Sie kennen das System, nach dem Sie fragen, nicht vollständig.

Sie kennen nur das Glas. Und wenn das gesamte System das Glas ist, dann war es immer leer, weil es nichts gibt, mit dem man interagieren kann.

Aber wenn Sie annehmen, dass sich Dinge im Glas befinden, werden diese jetzt dem System hinzugefügt. Diese Wasserpfütze auf dem Boden, war sie im Glas? Wenn Sie jetzt nur den Zustand des Glases kennen, ist Ihr Wissen unvollständig. Jetzt müssen wir den Zustand der Wasserpfütze berücksichtigen. Auch der Boden sitzt und die Luft im Raum.

Hier ist ein einfacheres Beispiel. Stellen Sie sich eine unbewegliche Kiste im Weltraum vor. In der Mitte schwimmt ein Glas. Es gibt auch Bälle, die in der Schachtel herumspringen. Das Glas steht relativ zur Box. War es schon immer so? Wir können es nicht einfach daran erkennen, den Zustand des Glases zu kennen. Um darauf zu antworten, müssten wir den Zustand des Glases und alles kennen, mit dem es interagiert hat: die springenden Bälle und die Wände. Sobald wir den vollständigen Zustand von allem im System kennen, die Box, die Kugeln, das Glas und wie sie kollidieren, können wir die Geschichte des Glases kennen.

Wie Sie bemerkt haben, benötigen Sie Anfangsbedingungen, um die das System beschreibende Differentialgleichung zu lösen.Die Bedingung "jar is empty" hat keine eindeutige Lösung, ohne die Bedingungen anzugeben.

Die Frage ist: Wie genau sind Ihre Differentialgleichungen?Genaue Differentialgleichungen sollten auch den Zustand des Wassers nach dem Verlassen des Behälters beschreiben, und solche Gleichungen können reversibel sein.Neben dem leeren Behälter hätten Sie also fallendes Wasser.

Das ist nicht anders als zu sagen "Ich habe einen Stein auf dem Boden gefunden. Vielleicht ist er gefallen, vielleicht ist er zum Stillstand gekommen".Bedeutet das einen Mangel an Einzigartigkeit in den Bewegungsgleichungen?

Die Antwort lautet nein.Mathematisch gesehen erhalten Sie Eindeutigkeit in (einigen) Differentialgleichungen, wenn bestimmte Anfangsbedingungen festgelegt sind.Im Fall der Bewegungsgleichungen wäre dies die Anfangsposition und die Anfangsgeschwindigkeit.

Es ist eine leichte Anpassung erforderlich.Sie brauchen keine Anfangsbedingungen, Sie brauchen Randbedingungen.Für konservative Systeme reicht es aus, einen Schnappschuss in der Zeit zu haben, aber Sie haben ein System, das absichtlich an Masse verliert.Wenn Sie diese Masse das System verlassen lassen, nimmt sie die benötigten Informationen mit.

Wenn Sie die Randbedingungen hätten, einschließlich aller Informationen über das Wasser, das es im Laufe der Zeit verlässt, könnten Sie die gewünschte Geschichte zusammenstellen.

Selbst in diesem Fall lohnt es sich natürlich, lustige Eckfälle wie Norton's Dome in Betracht zu ziehen.Die Diskussion über die Gültigkeit dieses Modells ist bis heute nuanciert.

Wenn Sie ein zufälliges (aber vollständig repräsentatives Beispiel für ein Beispiel) eines relevanten Theorems auswählen, verspricht Ihnen ein Teil des Picard-Lindelhöf -Satzes, die Lösung von der Anfangsbedingung auf alle zu erweiterndie "gegenwärtige Vergangenheit und Zukunft"?Natürlich können Sie ein offenes Intervall von Zeiten verlängern, das die Zeit des Anfangszustands enthält, aber dieses Intervall kann überraschend kurz sein und Sie haben möglicherweise keine Möglichkeit, das Intervall weiter zu verlängern.(Dies ist ziemlich wahrscheinlich bei (verschiedenen Ordnungen) Diskontinuitäten, die durch zusätzliche Einschränkungen verursacht werden, z. B. die Obergrenze für die Kapazität der Dose oder die Nicht-Negativitätsbeschränkung für die Wassermenge in der Dose.)

