Die Multiplikation ergibt eine Kraft, die den experimentellen Ergebnissen entspricht, die Addition jedoch nicht.

wir machen M1 × M2 und nicht M1 + M2, warum?

Ein Grund, auch ohne die Beobachtung anzusprechen, ist sicherlich, dass es vernünftig ist, dies zu erwarten, wenn die Die "Gravitationsladung" (Gravitationsmasse) ist für jedes Objekt Null. Zwischen den Objekten sollte keine Gravitationskraft vorhanden sein.

Wenn beispielsweise $ M_2 = 0 $ und die Kraft Wenn wir proportional zur Summe wären, hätten wir das absurde Ergebnis, dass zwischen Objekt 1 und etwas, das gravitativ "nichts" ist, eine Gravitationskraft besteht.

Sie haben in einer vorherigen Frage gesagt, dass Sie ein Laie sind, und impliziert, dass Sie der Allgemeinen Relativitätstheorie misstrauisch gegenüberstehen, sodass Sie diese Antwort möglicherweise nicht erfreut. Für jeden, der bereit ist, GR zu akzeptieren, ist dies der Grund, warum die Newton-Formel für die Schwerkraft das Produkt der Massen enthält.

Die Newton-Formel ist nur eine Hypothese, die zu Beobachtungen passt. Wie Newton genau darauf gekommen ist, wird nur er jemals erfahren, aber er hat es ungefähr zur gleichen Zeit entwickelt, als Kepler die ersten Beobachtungen machte, dass sich Planeten in elliptischen Bahnen um die Sonne bewegten, und Newtons Formel sagt genau dieses Verhalten voraus. Wir können also nur sagen, dass es eine Vermutung war, die funktioniert hat.

Um weiter zu gehen, müssen Sie akzeptieren, dass GR ein gutes Modell für die Schwerkraft ist und dass die Schwarzschild-Lösung eine korrekte Lösung für die Gravitation außerhalb ist ein kugelsymmetrischer Körper. Unter der Annahme, dass Sie dies akzeptieren, beschreibt die schön klare Antwort Twistor59 hier, wie die Beschleunigung der -Koordinate relativ zu einem stationären Beobachter am selben Punkt berechnet wird und das Ergebnis ist:

$$ a = \ frac {GM} {r ^ 2} \ frac {1} {\ sqrt {1- \ frac {2GM} {c ^ 2r}}} $$

wobei $ M $ die Masse des Planeten / der Sonne / was auch immer ist und nach Newtons erstem Gesetz $ F = ma $ die entsprechende Kraft lautet:

$$ F = \ frac {GMm} {r ^ 2} \ frac {1} {\ sqrt {1- \ frac {2GM} {c ^ 2r}}} $$

wobei $ m $ das ist Masse unseres Testobjekts und $ F $ ist die Kraft auf das Testobjekt. Um die Newtonsche Grenze zu erhalten, nehmen wir an, dass die Masse des Planeten / Sonne / was auch immer klein genug ist, dass

$$ \ frac {2GM} {c ^ 2r} << 1 $$

und die obige Gleichung vereinfacht sich zu:

$$ F = \ frac {GMm} {r ^ 2} $$

, was natürlich das Newtonsche Gravitationsgesetz ist.

Aus Interesse ist an der Oberfläche der Sonne (dem Punkt der höchsten Schwerkraft im Sonnensystem) die Differenz zwischen der nach dem Newtonschen Gesetz berechneten Kraft und der vollständigen GR-Berechnung ein Faktor von 1,000002, daher ist das Newtonsche Gesetz ein ausgezeichnete Annäherung überall im Sonnensystem.

Lassen Sie mich diese Frage auf eine andere intuitive Weise beantworten. Wenn das Gravitationsgesetz $ F = - \ frac {\ mathcal G (M_1 + M_2)} {R ^ 2} $ wäre (mit geeigneten Einheiten für $ \ mathcal G $), was würde dann passieren, wenn wir ein anderes Objekt aus einem Gebäude fallen lassen ?

$$ a = \ frac {\ mathcal G} {R _ {\ oplus} ^ 2} (1+ \ frac {M_ \ oplus} {M_ \ text {object}}) $$

was sehr kontraintuitiv ist. Wenn es wahr wäre, würde eine Feder viel schneller zur Erde beschleunigen als eine schwere Bleikugel; was sogar Galileo nicht erwartet hatte.

