Für ein relativistisches freies Teilchen würde man denken, dass der Lagrange wie $$ \ tag {1} L ~ = ~ T ~ = ~ E-E_0 ~ = ~ (\ gamma -1) m_0c ^ 2 wäre. \ qquad (\ leftarrow \ text {Es stellt sich als falsch heraus!}) $$ Dies ist nicht der Fall! Stattdessen ist es $$ \ tag {2} L ~ = ~ - \ gamma ^ {- 1} m_0c ^ 2. $$ Diese beiden Funktionen sehen aus wie

und sind nicht gleich. Diese Wahl (2) des kinetischen Terms ergibt einen kanonischen Impuls

$$ p ~: = ~ \ frac {\ partielles L} {\ partielles v} ~ = ~ \ gamma m_0v, $$

wie es sein sollte.

Nur ein paar Bemerkungen. Der zweite ist meiner Ansicht nach der interessanteste.

(1) Der Lagrange eines geladenen Teilchens in einem zugewiesenen elektromagnetischen Feld hat immer noch einen Lagrange $ {\ cal L} = TU $, aber hier $ U. $ ist keine positionsabhängige Standardfunktion, da sie bekanntlich im Allgemeinen auch von $ \ dot {q} $ und $ t $ abhängt (siehe beispielsweise Jacksons Lehrbuch).

Der Unterschied zwischen der Struktur von $ T $ und $ U $ besteht nun darin, dass die Abhängigkeit von $ U $ von $ \ dot {q} $ von erster Ordnung ist und nicht von der zweiten wie in $ T $. Andernfalls könnte der Determinismus („Normalität“ der Euler-Lagrange-Gleichungen) verletzt werden. Man kann sich U $ jedoch nicht als potentielle Energie vorstellen. Die gleiche Struktur von $ U = U (t, q, \ dot {q}) $ entsteht, wenn man in $ {\ cal L} $ Trägheitskräfte einbezieht, wenn in einem generischen nicht trägen Referenzrahmen gearbeitet wird.

(2) Betrachten Sie ein klassisches Teilchen auf der realen Linie, das in eine Flüssigkeit eingetaucht ist und eine Reibungskraft $ - \ gamma v $ mit der Konstante $ \ gamma>0 $ erzeugt. Wir können auch annehmen, dass es eine Positionskraft mit potentieller Energie $ U = U (x) $ gibt. $ M>0 $ ist die Masse des Teilchens und wir verwenden seine Koordinate $ x $ als Lagrange-Koordinate. Dieses System ist unter Zeitumkehr nicht invariant, es gibt jedoch eine Lagrange für dieses System:

$$ {\ cal L} (t, x, \ dot {x}) = e ^ {\ gamma t / m} \ left (\ frac {1} {2} m \ dot {x} ^ 2 -U (x) \ right) \ :. $$

Tatsächlich wird sofort der richtige Newtonsche Wert erzeugt Gleichung:

$$ m \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} = - \ frac {dU} {dx} - \ gamma \ frac {dx} {dt} \ :. $$

In einer seiner Vorlesungen über klassische Mechanik (ich glaube das neueste Set) beantwortete Leonard Susskind eine ähnliche Frage mit den Worten (und ich kann nicht direkt zitieren, weil ich das Video nicht vor mir habe), dass Lagrange einfach Funktionen sind das führt zu den richtigen Bewegungsgleichungen. Ich werde hinzufügen, dass diese Bewegungsgleichungen gelöst werden können und das daraus resultierende Verhalten im Vergleich zur Natur als Test für die Richtigkeit verglichen werden kann. Susskind fuhr heute fort, dass es keine Regel gibt, dass der Lagrange eines Systems T - U sein muss und dass es "Kreuzbegriffe" geben kann, die bestimmte Wechselwirkungen beschreiben. Er ging weiter, um etwas zu sagen, das mir wirklich am Herzen lag, und wenn wir Kalkül lernen, fragen wir nie: "Woher bekommen wir die Funktionen, die wir analysieren lernen?" Wir erfinden sie im Grunde genommen oder erraten sie oder leiten sie aus beobachteten Verhaltensweisen ab (jedenfalls in der Physik). Diese Aussage schien mir ziemlich tiefgreifend.

