Für kontinuierliche globale Symmetrien gibt der Noether-Satz eine lokal konservierte Ladungsdichte (und einen zugehörigen Strom) an, deren Integral über den gesamten Raum erhalten bleibt (dh zeitunabhängig).

Für globale diskrete Symmetrien Sie müssen zwischen den Fällen unterscheiden, in denen die konservierte Ladung kontinuierlich oder diskret ist. Für unendliche Symmetrien wie Gitterübersetzungen ist die konservierte Menge kontinuierlich, wenn auch periodisch. In diesem Fall bleiben also die Impulsvektoren im reziproken Gitter erhalten. Die Konservierung ist lokal wie bei kontinuierlichen Symmetrien.

Im Fall einer endlichen Gruppe von Symmetrien ist die konservierte Größe selbst diskret. Sie haben dann keine lokalen Naturschutzgesetze, da die konservierte Menge im Raum nicht kontinuierlich variieren kann. Für solche Symmetrien haben Sie jedoch immer noch eine konservierte Gebühr, die Einschränkungen (Auswahlregeln) für zulässige Prozesse vorsieht. Zum Beispiel können Sie für paritätsinvariante Theorien jedem Zustand eines Teilchens eine "Paritätsladung" geben, die einfach ein Vorzeichen ist, und die Gesamtladung muss für jeden Prozess erhalten bleiben, andernfalls ist die Amplitude dafür Null.

In einem Satz ausgedrückt, besagt Noethers erster Satz, dass eine kontinuierliche, globale Off-Shell-Symmetrie einer Aktion $ S $ ein lokales On-Shell-Erhaltungsgesetz impliziert. Mit den Wörtern on-shell und off-shell ist gemeint, ob die Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen erfüllt sind oder nicht.

Nun fragt die Frage, ob stetig kann durch diskret ersetzt werden?

Es sollte sofort betont werden, dass der Noether-Satz eine Maschine ist, die für jede Eingabe geeignet ist in Form einer angemessenen Symmetrie ergibt sich eine Ausgabe in Form eines Erhaltungsgesetzes. Um zu behaupten, dass ein Noether-Theorem dahinter steckt, reicht es nicht aus, nur ein paar Paare aufzulisten (Symmetrie, Erhaltungsgesetz).

Wo könnte nun eine diskrete Version von Noethers Theorem leben? Eine gute Wette ist in einer diskreten Gitterwelt, wenn man endliche Differenzen anstelle von Differenzierung verwendet. Lassen Sie uns die Situation untersuchen.

Unsere intuitive Idee ist, dass endliche Symmetrien, z. B. Zeitumkehrsymmetrie usw., in einem Noether-Theorem in einer Gitterwelt nicht verwendet werden können, da sie in einer kontinuierlichen Welt nicht funktionieren. Stattdessen setzen wir unsere Hoffnungen auf diskrete unendliche Symmetrien, die zu kontinuierlichen Symmetrien werden, wenn die Gitterabstände auf Null gehen.

Stellen Sie sich der Einfachheit halber ein 1D-Punktteilchen vor, das sich nur an diskreten Positionen befinden kann $ q_t \ in \ mathbb {Z} a $ auf einem 1D-Gitter $ \ mathbb {Z} a $ mit Gitterabstand $ a $, und diese Zeit $ t \ in \ mathbb {Z} $ ist ebenfalls diskret. (Dies wurde z. B. in JC Baez und JM Gilliam, Lett. Math. Phys. 31 (1994) 205 untersucht; Hutspitze: Edward.) Die Geschwindigkeit ist die endliche Differenz

$$ v_ {t + \ frac {1} {2}}: = q_ {t + 1} -q_t \ in \ mathbb {Z} a, $$

und ist ebenfalls diskret. Die Aktion $ S $ ist

$$ S [q] = \ sum_t L_t $$

mit Lagrange $ L_t $ in der Form

$$ L_t = L_t (q_t, v_ {t + \ frac {1} {2}}). $$

Definieren Sie den Impuls $ p_ {t + \ frac {1} {2}} $ als

$$ p_ {t + \ frac {1} {2}}: = \ frac {\ partielles L_t} {\ partielles v_ {t + \ frac {1} {2}}}. $$

Naiv sollte die Aktion $ S $ für extremisiert werden. benachbarte virtuelle diskrete Pfade $ q: \ mathbb {Z} \ bis \ mathbb {Z} a $, um die Bewegungsgleichung zu finden. Es scheint jedoch nicht möglich zu sein, eine diskrete Euler-Lagrange-Gleichung auf diese Weise zu extrahieren, im Grunde genommen, weil es nicht ausreicht, Taylor in der Variation $ \ Delta q $ auf die erste Ordnung zu erweitern, wenn die Variation $ \ Delta q \ in \ mathbb {Z} a $ ist nicht infinitesimal. An diesem Punkt werfen wir unsere Hände in die Luft und erklären , dass der virtuelle Pfad $ q + \ Delta q $ (im Gegensatz zum stationären Pfad $ q $) nicht im Gitter liegen muss , aber dass es frei ist, kontinuierliche Werte in $ \ mathbb {R} $ anzunehmen. Wir können jetzt eine infinitesimale Variation durchführen, ohne uns um Beiträge höherer Ordnung kümmern zu müssen.

