Was für ein Glück! Erst gestern habe ich über genau dieses Phänomen nachgedacht, als ich den Film 'The Imitation Game' gesehen habe. Die Titelsequenz enthielt einen sich bewegenden Panzer.

Als ich klein war, habe ich das die ganze Zeit beobachtet. Nicht in Rädern, sondern in Raupenketten:

Beachten Sie, dass ein Segment der Spur, wenn es den Boden berührt, einfach bleibt dort, genau an der gleichen Stelle? Offensichtlich muss seine Geschwindigkeit daher gleich 0 sein, wenn er den Boden berührt.

Erst in jüngerer Zeit habe ich dieses Merkmal von Raupenketten auf Räder extrapoliert. Ein Rad ist nur eine zusammengedrückte Raupenkette. Wenn Sie mit einer Raupenkette beginnen und ihre Länge weiter reduzieren, haben Sie schließlich ein Rad.

Weil jeder Punkt auf einer Raupenkette jeder Größe ist stationär, wenn es den Boden berührt, muss der einzelne Punkt auf einem Rad auch stationär sein, wenn es den Boden berührt.

Das Rad bewegt sich also ständig, aber die Punkte darauf beschleunigen, bremsen, stoppen, starten zu unterschiedlichen Zeiten und zu unterschiedlichen Raten.

Das Rad bewegt sich ständig, aber jeder Punkt auf seinem Umfang beschleunigt und verlangsamt sich ständig und wenn es den Boden berührt, stoppt es.

Sie können eine klare und überzeugende Erklärung haben Sehen Sie sich diese Animation an, die zeigt, wie jeder Punkt auf dem Rad ein Zykloid

Update beschreibt. stark>

Aber denken Sie daran, dass die sich ständig ändernde Beschleunigung jedes Punktes nur eine Illusion ist, die im Bezugsrahmen der ruhenden Straße erzeugt wird. Dies liegt an der Tatsache, dass der Wert $ k $ der translatorischen Vorwärtsgeschwindigkeit des Rades $ k $ mit dem Umfang des Rades $ k = 2 \ pi r \ rightarrow v_w = 2 übereinstimmt \ pi r $ m / s:

Wenn Sie können, stellen Sie sich vor, das Auto bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit und das Rad dreht sich mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit, aber nicht den Boden berühren. Oder stellen Sie sich das Rad eines Landeflugzeugs vor: Sobald es den Boden berührt, synchronisiert sich das Rad mit $ v = 2 \ pi r $ m / s.

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Eine Illusion einer völlig anderen Art kann durch den stroboskopischen (oder Wagenrad-) Effekt ** sup> erlebt werden p>

Betrachten Sie einen Punkt $ P $ auf der Oberfläche des Rades. Wenn Sie die horizontale Geschwindigkeit dieses Punktes im Referenzrahmen des Rades betrachten (Achse stationär), dann hat dieser Punkt für ein Rad mit dem Radius $ r $ mit der Winkelgeschwindigkeit $ \ omega $ eine horizontale Komponente der Geschwindigkeit

$$ v_h = r \ omega \ cos (\ omega t) $$

Die Lineargeschwindigkeit des Rades $ v = \ omega r $. Wenn wir diese beiden Geschwindigkeiten addieren, stellen wir fest, dass die horizontale Geschwindigkeit im Referenzrahmen der Straße

$$ v = r \ omega \ left (1 - cos (\ omega t) \ right) $$

Diese Gleichung zeigt, dass die Geschwindigkeit an dem Punkt, an dem das Rad die Straße berührt, genau Null ist. Das Diagramm dieser Gleichung sieht folgendermaßen aus:

Die Position des Rads über die Zeit (X-, Y-Koordinaten) sieht am Ende folgendermaßen aus:

Beide Bilder sollten Sie davon überzeugen, dass der Punkt auf dem Rad wirklich vorübergehend stehen bleibt.

Sie haben geschrieben: "Wie kann [die Geschwindigkeit des Kontaktpunkts] Null sein, wenn er sich kontinuierlich bewegt?" .

Beachten Sie jedoch, dass Bewegung ist relativ und daher sollte Ihre Frage tatsächlich wie folgt lauten: "Wie kann die Geschwindigkeit des Kontaktpunkts relativ zur Kontaktfläche Null sein, wenn er sich in kontinuierlicher Bewegung relativ zu seiner Drehachse ? " (zum Beispiel die Achse eines rollenden Rades).

Aber das ist die Natur des Relativitätsprinzips; Ein Objekt kann sich relativ zu einem Objekt bewegen und relativ zu einem anderen stillstehen.

Stellen Sie sich vor, Sie fahren Ihr Auto auf der Autobahn. Ihr Freund auf dem Beifahrersitz bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit wie Sie. aus deiner Sicht bewegt sich dein Freund überhaupt nicht; seine Geschwindigkeit relativ zu dir ist Null, aber relativ zur Straße ist er "in ständiger Bewegung"; Wie kann das sein?

Für mich ist dies am einfachsten mit den Zähnen eines Zahnrads zu erkennen, auf dem ein Förderband läuft.

