Die Physik ist unabhängig von unserer Wahl der Einheiten

Und für so etwas wie eine Länge plus eine Zeit gibt es keine Möglichkeit, ein Ergebnis eindeutig anzugeben, das nicht von der abhängt Einheiten, die Sie für die Länge oder für die Zeit auswählen.

Jede messbare Größe gehört zu einer Menge $ \ mathcal {M} $ span>. Oft kommt diese messbare Größe mit dem Begriff "Addition" oder "Verkettung". Beispielsweise ist die Länge eines Stabes $ L \ in \ mathcal {L} $ span> eine messbare Größe. Sie können eine Additionsoperation $ + $ span> für $ \ mathcal {L} $ span> definieren, indem Sie $ L_1 + L_2 $ span> ist die Länge der Stange, die durch Aneinanderkleben der Stangen 1 und 2 gebildet wird.

Die Tatsache, dass wir eine reale anbringen Zahl bedeutet, dass wir einen Isomorphismus haben $$ u _ {\ mathcal {M}} \ Doppelpunkt \ mathcal {M} \ zu \ mathbb {R}, $$ span> in dem $$ u _ {\ mathcal {M}} (L_1 + L_2) = u _ {\ mathcal {M}} (L_1) + u _ {\ mathcal {M}} (L_2 ). $$ span> Eine Auswahl von Einheiten ist im Wesentlichen eine Auswahl dieses Isomorphismus. Denken Sie daran, dass ein Isomorphismus invertierbar ist. Für jede reelle Zahl $ x $ span> haben Sie eine mögliche Messung $ u _ {\ mathcal { M}} ^ {- 1} (x) $ span>. Ich bin mir nicht sicher, ob $ \ mathbb {R} $ span> die Menge der reellen Zahlen oder nur die positiven Zahlen ist. d.h. ob dies Gruppen, Monoide oder etwas anderes sind. Ich denke nicht, dass es für diesen Beitrag sehr wichtig ist, und was noch wichtiger ist, ich habe nicht alles herausgefunden.

Da die Physik nun unabhängig von unserer Wahl der Einheiten sein sollte, sollte sie unabhängig von den jeweiligen Isomorphismen sein. $ u_Q $ span>, $ u_R $ span>, $ u_S $ span> usw., die wir für unsere Messgrößen verwenden $ Q $ , $ R $ span>, $ S $ span> usw. Ein Einheitenwechsel ist ein Automorphismus von die reellen Zahlen; Bei zwei Einheiten $ u_Q $ span> und $ u'_Q $ span> beträgt die Änderung der Einheiten $$ \ omega_ {u, u '} \ equiv u'_Q \ circ u_Q ^ {- 1} $$ span> oder gleichwertig $ $ \ omega_ {u, u '} \ Doppelpunkt \ mathbb {R} \ bis \ mathbb {R} \ ni \ omega (x) = u'_Q (u_Q ^ {- 1} (x)). $$ span> Daher \ begin {align} \ omega (x + y) & = u'_Q (u_Q ^ {- 1} (x + y)) \\ & = u ' _Q (u_Q ^ {- 1} (x) + u_Q ^ {- 1} (y)) \\ & = u'_Q (u_Q ^ {- 1} (x)) + u'_Q (u_Q ^ {- 1 } (y)) \\ & = \ omega (x) + \ omega (y). \ end {align} span>

Also, seit $ \ omega $ span> ist ein Automorphismus der Reals, es muss sich um eine Neuskalierung von $ \ omega (x) = \ lambda x $ span> mit einer relativen Skalierung $ \ lambda $ span> (Wie von @WetSavannaAnimalakaRodVance hervorgehoben, erfordert dies die schwache Annahme, dass $ \ omega $ span> ist ein Kontinuum s Funktion - es gibt überall auch diskontinuierliche Lösungen. Offensichtlich sind Einheiten nicht nützlich, wenn sie überall diskontinuierlich sind; insbesondere, damit der instrumentelle Messfehler einen zulässigen Raum von $ u_ \ mathcal {M} $ span> in ein Intervall von $ abbildet \ mathbb {R} $ span>. Wenn wir die Existenz einer Ordnungsoperation für $ \ mathcal {M} $ span> oder eine einheitunabhängige Topologie zulassen, könnte dies präzisiert werden.).

Betrachten Sie eine typische physikalische Formel, z. B. $$ F \ Doppelpunkt Q \ mal R \ bis S \ ni F (q, r) = s, $$ span> Dabei sind $ Q $ span>, $ R $ span> und $ S. $ span> sind alle additiv messbar im oben definierten Sinne. Geben Sie alle drei messbaren Einheiten an. Dann gibt es eine Funktion $$ f \ Doppelpunkt \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ bis \ mathbb {R} $$ span>, definiert durch $$ f (x, y) = u_S (F (u_Q ^ {- 1} (x), u_R ^ {- 1} (y)). $$ span>

Die Anforderung, dass die Physik von Einheiten unabhängig sein muss, bedeutet, dass wenn die Einheiten für $ Q $ span> und $ R $ sind span> werden um einige Beträge skaliert $ \ lambda_Q $ span> und $ \ lambda_R $ span>, dann muss es sein eine Neuskalierung von $ S $ span>, $ \ lambda_S $ span> sein, so dass

