Dies ist mathematisch gesehen eine sehr schwierige Frage. Physiker mögen diese Frage für trivial halten. Aber ich brauche eine Stunde in einer Mathe-Sommerschule, um den Begriff des lückenhaften Hamiltonian zu erklären.

Um zu sehen, warum es schwierig ist, betrachten wir die folgenden Aussagen. Jedes physikalische System hat eine endliche Anzahl von Freiheitsgraden (vorausgesetzt, das Universum ist endlich). Ein solches physikalisches System wird durch eine Hamilton-Matrix mit einer endlichen Dimension beschrieben. Jede Hamilton-Matrix mit einer endlichen Dimension hat ein diskretes Spektrum. So sind alle physikalischen Systeme (oder alle Hamilton-Systeme) lückenhaft.

Sicher, das Obige ist nicht das, was wir in der Physik unter "lückenhaftem Hamiltonian" verstehen. Aber was bedeutet es für einen Hamiltonianer, lückenhaft zu sein? den Hamiltonianer auf ein Feld ohne Grenze zu setzen. Außerdem kann ein System mit bestimmten Größen nicht triviale Anregungen enthalten (z. B. den Spin-Liquid-Zustand von Spin-1/2-Spins auf einem Gitter mit einer ODD-Anzahl von Stellen), sodass wir angeben müssen, dass das System eine bestimmte Größenfolge aufweist Wenn wir die thermodynamische Grenze nehmen.

Hier ist also eine Definition von "Gaped Hamiltonian" in der Physik: Betrachten Sie ein System auf einem geschlossenen Raum, wenn es eine Folge von Größen des Systems $ L_i $, $ L_i gibt \ to \ infty $ als $ i \ to \ infty $, so dass das size- $ L_i $ -System auf geschlossenem Raum die folgende "Gap-Eigenschaft" hat, dann wird das System als lückenhaft bezeichnet. Beachten Sie, dass der Begriff "lückenhafter Hamiltonianer" nicht einmal für einen einzelnen Hamiltonianer definiert werden kann. Es ist eine Eigenschaft einer Folge von Hamiltonian in der großen Größenbeschränkung.

Hier ist die Definition der "Gap-Eigenschaft": Es gibt ein festes $ \ Delta $ (dh unabhängig von $ L_i $), so dass Die Größe $ L_i $ Hamiltonian hat keinen Eigenwert in einem Energiefenster der Größe $ \ Delta $. Die Anzahl der Eigenzustände unterhalb des Energiefensters hängt nicht von $ L_i $ ab, der Energieaufteilung dieser Eigenzustände unterhalb des Energiefensters nähert sich Null als $ L_i \ bis \ infty $.

Die Zahlseigenzustände unterhalb des Energiefensters werden zur Grundzustandsentartung des Lückensystems. Auf diese Weise wird die Grundzustandsentartung eines topologisch geordneten Zustands Ich frage mich, ob jemand, der die Definition eines lückenhaften Vielkörpersystems sehr sorgfältig überlegt hätte, den Begriff der topologischen Ordnung mathematisch entdeckt hätte.

Lücken oder lückenlose Unterscheidungen unterscheiden zwischen kontinuierlichen und diskreten Spektren energiearmer Anregungen. Für ein Hamilton-$ H $ mit Lückenspektrum hat der erste angeregte Zustand einen Energieeigenwert $ E_1 $, der durch eine Lücke $ \ Delta > 0 $ vom Grundzustand $ E_0 $ getrennt ist. Beispielsweise ist eine Dispersionsrelation der Form $ E = | k | $ ein Beispiel für ein lückenloses (kontinuierliches) Spektrum, während $ E = \ sqrt {k ^ 2 + m ^ 2} $ ein Beispiel für eine Lücke ist . $ k $ bezeichnet den Wellenvektor und kann eine beliebige reelle Zahl sein. $ m $ ist die Masse, die in diesem Fall die Ursache für die Lücke ist.

Diese Unterscheidung führt zu einem qualitativen Unterschied im physikalischen Verhalten von Systemen mit und ohne Lücke - vor allem bestimmt sie, ob es sich bei einem Material um ein Material handelt Leiter oder ein Isolator. Es gibt ziemlich faszinierende Prozesse, die zu einer Lücke wie Wechselwirkungen führen können (interessante Beispiele sind die Massenlücke in der Yang-Mills-Theorie oder die Lücke in der BCS-Supraleitung).

Lücken und Lücken sind normalerweise Attribute für Vielkörper-Hamiltonianer. Ein lückenhafter Hamilton-Operator ist einfach einer, für den zwischen dem Grundzustand und dem ersten angeregten Zustand eine Lücke ungleich Null besteht.

Eine kurze Bemerkung zum "bearbeiteten" Teil Ihrer Frage (ob es eine Lücke in der XX-Kette gibt oder nicht). Die XX-Spin-Kette in einem Magnetfeld, dh das durch das Hamilton-Modell

$$ H = \ sum_i (\ sigma ^ {x} _i \ sigma ^ {x} _ {i + 1} definierte Modell + \ sigma ^ {y} _i \ sigma ^ {y} _ {i + 1} + h \ sigma ^ {z} _i) $$

ist lückenhaft, wenn $ | h | > 1 $. Dies ist kein sehr schwieriges Ergebnis, es kommt sofort heraus, wenn Sie die übliche Jordan-Wigner- und Fourier-Transformation nach dem berühmten Artikel von Lieb, Schultz und Mattis (Ann. Phys. 16, 407, (1961)) durchführen (obwohl dort fehlen die $ \ sigma ^ {z} _i $ Begriffe, aber sie sind nicht schwer zu integrieren).

Ich möchte diesen Antworten nur ein wenig im Lichte der Bearbeitung der Frage hinzufügen, die "XX Spin Chains" als Kontext für diese Frage einführt. Ich habe hier ein Tutorial zu Spin Chains gefunden. Im Grunde sind es N Drehungen auf einer Linie. Hier ist der Hamilton-Operator aus diesem Artikel mit N = 2.

$ H_ {12} = J / 4 (\ sigma_1 ^ x \ sigma_2 ^ x + \ sigma_1 ^ y \ sigma_2 ^ y + \ sigma_1 ^ z \ sigma_2 ^ z - I \ times I) $

Abhängig vom Vorzeichen von J hat dies entweder 3 entartete Grundlösungen plus eine angeregte Lösung oder eine Grundlösung. Dies ist ein Grundmodell für ferromagnetische / antiferromagnetische Zustände. In diesem Fall haben die Lösungen eine Lücke. Sie werden immer noch eine Lücke für General N haben.

In jüngster Zeit wurden jedoch viele Entwicklungen dieses weitgehend integrierbaren Modells durchgeführt, beispielsweise mit einem angelegten kontinuierlichen Magnetfeld. In einigen dieser Fälle kann das Modell lückenlos sein. Es stellt sich auch die Frage, was das Modell in der thermodynamischen Grenze $ N \ rightarrow \ infty $ impliziert.