Dies ist im Grunde das optimale rutschfeste Rad. es dreht sich und bewegt sich entlang des Förderbandes (tatsächlich bewegt sich das Band entlang des Rades, aber Sie können sich das Gegenteil vorstellen). Jedes Mal, wenn ein Zahn in die Spur des Förderbandes eintritt, schwenkt das Rad effektiv auf diesem Zahn. Es ist klar, dass der Punkt am Ende des Zahns für einen nicht zu vernachlässigenden Zeitraum keine horizontale Geschwindigkeit aufweist, während sich das Rad darum dreht.

Diese Antwort ist sehr einfach und sollte Ihre Zweifel vollständig beseitigen:

Wenn ein Körper auf einer horizontalen Oberfläche rollt, ohne zu verrutschen, ist die horizontale Geschwindigkeit des Kontaktpunkts Null. Dies gilt nicht nur für horizontale Flächen, sondern für jede Fläche, auf der der Körper ohne Verrutschen rollt.

Wann hat ein auf einer Fläche platzierter Block eine Geschwindigkeit in Bezug auf die Oberfläche?
Wann ändert seine Position auf der Oberfläche . Wenn ich auf den Block drücke, gleitet er und ändert seine Position, sodass sich der Block in Bezug auf die Oberfläche bewegt.

Gleiches gilt für den Kontaktpunkt beim Rollen ohne zu rutschen . Wenn der Kontaktpunkt rutscht, hat er eine Geschwindigkeit in Bezug auf die Oberfläche. Daher berührt der Kontaktpunkt beim Rollen ohne Verrutschen die Oberfläche, rutscht jedoch nie darauf und daher keine Bewegung in Bezug auf die Oberfläche, was bedeutet, dass der Kontaktpunkt in Bezug auf die Oberfläche in dem Moment, in dem er die Oberfläche berührt, immer in Ruhe ist. Siehe dies.

Haben Sie weniger als 50 Wiederholungen, können Sie diese also nicht in Kommentare schreiben:

Die Frage lautet: "Wie kann es Null sein, wenn es sich in kontinuierlicher Bewegung befindet?"

@ Die Antwort von Terry lautet im Wesentlichen: Aus der Sicht der Oberfläche (auf der der Körper rollt) ist die Bewegung bestimmter Punkte auf dem Körperumfang nicht kontinuierlich. Ihre Geschwindigkeit nimmt bis zum Zeitpunkt des Kontakts ab. Zu diesem Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit Null.

Hinzufügen zur Antwort von Terry: Die Geschwindigkeit ist nur für einen Moment Null, ein "Zeitpunkt", unmittelbar danach die Geschwindigkeit wird wieder ungleich Null. "Intuitiv" könnte man sagen, dass der Punkt nie aufgehört hat, weil es nie "die Zeit gekostet hat, für einige Zeit an einem Ort zu sein". Mathematisch hat es für einen Moment angehalten und hatte eine Geschwindigkeit von Null.

Beachten Sie, dass es abhängig von der Form des rollenden Körpers mehr als nur einen einzelnen Punkt geben kann, der anhält. Bei einem rollenden Quadrat stoppt beispielsweise die gesamte untere Seite.

@Volker Siegel: Aus Sicht der Schiene dreht sich das Rad um den Kontaktpunkt, der sich oben auf der Schiene befindet. Zugräder haben einen Flansch, dessen Kante einige Zentimeter unter der Schienenoberseite hervorsteht. Wenn sich das Rad dreht, bewegt sich der tiefste Punkt am Flansch für kurze Zeit rückwärts.

Ich versuche eine Analogie zu entwickeln, da ich es auch schwer zu verstehen finde.
Stellen Sie sich vor, wir haben mikroskopisch kleine Außerirdische, die sich in zwei Punkten verstecken. eine auf der Oberfläche der Scheibe (blau) und ruhen auf der Oberfläche selbst (rote). Von t = 0 bis t = 0,1 s gibt es eine Berührungsperiode. Während dieser Zeit unterhalten sie sich ungezwungen und stellen fest, dass sie sich gegenseitig ausruhen. Sie rutschen nicht. Das heißt, ihre Relativgeschwindigkeit ist 0. Sobald diese Berührungsperiode vorbei ist, löst sich der blaue Punkt und der nächste Punkt der Scheibe (schwarz) berührt einen neuen Punkt (rot) auf der Oberfläche.

Die Verwirrung entsteht, weil wir dazu neigen, alle Punkte anstatt nur den Kontaktpunkt zu beobachten und es schwierig zu verstehen, wie der Kontaktpunkt in Ruhe sein kann. Ein weiterer Punkt ist, dass die Reibung immer noch da ist, weil der blaue Punkt den roten Punkt nach hinten drückt, so dass eine Kraft in Form von Reibung auftritt, die in Bewegungsrichtung der Scheibe ist (Newtons drittes Gesetz).