$$ f (\ lambda_Q x, \ lambda_R y) = \ lambda_S f (x, y). $$ span>

Stellen Sie sich zum Beispiel das vor Impulsfunktion unter Verwendung einer Masse $ m \ in M ​​$ span> und einer Geschwindigkeit $ v \ in V $ span> ein Impuls $ p \ in P $ span>. Wählen Sie $ \ text {kg} $ span> für Masse, $ \ text {m / s} $ span> für Geschwindigkeit und $ \ text {kg} \, \ text {m / s} $ span> für den Impuls lautet diese Gleichung $$ p (m, v) = m * v. $$ span> Wenn nun die Masseneinheit in $ \ text {g} $ span> geändert wird, wird sie mit $ 1000 $ span> und wenn die Geschwindigkeit in $ \ text {cm / s} $ span> geändert wird, wird sie mit $ 100 $ span>. Die Abhängigkeit von Einheiten erfordert eine Neuskalierung des Impulses, so dass $$ p (1000 m, 100 v) = \ lambda p (m, v). $$ span> Dies ist einfach - $ 10 ^ 5 mv = \ lambda mv $ span> und so $ \ lambda = 10 ^ 5 $ span>. Mit anderen Worten, $$ p [\ text {g} \, \ text {cm / s}] = 10 ^ 5 p [\ text {kg} \, \ text {m Wir betrachten nun eine hypothetische Situation, in der wir eine Größe namens "Länge plus Zeit" haben, die definiert ist, wenn die Länge in Metern und die Zeit in Sekunden gemessen wird. und "Länge plus Zeit" in einer hypothetischen Einheit, die als "Meter + Sekunde" bezeichnet wird, lautet die Gleichung für "Länge plus Zeit" $$ f (l, t) = l + t. $ $ span> Das haben Sie gesagt - $ 10 \ text {m} + 5 \ text {s} = 15 \ text {"m + s"} $ span>. Ist diese Gleichung bei einer Änderung der Einheiten unveränderlich? Ändern Sie die Längenskala um $ \ lambda_L $ span> und die Zeitskala um $ \ lambda_T $ span>. Gibt es eine Zahl $ \ Lambda $ span>, so dass $$ f (\ lambda_L l, \ lambda_T t) = \ lambda_L l + \ lambda_T t $$ span> ist für alle Längen gleich $$ \ Lambda f (l, t) = \ Lambda (l + t) $$ span> und Zeiten $ l $ span> und $ t $ span>? Nein! Daher kann diese Gleichung $ f = l + t $ span> keine gültige Darstellung in reellen Zahlen einer physikalischen Formel sein.

Also gut, ich kassiere meine Kommentare, um eine Antwort zu geben:

Beginnen wir mit einem Beispiel, das überhaupt keine Dimensionen, Einheiten oder Physik aufruft. Wie bewerten wir den folgenden Ausdruck? $$ 1 + \ begin {pmatrix} 5 \\ 2 \\ - 9 \ end {pmatrix} + \ begin {pmatrix} a \ b \\ c \ d \ end {pmatrix} $$

Die Antwort lautet: Wir tun es nicht. Nicht ohne eine spezielle Konvention zu definieren, so dass jede Menge mit einer unsichtbaren Matrix multipliziert wird, so dass sie alle $ 3 \ times3 $ Matrizen sind ... das ist nur willkürlich und inkonsistent.

Nun, wie geht das? Wir interpretieren $ 5 \ text {meter} + 10 \ text {Sekunden} $. Die Antwort lautet: Wir tun es nicht. Wiederum nicht ohne eine willkürliche, inkonsistente und bedeutungslose Konvention zu definieren. Sie haben vorgeschlagen, dass es gleich 15 ist; Nun, ich werde auch $ 5 \ text {m} +10 \ mu \ text {s} = 15 $ definieren, und jetzt haben wir gerade bewiesen, dass Mikrosekunden gleich Sekunden sind.

Die Lektion ist, dass es keine gibt Eine sinnvolle Möglichkeit, Addition für unterschiedliche Arten von Mengen durchzuführen. In der Physik bezeichnen wir die allgemeinen Typen als Dimensionen . Beispiele für Dimensionen sind: Länge, Zeit, Energie, Masse usw. Einheiten sind spezielle Arten der Darstellung von Dimensionen, z. B. Meter und Fuß sind beide Einheiten der Dimensionslänge.

Also Wie hängt das mit Ihrem Kometenbeispiel zusammen? Sie haben (richtig) beobachtet, dass wir tatsächlich verschiedene Dimensionen multiplizieren können. Z.B. Masse mal Geschwindigkeit hat Dimensionen von Impuls . Das heißt aber immer noch nicht, dass Sie unterschiedliche Mengen vergleichen können. Die Bedingung für die Richtigkeit Ihrer Berechnung ist: $$ (\ text {Kometenmasse}) \ times (\ text {period}) - (\ text {die wahre Geschwindigkeit}) = 0 $$ Aber wie wir bereits gezeigt haben ist dieser Ausdruck bedeutungslos, da wir keine Mengen unterschiedlicher Dimensionen addieren (oder subtrahieren) können.

In der Physik dürfen Sie die Einheiten nicht ignorieren. Sie kommen für die Fahrt in jedem Teilschritt jeder Berechnung mit. Betrachten Sie die Einheiten aus mathematischer Sicht als Variablen. Anstelle von 5 Metern + 10 Sekunden haben Sie also 5x + 10y. Wenn Sie nicht willkürlich zuweisen x = y = 1, können Sie auf keinen Fall 15 daraus ziehen. Am Ende des Tages haben Sie immer noch 5x + 10y und die Physik interessiert sich nicht für komplexe Zahlen. Am Ende einer Berechnung benötigen Sie eine Zahl und "5x + 10y" sind zwei Zahlen. Und hier ist das Problem in der Physik: Sie dürfen diesen Variablen keine Werte zuweisen. Sie sind grundlegende, nicht reduzierbare Einheiten; Sie können nicht sagen, dass "Meter 1 sind".

Andererseits dürfen Sie Einheiten multiplizieren, wie es niemanden betrifft. "Furlongs per vierzehn Tage" ist eine dumme Phrase, aber Sie können sie verwenden und jeder wird (nach einiger Konvertierung) genau verstehen, was Sie sagen:

$$ 13440 \ frac {\ text {furlongs}} { \ text {vierzehn Tage}} \ times \ frac {1 \; \ text {Meile}} {8 \; \ text {furlongs}} = 1680 \ frac {\ text {Meilen}} {\ text {vierzehn Tage}} $$

$$ 1680 \ frac {\ text {Meilen}} {\ text {vierzehn Tage} } \ times \ frac {1 \; \ text {vierzehn Tage}} {336 \; \ text {Stunden}} = 5 \ frac {\ text {Meilen}} {\ text {Stunde}} $$

(Cue eine Horde wütender Physiker, die wegen meiner Verwendung imperialer Einheiten auf mich herabsteigen. )