Stellen Sie sich die Kraft zwischen einem Stern und einem Planeten oder Mond vor.

Wenn Sie die Masse des kleineren Körpers verdoppelt haben, sollte sich die Schwerkraft zwischen ihnen verdoppeln. Wenn sie nur addieren, verdoppeln Sie die Masse eines Mondes Das ist millionenfach kleiner als ein Stern und hätte keinen wirklichen Einfluss auf die Kraft zwischen ihnen.

Wie die Dulciepercy feststellt, ist der wichtigste Grund zu der Annahme, dass die Gravitationskraft zwischen zwei Körpern (zumindest annähernd) proportional zum Produkt ihrer Massen ist, dass sie mit den experimentellen Ergebnissen übereinstimmt. Tatsächlich können wir die Gravitationskraft zwischen zwei Objekten messen, und die Ergebnisse zeigen tatsächlich, dass die Kraft mit dem Produkt ihrer Massen skaliert. (Tatsächlich reicht ein viel einfacheres Experiment aus, um dies zu zeigen.)

Ein Grund, warum wir erwarten sollten, dass diese Regel auch a priori gilt, ist der Alltag Die Erfahrung zeigt, dass es der Schwerkraft egal ist, wie wir die Welt um uns herum in verschiedene "Objekte" aufteilen. Insbesondere wenn wir ein einzelnes massives Objekt haben, erwarten wir nicht, dass sich der gesamte Gravitationseffekt, den es auf andere Dinge um es herum hat, ändert, nur weil wir uns entscheiden, es in zwei Objekte mit der Hälfte der ursprünglichen Masse zu teilen, sei es nur konzeptionell in unseren Köpfen oder indem wir es tatsächlich physisch halbieren.

Lassen Sie uns insbesondere ein einfaches Experiment durchführen. Angenommen, wir haben zwei Objekte, deren Masse wir der Einfachheit halber als $ N_1 $ und $ N_2 $ mal eine kleine Einheitsmasse $ m_0 $ annehmen können. (Zum Beispiel könnten wir uns zwei Klumpen aus reinem Metall vorstellen, wobei $ m_0 $ die Masse eines Atoms des Metalls und $ N_1 $ und $ N_2 $ die Anzahl der Atome in jedem Klumpen sind.)

Sei $ F $ die gesamte Gravitationskraft zwischen den beiden Objekten im Abstand $ r $ voneinander (wobei wir der Einfachheit halber wieder annehmen, dass $ r $ viel größer ist als der maximale Durchmesser eines einzelnen Objekts , so dass wir die Auswirkungen ihrer Form nicht berücksichtigen müssen). Um mit der Logik und der alltäglichen Erfahrung übereinzustimmen, erwarten wir, dass $ F $ gleich sein sollte, unabhängig davon, ob wir die beiden Objekte als einzelne Körper mit den Massen $ M_1 = N_1 \ cdot m_0 $ und $ M_2 = N_2 \ cdot m_0 $ betrachten. oder als Sammlung von $ N_1 $ und $ N_2 $ Atomen mit jeweils $ m_0 $ Masse.

Nun sei $ f_0 $ die Gravitationskraft zwischen zwei Atomen der Masse $ m_0 $ im Abstand $ r $. (Es spielt keine Rolle, wie diese Kraft von $ m_0 $ abhängen könnte; wir können sie vorerst als gegeben betrachten.) Da sich nun jedes Atompaar mit derselben Kraft gravitativ anzieht, liegt die Gesamtkraft zwischen zwei Sammlungen von jeweils $ N_1 $ und $ N_2 $ Atomen müssen die Summe der Kräfte zwischen jedem der Atompaare sein:

$$ \ begin {align} F & = \ sum_ {n_1 = 1} ^ {N_1} \ sum_ {n_2 = 1} ^ {N_2} f_0 \\ & = \ sum_ {n_1 = 1} ^ {N_1} N_2 \ cdot f_0 \\ & = N_1 \ cdot N_2 \ cdot f_0 \ end {align} $$

Daher muss die gesamte Gravitationskraft zwischen den beiden Objekten, die als Ansammlung von Atomen konstanter Masse betrachtet wird, proportional zum Produkt der Anzahl der Atome in jedem Objekt sein. Da jedoch die Masse jedes Objekts auch proportional zur Anzahl der darin enthaltenen Atome ist, muss die Gravitationskraft zwischen den Objekten auch proportional zum Produkt ihrer Massen sein:

$$ F = N_1 \ cdot N_2 \ cdot f_0 = \ frac {M_1} {m_0} \ cdot \ frac {M_2} {m_0} \ cdot f_0 = M_1 \ cdot M_2 \ cdot \ frac {f_0} {m_0 ^ 2} p>

