TL; DR: Ja, ist nur eine Abkürzung. Der Hauptpunkt ist, dass die komplexierte Karte

$$ \ tag {A} \ begin {pmatrix} \ phi \\ \ phi ^ {*} \ end {pmatrix} ~ = ~ \ begin {pmatrix} 1 & i \\ 1 &-i \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ phi_1 \\ \ phi_2 \ end {pmatrix} $$

ist eine bijektive Karte: $ \ mathbb {C} ^ 2 \ to \ mathbb {C} ^ 2 $.

Notation in dieser Antwort: In dieser Antwort bezeichnen $ \ phi, \ phi ^ {*} \ in \ mathbb {C} $ zwei unabhängige komplexe Felder. $ \ Overline {\ phi} $ bezeichne das komplexe Konjugat von $ \ phi $.

I) Beginnen wir mit dem Anfang. Stellen Sie sich vor, wir betrachten eine Feldtheorie eines komplexen Skalarfeldes $ \ phi $. Wir erhalten eine Lagrange-Dichte

$$ \ tag {B} {\ cal L} ~ = ~ {\ cal L} (\ phi, \ overline {\ phi}, \ partiell \ phi, \ partielle \ overline {\ phi}) $$

, die ein Polynom in $ \ phi $, $ \ overline {\ phi} $ und Raumzeitableitungen davon ist. Wir können ein komplexes Feld immer in Real- und Imaginärteile zerlegen.

$$ \ tag {C} \ phi ~ \ equiv ~ \ phi_1 + i \ phi_2, $$

wobei $ \ phi_1, \ phi_2 \ in \ mathbb {R} $. Daher können wir die Lagrange-Dichte (B) als Theorie zweier reeller Felder

$$ \ tag {D} {\ cal L} ~ = ~ {\ cal L} (\ phi_1, \ phi_2) umschreiben , \ partiell \ phi_1, \ partiell \ phi_2). $$

II) Wir können auf mindestens drei Arten fortfahren:

1. Variieren Sie die Aktion wrt. Die beiden unabhängigen reellen Variablen $ \ phi_1, \ phi_2 \ in \ mathbb {R} $.

2. Ursprünglich sind $ \ phi_1, \ phi_2 \ in \ mathbb {R} $ Natürlich zwei echte Felder. Aber wir können sie komplexieren, die Aktion variieren. die zwei unabhängigen komplexen Variablen $ \ phi_1, \ phi_2 \ in \ mathbb {C} $, wenn wir am Ende der Berechnung die beiden realen Bedingungen $$ \ tag {E} {\ rm Im} (\ phi_1) ~ auferlegen = ~ 0 ~ = ~ {\ rm Im} (\ phi_2). $$

3. Oder gleichwertig können wir das komplexe konjugierte Feld $ \ overline {\ phi} \ zu \ phi ^ {*} $ in der Lagrange-Dichte (B) durch ein unabhängiges neues ersetzen komplexe Variable $ \ phi ^ {*} $, dh behandeln Sie $ \ phi $ und $ \ phi ^ {*} $ als zwei unabhängige komplexe Variablen, variieren Sie die Aktion wrt. die zwei unabhängigen komplexen Variablen $ \ phi, \ phi ^ {*} \ in \ mathbb {C} $, wenn wir am Ende der Berechnung die komplexe Bedingung $$ \ tag {F} \ phi ^ {*} ~ auferlegen = ~ \ overline {\ phi}. $$

ol>

III) Die Euler-Lagrange-Gleichungen, die wir über die beiden Methoden (1) und (2) ableiten, sind offensichtlich genau gleich. Die Euler-Lagrange-Gleichungen, die wir über die beiden Methoden (2) und (3) ableiten, sind nur lineare Kombinationen voneinander mit Koeffizienten, die durch die konstante Matrix aus Gl. (A).

IV) Der Vollständigkeit halber erwähnen wir, dass die komplexierte Theorie [d.h. Die Theorie, die wir erhalten würden, wenn wir Bedingung (E) oder äquivalent Bedingung (F) nicht auferlegen würden, ist typischerweise nicht einheitlich und daher als QFT schlecht definiert. Erinnern Sie sich zunächst daran, dass wir normalerweise verlangen, dass die Lagrange-Dichte real ist.

Referenzen:

1. Sidney Coleman, QFT-Notizen; p. 56-57.
ol>

Ich möchte einen Kommentar abgeben, der die Dinge ein wenig verdeutlichen und vereinfachen kann.