Definition der Lagrange-Funktion

Gemäß dem Landau-Lifchitz-Kurs enthält die Definition des Prinzips der geringsten Wirkung zwei wesentliche Punkte.

• Zuerst wird darauf hingewiesen uns, dass jedes mechanische System vollständig durch eine Funktion charakterisiert ist, die von verallgemeinerten Koordinaten, von der ersten Ableitung der verallgemeinerten Koordinaten und von der Zeit abhängt. Eine solche Funktion wird als Lagrange bezeichnet.

• Der zweite Punkt befasst sich mit dem Minimierungsproblem selbst. Die Bewegung des Systems erfüllt die folgenden Anforderungen. Betrachten Sie zwei unterschiedliche Zeitpunkte und die zugehörigen verallgemeinerten Koordinaten, die die Position des Systems zu diesen beiden Zeitpunkten beschreiben. Zwischen diesen beiden Punkten wird die Bewegung so ausgeführt, dass das Integral der Lagrange-Funktion zwischen diesen beiden Zeitpunkten minimiert wird.

Von dort können Sie die Lagrange-Gleichung erhalten. Über $ L = T-U $ wird nichts gesagt.

Ausdruck des Lagrange für ein freies Teilchen

Unter Berücksichtigung eines freien Materialpunkts beschreiben wir die Bewegung in einer bestimmten Art von Rahmen. Ein Rahmen, in dem der Raum als homogen, isotrop und zeitlich einheitlich angesehen werden kann, scheint die klügste Wahl zu sein. Angenommen, ein solcher Rahmen existiert (er wird als galiläischer Referenzrahmen bezeichnet), wie würde der Lagrange aussehen?

Da der Raum homogen ist, kann der Lagrange keinen Begriff enthalten, der die verallgemeinerten Koordinaten betrifft. Mit anderen Worten, die Bewegungsgesetze können nicht davon abhängen, wo sich das System tatsächlich befindet. Da die Zeit auch homogen ist, erhalten wir die gleiche Schlussfolgerung, dass die Zeit nicht explizit im Lagrange erscheinen kann.

Der Raum ist auch isotrop, was bedeutet, dass die Bewegungsgesetze nicht von der Bewegungsrichtung im Raum abhängen können. Dann hängt der Lagrange nur von der Norm der Geschwindigkeit und damit nicht von der Richtung des Geschwindigkeitsvektors ab. Dann hängt die Lagrange-Funktion nur vom absoluten Wert der Geschwindigkeit oder vom Quadrat des Geschwindigkeitsvektors ab. $ L = a v ^ 2 $.

Wenn Sie diese Form in die Lagrange-Gleichung einfügen, erhalten Sie, dass $ v ^ 2 $ eine zeitunabhängige Konstante ist. Dann erhalten Sie Newtons erstes Gesetz. Wenn Sie diese Argumentation mit der Untersuchung von zwei galiläischen Rahmen verfolgen, die sich von einem zum anderen bewegen, endet dies mit L proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit.

Allgemeiner Ausdruck des Lagrange

Betrachten Sie ein isoliertes System von mehreren Partikeln. Sie können die Wechselwirkungen zwischen allen Partikeln mit einer Funktion beschreiben, die nur von der Position jedes Partikels abhängt. Sie können diese Funktion $ -U $ aufrufen.

Es ist wichtig zu sehen, warum diese Funktion nicht von der Zeit abhängen kann. In der klassischen Mechanik betrachten wir, dass sich die Wechselwirkung augenblicklich von einem Teilchen zum anderen ausbreitet. Dann kann die Zeit in dieser -U-Funktion nicht explizit erscheinen.

