Ein Tensor zweiter Ordnung kann durch eine Matrix dargestellt werden, ebenso wie ein Tensor erster Ordnung durch ein Array dargestellt werden kann. Der Tensor hat jedoch mehr zu bieten als nur die Anordnung der Komponenten. Wir müssen auch angeben, wie sich das Array bei einem Basiswechsel transformiert. Der Tensor ist also ein n-dimensionales Array, das ein bestimmtes Transformationsgesetz erfüllt.

Ja, ein Tensor dritter Ordnung kann also als dreidimensionales Array von Zahlen dargestellt werden - in Verbindung mit einem zugehörigen Transformationsgesetz .

Matrizen werden den Schülern häufig zuerst vorgestellt, um lineare Transformationen darzustellen, die Vektoren aus $ \ mathbb {R} ^ n $ nehmen und sie Vektoren in $ \ mathbb {R} ^ m $ zuordnen. Eine gegebene lineare Transformation kann durch unendlich viele verschiedene Matrizen dargestellt werden, abhängig von den Basisvektoren, die für $ \ mathbb {R} ^ n $ und $ \ mathbb {R} ^ m $ ausgewählt wurden, und ein genau definiertes Transformationsgesetz ermöglicht das Umschreiben die lineare Operation für jede Auswahl von Basisvektoren.

Tensoren zweiten Ranges sind ziemlich ähnlich, aber es gibt einen wichtigen Unterschied, der sich für Anwendungen ergibt, bei denen nichteuklidische (nicht flache) Abstandsmetriken berücksichtigt werden: wie die allgemeine Relativitätstheorie. Tensoren des 2. Ranges können nicht nur $ \ mathbb {R} ^ n $ auf $ \ mathbb {R} ^ m $ abbilden, sondern auch zwischen den dualen Räumen von $ \ mathbb {R} ^ n $ oder $ \ mathbb {R} ^ m $. Das Transformationsgesetz für Tensoren ähnelt dem zuerst für lineare Operatoren erlernten, ermöglicht jedoch die zusätzliche Flexibilität, dem Tensor das Umschalten zwischen dem Einwirken auf zwei Räume oder nicht zu ermöglichen.

Beachten Sie, dass für euklidische Abstandsmetriken der duale Raum und der ursprüngliche Vektorraum gleich sind, sodass diese Unterscheidung in diesem Fall keine Rolle spielt.

Darüber hinaus können Tensoren 2. Ranges verwendet werden fungieren nicht nur als Karten von einem Vektorraum zum anderen. Die Operation der Tensorkontraktion (eine Verallgemeinerung des Punktprodukts für Vektoren) ermöglicht es Tensoren 2. Ranges, auf andere Tensoren zweiten Ranges einzuwirken, um einen Skalar zu erzeugen. Dieser Kontraktionsprozess ist für höherdimensionale Tensoren verallgemeinerbar und ermöglicht Kontraktionen zwischen Tensoren unterschiedlicher Ränge, um Produkte unterschiedlicher Ränge zu erzeugen.

Um eine andere hier veröffentlichte Antwort zu wiederholen, kann tatsächlich jederzeit ein Tensor 2. Rang dargestellt werden durch eine Matrix, die einfach Zeilen und Spalten von Zahlen auf einer Seite bedeutet. Ich versuche, zwischen Matrizen zu unterscheiden, die zuerst eingeführt werden, um lineare Operatoren aus Vektorräumen darzustellen, und Matrizen, die die etwas flexibleren Objekte darstellen, die ich beschrieben habe

Eine Matrix ist ein Sonderfall eines Tensors zweiten Ranges mit 1 Index nach oben und 1 Index nach unten. Es nimmt Vektoren zu Vektoren (durch Kontraktion des oberen Index des Vektors mit dem unteren Index des Tensors), Covektoren zu Covektoren (durch Kontraktion des unteren Index des Covektors mit dem oberen Index des Tensors) und im Allgemeinen kann einen m oberen / n-unteren Tensor entweder zu m-oberen / n-unteren durch Einwirken auf einen der oberen Indizes, zu m-oberen / n-unteren durch Einwirken auf einen der unteren Indizes oder zu m-1 bringen -upper / n-1-lower durch Kontraktion mit einem oberen und einem unteren Index.

Die Matrixnotation hat keinen Vorteil, wenn Sie Tensoren kennen. Dies ist ein Sonderfall, bei dem der Betrieb des Tensorprodukts plus einer Kontraktion erfolgt erzeugt ein Objekt des gleichen Typs. Die Tensornotation verallgemeinert die Berechnung von Vektoren und linearer Algebra richtig, um die richtigen mathematischen Objekte herzustellen.

Genau genommen sind Matrizen und Tensoren mit Rang 2 nicht ganz dasselbe, aber es gibt eine enge Entsprechung, die für die meisten praktischen Zwecke funktioniert, denen Physiker begegnen.

Eine Matrix ist ein zweidimensionales Array von Zahlen (oder Werten aus einem Feld oder Ring). Ein 2-Rang-Tensor ist eine lineare Abbildung von zwei Vektorräumen über ein Feld wie die reellen Zahlen zu diesem Feld. Wenn die Vektorräume endlich dimensioniert sind, können Sie für jede eine Basis auswählen und eine Matrix von Komponenten bilden. Diese Entsprechung zwischen Matrizen und Rang-2-Tensoren ist eins zu eins, sodass Sie sie als dasselbe betrachten können, aber genau genommen sind sie nur äquivalent.