Bei komplexen Analysen [siehe z. `` Einführung in die komplexe Analyse "von BV Shabat] per Definition Ableitungen über die komplexen Variablen $ z $ und $ \ bar z $ sind gegeben durch: $$ \ mbox {def:} \ quad \ teilweise_z \ equiv \ frac {1} {2} \ left (\ partielle _ {\ rm a} - i \ partielle_ {b} \ rechts) \ quad \ partielle _ {\ bar z} \ equiv \ frac {1} {2} \ links (\ partiell _ {\ rm a} + i \ partiell_ {b} \ rechts), $$ wobei $ a $ und $ b $ entsprechend für Real- und Imaginärteile von $ z $ stehen. Die Gleichungen $$ \ partiell_ {z } \ bar z = 0 \ quad \ mbox {und} \ quad \ partielle _ {\ bar z} z = 0 $$ implizieren, dass die Variationen über z und $ \ bar z $ sind unabhängig, während die Variablen $ z $ und $ \ bar z $ (die sich gegenseitig komplex konjugieren) nicht em sind > unabhängig. Es gibt keine Verdoppelung der Freiheitsgrade, aber einer kann über das Feld variieren und konjugiert sein, wenn man sie als unabhängig betrachtet.

Natürlich ist die Antwort von @ QMechanic richtig.

Ich möchte einen sehr einfachen Grund dafür aufzeigen (und auch auf mögliche Verallgemeinerungen hinweisen)

Erstens ist jede komplexe Zahl $ z = a + bi $ zweidimensional und jeder Teil (der Realteil $ a $ oder der Imaginärteil $ bi $) kann völlig unabhängig voneinander sein. Infolgedessen kann eine komplexe Zahl in komprimierter Form 2 Zahlen darstellen. Darüber hinaus bedeutet dies auch, dass eine komplexe Zahl, die vollständig bestimmt werden soll, auch jede der Dimensionen bestimmt werden muss .

Andererseits ist aus jeder komplexen Zahl $ z = a + bi $ (zusammen mit seinem komplexen Konjugat $ \ bar {z} = a-bi $) kann man 2 reelle Zahlen ($ a $, $ b $) wie folgt berechnen:

$$ a = (z + \ bar {z}) / 2 $$

$$ b = (z - \ bar {z}) / {2i} $$

Da $ a $ und $ b $ völlig unabhängig voneinander sein können, können auch $ z $ und $ \ bar {z} $ unabhängig voneinander sein.

Es gibt eine vollständige Symmetrie der Darstellung (wenn ein solcher Begriff verwendet werden kann).

Dies bedeutet, dass in QFT (zum Beispiel) anstelle von Variationen der realen Felder $ a $, $ b $ gleichwertig gearbeitet werden kann (aus dem gleichen Grund) Variieren Sie die komplexen Felder $ z $, $ \ bar {z} $ usw.

UPDATE:

Um in die abstrakte Mathematik einzusteigen a wenig mehr.

Komplexe Konjugation ist (der natürliche) Automorphismus des Feldes komplexer Zahlen. Darüber hinaus kann das komplexe Konjugat einer komplexen Zahl $ z $ nicht aus einer analytischen Funktion von $ z $ abgeleitet werden (was ungefähr rationale Funktionen von bedeutet $ z $ und Potenzreihen). Dies macht das komplexe konjugierte $ \ bar {z} $ zu einem natürlichen Kandidaten für die Behandlung als separates Feld.

Quiz: Wie viele Komponenten werden benötigt, um die Geschwindigkeit $ v = dx zu berechnen / dt $ eines Objekts mit der Position $ x $, und können diese als unabhängig betrachtet werden? Oder mit anderen Worten, wenn wir die Position $ x $ (zu einem bestimmten Zeitpunkt $ t $) kennen, können wir auch die Geschwindigkeit $ v $ (zur gleichen Zeit) kennen?

(Dieser Beitrag ist eine Antwort auf die dort als doppelt markierte Frage: Unabhängige Felder und die Lagrange-Dichte der Schrödinger-Gleichung)

Die Lagrange-Dichte der Schr $ \ ddot {\ bf o} $ span> -Dinger-Gleichung

Die Notwendigkeit, die komplexen Felder $ \: \ psi, \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \: $ span> als unabhängig zu behandeln, wird in der nach dem Versuch, eine akzeptierte Lagrange-Dichte für die Schr $ \ ddot {\ rm o} $ span> -Dinger-Gleichung zu erstellen.