Daher ist die allgemeine Form der Lagrange-Funktion $ L = T-U $. Anhand der Gleichmäßigkeit der Zeit und der Lagrange-Gleichungen können Sie feststellen, dass eine bestimmte Größe nicht von der Zeit abhängt: $$ E = \ sum_i \ dot {q_i} \ frac {\ partielles L} {\ partielles \ dot {q_i }} - L $$ Mit der Form $ TU $ des Lagrange, der obigen Beziehung und dem homogenen Funktionssatz des Eulers erhalten Sie: $$ E = T + U $$ Jetzt und nur jetzt können Sie sagen, dass die Summe Die Energie der Bewegung ist die Summe zweier unterschiedlicher Begriffe. Die erste hängt nur von der Geschwindigkeit ab und heißt kinetische Energie. Der zweite Term hängt nur von der Position ab und wird als potentielle Energie bezeichnet.

Das Aktionsintegral kann in der Form "Jacobi-Aktion" vorliegen, die wie folgt aussieht:

$$ S = 2 \ int ^ {B} _ {A} \ sqrt {(EV) T} \ , \ mathrm {d} t $$

wobei normalerweise $ E $ konstant ist, $ V = V (x) $ die potentielle Energie ist und $ T = 2m $ die kinetische Energie ist.

Weitere Informationen hierzu finden Sie unter:

1. Brown, JD und JW York (1989). "Jacobis Handeln und die Wiederherstellung der Zeit in der allgemeinen Relativitätstheorie". Physical Review D40 , 3312–3318. doi: 10.1103 / PhysRevD.40.3312.
2. Lanczos, C. (1970). Die Variationsprinzipien der Mechanik . University of Toronto Press, Toronto.
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Es gibt viele andere Versionen zum Ableiten der Bewegungsgleichungen aus der Variationsrechnung, siehe:

1. Spivak, M. ( 2010). Physik für Mathematiker, Mechanik I . Veröffentlichen oder zugrunde gehen.
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Der Punkt ist für einen nicht mathematisch gebildeten Physiker ziemlich subtil, da die Unterscheidung ziemlich technisch ist. Laut Arnold (siehe Referenzen) geben wir die folgenden Definitionen an.

Definition. B> Sei $ M $ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, $ TM $ sein Tangentenbündel und $ L: TM \ bis M $ eine differenzierbare Anwendung. Eine Anwendung $ \ gamma: \ mathbb R \ to TM $ ist eine Bewegung in einem Lagrange-System mit Konfigurationsverteiler TM und Lagrange-Funktion $ L $ genau dann, wenn $ \ gamma $ für die Funktion extrem ist

\ begin {Gleichung} \ Phi (\ gamma) = \ int_ {t_0} ^ {t_1} \ mbox {dt} \, L (\ dot {\ gamma}). \ end {Gleichung} $ \ dot {\ gamma} $ heißt Geschwindigkeitsvektor , $ \ dot {\ gamma} (t) \ in TM _ {\ gamma (t)}. $

Lokale Koordinaten $ q_1, \ dots, q_n $ des Punktes $ \ gamma (t) $ entwickeln sich gemäß der Euler-Lagrange-Gleichung

\ begin {Gleichung} \ frac {\ partielles L} {\ partielle q} = \ frac {\ mbox {d}} {\ mbox {d} {t}} \ frac {\ partielle L} {\ partielle \ Punkt {q}}. \ end {Gleichung}

Nehmen wir nun an, $ M $ ist eine riemannsche Mannigfaltigkeit b>, dh ein Paar $ (M, g) $, mit $ M $ differenzierbarer Mannigfaltigkeit und $ g $ einer positiv definierten quadratischen Form. normalerweise angegeben als $ \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle $. In diesem Fall und nur in diesem Fall b> können wir eine kinetische Energie definieren, wie dies normalerweise gemeint ist:

Definition b> Lassen Sie $ M $ sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Eine quadratische Form $ K = \ frac {1} {2} \ langle v, v \ rangle $, wobei $ v \ in TM_x $, definiert auf allen Tangentenbündeln, als kinetische Energie bezeichnet wird. Wir sagen, dass $ U $ genau dann eine potentielle Energie ist, wenn $ U: M \ bis \ mathbb R $ eine differenzierbare Funktion ist.

Definition. b> Ein Lagrange-System auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit wird genau dann als natürlich bezeichnet, wenn $ L = K - U $ für einige $ K $ und $ U $ zuvor definiert.