Bei jedem Schritt dieser Konvertierungen gingen die Einheiten nie weg; Sie blieben bei den Zahlen. Wenn Sie etwas in der Physik berechnen, sind die Zahlen, mit denen Sie spielen, echte Dinge ; Sie stellen eine Menge von etwas dar und dass etwas nicht verschwindet, nur weil Sie denken, dass es unpraktisch ist. Wenn ein Asteroid in 5 Sekunden 10 Meter weit geht, sieht es so aus:

$$ 10 \; \ text {meter} \ times \ frac {1} {5 \; \ text {Sekunden}} = 2 \ frac {\ text {meter}} {\ text {second}} $$

Sie können Mengen multiplizieren und dividieren, wie Sie möchten, und Sie erhalten einige funky Einheiten, aber Ihre endgültige Zahl ist gültig - obwohl es schwierig sein kann, sie mit allem anderen in Beziehung zu setzen. (Zum Beispiel wird die Viskosität einer Flüssigkeit in (Kilogramm pro (Meter * Sekunde)) gemessen, was nicht besonders intuitiv ist, aber an den bestimmten Stellen, an denen die Viskosität verwendet wird, nützlich ist.)

Die meisten Antworten scheinen zu wiederholen, dass Sie keine Längen und Zeiten hinzufügen dürfen, nur weil dies keinen Sinn ergibt. Hier ist warum es nicht sinnvoll ist.

Wenn zwei Objekte die gleiche Temperatur in Celsius haben, haben sie die gleiche Temperatur in Fahrenheit.

Wenn Zwei Objekte haben die gleiche Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde und dann die gleiche Geschwindigkeit in Meilen pro Stunde.

Wenn jedoch zwei Objekte die gleiche "Längen-Zeit-Summe" in Metern + Sekunden haben, ist dies möglicherweise nicht der Fall haben die gleiche "Längen-Zeit-Summe" in anderen Einheiten. Zum Beispiel $$ 60 \, \ text {meter} +0 \, \ text {Sekunden} \ "=" \ 0 \, \ text {meter} +60 \, \ text {Sekunden} $$ aber $$ 60 \, \ text {meter} +0 \, \ text {Minuten} \ "\ ne" \ 0 \, \ text {meter} +1 \, \ text {Minute}. $$ Es macht also keinen Sinn, daran zu denken Die Längen-Zeit-Summe als reale physikalische Größe anstelle eines numerischen Zufalls, der durch unsere Wahl der Einheiten verursacht wird.

Dies ist im Grunde der letzte Teil von Jwimberleys Antwort, aber ich dachte, es wäre hilfreich, eine explizite zu haben Beispiel so formuliert, dass der Punkt offensichtlich ist.

Jack, ich werde das Problem hier zuerst auf mathematische und nicht auf physikalische Weise erklären. Das mathematische Problem hierbei ist, dass die von Ihnen vorgeschlagene Operation auf der Ebene der Grundphysik nicht genau definiert ist. Schauen wir uns einige Situationen in der Mathematik an, in denen diese Art von Problem auftritt, die nichts mit physikalischen Einheiten zu tun haben.

Im Kalkül haben wir $ \ int_a ^ bf (x) \, dx = F. (b) - F (a) $ wobei $ F (x) $ ein Antiderivativ von $ f (x) $ ist. Was wäre, wenn jemand vorbeikäme und fragte, ob eine neue Operation $ I (f, a, b) = F (b) + F (a) $ eine nützliche Bedeutung in Bezug auf die ursprüngliche Funktion $ f (x) $ und das Intervall $ hat [a, b] $. Dies ist nicht der Fall, da wenn Sie das Antiderivativ ändern, Sie die Antwort ändern. Für zwei beliebige Antiderivative $ F (x) $ und $ G (x) $ von $ f (x) $ unterscheiden sie sich durch eine Konstante, beispielsweise $ G (x) = F (x) + C $. Dies bedeutet, dass ein Unterschied von Antiderivaten von $ f (x) $ bei $ a $ und $ b $ unabhängig von der Wahl der Antiderivate ist, jedoch eine Summe von Antiderivaten von $ f (x) $ bei $ a $ und $ b $ ist nicht: $$ G (b) - G (a) = (F (b) + C) - (F (a) + C) = F (b) - F (a) $$ während $$ G (b) + G (a) = (F (b) + C) + (F (b) + C) = F (b) + F (a) + 2C, $$ ist nicht $ F (b) + F (a) $, es sei denn, $ C = 0 $ (dh $ G (x) = F (x) $). Eine Wertedifferenz eines Antiderivativs von $ f (x) $ ist also eine genau definierte Zahl in Bezug auf die ursprüngliche Funktion $ f (x) $, eine Summe von Werten eines Antiderivativs jedoch nicht. Wenn Sie eine bestimmte reelle Zahl aus einem Antiderivativ von $ f (x) $ angeben möchten und diese bestimmte Zahl ausschließlich durch $ f (x) $ und nicht durch die Wahl des Antiderivativs bestimmt werden soll, sind Unterschiede sinnvoll, Summen jedoch nicht. Dies spielt übrigens eine Rolle in der Physik: Potenzielle Energie wird nur bis zu einer additiven Gesamtkonstante definiert, was erklärt, warum eine Differenz potenzieller Energiewerte eine physikalische Bedeutung hat, eine Summe potenzieller Energiewerte jedoch nicht.