Mit echtem Potenzial $ V $ span> die Schr $ \ ddot {\ rm o} $ span> -Dinger-Gleichung und sein komplexes Konjugat sind \ begin {align} & \ hphantom {-} \! I \ hbar \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} \: \ boldsymbol {+} \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 \ psi \: \: \ boldsymbol {-} V \ left (\ mathbf {x}, t \ right) \ psi \, \ boldsymbol {=} 0 \ ,, \ quad \, \ psi \, \ left (\ mathbf { x}, t \ right) \ in \ mathbb {C} \ ,, \ quad \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} \, \ boldsymbol {\ equiv} \ dfrac {\ partiell \ psi} { \ partielle t} \ tag {C-01.1} \ label {eqC-01.1} \\ & \ boldsymbol {-} i \ hbar \ overset {\! \ Centerdot} {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} \! \ Boldsymbol {+} \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ boldsymbol {-} V \ left (\ mathbf {x}, t \ right) \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \! \ boldsymbol {=} 0 \ ,, \ quad \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \! \ left (\ mathbf {x}, t \ right) \ in \ mathbb {C} \ ,, \ quad \ overset {\! \ centerdot} {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} \! \! \ boldsymbol {\ equiv} \ dfrac {\ teilweise \ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} {\ partielle t} \ tag {C-01.2} \ label {eqC-01.2} \ end {align} span>

Um eine Lagrange-Dichte zu finden, wechseln wir von den komplexen Feldern $ \ psi, \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} $ span> zu den realen Feldern $ \ psi_1, \ psi_2 $ span> - die Real- und Imaginärteile von $ \ psi $ span> \ begin {Gleichung} \links. \ begin {Fälle} \ psi \: \ boldsymbol {=} \ psi_1 \ boldsymbol {+} \ mathrm i \, \ psi_2 \\ \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \! \ boldsymbol {=} \ psi_1 \ boldsymbol {-} \ mathrm i \, \ psi_2 \ end {Fälle} \! \Recht\} \ qquad \ psi_1, \ psi_2 \ in \ mathbb {R} \ tag {C-03} \ label {eqC-03} \ end {Gleichung} span>

Hinzufügen von \ eqref {eqC-01.1} $ \ boldsymbol {+} $ span> \ eqref {eqC-01.2} $ \ boldsymbol {\ Longrightarrow} $ span>

\ begin {Gleichung} \ mathrm i \ hbar \ left (\ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} \ boldsymbol {-} \ overset {\! \ centerdot} {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} \ right) \ boldsymbol {+} \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 \ left (\ psi \ boldsymbol {+} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ right) \ boldsymbol {-} V \ left (\ psi \ boldsymbol {+} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ right) \ boldsymbol {=} 0 \keine Nummer \ end {Gleichung} span>

\ begin {Gleichung} \ boxed {\: \: \ boldsymbol {-} \ hbar \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _2 \ boldsymbol {+} \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 \ psi_1 \ boldsymbol {-} V. \ psi_1 \ boldsymbol {=} 0 \: \:} \ tag {C-04} \ label {eqC-04} \ end {Gleichung} span>

Subtrahieren von \ eqref {eqC-01.1} $ \ boldsymbol {-} $ span> \ eqref {eqC-01.2} $ \ boldsymbol {\ Longrightarrow} $ span>

\ begin {Gleichung} \ mathrm i \ hbar \ left (\ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} \ boldsymbol {+} \ overset {\! \ centerdot} {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} \ right) \ boldsymbol {+} \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 \ left (\ psi \ boldsymbol {-} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ right) \ boldsymbol {-} V \ left (\ psi \ boldsymbol {-} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ right) \ boldsymbol {=} 0 \keine Nummer \ end {Gleichung} span>

\ begin {Gleichung} \ boxed {\: \: \ hphantom {\ boldsymbol {-}} \ hbar \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _1 \ boldsymbol {+} \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 \ psi_2 \ boldsymbol {-} V \ psi_2 \ boldsymbol {=} 0 \: \:} \ tag {C-05} \ label {eqC-05} \ end {Gleichung} span> Die Gleichungen \ eqref {eqC-04}, \ eqref {eqC-05} sind unabhängig von den realen Feldern $ \ psi_1, \ psi_2 $ span>. Wir müssen diese Felder also als unabhängig behandeln. Diese beiden Gleichungen sind Kandidaten als Euler-Lagrange-Gleichungen der Schr $ \ ddot {\ rm o} $ span> -Dinger-Gleichung.