$$ 0 = \ delta S: = S [q + \ delta q] - S [q] = \ sum_t \ left [\ frac { \ partielles L_t} {\ partielles q_t} \ Delta q_t + p_ {t + \ frac {1} {2}} \ Delta v_ {t + \ frac {1} {2}} \ rechts] $$ $$ = \ sum_t \ links [\ frac {\ partielles L_t} {\ partielles q_t} \ Delta q_ {t} + p_ {t + \ frac {1} {2}} (\ Delta q_ {t + 1} - \ Delta q_t) \ rechts] $$$$ = \ sum_t \ left [\ frac {\ partielles L_t} {\ partielles q_t} - p_ {t + \ frac {1} {2}} + p_ {t- \ frac {1} {2}} \ rechts] \ delta q_t + \ sum_t \ links [p_ {t + \ frac {1} {2}} \ delta q_ {t + 1} -p_ {t- \ frac {1} {2}} \ delta q_t \ rechts ]. $$

Beachten Sie, dass die letzte Summe teleskopisch ist. Dies impliziert (mit geeigneten Randbedingungen) die diskrete Euler-Lagrange-Gleichung

$$ \ frac {\ partielles L_t} {\ partielles q_t} = p_ {t + \ frac {1} {2}} - p_ {t- \ frac {1} {2}}. $$

Dies ist die Evolutionsgleichung. Zu diesem Zeitpunkt ist nicht klar, ob eine Lösung für $ q: \ mathbb {Z} \ bis \ mathbb {R} $ auf dem Gitter $ \ mathbb {Z} a $ verbleibt, wenn wir zwei Anfangswerte auf dem Gitter angeben. Wir werden unsere Überlegungen von nun an aus Gründen der Konsistenz auf solche Systeme beschränken.

Als Beispiel kann man sich vorstellen, dass $ q_t $ eine zyklische Variable ist, d. h. dass $ L_t $ nicht von $ q_t $ abhängt. Wir haben daher eine diskrete globale Übersetzungssymmetrie $ \ Delta q_t = a $. Der Noetherstrom ist der Impuls $ p_ {t + \ frac {1} {2}} $, und das Noethererhaltungsgesetz besagt, dass der Impuls $ p_ {t + \ frac {1} {2}} $ erhalten bleibt. Dies ist sicherlich eine schöne Beobachtung. Dies bedeutet jedoch nicht unbedingt, dass ein Noether-Theorem dahinter steckt.

Stellen Sie sich vor, der Feind hat uns eine globale vertikale Symmetrie gegeben $ \ Delta q_t = Y (q_t) \ in \ mathbb {Z} a $, wobei $ Y $ eine beliebige Funktion ist. (Die Wörter vertikal und horizontal beziehen sich auf die Übersetzung in Richtung $ q $ bzw. $ t $. Der Einfachheit halber werden Symmetrien mit horizontalen Komponenten nicht erörtert.) Der offensichtliche Kandidat für den nackten Noether-Strom ist

$$ j_t = p_ {t- \ frac {1} {2}} Y (q_t). $$

Aber es ist Es ist unwahrscheinlich, dass wir beweisen können, dass $ j_t $ nur aus der Symmetrie $ 0 = S [q + \ Delta q] - S [q] $ erhalten bleibt, die nun unvermeidlich Beiträge höherer Ordnung beinhalten würde. Während wir aufhören, ein No-Go-Theorem zu deklarieren, sieht es sicherlich nicht vielversprechend aus.

Vielleicht wären wir erfolgreicher, wenn wir nur die Zeit diskretisieren und den Koordinatenraum kontinuierlich lassen? Ich werde möglicherweise in Zukunft mit einem Update darüber zurückkehren.

Ein Beispiel aus der kontinuierlichen Welt, das man sich gut merken sollte: Betrachten Sie ein einfaches Schwerkraftpendel mit Lagrange

$$ L (\ varphi, \ dot {\ varphi}) = \ frac {m} {2} \ ell ^ 2 \ dot {\ varphi} ^ 2 + mg \ ell \ cos (\ varphi) . $$

Es hat eine globale diskrete periodische Symmetrie $ \ varphi \ zu \ varphi + 2 \ pi $, aber der (Dreh-) Impuls $ p _ {\ varphi}: = \ frac {\ partielle L. } {\ partielle \ dot {\ varphi}} = m \ ell ^ 2 \ dot {\ varphi} $ wird nicht konserviert, wenn $ g \ neq 0 $.

