Lassen Sie $$ \ psi (x) = \ begin {Fälle} 1 & \ existiert \, n \ in \ mathbb N: x \ in [n, n + \ frac 1 {n ^ 2}] \\ 0 & \ text {sonst.} \ end {Fälle} = \ sum_ {n \ in \ mathbb N} \ mathbf 1 _ {[n, n + \ frac 1 {n ^ 2}]} (x), $$ Dabei ist $ \ mathbf 1_A $ die charakteristische Funktion der Menge $ A $. Dann $$ \ int _ {- \ infty} ^ \ infty | \ psi (x) | ^ 2 dx = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac 1 {n ^ 2} < \ infty, $$ aber $ \ psi (x) $ konvergiert nicht gegen Null als $ x \ gegen + \ infty $.

Beachten Sie, dass $ \ psi \ in L ^ 2 (\ mathbb R) $ ist, aber nicht zweimal (schwach) differenzierbar ist und daher nicht die Lösung für Schrödingers Gleichung mit $ H = - \ Delta + V $ sein kann.Dieses Problem kann jedoch leicht gelöst werden, indem die Rechteckfunktion durch einen glatten Impuls mit kompakter Unterstützung ersetzt wird.Alternativ verwenden $$ \ psi (x) = x ^ 2 \ mathrm e ^ {- x ^ 8 \ sin ^ 2 x}, $$ wie in Beispiel 2 von §2.1 in arXiv: quant-ph / 9907069 erläutert - dies ist sogar analytisch.

Emilio Pisanty und Eckhard Giere haben in ihren Antworten bereits diskontinuierliche, stückweise konstante Gegenbeispiele gegeben. Hier bieten wir zum Spaß ein glattes, unendlich vielfach differenzierbares Gegenbeispiel $ f \ in C ^ {\ infty} (\ mathbb {R}) $ einer quadratisch integrierbaren Funktion $ f: \ mathbb {R} \ bis [0,1] $, die nicht $ \ lim_ {| x | \ bis \ infty} erfüllen f (x) = 0 $. Unser Gegenbeispiel ist

$$ \ tag {1} f (x) ~: = ~ e ^ {- g (x)} ~ \ in ~] 0,1], \ qquad g (x) ~: = ~ x ^ 4 \ sin ^ 2 x ~ \ in ~ [0, \ infty [. $$

Intuitive Idee: Wenn wir uns $ x $ als Zeitvariable vorstellen, kehrt die Funktion $ f $ periodisch zu ihrem Maximalwert

$ zurück $ \ tag {2} f (x) = 1 \ quad \ Leftrightarrow \ quad g (x) = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ frac {x} {\ pi} \ in \ mathbb {Z}, $$

verbringt aber am meisten, wenn seine Zeit nahe an der $ x $ -Achse liegt, um quadratisch integrierbar zu sein.

Beweis: Wir hinterlassen ein detailliertes, strenges Epsilon- Delta mathematischer Beweis für den Leser, aber ein skizzierter heuristischer Beweis geht so. Definieren Sie für jede sehr große Ganzzahl $ | n | \ gg 1 $ eine verschobene Variable

$$ \ tag {3} y ~: = ~ x- \ pi n. $$

Nehmen Sie für die feste Ganzzahl $ n \ in \ mathbb {Z} $ von nun an immer an, dass die Variable $ y $ zum Intervall

$$ \ tag {4} | y | gehört ~ \ leq ~ \ frac {\ pi} {2}. $$

Für $ | y | \ ll \ frac {\ pi} {2} $ sehr klein können wir $ g (x annähern ) \ approx (\ pi n) ^ 4y ^ 2 $, so dass wir im Intervall (4)

$$ \ tag {5} g (x) ~ \ lesssim ~ \ pi ^ haben 4 | n | \ quad \ Leftrightarrow \ quad | y | ~ \ lesssim ~ | n | ^ {- \ frac {3} {2}}. $$

Somit können wir eine quadratisch integrierbare Hauptfunktion $ h \ geq f $ bilden (außerhalb eines kompakten Bereichs auf die $ x $ -Achse) durch Definieren von

$$ \ tag {6} h (x) ~: = ~ \ left \ {\ begin {array} {lcl} 1 & {\ rm for} & | y | ~ \ lesssim ~ | n | ^ {- \ frac {3} {2}}, \ cre ^ {- \ pi ^ 4 | n |} & {\ rm für} & | n | ^ {- \ frac {3 } {2}} ~ \ lesssim ~ | y | ~ \ leq ~ \ frac {\ pi} {2}, \ end {array} \ right. \ qquad | n | \ gg 1. $$

Die Funktion $ h \ in {\ cal L} ^ 2 (\ mathbb {R}) $ ist auf der gesamten $ x $ -Achse quadratisch integrierbar , seit

$$ \ tag {7} \ sum_ {n \ neq 0} | n | ^ {- \ frac {3} {2}} ~ < ~ \ infty $$

und

$$ \ tag {8} \ pi \ sum_ {n \ in \ mathbb {Z}} e ^ {- 2 \ pi ^ 4 | n |} ~ < ~ \ infty $$

sind konvergente Reihen.

Abgesehen davon, dass dies nicht ausreicht, um die Konvergenz des Integrals $$ \ int | f (x) | ^ 2 \ text dx< \ infty zu beweisen, hat $$ die verschwindende Grenze $ \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} f ( x) = 0 $ ist nur für die Konvergenz innerhalb einer geeigneten Klasse von "netten" Funktionen erforderlich.

Betrachten Sie beispielsweise die Funktion $$ f (x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ chi _ {\ left [n, n + \ frac1 {n ^ 2} \ right]} (x) = \ left \ {\ begin {array} &1 \ text {if} n \ leq x \ leq n + 1 / n ^ 2 \ text {für einige} n = 1,2,3, \ ldots, \\ 0 \ text {sonst.} \ end {array} \ right. $$ (Hier ist $ \ chi_A $ das charakteristische Funktion einer Menge $ A \ subseteq \ mathbb R $.) Diese Funktion hat ein konvergentes $ L ^ 2 $ -Integral, aber keine genau definierte Grenze im Unendlichen. Diese Funktion ist zwar nicht kontinuierlich, aber mit geeigneten Bump-Funktionen können Sie eine ähnliche $ C ^ \ infty $ -Funktion mit denselben Eigenschaften erstellen. Dies ist die Art von Funktion, die Sie zulassen, wenn Sie im Unendlichen keine Fluchtgrenzen festlegen - dh ziemlich hässlich.

Genauer gesagt, Ihre Wellenfunktion folgt einer stationären Schrödinger-Gleichung mit der Energie $ E $ für ein potentielles $ V $, so dass $ \ lim_ {x \ rightarrow} V (x) >E $ (dh ein gebundener Zustand). Dann wissen Sie, dass $ f '' (x) $ im Unendlichen das gleiche Vorzeichen wie $ f $ hat, was wir als positiv annehmen können. Wenn $ f '(x) $ in dieser Region jemals Null ist, dann wissen Sie, dass es für alle $ x $ danach positiv ist und $ f (x) $ monoton ansteigt, in welchem ​​Fall $ L ^ 2 $ Integral hat keine Chance auf Konvergenz. In dieser speziellen Einstellung können Sie sich dann auf monoton abnehmende Funktionen beschränken, und diese sind so nett, dass die verschwindende Grenze im Unendlichen für die Konvergenz von $ L ^ 2 $ erforderlich ist.

(Wenn ich die Zeit finde, folgt ein strengeres Argument.)