Betrachten Sie also die Lagrange-Dichte als Funktion dieser Felder und ihrer Raum-Zeit-Ableitungen
\ begin {Gleichung} \ mathcal {L} \ left (\ psi_1, \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1, \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _1, \ psi_2, \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_2, \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _2 \ right) \ tag {C-06} \ label {eqC-06} \ end {Gleichung} span> Die Euler-Lagrange-Gleichungen sind \ begin {Gleichung} \ dfrac {\ partiell} {\ partiell t} \ left (\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _k} \ rechts) \ boldsymbol { +} \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ cdot} \ left [\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ psi_k \ rechts)} \ rechts] \ Boldsymbol {-} \ dfrac {\ Partial \ Mathcal {L}} {\ Partial \ Psi_k} \ Boldsymbol {=} 0 \ ,, \ Quad k = 1,2 \ tag {C-07} \ label {eqC-07} \ end {Gleichung} span> das ist \ begin {align} \ dfrac {\ partiell} {\ partiell t} \ left (\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _1} \ rechts) \ boldsymbol { +} \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ cdot} \ left [\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1 \ rechts)} \ rechts] \ Boldsymbol {-} \ dfrac {\ Partial \ Mathcal {L}} {\ Partial \ Psi_1} & \ Boldsymbol {=} 0 \ tag {C-08.1} \ label {eqC-08.1} \\ \ dfrac {\ partiell} {\ partiell t} \ left (\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _2} \ rechts) \ boldsymbol { +} \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ cdot} \ left [\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ psi_2 \ rechts)} \ rechts] \ Boldsymbol {-} \ dfrac {\ Partial \ Mathcal {L}} {\ Partial \ Psi_2} & \ Boldsymbol {=} 0 \ tag {C-08.2} \ label {eqC-08.2} \ end {align} span> Ausdrücken der Gleichungen \ eqref {eqC-04} und \ eqref {eqC-05} in ähnlichen Formen wie \ eqref {eqC-07} \ begin {align} \ dfrac {\ partiell} {\ partiell t} \ links (\ boldsymbol {-} \ hbar \ psi_2 \ rechts) \ boldsymbol {+} \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ cdot} \ biggl [\ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1 \ biggr] \ boldsymbol {-} V \ psi_1 & \ boldsymbol {=} 0 \ tag {C-09.1} \ label {eqC-09.1} \\ \ dfrac {\ partiell} {\ partiell t} \ links (\ boldsymbol {+} \ hbar \ psi_1 \ rechts) \ boldsymbol {+} \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ cdot} \ biggl [\ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_2 \ biggr] \ boldsymbol {-} V \ psi_2 & \ boldsymbol {=} 0 \ tag {C-09.2} \ label {eqC-09.2} \ end {align} span> Wenn wir annehmen, dass \ eqref {eqC-09.1} und \ eqref {eqC-09.2} aus \ eqref {eqC-08.1} bzw. \ eqref {eqC-08.2} erzeugt werden, haben wir gute Gründe, Folgendes zu erraten \ begin {Gleichung} \links. \ begin {Fälle} \ left (\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _2} \ rechts) \ stackrel {\ text {zu geben}} {- \! \! \! - \! \! \! \ longrightarrow} \ alpha \, \ hbar \, \ psi_1 \\ \ left (\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _1} \ rechts) \ stackrel {\ text {zu geben}} {- \! \! \! - \! \! \! \ longrightarrow} \ beta \, \ hbar \, \ psi_2 \ end {Fälle} \Recht\} \ Longrightarrow \links. \ begin {Fälle} \ alpha \, \ hbar \, \ psi_1 \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _2 \ in \ mathcal {L} \ vphantom {\ left (\ dfrac {\ partielle \ mathcal {L}} { \ partielle \ Übermenge {\: \: \ centerdot} {\ psi} _2} \ rechts)} \\ \ beta \, \ hbar \, \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _1 \ psi_2 \ in \ mathcal {L} \ vphantom {\ left (\ dfrac {\ partielle \ mathcal {L}} { \ partielle \ Übermenge {\: \: \ centerdot} {\ psi} _2} \ right)} \ end {Fälle} \Recht\} \ tag {C-10} \ label {eqC-10} \ end {Gleichung} span>

\ begin {Gleichung} \links. \ begin {Fälle} \ left [\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1 \ rechts)} \ rechts] \ stackrel {\ text {zu geben}} {- \! \ ! \! - \! \! \! \ longrightarrow} \ gamma \, \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \, \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1 \\ \ left [\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ psi_2 \ rechts)} \ rechts] \ stackrel {\ text {zu geben}} {- \! \ ! \! - \! \! \! \ longrightarrow} \ delta \, \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \, \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_2 \ end {Fälle} \Recht\} \ Longrightarrow \links. \ begin {Fälle} \ gamma \, \ dfrac {\ hbar ^ 2} {4m} \, \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1 \ Vert ^ 2 \ in \ mathcal {L} \ vphantom {\ left [\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1 \ rechts)} \ rechts]} \\ \ delta \, \ dfrac {\ hbar ^ 2} {4m} \, \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_2 \ Vert ^ 2 \ in \ mathcal {L} \ vphantom {\ left [\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ teilweise \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1 \ rechts)} \ rechts]} \ end {Fälle} \Recht\} \ tag {C-11} \ label {eqC-11} \ end {Gleichung} span>