Sie können Fälle von unendlich dimensionalen Vektorräumen erfinden wo keine aussagekräftige Darstellung in Bezug auf Matrizen für die entsprechenden Tensoren möglich ist, selbst wenn das Feld die reellen Zahlen sind und die Matrizen unendlich viele Komponenten haben können. Einige dieser Beispiele sind für die Physik relevant, z. wenn die Vektorräume Funktionale sind, deren Dimension (lose) unzählig unendlich ist. Aus diesem Grund ist es eine gute Idee, die Unterscheidung zwischen Tensoren und Matrizen von Arrays zu berücksichtigen, selbst wenn Sie nur ein Physiker sind.

Dies ist ein Haustier von mir.Zu Beginn meiner Karriere war ich ein Geometer.Ein Großteil der vorherigen Diskussion ist richtig.Ein Tensor verschiedener Ränge sind lineare Transformationen.Ein Tensor ist jedoch eine Invariante unter ausgewählten Koordinatensystemen.

Die einfachste Art, sich einen Vektor vorzustellen, ist eine Größe und Richtung, und nur kann nach Auswahl eines Koordinatensystems als Array ausgedrückt werden.Ebenso kann ein Tensor mit Rang 2 nur als Matrix ausgedrückt werden, wenn ein Koordinatensystem ausgewählt wird.

Deshalb wird es in der Physik wie der Spannungsenergietensor oder der Brechungsindextensor anistropischer Kristalle verwendet.Es ist diese Koordinateninvarianz, die es nützlich macht, physikalische Eigenschaften zu beschreiben.

Nein.Eine Matrix kann eine beliebige Anzahl von Dingen, eine Liste von Zahlen, Symbolen oder einen Namen eines Films bedeuten.Aber es kann niemals ein Tensor sein.Matrizen können nur als bestimmte Darstellungen von Tensoren verwendet werden, aber als solche verschleiern sie alle geometrischen Eigenschaften von Tensoren, die einfach mehrlineare Funktionen auf Vektoren sind.

$$ \ def \ cR # 1 {\ color {red} {# 1}} \ def \ cG # 1 {\ color {green} {# 1}} $$ span>

Sie scheinen sich so ähnlich zu sein, aber ...

Es gibt oft Verwirrung hinsichtlich der Indizes, wenn wir einen Tensor vom Rang 2 transformieren, $ T_ {ij} $ span>. Da Matrizen Rang-2-Tensoren darstellen können, ist es verlockend, einfach mit der Multiplikation zu beginnen. Die Indexreihenfolge ist jedoch entscheidend.

Nun, reguläre Matrixmultiplikation, $ C = AB $ span> summiert sich über den zweiten Index von A und den ersten Index von B: $ C_ {ab} = A_ {a \ cR {c}} B _ {\ cR {c} b} $ span>, wobei $ \ cR {c} $ span> ist der Summationsindex ("Dummy-Index").

Wenn wir den zweiten Index von B verwenden, $ D_ {ab} = A_ {a \ cR {c}} B_ {b \ cR {c}} $ span>, dann bekommen wir $ D = AB ^ T $ span>.

Wir lesen in einem Lehrbuch, dass "T wie ein Tensor unter Rotation R transformiert" dies bedeutet $ T_ {ab} \ rightarrow T '_ {ab} = R_ {a \ cR {c}} R_ {b \ cG {d}} T _ {\ cR {c} \ cG {d}} $ span>. Beachten Sie entscheidend , dass ein R den ersten Index und das andere R den zweiten Index bearbeitet.

Daher bedeutet dies nicht $ T \ rightarrow T '= RRT $ span> in Matrixnotation. Falsch!

Die korrekte Matrixnotation lautet $ T \ rightarrow T '= RTR ^ T $ span>.

Es kann schwierig sein, die Korrespondenz zu sehen und sich in Indizes zu verlieren. Verwenden Sie den Vermittler $ D_ {bc} = R_ {b \ cR {d}} T_ {c \ cR {d}} $ span> (analog zu oben ist dies $ D = RT ^ T $ span>) damit $ R_ {a \ cR {c}} R_ {b \ cG {d}} T _ {\ cR {c} \ cG {d}} $ span> wird $ R_ {a \ cR {c}} D_ {b \ cR {c}} $ span>. Dies summiert sich auch auf Ds zweitem Index, sodass er $ RD ^ ​​T $ span> entspricht. Ersetzen Sie den Wert von $ D: RD ^ ​​T = R (RT ^ T) ^ T = R (T ^ T) ^ T (R) ^ T = RTR ^ T. $ span>

1. Alle Skalare sind keine Tensoren, obwohl alle Tensoren des Ranges 0 Skalare sind (siehe unten).
2. Alle Vektoren sind keine Tensoren, obwohl alle Tensoren von Rang 1 Vektoren sind (siehe unten).
3. Alle Matrizen sind keine Tensoren, obwohl alle Tensoren von Rang 2 Matrizen sind.
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Beispiel für 3: Matrix M (m11 = x, m12 = -y, m21 = x ^ 2, m22 = -y ^ 2). Diese Matrix hat keinen Tensorrang 2. Testmatrix M zur Rotationsmatrix.