Ein weiteres Beispiel ist die Geometrie. Wir fügen Winkel hinzu, aber wir multiplizieren niemals Winkel. Gibt es ein mathematisches Problem beim Multiplizieren von Winkeln? Ja: Die Winkelmessung wird an sich nur bis zu einem ganzzahligen Vielfachen von $ 2 \ pi $ bestimmt, und diese Eigenschaft wird durch Addition, aber nicht durch Multiplikation berücksichtigt. Wenn $ \ theta_2 = \ theta_1 + 2 \ pi {k} $ und $ \ varphi_2 = \ varphi_1 + 2 \ pi {\ ell} $ für einige ganze Zahlen $ k $ und $ \ ell $, dann $$ \ theta_2 + \ varphi_2 = \ theta_1 + \ varphi_1 + 2 \ pi (k + \ ell), $$ also sind die beiden Summen $ \ theta_2 + \ varphi_2 $ und $ \ theta_1 + \ varphi_1 $ wieder gleich bis zu einem ganzzahligen Vielfachen von $ 2 \ pi $. $$ \ theta_2 \ varphi_2 = \ theta_1 \ varphi_1 + 2 \ pi (k \ varphi_1 + \ ell \ theta_1 + 2 \ pi {k} \ ell) $$ und $ k \ varphi_1 + \ ell \ theta_1 + 2 \ pi {k} \ ell $ ist nicht immer eine ganze Zahl. (Wenn Sie abstrakte Algebra hatten, könnte ich sagen, dass das "Problem" hier ist, dass $ 2 \ pi {\ mathbf Z} $ eine Untergruppe von $ {\ mathbf R} $ ist, aber kein Ideal in $ {\ mathbf R} $ Der Quotient $ {\ mathbf R} / 2 \ pi {\ mathbf Z} $ kann also die Struktur einer additiven Gruppe erhalten, aber keinen Ring.) Wenn Sie sagen möchten, "aber ich kann über $ \ sin sprechen ( xy) $ für beliebige Zahlen $ x $ und $ y $, und das multipliziert Winkel ", würde ich sagen, ist es nicht: im Ausdruck $ \ sin (xy) $ mit reellen Variablen $ x $ und $ y $, Die Zahlen $ x $ und $ y $ müssen als reelle Zahlen betrachtet werden, nicht als Winkel. Die Geschichte ist anders mit $ \ sin (2x) $, was gut definiert ist, wenn $ x $ als Winkel betrachtet wird (eine Zahl bis zur Addition durch ein ganzzahliges Vielfaches von $ 2 \ pi $). Diese Unterscheidung ist der Grund, warum das $ x $ in einer Fourier-Reihe $$ f (x) = \ sum_ {n \ in {\ mathbf Z}} c_ne ^ {2 \ pi {i} nx} $$ als Lügen angesehen werden kann auf einem Kreis, wenn Sie möchten, aber das $ x $ in einer Fourier-Transformation $$ ({\ mathcal F} f) (x) = \ int _ {{\ mathbf R}} f (y) e ^ {2 \ pi { i} xy} \, dy $$ kann und muss nicht auf der realen Linie gedacht werden: Die Fourier-Transformation ist keine $ 2 \ pi $ -periodische Funktion von $ x $, daher ist es nicht genau definiert, das Fourier zu betrachten Transformation als Funktion auf dem Einheitskreis.

In der linearen Algebra wird die Spur eines linearen Operators $ A \ Doppelpunkt V \ rechter Pfeil V $ in einem endlichdimensionalen Vektorraum als $ \ sum_ {i} a_ {ii} $ definiert, wobei $ (a_ {ij }) $ ist eine Matrixdarstellung von $ A $ auf der Basis von $ V $. Es ist entscheidend, dass diese Summe unabhängig von der Wahl der Basis ist. Wir haben eine Basis verwendet, um den Trace zu berechnen. Wenn Sie jedoch möchten, dass der Trace eine Funktion nur des Operators $ A $ ist, muss er denselben Wert haben, unabhängig davon, welche Basis Sie für $ V verwenden $. In einem linearen Algebra-Kurs lernen Sie, dass die Kurve unabhängig von der Basis ist, auf der sie berechnet wurde. Andererseits die "Anti-Trace" $ \ sum_ {i} a_ {i, n + 1-i} $ (Summe auf der Antidiagonale) oder "Border Trace" (Summe um die Grenze einer Matrixdarstellung von $ A $) sind nicht genau definiert, da die neue Matrixdarstellung beim Ändern der Basis einen anderen Wert für die Anti-Trace- oder Border-Trace-Funktion hat. Deshalb hört man in der linearen Algebra nie jemanden über solche Summen sprechen, da es sich nicht um genau definierte Funktionen des ursprünglichen Operators handelt: Sie hängen von der Wahl der Basis ab. In dem Maße, in dem Sie zustimmen, dass geometrische Konzepte nicht von Ihrer Wahl des Koordinatensystems abhängen sollten, stimmen Sie zu, dass nützliche Konzepte in der linearen Algebra unabhängig von der Wahl der Basis sein sollten.

In der algebraischen Geometrie sind Polynome Nicht genau definierte Funktionen im projektiven Raum, da sich ihre Werte ändern, wenn sich die homogenen Koordinaten ändern. Aber Verhältnisse von homogenen Polynomen gleichen Grades geben für alle homogenen Koordinaten eines Punktes die gleiche Antwort, und deshalb sind die Verhältnisse von homogenen Polynomen gleichen Grades die natürliche Funktionen im projektiven Raum.

In der Grundschule ist die Addition von Brüchen nicht $ (a / b) + (c / d) = (a + c) / (b + d) $, da diese Operation ist nicht genau definiert: Obwohl 1/2 = 5/10 und 3/4 = 6/8, führt diese gefälschte Art, Brüche durch Hinzufügen von Zählern und Nennern zu kombinieren, nicht zu derselben Antwort, wenn Sie die Art und Weise ändern, wie Sie den Bruch schreiben : $ (1 + 3) / (2 + 4) = 4/6 $ und $ (5 + 6) / (10 + 8) = 11/18 \ not = 4/6 $. Wenn Sie eine bevorzugte Darstellung von Brüchen festlegen festlegen möchten, z. B. die Darstellung mit einem relativ hohen Zähler und einem Nenner mit einem positiven Nenner, ist diese "Addition der Zähler und Addition der Nenner" eine genau definierte Operation Die Verwendung wäre jedoch sehr umständlich, da dies von der Art und Weise abhängt, wie Sie die Brüche schreiben. Diese gefälschte Ergänzung hat eine interessante Anwendung, die Sie lernen werden, wenn Sie über Farey-Brüche lesen. es entspricht einfach nicht der Addition, daher sollten wir es nicht als + bezeichnen, und es verallgemeinert sich nicht auf Brüche, bei denen sich Zähler und Nenner in einem Ring befinden, dem eine eindeutige Faktorisierung fehlt (und eine bevorzugte Wahl des Einheitsmultiplikators jeder Nicht-Null) Element).