\ begin {Gleichung} \links. \ begin {Fälle} \ dfrac {\ partielle \ mathcal {L}} {\ partielle \ psi_1} \ stackrel {\ text {zu geben}} {- \! \! \! - \! \! \! \ longrightarrow} \ zeta \, V. \ psi_1 \ vphantom {\ left [\ dfrac {\ teilweise \ mathcal {L}} {\ teilweise \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1 \ rechts)} \ rechts]} \\ \ dfrac {\ partielle \ mathcal {L}} {\ partielle \ psi_2} \ stackrel {\ text {zu geben}} {- \! \! \! - \! \! \! \ longrightarrow} \ eta \, V. \ psi_2 \ vphantom {\ left [\ dfrac {\ teilweise \ mathcal {L}} {\ teilweise \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1 \ rechts)} \ rechts]} \ end {Fälle} \Recht\} \ Longrightarrow \links. \ begin {Fälle} \ zeta \, V \ psi ^ 2_1 \ in \ mathcal {L} \ vphantom {\ left [\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1 \ rechts) }\Recht]}\\ \ eta \, V \ psi ^ 2_2 \ in \ mathcal {L} \ vphantom {\ left [\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1 \ rechts) }\Recht]} \ end {Fälle} \Recht\} \ tag {C-12} \ label {eqC-12} \ end {Gleichung} span> Aus den Gleichungen \ eqref {eqC-10}, \ eqref {eqC-11} und \ eqref {eqC-12} schließen wir, dass die Lagrange-Dichte von \ eqref {eqC-06} die allgemeine Form haben muss \ begin {align} & \ mathcal {L} \ left (\ psi_1, \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1, \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _1, \ psi_2, \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_2, \ Overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _2 \ right) \ boldsymbol {=} \keine Nummer\\ & \ alpha \, \ hbar \, \ psi_1 \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _2 \ boldsymbol {+} \ beta \, \ hbar \, \ overset {\: \: \ centerdot} { \ psi} _1 \ psi_2 \ boldsymbol {+} \ gamma \, \ dfrac {\ hbar ^ 2} {4m} \, \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1 \ Vert ^ 2 \ boldsymbol {+} \ delta \ , \ dfrac {\ hbar ^ 2} {4m} \, \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_2 \ Vert ^ 2 \ boldsymbol {+} \ zeta V \ psi_1 ^ 2 \ boldsymbol {+} \ eta V \ psi ^ 2_2 \ tag {C-13} \ label {eqC-13} \ end {align} span> Dabei $ \: \ alpha, \ beta, \ gamma, \ delta, \ zeta, \ eta \: $ span> zu bestimmende reelle Koeffizienten.