Sie suchen nach der Geschwindigkeit von Punkten auf dem Radumfang in Bezug auf den Boden. Stellen Sie sich vor, dass zu jedem Zeitpunkt jeder Punkt auf dem Umfang durch einen "Hebel" mit dem Kontaktpunkt verbunden ist, der eine Sehne des Kreises ist, der das Rad bildet. Am Kontaktpunkt hat der "Hebel" eine Länge von Null - mit anderen Worten, es ist der einzige Punkt am Umfang des Rades, der sich nicht am Ende eines "Hebels" befindet.

Wenn Sie jemals waren Wenn Sie einen Wurfstock verwendet haben, um einen Ball zu schleudern, den Ihr Hund jagen kann, wissen Sie, dass die Länge des Wurfstocks die Geschwindigkeit des Balls erheblich über das erhöht, was Sie allein mit Ihrem Arm erreichen können. Ebenso ist die Geschwindigkeit dieses Punktes umso größer, je länger der Akkord ist, der einen Punkt auf dem Rad am Boden befestigt. Der längste "Hebel" ist der Akkord, der einen Durchmesser des Kreises bildet. Daher hat der Punkt oben auf dem Rad die größte Geschwindigkeit. Der Kontaktpunkt ist überhaupt nicht mit einem "Hebel" verbunden. Daher wird es NICHT "geworfen" und seine Geschwindigkeit muss Null sein!

Eine intuitive Möglichkeit, darüber nachzudenken, besteht darin, sich vorzustellen, dass das Rad mit dem Kontaktpunkt als Drehpunkt fällt. Um diese Intuition zu übertreiben, stellen Sie sich ein "Rad" vor, ein gleichseitiges Dreieck, das rollt, indem es um einen Scheitelpunkt fällt, bevor es um den nächsten Scheitelpunkt steigt und wieder fällt. Wenn es um einen Scheitelpunkt steigt und fällt, ist der Scheitelpunkt in Bezug auf die Oberfläche stationär.

Natürlich "fällt" das Rad im Fall eines kreisförmigen Rads nur in Bezug auf den Punkt Der Kontakt muss nur sofort als Drehpunkt durch den "nächsten" Punkt auf dem Rad ersetzt werden.

Hoffe, dies hilft.

Ein planarer Körper, der sich entlang einer einzelnen Achse bewegt, hat zwei Freiheitsgrade. Verschiebung des Zentrums und Drehung um das Zentrum. Durch die Kombination hat jeder Körperteil unterschiedliche Geschwindigkeiten gemäß der Regel $$ \ vec {v} = \ vec {v} _ {cm} + \ vec {\ omega} \ times \ vec {r} $$

Rollen ist per Definition eine Bewegung, bei der die Geschwindigkeit am Kontaktpunkt Null ist (oder keine Schlupfbedingung). Wenn die obige Beziehung von einer Komponente genommen wird, wird sie zur Skalargleichung $ v = v_ {cm} + r \ omega $. Die Rollbedingung ist $ v = 0 $, also nur Bewegung, bei der $ \ omega = - \ frac {v_ {cm}} {r} $ ein reines Rolling erzeugt.

Sie sagen, dass für einen rollenden Körper die Geschwindigkeit des Kontaktpunkts Null ist.

In der Tat. Mit anderen Worten, wie bereits in mehreren anderen Antworten angegeben:
Jeder bestimmte Punkt (oder jedes kleinere Stück Oberfläche) des Rades, der zu einem bestimmten Zeitpunkt Kontakt mit dem Bürgersteig hat, hat eine augenblickliche Geschwindigkeit in Bezug auf den Bürgersteig. in diesem Moment. (Andernfalls würden wir sagen, dass das Rad in Längsrichtung über die Fahrbahn gerutscht ist. Dies gilt unabhängig davon, ob sich die Radachse mit konstanter Geschwindigkeit bewegt hat oder nicht.)

Wie kann es sein? Null sein, wenn es sich in kontinuierlicher Bewegung befindet?

Nun, es muss darauf hingewiesen werden, was " in Bewegung " ist (oder zumindest: von welcher Geschwindigkeit ungleich Null in Bezug auf die Fahrbahn gefunden wird), nämlich: die vorübergehende "Stelle, an der Gummi auf die Straße trifft"
die auf ebener ("gerader") Fahrbahn den gleichen Moment hat Geschwindigkeit wrt. die Fahrbahn wie die Achse. (Insbesondere wenn die Fahrbahn nicht eben ist, kann die Geschwindigkeit dieses "Flecks" im Vergleich zu $ ​​c $ sogar beliebig groß sein, wie dies beispielsweise durch den Zykloidenantrieb veranschaulicht wird. Dementsprechend sollte dies einer sein Vorsicht bei der Zuordnung von "Bewegung" zu diesem "Punkt"; und seine Geschwindigkeit ungleich Null kann am besten als eine Art Phasengeschwindigkeit charakterisiert werden.)

Also, ein wichtiger Punkt zu zu schätzen ist, dass dieser "vorübergehende Punkt, an dem Gummi auf die Straße trifft" normalerweise nicht als " der Kontaktpunkt " bezeichnet wird.