Sie haben Kristallsymmetrien erwähnt. Kristalle haben eine diskrete Translationsinvarianz: Sie ist bei einer infinitesimalen Translation nicht invariant, sondern bei einer Translation durch einen Gittervektor invariant. Das Ergebnis davon ist die Erhaltung des Impulses bis zu einem reziproken Gittervektor .

Es gibt ein zusätzliches Ergebnis: Angenommen, der Hamilton-Operator selbst ist zeitunabhängig und die Symmetrie hängt damit zusammen ein Operator $ \ hat S $. Ein Beispiel wäre der Paritätsoperator $ \ hat P | x \ rangle = | -x \ rangle $. Wenn dieser Operator eine Symmetrie ist, ist $ [H, P] = 0 $. Da der Kommutator eines Operators mit dem Hamilton-Operator Ihnen auch die Ableitung gibt, haben Sie $ \ dot P = 0 $.

Tatsächlich gibt es Analogien oder Verallgemeinerungen von Ergebnissen, die sich im Normalfall auf Noether-Theoreme reduzieren und für diskret gelten (und nicht unbedingt diskretisiert em) >) Symmetrien (einschließlich CPT-ähnlicher Symmetrien)

Siehe beispielsweise: Anthony CL Ashton (2008) Conservation Laws and Non-Lie Symmetrien für lineare PDEs, Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 15: 3, 316-332, DOI: 10.2991 / jnmp.2008.15.3.5

Abstract We Einführung einer Methode zur Konstruktion von Erhaltungsgesetzen für eine große Klasse linearer partieller Differentialgleichungen. Im Gegensatz zum klassischen Ergebnis von Noether werden die konservierten Ströme durch jede Symmetrie des Operators erzeugt, einschließlich derjenigen vom Nicht-Lie-Typ. Ein explizites Beispiel für die Dirac-Gleichung ist, dass wir unsere Konstruktion verwenden, um eine Klasse von Erhaltungsgesetzen zu finden, die mit einer 64-dimensionalen Lie-Algebra diskreter Symmetrien verbunden sind, die CPT enthält.

Der folgende Weg ist eine sukzessive Lockerung der Bedingungen des Noether-Theorems über kontinuierliche (Lie) Symmetrien, die das Ergebnis in anderen Fällen verallgemeinern.

Zum Beispiel (von oben), Hervorhebung, Ergänzungen:

Die Verbindung zwischen Symmetrie und Erhaltungsgesetzen ist in der gesamten mathematischen Physik verankert, seit Emmy Noether 1918 ihre äußerst einflussreiche Arbeit veröffentlichte, die beide verbindet. .. [M] haben Ansätze zur Untersuchung von Naturschutzgesetzen auf verschiedene Weise vorgeschlagen. In jedem Fall wird ein Erhaltungsgesetz wie folgt definiert.

Definition 1. Sei $ \ Delta [u] = 0 $ ein Gleichungssystem in Abhängigkeit von den unabhängigen Variablen $ x = (x_1, \ dots, x_n) $, die abhängigen Variablen $ u = (u_1, \ dots, u_m) $ und Ableitungen davon. Dann wird ein Erhaltungsgesetz für $ \ Delta $ durch einige $ P = P [u] $ definiert, so dass: $$ {\ operatorname {Div} P \; \ Big |} _ {\ Delta = 0} = 0 \ tag {1.1} $$

wobei $ [u] $ die Koordinaten auf dem $ N $ -ten Strahl von $ u $ bezeichnet, wobei $ N $ beliebig ist.

Der Satz von Noether [ursprünglich] ist im [speziellen] anwendbar. Fall, in dem $ \ Delta [u] = 0 $ als Euler-Lagrange-Gleichung für ein zugehöriges Variationsproblem auftritt. Es ist bekannt, dass eine PDE genau dann eine Variationsformulierung aufweist, wenn sie eine selbstadjunkte Frechet-Ableitung aufweist. Das heißt: Wenn das Gleichungssystem $ \ Delta [u] = 0 $ so ist, dass $ D _ {\ Delta} = {D _ {\ Delta}} ^ * $, dann ist das folgende Ergebnis anwendbar.

Theorem (Noether). Für ein nicht entartetes Variationsproblem mit $ L [u] = \ int _ {\ Omega} \ mathfrak {L} dx $ ist die Entsprechung zwischen nichttrivialen Äquivalenzklassen von Variationssymmetrien von $ L [u] $ und nichttriviale Äquivalenzklassen von Erhaltungsgesetzen sind eins zu eins.