Einfügen dieses Ausdrucks von $ \; \ mathcal {L} \; $ span> in \ eqref {eqC-08.1}, \ eqref {eqC-08.2} beziehungsweise \ begin {align} \ dfrac {\ partiell} {\ partiell t} \ biggl [\ left (\ beta \ boldsymbol {-} \ alpha \ right) \ hbar \, \ psi_2 \ biggr] \ boldsymbol {+} \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ cdot} \ biggl [\ gamma \, \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \, \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1 \ biggr] \ boldsymbol {-} 2 \ zeta V \ psi_1 & \ boldsymbol {=} 0 \ tag {C-14.1} \ label {eqC-14.1} \\ \ dfrac {\ partiell} {\ partiell t} \ biggl [\ left (\ alpha \ boldsymbol {-} \ beta \ right) \ hbar \, \ psi_1 \ biggr] \ boldsymbol {+} \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ cdot} \ biggl [\ delta \, \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \, \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_2 \ biggr] \ boldsymbol {-} 2 \ eta V \ psi_2 & \ boldsymbol {=} 0 \ tag {C-14.2} \ label {eqC-14.2} \ end {align} span> Wenn wir \ eqref {eqC-14.1}, \ eqref {eqC-14.2} mit \ eqref {eqC-09.1}, \ eqref {eqC-09.2} vergleichen, müssen wir haben \ begin {Gleichung} \ dfrac {\ alpha \ boldsymbol {-} \ beta} {1} = \ dfrac {\ beta \ boldsymbol {-} \ alpha} {\ boldsymbol {-} 1} = \ dfrac {\ gamma} {1} = \ dfrac {\ delta} {1} = \ dfrac {2 \ zeta} {1} = \ dfrac {2 \ eta} {1} = \ lambda \ tag {C-15} \ label {eqC-15} \ end {Gleichung} span> Wenn Sie den gemeinsamen freien Faktor $ \; \ lambda = \ boldsymbol {-} 2 \; $ span> festlegen, haben wir $ \ beta = \ alpha + 2, \, \ gamma = \ delta = -2, \, \ zeta = \ eta = -1 $ span> und Gleichung \ eqref {eqC-13} ergibt \ begin {align} & \ mathcal {L} \ left (\ psi_1, \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1, \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _1, \ psi_2, \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_2, \ Overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _2 \ right) \ boldsymbol {=} \keine Nummer\\ & \ alpha \, \ hbar \, \ psi_1 \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _2 \ boldsymbol {+} \ left (\ alpha \ boldsymbol {+} 2 \ right) \ hbar \, \ Overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _1 \ psi_2 \ boldsymbol {-} \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ left (\ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1 \ Vert ^ 2 \ Boldsymbol {+} \ Vert \ Boldsymbol {\ nabla} \ psi_2 \ Vert ^ 2 \ rechts) \ Boldsymbol {-} V \ left (\ psi ^ 2_1 \ Boldsymbol {+} \ psi ^ 2_2 \ rechts) \ tag {C-16} \ label {eqC-16} \ end {align} span> Wir kehren jetzt von den realen Feldern $ \ psi_1, \ psi_2 $ span> zu den komplexen Feldern $ \ psi, \ psi ^ {zurück \ boldsymbol {*}} $ span> ersetzt in \ eqref {eqC-16} \ begin {Gleichung} \links. \ begin {Fälle} \ psi_1 \ boldsymbol {=} \ dfrac {\ psi \ boldsymbol {+} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} {2} \\ \ psi_2 \ boldsymbol {=} \ mathrm i \ dfrac {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ boldsymbol {-} \ psi} {2} \ end {Fälle} \Recht\} \ tag {C-17} \ label {eqC-17} \ end {Gleichung} span> Jetzt \ begin {align} \ alpha \, \ hbar \, \ psi_1 \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _2 & \ boldsymbol {=} \ mathrm i \, \ alpha \, \ hbar \, \ left (\ dfrac { \ psi \ boldsymbol {+} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} {2} \ vphantom {\ dfrac {\ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi}} {2}} \ right) \ left (\ dfrac {\ overset {\! \ centerdot} {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} \ boldsymbol {-} \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi}} {2} \ right ) \keine Nummer\\ & \ boldsymbol {=} \ mathrm i \, \ alpha \, \ hbar \, \ left (\ dfrac {\ psi \ overset {\! \ Centerdot} {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} \ boldsymbol { -} \ psi \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} \ boldsymbol {+} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ overset {\! \ centerdot} {\ psi ^ {\ boldsymbol {* }}} \ boldsymbol {-} \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} {4} \ right) \ tag {C-18.1} \ label {eqC-18.1} \\ \ left (\ alpha \ boldsymbol {+} 2 \ right) \ hbar \, \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _1 \ psi_2 & \ boldsymbol {=} \ mathrm i \ left (\ alpha \ boldsymbol {+} 2 \ right) \ hbar \, \ left (\ dfrac {\ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} \ boldsymbol {+} \ overset {\! \ centerdot} {\ psi ^ { \ boldsymbol {*}}} {2} \ right) \ left (\ dfrac {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ boldsymbol {-} \ psi} {2} \ vphantom {\ dfrac {\ dot { \ psi}} {2}} \ right) \keine Nummer\\ & \ boldsymbol {=} \ mathrm i \ left (\ alpha \ boldsymbol {+} 2 \ right) \ hbar \, \ left (\ dfrac {\ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ boldsymbol {-} \ psi \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} \ boldsymbol {+} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ overset {\! \ centerdot } {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} \ boldsymbol {-} \ psi \ overset {\! \ centerdot} {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} {4} \ right) \ tag {C-18.2} \ label {eqC-18.2} \ end {align} span> damit \ begin {Gleichung} \ alpha \, \ hbar \, \ psi_1 \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _2 \ boldsymbol {+} \ left (\ alpha \ boldsymbol {+} 2 \ right) \ hbar \, \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} _1 \ psi_2 \ boldsymbol {=} \ mathrm i \, \ hbar \, \ left (\ dfrac {\ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ boldsymbol {-} \ psi \ overset {\! \ centerdot} {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} {2} \ right) \ boldsymbol {+} \ mathrm i \, \ hbar \, \ left (\ alpha \ boldsymbol {+} 1 \ right) \ left (\ dfrac {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ overset {\! \ centerdot} {\ psi ^ { \ boldsymbol {*}}} \ boldsymbol {-} \ psi \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi}} {2} \ right) \ tag {C-19} ​​\ label {eqC-19} \ end {Gleichung} span> Ebenfalls \ begin {Gleichung} \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1 \ Vert ^ 2 \ boldsymbol {+} \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_2 \ Vert ^ 2 \ boldsymbol {=} \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1 \ boldsymbol {+} \ mathrm i \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_2 \ right) \ boldsymbol {\ cdot} \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ psi_1 \ boldsymbol {-} \ mathrm i \ boldsymbol {\ nabla} \ psi_2 \ right) \ boldsymbol {=} \ boldsymbol {\ nabla} \ psi \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ tag {C-20} \ label {eqC-20} \ end {Gleichung} span> und \ begin {Gleichung} \ psi_1 ^ 2 \ boldsymbol {+} \ psi_2 ^ 2 \ boldsymbol {=} \ left (\ psi_1 \ boldsymbol {+} \ mathrm i \ psi_2 \ right) \ left (\ psi_1 \ boldsymbol {-} \ mathrm i \ psi_2 \ right) \ boldsymbol {=} \ psi \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ tag {C-21} \ label {eqC-21} \ end {Gleichung} span> Wenn wir die Ausdrücke \ eqref {eqC-19}, \ eqref {eqC-20} und \ eqref {eqC-21} in \ eqref {eqC-16} einfügen, haben wir endlich