Wenn Sie nicht der Meinung sind, dass es in der Mathematik wichtig ist, dass Operationen genau definiert sind, werden Sie beim Erlernen von Algebra (Quotientengruppen) oder Differentialgeometrie in Schwierigkeiten geraten (Mannigfaltigkeiten), bei denen Sie regelmäßig Funktionen definieren müssen, indem Sie eine Auswahl treffen und dann überprüfen, ob die Antwort unabhängig von der getroffenen Auswahl ist (eine Auswahl kann einen Coset-Vertreter oder eine Auswahl des Koordinatensystems in der Nähe eines Punkts bedeuten).

Und wenn Sie nicht glauben, dass Probleme mit "Einheiten" in der Mathematik auftreten, irren Sie sich. Sie sind gerade so versteckt, dass Sie sie möglicherweise nicht bemerken. Um Winkel zu messen, verwenden wir lieber Bogenmaß. Wenn Sie andere Winkelmesssysteme verwenden möchten, ändern sich die bekannten Ableitungsformeln für trigonometrische Funktionen: während $ \ sin '(x) = \ cos (x) $, wenn $ x $ ein Winkel im Bogenmaß ist, wenn Sie $ ändern x $ zu Grad, dann $ \ sin '(x) = (\ pi / 180) \ cos (x) $. Wir bevorzugen Bogenmaß, weil sie zu den einfachsten Kalkülformeln führen, ohne dass seltsame Faktoren wie $ \ pi / 180 $ auftauchen. In der Fourier-Analyse bevorzugen einige, die Fourier-Transformation mit $ e ^ {ixy} $ anstelle von $ e ^ {2 \ pi {i} xy} $ und dann mit Faktoren von $ 2 \ pi $ oder $ \ sqrt {2 \ zu definieren pi} $ wird in anderen Formeln aus der Fourier-Analyse wie der Parseval-Formel angezeigt. In der linearen Algebra ziehen wir es vor, als "natürlichen" Isomorphismus von einem endlichdimensionalen Vektorraum $ V $ zu seinem doppelten dualen Raum die Abbildung $ v \ mapsto {\ rm ev} _v $ zu nehmen, wobei $ {\ rm ev} _v (\ varphi) = \ varphi (v) $ für alle linearen Funktionen $ \ varphi $ für $ V $, aber es gibt andere Möglichkeiten, nämlich $ v \ mapsto c \ cdot {\ rm ev} _v $ für jedes Element ungleich Null $ c $ des zugrunde liegenden Skalarfeldes. Kategorietheoretische Argumente zeigen, dass dies im Wesentlichen die einzig möglichen natürlichen Isomorphismen zum Doppel-Dual-Raum sind.

Jetzt werde ich mich den physikalischen Messungen zuwenden. Wenn Sie eine Länge und eine Zeit addieren möchten, müssen Sie erkennen, dass es keinen natürlichen Standard für die Messung einer dieser Größen gibt: Zwei beliebige Systeme zur Messung der Länge unterscheiden sich um einen Skalierungsfaktor, und zwei beliebige Systeme zur Messung der Zeit unterscheiden sich um ein Skalierungsfaktor. Selbst wenn jeder auf unserem Planeten das metrische System verwendet, macht es dieses System nicht physisch tiefgreifend. Irgendwann in der Vergangenheit hat jemand eine Länge ausgewählt und einen Meter angegeben, aber diese menschliche Konvention hat keine physische Bedeutung. (Wenn Sie glauben, dass metrische Einheiten tatsächlich ein wesentlicher Bestandteil des Naturgefüges sind, ist in Ihrer Ausbildung etwas schief gelaufen. Vielleicht könnte der "Radius des Elektrons" oder die Planck-Länge als physikalisch fundamentale Länge angesehen werden, aber Ihre Frage ist auf einer viel elementareren Ebene als diese.) Die Verbindung zwischen verschiedenen Messungen derselben physikalischen Größe ist nicht immer nur ein Skalierungsfaktor (Temperatur ist das beste Beispiel dafür, wobei $ F = (9/5) C + 32 $ ), aber der Einfachheit halber bleiben wir bei Umrechnungen zwischen verschiedenen Messsystemen, die nur Skalierungsfaktoren sind.

Aufgrund der physikalischen "Tatsache", dass sich verschiedene Systeme zur Messung desselben physikalischen Konzepts durch einen Skalierungsfaktor unterscheiden, kann eine physikalische Messung als eine reelle Funktion betrachtet werden, die bis zu einem insgesamt positiven Skalierungsfaktor . Wenn $ f $ und $ g $ zwei Möglichkeiten sind, dieselbe physikalische Größe zu messen, dann ist $ g = cf $ für einige positive $ c $. Wenn wir zum Beispiel die Länge ($ L $) messen und $ f_L $ für die Meterfunktion und $ g_L $ für die Fußfunktion schreiben, dann ist $ c = 3.28 $: $ g_L (x) = 3.28f_L (x ) $ (um von Metern in Fuß umzurechnen, multiplizieren Sie den Meterwert mit 3,28). Wenn wir die Zeit messen ($ T $), mit $ f_T $ für die zweite Funktion und $ g_T $ für die Minutenfunktion, dann ist $ c = .016 $: $ g_T (y) = .016f_T (y) $ (Um von Sekunden in Minuten umzuwandeln, multiplizieren Sie den zweiten Wert mit 0,016). Fragen Sie sich nun: Wenn eine Funktion bis zu einem Gesamtskalierungsfaktor definiert ist und eine andere Funktion bis zu einem Gesamtskalierungsfaktor definiert ist, was kann ich damit tun und das Ergebnis bis zu einem Gesamtskalierungsfaktor definiert halten? Sie können sie multiplizieren oder dividieren, aber Sie können sie nicht hinzufügen.

Wenn beispielsweise $ g_L = 3.28f_L $ und $ g_T = .016f_T $, dann ist $ g_L / g_T = 205f_L / f_T $. Diese letzte Gleichung erinnert daran, was diese Funktionen oben bedeuteten. Wenn Sie von Metern pro Sekunde in Fuß pro Minute umrechnen möchten, multiplizieren Sie mit 205. Und $ g_Lg_T = .05248f_Lf_T $, um von Metern-Sekunden (was auch immer das bedeutet) in umzurechnen Fuß-Minuten, multiplizieren Sie mit 0,05248.