Die Differentialgleichung hängt, wenn sie als physikalisches Modell verwendet wird, von bestimmten Annahmen ab. Zum Beispiel, wenn wir die Differentialgleichung

$$ h '' (t) = -g $$

Um die Höhe eines geworfenen Balls zu beschreiben, können wir eine Anfangshöhe $ h_0 $ festlegen, aber Bei der Projektion in die Vergangenheit würde der Ball von unendlich weit unten kommen ($ h = - \ infty $ at $ t = - \ infty $), was im wirklichen Leben keinen Sinn macht. Offensichtlich schoss der Ball nicht unter der Erde hervor und schritt durch die Materie, sondern wurde von Ihrer Hand projiziert! Das Problem ist, dass die Gleichung eine Annahme enthält: Die einzige Kraft, die wirkt, ist die Schwerkraft. Wenn Sie rückwärts projizieren, projizieren Sie diese Annahme rückwärts. Aber in einer wahrscheinlichen Realität, in der Vergangenheit, als Sie sich darauf vorbereiteten, diesen Ball zu werfen, wirkten andere Kräfte - nämlich von Ihren Händen, Taschen usw. - auf ihn ein, und sie sind nicht in der Gleichung enthalten. P. >

Die Differentialgleichung gibt sowohl eine einzigartige Zukunft als auch eine einzigartige Vergangenheit an, aber diese Geschichte entspricht in beiden Richtungen nur der Realität , solange die Annahmen der Gleichung zutreffen . und das gilt auch für die Zukunft, z Wenn ein Vogel kommt und ihn im Flug schlägt, gilt diese Gleichung auch nicht.

In Ihrem Fall können Sie keine Differentialgleichung aufschreiben, die zu allen vergangenen Zeiten gültig wäre, ohne zu wissen, welche Annahmen erforderlich sind, um das Verhalten der Vergangenheit korrekt zu modellieren, dh ohne eine Vorstellung davon zu haben, welche Einflüsse die Vergangenheit hatten.Wenn die Bedingungen immer so waren, dass nichts mit dem Glas interagiert hat, ergibt die Differentialgleichung dieses Ergebnis.Wenn diese Annahme falsch ist, funktioniert sie natürlich nicht.Die Nicht-Eindeutigkeit ergibt sich aus einer effektiven Variation der Gleichung selbst und nicht aus einer einzelnen Gleichung, die keine eindeutige Vorgeschichte vorschreibt.Man könnte sagen, dass in der Vergangenheit die Differentialgleichung anders war.Wenn Sie das dürfen, können natürlich mehrere vergangene Geschichten denselben Ausgangspunkt haben - der Satz, den sie nicht haben, hängt davon ab, dass Sie dieselbe Gleichung verwenden, um rückwärts zu gehen!

Wenn Sie versuchen, Differentialgleichungen in der Zeit zurück zu lösen, stoßen Sie normalerweise auf das Problem instabiler Lösungen.Wenn Sie einen Stein fallen lassen, egal wo Sie anfangen, konvergiert die Lösung zu „bewegungslos auf dem Boden liegen“.Wenn Sie rückwärts rechnen, divergiert die Lösung.Es gibt viele verschiedene Geschwindigkeiten, die der Stein vor zehn Sekunden hätte haben können, wenn er jetzt noch liegt.

"Das Glas ist derzeit leer" sagt Ihnen nur $ f (0) $.Sie benötigen außerdem $ f '(0) $, $ f' '(0) $ usw.

Eine ODE für eine physische Situation ist nur ein mathematisches Modell der Realität. Solche Modelle haben immer Einschränkungen und gelten fast immer nur im Sinne von probabilistic.

Nehmen wir ein sehr einfaches Beispiel und nehmen an, dass der Behälter mit Atomen eines radioaktiven Materials gefüllt ist, das mit einer Halbwertszeit von $ T $ zerfällt. Die ODE, die die erwartete Anzahl von Atomen im Gefäß beschreibt, ist $ N '(t) = - \ frac {N (t)} {T} $ mit der Lösung $ N (t) = N (0) e ^ {- t / T} $, das durch Angabe von $ N (0) $ eindeutig bestimmt wird. Wenn wir lange warten, dann schließlich $ N (t) \ ll 1 $, für die wir keine radioaktiven Atome im Glas erwarten. Selbst wenn wir mit $ N (0) = 1000 $ oder $ N (0) = 2000 $ Atomen beginnen, erhalten wir in beiden Fällen ein leeres Glas für große $ t $.

Dies widerspricht nicht der Eindeutigkeit der Lösung für die jeweilige ODE, da die ODE die expected number (eine probabilistische Größe) und nicht die tatsächliche Anzahl der Atome beschreibt. Die Lösung für die ODEs hat zu jeder Zeit einen Wert ungleich Null $ t $, selbst wenn das Glas leer ist (aber wir können mit unserer einzigen Beobachtung des Systems nicht auf diesen Wert zugreifen).

Um einige Antworten hier hilfreich zusammenzufassen und meine eigenen Gedanken zu äußern (obwohl es momentan viele Antworten gibt): Grundsätzlich ist Ihr System nicht nur das Glas. Schauen wir uns einige Schritte an, was passiert.

• Sie haben Ihr Glas Wasser.