\ begin {align} & \ mathcal {L} \ left (\ psi, \ boldsymbol {\ nabla} \ psi, \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi}, \ psi ^ {\ boldsymbol {*}}, \ boldsymbol { \ nabla} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}}, \ overset {\! \ centerdot} {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} \ right) \ boldsymbol {=} \keine Nummer\\ & \ mathrm i \, \ hbar \, \ left (\ dfrac {\ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ boldsymbol {-} \ psi \ overset { \! \ centerdot} {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} {2} \ right) \ boldsymbol {+} \ mathrm i \, \ hbar \, \ left (\ alpha \ boldsymbol {+} 1 \ rechts) \ links (\ dfrac {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ overset {\! \ centerdot} {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} \ boldsymbol {-} \ psi \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi}} {2} \ right) \ boldsymbol {-} \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ boldsymbol {\ nabla} \ psi \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ boldsymbol {-} V \ psi \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \: \: \ vphantom {\ dfrac {\ dfrac {a} {b}} { \ dfrac {a} {b} b}} \ tag {C-22} \ label {eqC-22} \ end {align} span> Es ist nicht schwer zu überprüfen, ob die Euler-Lagrange-Gleichungen der obigen Lagrange-Dichte in Bezug auf $ \: \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \: $ span> und $ \: \ psi \: $ span> sind die Schr $ \ ddot {\ rm o} $ span> dinger-Gleichung \ eqref {eqC-01.1} und sein komplexes Konjugat \ eqref {eqC-01.2}. Dies gilt für jeden Wert des Parameters $ \: \ alpha $ span>.