Versuchen wir endlich die Addition: Wenn $ g_L = 3.28f_L $ und $ g_T = .016f_T $, ist $ g_L + g_T = c (f_L + f_T) $ für einige $ c > 0 $? Dies ist der Test, ob das Hinzufügen von Messungen gut definiert ist. Da $ g_L + g_T = 3.28f_L + .016f_T $, möchten Sie $ 3.28f_L + .016f_T = c (f_L + f_T) $, also benötigen Sie $ (3.28-c) f_L = (c-.016) f_T $ und daher ist $ f_L = ((c-.016) / (3.28-c)) f_T $. Mit anderen Worten, Sie müssen in der Lage sein, zwischen Länge und Zeit umzurechnen: Länge und Zeit müssen unterschiedliche Methoden sein, um dasselbe zu messen. Sind sie? Auf einer elementaren Ebene sind sie es nicht, und deshalb können Sie Länge und Zeit physisch nicht hinzufügen.

Um zwei physikalische Messungen auf genau definierte Weise hinzuzufügen, haben wir (anhand der Beispiele für Länge und Zeit) gesehen, dass die beiden von Ihnen gemessenen Größen ineinander konvertierbar sein müssen. In der Relativitätstheorie lernen wir, dass die Lichtgeschwindigkeit eine grundlegende physikalische Geschwindigkeit ist, und wenn wir entscheiden, dass sie wirklich grundlegend ist, können wir sie verwenden, um zwischen Länge und Zeit umzurechnen. In der allgemeinen Relativitätstheorie ist es zweckmäßig, die Lichtgeschwindigkeit als 1 zu deklarieren, wodurch eine eindeutige Umrechnung zwischen Metern und Sekunden oder Fuß und Sekunden oder eine beliebige bevorzugte Wahl der Messlänge und -zeit festgelegt wird, so dass der Wert der Lichtgeschwindigkeit verwendet wird Diese Messsysteme stellen sich als 1 heraus. (Es ist wie unsere Präferenz für Bogenmaß in Grad, weil im Kalkül die Verwendung von Bogenmaß bestimmte Koeffizienten in abgeleiteten Formeln gleich 1 macht.) Wenn Sie einen Standard für die Umwandlung von Länge in Zeit haben, dann kann Länge und Zeit hinzufügen, und dann fügen Sie nur noch Länge und Zeit hinzu. Google den Begriff "Planck-Einheiten", um zu sehen, wie grundlegende physikalische Theorien zu einer Umrechnung zwischen Masse, Länge und Zeit führen.

Ich überlasse es Ihnen, zu entscheiden, was dieser Standpunkt zu sagen hat die physische Möglichkeit, Meter und Füße hinzuzufügen. Hinweis: Achten Sie darauf, ob Sie mit Funktionen desselben oder verschiedener Objekte arbeiten.

Grundsätzlich gibt es in der Physik keine Einheiten. Das Ergebnis, wenn alle Messungen immer eine dimensionslose Zahl sind. Wenn Sie sagen, dass Sie die Länge eines Objekts mit einem Meter gemessen haben, ist das Ergebnis der Messung nicht die Maßgröße eines Meters. Sie haben tatsächlich die Länge des Objekts mit der Länge einer Länge verglichen Standard und Sie haben die dimensionslose Anzahl von $ 1 $ span> als Ergebnis davon erhalten.

Einheiten sind letztendlich nur menschliche Konstrukte, historisch entstanden sie aus einem Mangel von Wissen und Mitteln, um verschiedene Größen in Bezug aufeinander messen zu können. Z.B. Abgesehen von praktischen Fragen war es theoretisch unmöglich, einen Längenstandard mit einem Zeitstandard auf eine Weise zu vergleichen, die aus Sicht der Grundlagenphysik sinnvoll wäre, bevor wir über die spezielle Relativitätstheorie Bescheid wussten. Die Tatsache, dass wir für Zeitintervalle und Längen immer noch unterschiedliche Einheiten verwenden, hat rein historische Gründe. Wenn wir die alten Einheiten beibehalten, erhalten wir externe Umrechnungsfaktoren, in diesem Fall die Lichtgeschwindigkeit $ c $ span>.

Nehmen wir an, wir lehnen den Begriff der Einheiten insgesamt ab und arbeiten immer in natürlichen Einheiten, in denen $ \ hbar = c = G = 1 $ span> im wörtlichen Sinne, wo wir auch jeden Begriff von Dimensionen verwerfen. Formal wäre die Physik immer noch dieselbe gute alte Physik, aber es sieht so aus, als könnten wir keine Dimensionsanalyse mehr durchführen. Da jedoch alles aus der Physik folgen sollte, kann dies nicht richtig sein. Daher muss es möglich sein, die Ergebnisse der Dimensionsanalyse wiederherzustellen, ohne jemals Dimensionen oder Einheiten aufzurufen. Dies ist in der Tat möglich und wie ich unten zeige, erklärt dies, warum es funktioniert.

Betrachten wir den Fall der speziellen Relativitätstheorie. Wir möchten die klassische Grenze ableiten, arbeiten jedoch in $ c = 1 $ span> -Einheiten. Wir dürfen keinen dimensionalen $ c $ span> wiederherstellen, aber wir können natürlich einen dimensionslosen Skalierungsparameter $ c $ span> in bestimmten Gleichungen und studieren Sie eine bestimmte Skalierungsgrenze der Theorie. Ich habe die Details hier erklärt. Es sollte nicht überraschen, dass Sie $ c $ span> wieder an die richtigen Stellen setzen und den $ c \ nach \ infty $ bringen span> -Limit, Sie werden die klassische Mechanik wiederherstellen, auch wenn Sie immer behaupten, dass $ c $ span> nur ein dimensionsloser Neuskalierungsparameter ist.

Jetzt In dieser Skalierungsgrenze können Sie bestimmte physikalische Größen, die Sie miteinander vergleichen können, nicht mehr vergleichen, bevor Sie diese Grenze überschreiten, z Energie und Masse. Wenn Sie dann eine Gleichung zwischen physikalischen Variablen berücksichtigen, die in der Skalierungsgrenze gültig sind, sollten Sie verlangen, dass in keiner solchen Beziehung Faktoren von $ c $ span> vorhanden sind ist diese Forderung, die formal der Dimensionsanalyse entspricht.