Jetzt gehst du und jemand anderes kommt herein und sieht eine Wasserpfütze auf dem Boden. Wenn diese Person in der Lage war, alles zu berücksichtigen, was passiert ist, konnte sie erkennen, dass das Wasser im Glas begann und nicht von einem anderen Ort kam (z. B. ein Leck im Dach). Wenn diese Person die Flugbahnen aller Wassermoleküle, Luftmoleküle, Bodenmoleküle, Gefäßmoleküle usw. sehen und wissen könnte, wie sich diese entwickeln, dann könnte sie alles rechtzeitig "wiedergeben" und sehen, dass die Wasser begann tatsächlich im Glas.

Das ist natürlich unmöglich. Wir haben nicht die Fähigkeiten, dies zu tun. Wir müssen mit begrenztem Wissen und begrenzten Gleichungen arbeiten. Wenn es sich also nur um eine einfache Ratengleichung handelt, die beschreibt, wie schnell Wasser das Gefäß verlässt und sonst nichts, dann gibt es tatsächlich mehrere Szenarien, die zu einem leeren Gefäß führen (zum Beispiel hätten wir mit unterschiedlichen Wassermengen beginnen können). .

Dies ist kein physisches Problem.Dies ist ein Problem in unserer Kenntnis des Systems und der Gleichungen, die dieses System steuern.Wie oben erwähnt, würden wir bei perfekter Kenntnis des Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt genau wissen, wie das Wasser das Gefäß verlassen hat, und es würde nicht mehrere "Lösungen" geben.Bei der Auswahl eines Modells für ein System müssen wir dies berücksichtigen. Sind die Vereinfachungen, die wir vorgenommen haben, für die Fragen, die wir an das Modell stellen, gerechtfertigt? Wenn wir nur wissen wollen, wie Wasser aus einem Glas austritt, ist ein einfaches Modell großartig.Wenn wir jedoch wissen möchten, woher Wasser kommt, wenn wir eine Pfütze unter einem Glas mit einem Loch darin sehen, sollten wir uns ein anderes Modell vorstellen.

Jeder sagt all diese Dinge, aber das Problem hier ist wirklich viel prägnanter und ich denke, es hat viel mehr mit der Wissenschaft selbst zu tun.Der Zweck der Wissenschaft besteht darin, Modelle zu konstruieren, die versuchen, zukünftiges Verhalten basierend auf zuvor beobachtetem Verhalten vorherzusagen.Während ja die Differentialgleichung in der Lage sein könnte, vergangene Bewegungen vorherzusagen, besteht das Problem hier darin, dass das Universum oder sein Modell notwendigerweise reversibel sind.Niemand hat afaik bewiesen oder behauptet, dass ein bestimmter Zustand des Universums einen einzigartigen früheren Zustand hat.In der Tat würde ich behaupten, dass es keinen solchen Staat gibt.Obwohl Ihr Bucket eine Analogie ist, würde ich sagen, dass er zeigt, dass es ein einzigartiges zukünftiges Verhalten und NICHT ein einzigartiges Verhalten in der Vergangenheit gibt.Natürlich gibt es auch das Problem, dass Sie nicht alles perfekt modellieren.Es würde Hinweise darauf geben, dass die Pfütze aus dem Eimer kam oder was auch immer, wie Wellen oder der Eimer, der nass ist oder was auch immer auf solche Dinge hinweisen würde.

Es scheint also absurd zu sein, zu behaupten, die Lösung der Differentialgleichung sei einzigartig.Wo irre ich mich?

Sie scheinen zu glauben, dass die Tatsache, dass eine Gleichung eine eindeutige Lösung hat, impliziert, dass diese Gleichung die einzige mit dieser Lösung ist.

Ein noch einfacheres Beispiel:

Die Lösung von $ x = 1 + 2 $ ist eindeutig - es gibt nur einen Wert von $ x $, der die Gleichung erfüllt, und dieser Wert ist $ 3 $.

Die Lösung von $ x = 4-1 $ ist ebenfalls eindeutig, und es gibt auch eine eindeutige Lösung, bei der der Wert von $ x $ 3 $ beträgt.

Wenn Sie nur die Aussage treffen, dass der Wert von $ x $ $ 3 $ ist, wissen Sie nicht, für welche Gleichung dies eine Lösung war.

Die Tatsache, dass eine Gleichung eine eindeutige Lösung hat, bedeutet nicht, dass diese bestimmte Gleichung die einzige ist, die diese Lösung ergibt.Es wird unendlich viele solche Gleichungen geben, für die derselbe Zustand ihre einzigartige Lösung ist.

Stellen Sie sich nun vor, Sie haben ein Glas und ein Wassertropfen bewegt sich vertikal hinter dem Loch.Können Sie dieses Problem lösen, vorausgesetzt, Sie haben die Koordinaten und die Geschwindigkeit des Tropfens?Ja, du kannst.Der einzige Unterschied besteht darin, dass der Anfangszustand des Glases nicht ausreicht, um das System (Glas, Wasser) zu lösen. Sie benötigen Informationen zu Wasser.