Nun, die Lagrange-Dichte, die wir in vielen Lehrbüchern kennenlernen \ begin {Gleichung} \ mathcal {L} \ left (\ psi, \ boldsymbol {\ nabla} \ psi, \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi}, \ psi ^ {\ boldsymbol {*}}, \ boldsymbol {\ nabla} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}}, \ overset {\! \ centerdot} {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} \ right) = \ mathrm i \ hbar \ psi ^ {\ boldsymbol {* }} \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} \! \ boldsymbol {-} \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ boldsymbol {\ nabla} \ psi \! \ boldsymbol {\ cdot} \! \ boldsymbol {\ nabla} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \! \ boldsymbol {-} \! V \ psi \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ tag {C-22a} \ label {eqC-22a} \ end {Gleichung} span> konnte von \ eqref {eqC-22} für keinen Wert des Parameters $ \: \ alpha $ span> erreicht werden. Dazu finden wir eine allgemeinere Lagrange-Dichte. Die Grundidee stammt aus der Lagrange-Mechanik diskreter Systeme. Wir wissen, dass darin die Euler-Lagrange-Gleichungen unter Hinzufügung zur Lagrange-Funktion $ \: L \ left (q_ {i}, \ overset {\! \ Centerdot} {q unveränderlich sind } _ {i}, t \ right) \: $ span> des Gesamtdifferentials einer Funktion $ \: F \ left (q_ {i} \ right) \: $ span> der verallgemeinerten Koordinaten. Wenn wir diese Idee hier erweitern, stellen wir fest, dass die Euler-Lagrange-Gleichungen unveränderlich sind, wenn wir zur Lagrange-Dichte \ eqref {eqC-22} das Gesamtdifferential einer Funktion $ \: F \ addieren links (\ psi, \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ rechts) \: $ span> der komplexen Felder $ \: \ psi, \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} $ span> damit \ begin {Gleichung} \ mathcal {L '} \ boldsymbol {=} \ mathcal {L} \ boldsymbol {+} \ dfrac {\ partielles F \ links (\ psi, \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ rechts)} {\ partiell t} \ boldsymbol {=} \ mathcal {L} \ boldsymbol {+} \ dfrac {\ partielles F} {\ partielles \ psi} \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} \ boldsymbol {+} \ dfrac {\ partielles F} {\ partielles \ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} \ overset {\! \ centerdot} {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} \ tag {C-23} \ label {eqC-23} \ end {Gleichung} span> Wir verwenden zwei der einfachsten Funktionen \ begin {align} F_1 \ left (\ psi, \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ right) & \ boldsymbol {=} \ mathrm i \, \ hbar \, \ dfrac {\ rho \, \ psi \, \ psi ^ { \ boldsymbol {*}}} {2} \ quad \ Longrightarrow \ quad \ dfrac {\ partielles F_1 \ links (\ psi, \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ rechts)} {\ partielles t} \ boldsymbol { =} \ mathrm i \, \ hbar \, \ left (\ dfrac {\ rho \, \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ boldsymbol {+} \ rho \, \ psi \ overset {\! \ centerdot} {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} {2} \ right) \ tag {C-24.1} \ label {eqC-24.1} \\ F_2 \ left (\ psi, \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ right) & \ boldsymbol {=} \ mathrm i \, \ hbar \, \ dfrac {\ sigma \ left (\ psi ^ {\ boldsymbol { *} 2} \ boldsymbol {+} \ psi ^ 2 \ right)} {4} \ quad \ Longrightarrow \ quad \ dfrac {\ partielles F_2 \ left (\ psi, \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ right )} {\ partielles t} \ boldsymbol {=} \ mathrm i \, \ hbar \, \ left (\ dfrac {\ sigma \, \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ overset {\! \ centerdot} { \ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} \ boldsymbol {+} \ sigma \, \ psi \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi}} {2} \ right) \ tag {C-24.2} \ label {eqC-24.2} \ end {align} span> damit \ begin {Gleichung} \ mathcal {L '} \ boldsymbol {=} \ mathcal {L} \ boldsymbol {+} \ dfrac {\ partiell F_1 \ left (\ psi, \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ right)} {\ partiell t} \ boldsymbol {+} \ dfrac {\ partielles F_2 \ links (\ psi, \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ rechts)} {\ partielles t} \ tag {C-25} \ label {eqC-25} \ end {Gleichung} span> Mit $ \: \ chi \ equiv \ alpha \ boldsymbol {+} 1 \: $ span> ist die neue allgemeinere Lagrange-Dichte \ begin {align} & \ mathcal {L} \ left (\ psi, \ boldsymbol {\ nabla} \ psi, \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi}, \ psi ^ {\ boldsymbol {*}}, \ boldsymbol { \ nabla} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}}, \ overset {\! \ centerdot} {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} \ right) \ boldsymbol {=} \keine Nummer\\ & \ mathrm i \ hbar \ left [\ dfrac {\ left (1 \! \ Boldsymbol {+} \! \ Rho \ right) \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \! \ boldsymbol {-} \! \ left (1 \! \ boldsymbol {-} \! \ rho \ right) \ psi \ overset {\! \ centerdot} {\ psi ^ {\ boldsymbol {* }}}} {2} \ right] \! \ Boldsymbol {+} \! \ Mathrm i \ hbar \ left [\ dfrac {\ left (\ chi \! \ Boldsymbol {+} \! \ Sigma \ right) \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ overset {\! \ centerdot} {\ psi ^ {\ boldsymbol {*}}} \! \ boldsymbol {-} \! \ left (\ chi \! \ boldsymbol {-} \! \ sigma \ right) \ psi \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi}} {2} \ right] \! \ boldsymbol {-} \! \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ boldsymbol {\ nabla} \ psi \! \ boldsymbol {\ cdot} \! \ boldsymbol {\ nabla} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \! \ boldsymbol {-} \! V \ psi \ psi ^ { \ boldsymbol {*}} \: \: \ vphantom {\ dfrac {\ dfrac {a} {b}} {\ dfrac {a} {b} b}} \ tag {C-26} \ label {eqC-26} \ end {align} span> Wieder konnten wir überprüfen, ob die Euler-Lagrange-Gleichungen der obigen Lagrange-Dichte in Bezug auf $ \: \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \: $ span> und $ \: \ psi \: $ span> sind die Schr $ \ ddot {\ rm o} $ span> -Dinger-Gleichung \ eqref {eqC-01.1} und sein komplexes Konjugat \ eqref {eqC-01.2}. Dies gilt für alle Werte der Parameter $ \: \ chi, \ rho, \ sigma $ span>. Aber besonders \ begin {Gleichung} \links. \ begin {Fälle} \ chi = 0 \\ \ rho = 1 \\ \ sigma = 0 \ end {Fälle} \Recht\} \ Longrightarrow \ mathcal {L} = \ mathrm i \ hbar \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ overset {\: \: \ centerdot} {\ psi} \! \ boldsymbol {-} \ dfrac {\ hbar ^ 2} {2m} \ boldsymbol {\ nabla} \ psi \! \ Boldsymbol {\ cdot} \! \ Boldsymbol {\ nabla} \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \! \ Boldsymbol {-} \! V \ psi \ psi ^ {\ boldsymbol {*}} \ tag {C-27} \ label {eqC-27} \ end {Gleichung} span> das ist die Lagrange-Dichte \ eqref {eqC-22a}.