Im Allgemeinen, wenn Sie dasselbe Spiel mit $ \ hbar $ span> und $ G $ span> spielen Sie sehen, dass es ganz einfach ist, eine bestimmte Skalierungsgrenze anzunehmen, damit Skalierungsfaktoren nicht in einer Gleichung erscheinen, die physikalische Größen betrifft, die in einer geeigneten Skalierungsgrenze definiert sind. Sie können auch umgekehrt argumentieren, indem Sie die Gültigkeit der Dimensionsanalyse annehmen und dann erkennen, dass Sie immer Planck-Größen mit einer beliebigen Dimension konstruieren können, sodass Sie jede physikalische Größe mit einer beliebigen Funktion mit einer anderen in Beziehung setzen können. Aber der gewünschte enthält natürlich nicht $ \ hbar $ span>, $ c $ span> oder $ G $ span> oder zumindest nicht alle. Die Frage ist dann warum nicht? Die Antwort muss ein physikalisches Argument enthalten, das sich effektiv auf ein Skalierungsargument reduziert.

Das Skalierungsargument ist daher ein grundlegenderes Argument. Es kann auf Situationen angewendet werden, in denen die Standarddimensionsanalyse keine nützlichen Ergebnisse liefert . Z.B. Sie können die Grenzschichttheorie in der Fluiddynamik berücksichtigen, indem Sie die relevanten Gleichungen neu skalieren. Am Ende erhalten Sie Variablen, die die Strömungsgeschwindigkeit als Abstand von der Grenze in der Grenzschicht beschreiben. Im Idealfall haben wir um einen unendlichen Betrag neu skaliert, sodass Sie diese Abstandsvariable nicht mit anderen Positionsvariablen in Beziehung setzen können, die außerhalb der Grenzschicht verwendet werden. Es ist also effektiv eine neue Dimension erschienen, die die Längenvariablen in zwei inkompatible Größen aufteilt.

Die Physik befasst sich mit der Suche nach einem mathematischen Modell zur Beschreibung und Vorhersage der Realität. Einheiten sind eine bequeme und nützliche Möglichkeit für uns, zwischen Größen zu unterscheiden, die verschiedene Facetten eines Systems beschreiben, und das Addieren oder Subtrahieren von Größen von diesen Facetten hilft uns nicht, die Realität zu beschreiben oder vorherzusagen. Es ist undefiniert, genau wie das Hinzufügen von Vektoren und Skalaren. Es hilft uns nicht, eine nützliche Theorie aufzubauen, genauso wie das Hinzufügen von Skalaren und Vektoren Mathematikern nicht hilft, eine nützliche Theorie aufzubauen. Die Regeln sind das Produkt des Vergleichs des Experiments mit dem Modell; Sie sind nicht willkürlich.

Möglicherweise gibt es eine Gleichung, in der Sie das Produkt aus Masse und Periode verwenden können, um die Bewegung eines Kometen zu beschreiben. Ich konnte es nicht ohne weiteres sagen. Unsere Definition von "Geschwindigkeit" kennzeichnet jedoch nur ein bestimmtes Konzept in unserem mathematischen Modell. (Es könnte auch als Änderungsrate der Entfernung beschrieben werden.) Die Wahl der "Geschwindigkeit" ist nur Semantik. Der Name selbst ist willkürlich, abgesehen von der Tatsache, dass die Hörer ihn verstehen, um eine bestimmte Bedeutung zu vermitteln, aber jetzt beschreibe ich, wie Sprache statt Physik funktioniert.

Also, wenn Sie können Wenn Sie eine experimentell überprüfbare Formel finden, bei der die Anzahl der verschiedenen Einheiten hinzugefügt wird, sollten Sie dies in Betracht ziehen und mehr darüber herausfinden, wie es funktioniert. (Ich stelle mir vor, Sie wären auch unter Wissenschaftlern berühmt.) Aber bis dies geschieht, werden wir diese Faustregel weiterhin anwenden.

Sicherlich können Sie zwei beliebige Zahlen addieren oder multiplizieren. Dies sind in der Tat einfache mathematische Operationen. Aber Physik ist keine Mathematik, sondern Physik. Wir fügen Einheiten Werte hinzu, um etwas Physisches darzustellen, und daher haben Einheiten eine Bedeutung.

Während eine Metersekunde eine gewisse Verwendung haben könnte (durch Multiplikation), ist es unmöglich, zwei zwei unterschiedliche Einheiten hinzuzufügen. Kannst du dich wirklich 5 Meter und 10 Sekunden bewegen? Sicher, Sie können 5 Meter in 10 Sekunden (Teilung) bewegen, aber 5 Meter und 10 Sekunden sind eine bedeutungslose Aussage.

Schließlich ist Geschwindigkeit angegeben in Längeneinheiten pro Zeiteinheit (z. B. Meter pro Sekunde oder Meilen pro Stunde). Die Masse wird in Kilogramm und der Zeitraum in Sekunden angegeben. Wenn Sie diese multiplizieren, erhalten Sie Kilogrammsekunden, was nicht mit Metern pro Sekunde vergleichbar ist. Sie können also keine Geschwindigkeit durch Multiplizieren von Masse und Zeit erhalten, unabhängig davon, wie viel Sie versuchen.

Ich werde den vorhandenen Antworten einen mathematischen Begleiter hinzufügen.

Wir interessieren uns oft für eindimensionale reale Vektorräume. Während jede solche Sache nur isomorph zu $ ​​\ mathbb {R} $ ist, ist es praktisch, sie getrennt zu halten.

Wenn Sie einen Vektor $ \ vec {v} $ in einem Vektorraum (z. B. einen Vektorraum mit möglichen vorzeichenbehafteten Abstandsmaßen) und einen anderen Vektor $ \ vec {w} $ in einem anderen Vektorraum (z. B. einen Vektorraum von) haben mögliche signierte Durationsmaße), es macht einfach keinen Sinn, nach $ \ vec {v} + \ vec {w} $ zu fragen.

Wir müssen immer noch in der Lage sein, mit solchen Dingen zu rechnen. Das typische Verfahren besteht darin, eine Einheit auszuwählen (z. B. hat der Vektorraum möglicherweise ein Objekt, das wir "Meter" nennen), und dann können Elemente dieses Vektorraums erhalten werden, indem eine reelle Zahl mit der Einheit multipliziert wird. z.B. $ 3.5 \ \ mathrm {meter} $.

