten zu lassen. Das entscheidende Problem ist, dass wir ohne die Hilfe der Viskosität eine Zirkulation in der Flüssigkeit erzeugen müssen. Es gibt Möglichkeiten, eine solche Zirkulation zu erzeugen (z. B. mit tangentialen Wanddüsen), aber ich bin mir nicht sicher, ob wirksame Geräte, die Kräfte in solchen Flüssigkeiten erzeugen, auf diese Weise konstruiert werden können. Mein Bauchgefühl ist, dass die Verwendung von Strahltriebwerken, die von einer Art Verdrängerpumpe angetrieben werden, der richtige Weg sein könnte.
Um dieses Argument strenger zu gestalten, werden wir die grundlegenden Gleichungen betrachten, die dieses Flüssigkeitsströmungsproblem beschreiben. Dies sind die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen für eine inkompressible Flüssigkeit.
$$ \ rho \ left (\ frac {\ partielle \ mathbf u} {\ partielle t}
+ {\ mathbf u} \ cdot {\ mathbf \ nabla} {\ mathbf u} \ right) = - {\ mathbf \ nabla} p + \ nu \ Delta {\ mathbf u}, $$
wo wir potenzielle Volumenkräfte (wie Gravitationskräfte) sowie den divergenzfreien Zustand ignorieren
$$ \ nabla \ cdot {\ mathbf u} = 0, $$
innerhalb einer geschlossenen zweidimensionalen Domäne $ \ Omega $ (im Allgemeinen mehrfach verbunden; siehe Kommentare unten für den 3D-Fall).
Wir werden Probleme betrachten, die durch Randbedingungen gekennzeichnet sind, die den Fluss entweder als normal zur Grenze vorschreiben, $ {\ mathbf u} \ cdot {\ mathbf t} = 0 $ auf einem Teil der Grenze $ \ partiell \ Omega $ (an den Zufluss- / Abflussgrenzen) oder tangential zur Grenze, $ {\ mathbf u} \ cdot {\ mathbf n} = 0 $ an anderen Teilen der Grenze (entlang fester Wände). Hier sind $ \ mathbf n $ und $ \ mathbf t $ die Einheitsnormal- und Tangentenvektoren an der Grenze. Als unsere zweite Randbedingung schreiben wir eine "traktionsfreie Bedingung" vor, $ \ nu \, \ Delta {\ mathbf u} \ cdot {\ mathbf t} = 0 $, was bedeutet, dass die Flüssigkeit reibungslos über die Oberfläche gleitet.
Wir wählen eine Anfangsbedingung für ein Geschwindigkeitsfeld $ {\ mathbf u} _0 = {\ mathbf u} (t = 0) $, die $ \ nabla \ cdot {\ mathbf u} = 0 $ erfüllt (Inkompressibilitätsbedingung) sowie $ \ nabla \ times {\ mathbf u} = 0 $ (Irrotationalität) im Interieur von $ \ Omega $. Schließlich benötigen wir, dass das anfängliche Geschwindigkeitsfeld $ {\ mathbf u} _0 $ in der geschlossenen Domäne $ \ Omega $ mindestens $ C ^ 0 $ -kontinuierlich ist. Wir stellen nebenbei fest, dass diese Bedingung nicht trivial ist und bei vielen praktischen Problemen (dh numerischen Lösungen) häufig verletzt wird. Es spielt jedoch eine entscheidende Rolle in der Mathematik des Navier-Stokes-Problems: Wenn diese Bedingung verletzt wird, ist das Navier-Stokes-Problem tatsächlich schlecht gestellt. Um unnötige Komplikationen zu vermeiden, benötige ich die etwas stärkere Bedingung der $ C ^ 1 $ -Kontinuität unten. Der Unterschied ist mathematisch nicht trivial, sollte aber keine physikalische Konsequenz haben.
Mit diesen Vorbereitungen ist es nun möglich zu beweisen, dass der Raum potenzieller Flusslösungen dieses Problems ein invarianter Unterraum der Navier-Stokes-Gleichungen ist, was bedeutet, dass unsere Anfangsbedingung eine Irrotation darstellt , inkompressibler Fluss, muss der Fluss zu allen zukünftigen Zeiten so bleiben. Eine spezifische Konsequenz dieser Situation ist, dass die Zirkulation $ \ Gamma $
erfüllt
$$ \ Gamma = \ oint_C {\ mathbf u} \ cdot \ mbox {d} {\ mathbf s} = \ iint_ \ Omega \ nabla \ times {\ mathbf u} \, \ mbox {d} {\ mathbf x} = 0 $$
jederzeit. Ich werde bemerken, dass ich den Beweis weglasse. Die technischen Details sind etwas streng; Einzelheiten finden Sie in Ladyzhenskayas Mathematische Theorie des viskosen inkompressiblen Flusses .
Zu diesem Zeitpunkt ist der einzige zusätzliche Bestandteil, den wir benötigen, das Joukowski-Theorem, das besagt, dass Kräfte in potenziellen Flüssen um geschlossene Konturen proportional zur Zirkulation $ \ Gamma $ um die Kontur sind. Da wir oben gezeigt haben, dass die Zirkulation Null bleibt, können keine Kräfte auftreten.
Ich erinnere den Leser daran, dass das obige Argument eine zweidimensionale Domäne annimmt. Ich werde nur ohne Beweis feststellen, dass es auf Kosten einer beträchtlichen mathematischen Komplexität auf den dreidimensionalen Fall ausgedehnt werden kann ...
Abschließend sei darauf hingewiesen, dass das obige Argument die Mathematik dieses Problems für den Fall einer idealen nichtviskosen Flüssigkeit anspricht. Wenn Sie ein Experiment in einem solchen Ablauf durchführen, können eine Reihe von realen Effekten das Ergebnis erheblich verändern. Zum Beispiel erfordert der potentielle Fluss um scharfe Hinterkanten der Tragflächen des Propellers extrem starke Druckgradienten. Ich bin ziemlich sicher, dass jede echte Flüssigkeit unter diesen Bedingungen Kavitation ausgesetzt sein würde, und wer weiß, was dann passieren könnte. Mit Sicherheit wird das Modell der idealen inkompressiblen Flüssigkeit nicht mehr auf die Situation zutreffen.