Beachten Sie, dass dieses Gedankenexperiment genau genommen nicht ausschließt, dass Objekte aus verschiedenen Arten von "Atomen" je nach Zusammensetzung unterschiedliche Proportionalitätskonstanten zwischen ihrer Masse und ihrem Gravitationseinfluss aufweisen. (Die Tatsache, dass dies nach experimentellen Ergebnissen in der realen Welt tatsächlich nicht der Fall ist, entspricht im Wesentlichen der Äquivalenz von Trägheits- und Gravitationsmasse.) Dieses Gedankenexperiment zeigt dies jedoch für Objekte Bei gleicher Zusammensetzung würde die Erwartung, dass die Gravitationskraft zwischen ihnen um etwas anderes als das Produkt ihrer Massen skaliert, zu scheinbar absurden Schlussfolgerungen führen (dh die Gravitationskraft zwischen zwei Atomklumpen würde variieren, je nachdem, ob Wir betrachten jeden Klumpen als ein einzelnes Objekt oder als eine Sammlung vieler Objekte.

Betrachten Sie Lego-Massenblöcke, die von einem anderen Objekt angezogen werden. Die Kraft auf jeden Block beträgt $ f $. Was würde passieren, wenn wir 3 Blöcke zusammen nehmen?

Da es sich immer noch um 'separate Objekte' handelt, können wir daraus schließen, dass die Kraft $ 3f $ ist. Im Allgemeinen wäre es für die $ n $ -Objekte $ nf $. Die Masse der Objekte ist aber auch proportional zu $ ​​n $ - daher ist die Kraft proportional zur Masse.

Damit die Additionsformel funktioniert:

• Sie müssten a haben "Magie" Schritt, was ist ein einzelnes Objekt. Obwohl es keinen technischen Grund gibt, warum es nicht definiert werden konnte, ist es sehr kontraintuitiv - zählt der Ozean als Objekt - die Moleküle sind nicht chemisch gebunden - zählen 2 Legoblöcke als einer, wenn sie kombiniert werden usw.
• Sie hätten ein grundlegendes Objekt, für das die additive Formel funktionieren würde - beispielsweise Protonen, Atome oder Quarks. Aber dann werden Sie auf der Makroskala die Multiplikationsformel wiederherstellen (siehe Absatz oben) - für uns würde es entweder so aussehen, als ob die Formel einfach funktioniert (wenn ein Objekt dominiert) oder es wäre sehr kompliziert herauszufinden (wenn es eine Mischung gäbe) ).

Man kann diese Formel intuitiv "ableiten".

Stellen Sie sich vor, jede Masseneinheit könnte bestimmte masselose Partikel einfangen und sie "Gravitonen" nennen, die zufällig aus allen Richtungen kommen. Wenn die Masseneinheit von einem Graviton getroffen wird, erhält sie einen bestimmten Impuls in diese Richtung und verhindert, dass das eingeschlossene Graviton auf etwas anderes trifft.

Mit dem obigen Bild würde die Masse $ M_1 $ einen "Schatten" erzeugen. von Gravitonen im Abstand $ r $ proportional zu $ ​​M_1 $ und umgekehrt proportional zur Fläche der Kugel mit dem Radius $ r $. Daher gibt es in der Entfernung $ r $ $ const \ cdot M_1 / r ^ 2 $ weniger Gravitonen, die aus der Richtung von $ M_1 $ kommen als aus der entgegengesetzten Richtung.

Nehmen wir nun an, es gibt eine Masse $ M_2 $ in der Entfernung $ r $ von $ M_1 $. Denken Sie daran, dass die Wahrscheinlichkeit, ein Graviton einzufangen, proportional zur Masse ist, sodass die Masse $ M_2 $ $ (const \ cdot M_1 / r ^ 2) \ cdot M_2 $ weniger Gravitonen aus Richtung einfangen würde von $ M_1 $ als diejenigen, die auf $ M_1 $ gerichtet sind. Daher wäre die auf $ M_2 $ in Richtung $ M_1 $ gezeigte Nettokraft $ const \ cdot \ frac {M_1M_2} {r ^ 2} $.