In der klassischen Mechanik beschäftigt man sich ständig mit Riemannschen Mannigfaltigkeiten (abgesehen von "pathologischen" Situationen), so dass ihm die Unterscheidung egal ist. Tatsächlich tritt in Grundkursen nie ein Problem auf. Aber es sollte darauf hingewiesen werden (von Lehrern meine ich), dass der Minkowski-Raum $ \ mathcal M ^ 4 $ der speziellen Relativitätstheorie keine b> riemannsche Mannigfaltigkeit ist, sondern tatsächlich eine pseudo-riemannsche eins (die Metrik ist nicht positiv-definitiv), daher muss die Definition von Lagrange mit Vorsicht angewendet werden. Es ist klar, dass die Situation in der allgemeinen Relativitätstheorie noch "dramatischer" ist und die Definition eines Lagrange ein nicht-trivalisches Problem darstellt.

Das bekannteste Beispiel für einen solchen Lagrange ist meines Erachtens das eines freies Teilchen in spezieller Relativitätstheorie: $ L = -mc ^ 2 \ sqrt {1 - \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} $. (Siehe Goldstein)

Referenzen. B> V.I. Arnold, Mathematische Methoden der klassischen und himmlischen Mechanik , Kapitel IV.ùH. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Klassische Mechanik , 3d edition, Par. 7.9.

Soweit ich weiß, wird $ L $ in der klassischen Mechanik genau als Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie definiert. Umgekehrt ist es der Hamiltonianer , der nicht immer gleich $ T + U $ ist und als Legendre-Transformation von Lagrangian definiert werden sollte.

In komplizierteren Modellen wie in der Feldtheorie Der Lagrange könnte komplizierter sein. Dies liegt daran, dass Lagrange als Hamilton-Operatoren in der Quantenmechanik nicht durch eine universelle Regel oder einen Satz bestimmt werden. Sie werden nur ausgewählt, weil sie funktionieren, d. H. Aufgrund einer Analogie zur klassischen Mechanik, oder weil sie zu physikalisch verifizierten Euler-Gleichungen führen. In diesem Fall gibt es keinen besonderen Grund, aus dem ein Lagrange in zwei unterschiedlichen Begriffen $ U $ und $ T $ trennbar sein sollte.

Um die Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie (im Vakuum) abzuleiten, ist die Lagrange-Dichte einfach der Ricci-Skalar , der Abweichungen von der flachen Raumzeit misst. Dies ist ein gutes Beispiel für einen Lagrange, der keine wirkliche "Energie" -Interpretation hat: Im Vakuum gibt es in der klassischen Mechanik eindeutig keine Energie!

I) Es ist interessant zu beobachten, dass, wenn der Hamilton-Wert $ H = \ frac {p ^ 2} {2m} + U $ die Form kinetisch plus potentielle Energie hat, dann die so- genannt Hamiltonian Lagrangian

$$ \ tag {A} L_H ~: = ~ p \ dot {q} -H ~ = ~ \ underbrace {(p \ dot {q} - \ frac {p ^ 2 } {2m})} _ {\ approx ~ \ frac {m} {2} \ dot {q} ^ 2} - U $$

hat ebenfalls die Form kinetisch minus potentielle Energie wenn wir eine der Hamilton-Gleichungen $ p \ approx m \ dot {q} $ verwenden. Off-Shell ist eine solche Interpretation schwieriger. (Hier beziehen sich die Wörter on-shell und off-shell darauf, ob die Bewegungsgleichungen (eom) erfüllt sind oder nicht.)

II) Ein allgemeinerer Hamilton-Lagrange hat die Form

$$ \ tag {B} L_H ~ = ~ \ theta_I \ dot {z} ^ I - H - \ lambda ^ a \ chi_a, $$

wobei $ z ^ I $ die fundamentalen Variablen in der Theorie sind, ist $ \ theta = \ theta_I (z) \ mathrm {d} z ^ I $ eine (vor) symplektische potentielle Einform, $ H. = H (z) $ ist der Hamilton-Operator, $ \ lambda ^ a $ sind Lagrange-Multiplikatoren und $ \ chi_a = \ chi_a (z) $ sind Einschränkungen. Es gibt verschiedene Mechanismen in der Hamilton-Formulierung, die eine Interpretation als kinetisch minus potentielle Energie für den Hamilton-Lagrange $ L_H $ erschweren oder sogar behindern könnten:

a) Der Hamilton-Wert $ H $ hat nicht die Form kinetisch plus potentielle Energie.