Aber denken Sie daran, dass wir unsere Vektorräume gerade halten. $ 3.5 \ \ mathrm {meter} $ ist keine reelle Zahl; Es ist ein Mitglied des Vektorraums, aus dem $ \ mathrm {meter} $ stammt. Es ist nur sinnvoll, es anderen Größen aus demselben Vektorraum hinzuzufügen.

Aber was ist mit Multiplikation? In der linearen Algebra gibt es den Begriff eines Tensorprodukts , mit dem Sie Vektoren aus zwei Vektorräumen multiplizieren und ein Element eines dritten erzeugen können.

(technisches Detail: Wir verwenden eine spezifische Konstruktion des Tensorprodukts auf eindimensionalen realen Vektorräumen, um streng und symmetrisch zu sein)

z. Wenn wir $ \ mathrm {meter} $ mit $ \ mathrm {second} ^ {- 1} $ multiplizieren, erhalten wir ein Element in einem dritten Vektorraum, das wir als $ \ frac {\ mathrm {meter}} {\ schreiben mathrm {second}} $. Wir können auch Sinn für Spaltung machen, wenn wir wollen. Die verschiedenen beteiligten Produkte sind gemeinsam assoziativ und kommutativ, daher ist die übliche Arithmetik korrekt:

$$ (3 \ \ mathrm {meter}) \ cdot (5 \ \ mathrm {second} ^ {- 1}) = (3 \ cdot 5) \ frac {\ mathrm {meter}} {\ mathrm { Sekunde}} $$

Entschuldigung für mein Englisch!

Vor allem möchte ich sagen, dass ich alles, was zuvor über die Dimensionsanalyse und Homogenität von Gleichungen gesagt wurde, vollständig teile. Aber wie so oft in der Physik können die Dinge subtiler sein.

Sie können ein altes Buch konsultieren, das ziemlich bemerkenswert und oft neu aufgelegt wurde: "Dimensionsanalyse" , P. W. Bridgman.

In diesem Buch finden Sie die folgenden Gleichungen: (Offensichtlich geht es um den freien Fall im Schwerkraftfeld. Wir haben $ v = gt $ span> and $ s = \ frac {1} {2} g {{t} ^ {2}} $ span>):

$ s + v = gt + \ frac {1} {2} g {{t} ^ {2}} $ span>

"Dies ist offensichtlich eine vollständige Gleichung, da sie wahr ist und wahr bleibt, unabhängig davon, wie sich die Grundeinheiten von Länge und Zeit in der Größe ändern" (S. 42 meiner Ausgabe von 1922)

oder schlimmer:

$ v {{\ left (\ sin \ left (\ frac {s + gt} {v} \ right) \ right)} ^ {\ sinh \ left (s - \ frac {1} {2} g {{t} ^ {2}} \ right)}} = gt \ cosh \ left (v-gt \ right) $ span>

"Dies ist wiederum eine vollständige Gleichung; sie ist nicht dimensional homogen und verstößt auch gegen unsere vorgefassten Vorstellungen darüber, was in Bezug auf transzendentale Funktionen möglich ist" (S. 42 meiner Ausgabe von 1922)

"Die Möglichkeit von Gleichungen wie den gerade betrachteten ist an sich eine Widerlegung der intuitiven Methode des Beweises des manchmal gegebenen Prinzips der dimensionalen Homogenität" (S. 42 meiner Ausgabe von 1922)

Und wir erinnern uns an Feynmans Witz über eine einheitliche Theorie der Physik, die in der Idee die Form hatte (ich erinnere mich nicht, wo ich sie gelesen habe):

$ {{\ left (\ overrightarrow {g} - \ frac {GM} {{{r} ^ {2}}} \ overrightarrow {{{e} _ { r}}} \ right)} ^ {2}} + {{\ left (\ overrightarrow {\ nabla} \ wedge \ overrightarrow {E} + \ frac {\ partieller \ overrightarrow {B}} {\ partieller t} \ rechts)} ^ {2}} + ..... = 0 $ span>

Meiner Meinung nach können Sie sehr gut 10 Meter und 5 Sekunden hinzufügen. Die Antwort lautet dann nur "10m + 5s". Wenn das die Antwort auf Ihre Berechnung ist, wie lang ein Metallstab sein sollte, dann ist das in Ordnung. Wenn Sie jetzt zu einer Person gehen, die diese Rute für Sie herstellen soll, wird sie fragen: "Wie lange sollte es dauern?". Wenn Sie ihm "15" sagen, sagt er "15 was?". Ganz verständlich - ich glaube, ich muss hier nicht die Notwendigkeit von Einheiten erklären. Also sagst du ihm "10 Meter + 5 Sekunden", er wird dir sagen, das kann er nicht. Der Nutzen dieses Ausdrucks ist also begrenzt. Sie könnten also denken, Sie könnten das in etwas umwandeln, mit dem er arbeiten kann, z. "15m". Aber hier sollten Sie begründen, warum dies der richtige Wert ist. Bisher gab niemand eine zufriedenstellende Begründung.

Das mathematische Analogon dazu ist wahrscheinlich "Was ist 10 + 5i?". Vielleicht ist es 15? Aber nein, es ist nur "10 + 5i". Ich würde argumentieren, dass $ \ Bbb C $ span> eine Felderweiterung von $ \ Bbb R $ ist span> by $ i $ span>, also sind die üblichen alltäglichen Größen, auf die Physiker tatsächlich auf Elemente eines Feldes stoßen $ \ Bbb R $ erweitert um Trancendentale (Ihre Einheiten) m, s usw. Mit diesem können Sie beliebige wilde Ausdrücke als

$$ \ frac {10 \ mathrm m + 5 \ mathrm s} {2 \ mathrm {kg} - \ mathrm m}. $$ span>

Das einzige Problem, das auftritt, ist, wenn Sie versuchen, dies auf das reale Wort anzuwenden. Dann müssen Sie sich überlegen, wie Sie dies wieder in "wie viele Ticks meiner Uhr" oder "wie viele Zeilen auf meinem Messbalken" umwandeln können. Wenn Sie einen konsequenten Weg finden, sollten Sie uns dies mitteilen.