[..] Angesichts der Tatsache, dass [der allgemeine Satz von Symmetrien] weitaus größer ist als die in In der klassischen Arbeit von Noether besteht möglicherweise eine noch stärkere Übereinstimmung zwischen Symmetrie- und Erhaltungsgesetzen für PDEs [..]

Definition 2. Wir sagen, der Operator $ \ Gamma $ ist eine Symmetrie der linearen PDE $ \ Delta [u] \ equiv L [u] = 0 $, wenn ein Operator $ \ alpha _ {\ Gamma} $ existiert, so dass: $$ [L, \ Gamma] = \ alpha _ {\ Gamma} L $$ wobei $ [\ cdot, \ cdot] $ den Kommutator durch die Zusammensetzung der Operatoren bezeichnet, also $ L \ Gamma = L \ ci rc \ Gamma $. Wir bezeichnen die Menge all dieser Symmetrien mit $ sym (\ Delta) $.

Folgerung 1. Wenn $ L $ selbstadjunkt oder schiefadjunkt ist, dann jedes $ \ Gamma \ in sym (L) $ generiert ein Erhaltungsgesetz.

Speziell für die Dirac-Gleichung und CPT Symmetrie Das folgende Erhaltungsgesetz wird abgeleitet ( ibid. ):

Nein, weil diskrete Symmetrien keine infinitesimale Form haben, die das (charakteristische) Erhaltungsgesetz hervorrufen würde. Siehe auch diesen Artikel für eine detailliertere Diskussion.

Ernüchternde Gedanken:

Naturschutzgesetze beziehen sich nicht auf eine Symmetrie , um die Wahrheit zu sagen. Für ein mechanisches System mit N Freiheitsgraden gibt es immer N konservierte Mengen. Sie sind komplizierte Kombinationen der dynamischen Variablen. Ihre Existenz wird mit der Existenz der Problemlösungen versehen.

Wenn es eine Symmetrie gibt, sehen die konservierten Größen nur einfacher aus.

BEARBEITEN: Ich weiß nicht, wie sie Sie lehren Die Erhaltungssätze beziehen sich jedoch nicht auf den Noether-Satz. Letzteres zeigt nur, wie man aus dem Problem Lagrangian und den Problemlösungen einige konservierte Größen konstruiert. Jede Kombination von konservierten Mengen ist auch eine konservierte Menge. Was Noether gibt, ist also überhaupt nicht einzigartig.

Wie bereits gesagt, hängt dies davon ab, welche Art von "diskreter" Symmetrie Sie haben: Wenn Sie eine gutgläubige diskrete Symmetrie haben, wie z. $ \ mathbb {Z} _n $, dann ist die Antwort im Kontext von Nöthers Theorem (en) negativ - obwohl es Schlussfolgerungen gibt, die Sie ziehen können, wie Moshe R. erklärte.

Wenn Sie jedoch von einer diskretisierten Symmetrie sprechen, dh einer kontinuierlichen Symmetrie (global oder lokal), die irgendwie diskretisiert wurde, dann haben Sie ein Analogon zu Nöthers Theorem (en) à la Regge-Kalkül. Ein guter Vortrag, in dem einige dieser Konzepte vorgestellt werden, ist Diskrete Differentialformen, Eichentheorie und Regge-Kalkül (PDF): Unter dem Strich müssen Sie ein Finite-Differenzen-Schema finden, das Ihr Differential (und / oder) bewahrt oder Eich) Struktur.

Es gibt eine große Literatur zu Finite-Differenzen-Schemata für Differentialgleichungen (gewöhnlich und partiell).

Vielleicht,

http://www.technologyreview.com/blog/arxiv/26580/

Ich bin kein Experte, aber ich habe das vor ein paar Wochen gelesen. In dieser Arbeit betrachten sie ein 2D-Gitter und konstruieren ein Energieanalogon. Sie zeigen, dass es sich so verhält, wie es Energie sollte, und schließen daraus, dass Raum-Zeit unveränderlich sein muss, damit diese Energie erhalten bleibt.

Siehe:

• John David Logan, „ Erste Integrale in der diskreten Variationsrechnung“, Æquationes Mathematicæ 9, No.2 (1. Juni 1973): 210–20.DOI: 10.1007 / BF01832628.

  In diesem Artikel soll gezeigt werden, dass erste Integrale der diskreten Euler-Gleichung explizit bestimmt werden können, indem die Invarianzeigenschaften des diskreten Lagrange untersucht werden.Das erhaltene Ergebnis ist ein diskretes Analogon des klassischen Satzes von E. Noether in der Variationsrechnung.

Die Erhaltung der elektrischen Ladung ist eine "diskrete" Symmetrie. Quarks und Anti-Quarks haben diskrete fraktionierte elektrische Ladungen (± 1/3, ± 2/3). Elektronen, Positronen und Protonen haben ganzzahlige Ladungen.