b) Einschränkungen $ \ chi_a $ werden nur auf der Shell erfüllt. Off-Shell, die Der Ausdruck $ \ lambda ^ a \ chi_a $ hat keine Interpretation als kinetische oder potentielle Energie.

c) Die Zwei-Formen $ \ omega = \ mathrm {d} \ theta $ können degeneriert sein. dh der Phasenraum kann eher präsymplektisch als symplektisch sein. In solchen Fällen gibt es kein Darboux-Theorem, um sicherzustellen, dass $ \ theta $ lokal die Form $ p_i \ mathrm {d} q ^ i $ hat.

III) Wenn OP nur ein einfaches Beispiel möchte, ist hier ein Beispiel für ein freies Punktteilchen in zwei Dimensionen [1]

$$ \ tag {C} L ~ = ~ m \ dot {x} \ dot { y}. $$

Dieser Lagrange (C) unterscheidet sich von der kinetischen Energie & Standard Lagrange

$$ \ tag {D} L_0 ~ = ~ T ~ = ~ \ frac {m} {2} (\ dot {x} ^ 2 + \ dot {y} ^ 2). $$

Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind jedoch dieselben:

$$ \ tag {E} \ ddot {x} ~ = ~ 0 ~ = ~ \ ddot {y}. $$

Es ist eine einfache Übung, zu überprüfen, ob Lagrangian (C) im Sinne von OP nicht trivial ist 1 & 2, dh die Differenz zwischen $ L $ und $ L_0 $ (wobei letzteres multipliziert wird mit einer Konstanten $ \ alpha $) ist niemals eine Gesamtzeitableitung:

$$ \ tag {F} L- \ alpha L_0 ~ \ neq ~ \ frac {dF} {dt}. $$

Hinweis, um Gl. (F): Es reicht zu überprüfen, ob die funktionale Ableitung von $ \ int \! \ mathbb {d} t ~ (L- \ alpha L_0) $ ist ungleich Null. Warum?

IV) Ein weiteres elementares Beispiel finden Sie in diesem Phys.SE-Beitrag.

Referenzen:

1. M. . Henneaux, Bewegungsgleichungen, Kommutierungsbeziehungen und Mehrdeutigkeiten im Lagrange-Formalismus, Ann. Phys. 140 (1982) 45.
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Beachten Sie auch, dass es in der Strömungsmechanik viele Beispiele gibt, bei denen $ L \ neq T-V $. Insbesondere wenn der Eulerian -Referenzrahmen verwendet wird. Zum Beispiel wird für irrotationale Gravitationswellen der tiefen Wasseroberfläche der Lagrange als

$ L = \ int \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ eta} \ phi_t + \ frac {1 geschrieben } {2} (\ nabla \ phi) ^ 2 \ dz \ right) + \ frac {g} {2} \ eta ^ 2 \ dx $

wobei $ \ phi $ das Geschwindigkeitspotential ist, $ g $ ist die Erdbeschleunigung und $ \ eta $ ist die Oberflächenhöhe. In diesem Fall $ L \ neq T-V $, eher können wir es als (minus) den Druck an der freien Oberfläche erkennen. Dies ist der Fall, weil die Transformation von Lagrange (im Sinne der Verfolgung von Partikeln in der Flüssigkeit) zu Euler-Variablen nicht kanonisch ist.

Beachten Sie auch, dass die Lagrange-Dichte eindeutig ist Dynamik bis zur Multiplikation mit Konstanten und Addition perfekter Gradienten.

Ich habe das kanonische Beispiel immer als Lagrange für eine Punktladung (mit Ladung $ q $ und Masse $ m $) in einem externen EM-Feld betrachtet: $ L (\ vec {x}, \ vec {v}) = \ frac {1} {2} mv ^ 2 -q \ phi + q \ vec {A} (\ vec {x}) \ cdot \ vec {v} $, wobei $ \ phi $ das Skalarpotential für das ist elektrisches Feld und $ \ vec {A} $ ist das Vektorpotential für das Magnetfeld.

Ich gehe davon aus, dass der Fall, dass Sie $ L = TU $ schreiben können, die Struktur $$ L = T (\ dot {q}) - U (q) $$ mit $ T (\ dot {q}) $ as hat kinetische Energie in Abhängigkeit von Impuls / Geschwindigkeit $ \ dot {q} $ und $ U ({q}) $ als potentielle Energie in Abhängigkeit von den Koordinaten $ {q} $.

2 + 1D Chern-Simons-Theorie ist ein Beispiel, das nicht in dieser Form geschrieben werden kann.

Für nicht-abelsche Chern-Simons gilt die Aktion $$ S = \ int L dt = \ int \ frac {k} {4 \ pi} \ big (a \ wedge da + (2/3) a \ wedge a \ wedge a \ big) $$

Selbst für die abelsche Chern-Simons-Theorie gilt die Aktion $$ S = \ int L dt = \ int \ frac {k} {4 \ pi} \ big (a \ wedge da \ big) $$ Dies erledigt die Aufgabe.

Das abelsche 1-Form-Messfeld hat $ a = a_0 dt + a_1 dx_1 + a_2 dx_2 $. Wenn Sie die zeitliche Anzeige $ a_0 = 0 $ wählen, wird das abelsche Chern- angezeigt. Die Simons-Theorie hat die Form: $$ S = \ int L dt = \ int \ frac {k} {4 \ pi} \ big (a_2 \ frac {\ partiell} {\ partiell t} a_1 -a_1 \ frac {\ partiell } {\ partielle t} a_2 \ big) \; dt \, dx_1 \, dx_2 $$

Durch die Identifizierung von $ a_1 \ sim x $ und $ a_2 \ sim y $ ist Lagrange so effektiv wie: $$ \ boxed {L = \ frac {k} {4 \ pi} \ big (\ dot {x} \; y - \ dot {y} \; x \ big) = \ dot {\ vec {q}} \ cdot \ vec {A} (x, y)} $$

wobei $ \ vec {q} = (x, y) $ und $ \ vec {A} = (A_x, A_y) = \ frac {k} {4 \ pi} (y, -x) $.

Tatsächlich ist es wie ein quantenmechanischer Profi blem - ein Teilchen mit einer Verschiebung $ \ vec {q} $, die sich in einem gleichmäßigen Magnetfeld bewegt: $ B = \ nabla \ times A = - \ frac {k} {2 \ pi} \ hat {z} $.

Sie sehen, dass die Chern-Simons-Theorie $ L = \ frac {k} {4 \ pi} \ big (\ dot {x} \; y - \ dot {y} \; x \ big) = \ ableitet Punkt {\ vec {q}} \ cdot \ vec {A} (x, y) $ gehorcht dieser Struktur nicht $ L = T (\ Punkt {q}) - U (q) $.

Ein weiteres Beispiel, das die Antwort von Qmechanic erweitert, kann der harmonische 2D-Oszillator mit dem Lagrange sein:

$ L = m \ dot {q} _1 \ dot {q} _2 - m \ omega ^ 2q_1q_2 $

dieser Lagrange hat den gleichen EoM wie der übliche harmonische Standardoszillator, aber es ist ganz anders, das Noether-Theorem macht ein großes Durcheinander der üblichen Symmetrien und der konservierten Größen, zum Beispiel des Drehimpulses $ l = m (q_1 \ dot {q} _2-q_2 \ dot {q} _1) $ ist eine Quetschsymmetrie zugeordnet:

$$ \ left \ {\ begin {array} {l} q_1 \ mapsto q'_1 = e ^ {- \ eta} q_1 \\ q_2 \ mapsto q'_2 = e ^ {\ eta} q_2 \ end {array} \ right. $$

es ist nett komisch, aber eine schöne Sache.

In Fällen von Skalarfeldern hat der Lagrange nicht mehr die Form eines kinetischen Minuspotentials, sondern wird als kinetische Energie minus Gradientenenergie minus potentielle Energie verallgemeinert.