Aus mathematischer Sicht würde ich eine Dimension als "jede Eigenschaft, die zu allen anderen Eigenschaften orthogonal ist" definieren. "Orthogonal" bedeutet hier, dass Sie nicht zu einer Eigenschaft gelangen können, indem Sie Skalaroperationen auf eine andere anwenden. Beispielsweise kann die Dimension x -Achse niemals zu einem Wert y -Achse werden, und dies gilt auch für Zeit- und räumliche Dimensionen.

Für diese Angelegenheit Es ist fair, jede "Einheit" als Dimension zu betrachten, da Sie keine Funktion anwenden können, um beispielsweise Masse oder Farbe eines Objekts in eine seiner räumlichen Dimensionen umzuwandeln.

In diesem Zusammenhang erkläre ich dies normalerweise (nicht mathematisch), indem ich sage, dass die Anzahl der Dimensionen die Anzahl der Werte ist, die Sie angeben müssen, wo ein Ereignis auftritt. Für die meisten Menschen sind dies Raum und Zeit (für Teilchenphysiker jedoch möglicherweise mehr Werte;).

Auf jeden Fall müssten sogar Menschen vor Einstein die Zeit sowie den räumlichen Ort eines Ereignisses angeben (3 Dimensionen, X / Y / Z oder Lat / Long / Höhe usw.), was 4 Dimensionen ergibt.

Was Einstein (und wirklich andere zuvor wie Minkowski) hinzufügte, war das wichtige zusätzliche Stück Physik, das nicht nur sind die 3 gewöhnlichen räumlichen Dimensionen austauschbar, aber die 4 Dimensionen X, Y, Z und T sind in gewissem Maße auch.

Betrachten Sie ein 1 Meter langes Lineal, das von einer Ecke in einem Raum entlang angeordnet ist eine Wand - Sie können den Abstand entlang dieser Wand als Dimension X betrachten. Dann drehen Sie das Lineal so, dass es entlang der anderen Wand liegt, Dimension Y. Dann drehen Sie es nach oben, so dass es entlang der Wand bis zur Decke, Dimension Z, verläuft .

Dies zeigt, dass mindestens die 3 räumlichen Dimensionen zusammengehören ; Sie können ein Objekt nehmen und es um diese Dimensionen drehen, oder mit anderen Worten, einen Wert von einer Dimension nehmen, um es einer anderen zu geben.

Einstein erweiterte diese Argumentation, um sowohl Zeit als auch eine "drehbare" Dimension einzubeziehen. Teil von physischen Objekten und Ereignissen. Es ist keine völlig genaue Analogie, wie Sie wissen werden, wenn Sie die Mathematik der speziellen Relativitätstheorie studieren, aber sie befindet sich im Ballpark.

Ich denke, das hängt sehr davon ab, was Sie tun und wie Sie das betrachten, was Sie sehen.

Apropos, wie viele Dimensionen hat der von Ihrem Computermonitor angezeigte Inhalt? Zwei Ich denke, könnte eine Antwort sein. Es ist nicht dreidimensional und es ist sicherlich kein Streifen von Pixeln.

Lassen Sie mich aus Carls großartiger Antwort zitieren, die ich gerne auf dieses Beispiel anwenden möchte:

Sie können es nicht bekommen auf eine Eigenschaft durch Anwenden von Skalaroperationen auf eine andere

Nun, egal was Sie mit der Helligkeit eines Pixels tun, es wird die Helligkeit eines anderen Pixels nicht ändern (vorausgesetzt, Sie tun dies nicht sprengen Sie Ihren Monitor). Das bedeutet, dass jedes Pixel unabhängig modifiziert werden kann und somit eine Dimension des Ganzen darstellt. Man könnte sagen, dass jedes digitale Bild, das aus N Pixeln besteht, N Dimensionen hat. (Ja, das würde bedeuten, dass Ihr Smartphone ein Gerät ist, das Bilder mit mehreren Millionen Dimensionen aufzeichnet. Ich bin mir nicht sicher, warum noch kein Marketing-Team diese Tatsache ausgenutzt hat.) Diese Art, über ein Bild nachzudenken, ist in der Signalverarbeitung, in der Bildverarbeitung, in der Statistik und im Internet häufiger anzutreffen / oder maschinelles Lernen.

Sie reduzieren die Dimensionalität, damit ihre Algorithmen besser funktionieren.

Eine intuitive Wie ich über Dimensionsreduktion denken würde, ist Statistik. Sehen Sie sich dieses Streudiagramm an:

Es hat zwei Achsen, daher ist es offensichtlich, dass es zwei Dimensionen gibt Aber Sie könnten sagen, dass dies ziemlich gut zu einer Linie passt:

Was wäre, wenn die blaue Linie tatsächlich eine Achse des Diagramms wäre? Ich hoffe, Sie stimmen zu, dass es zumindest intuitiv plausibel ist, dass das gesamte Problem auf eine Dimension "reduziert" (mit etwas Rauschen der Punkte) [beide Bilder von hier]

Dies gilt allgemein für Kurven.

Wenn Sie sich auf einer Achterbahn befinden, bewegen Sie sich durch die 3 räumlichen Dimensionen (wenn Sie sich nicht auf einer sehr lahmen Achterbahn befinden), aber die Dimension Ihrer Bewegung beträgt (hoffentlich) nur 1 stark>, weil Sie auf dem richtigen Weg bleiben möchten.

Sie können auch umgekehrt vorgehen. Eine Hilbert-Kurve ist eine Kurve, die einen zweidimensionalen Raum ausfüllt. In dem Artikel heißt es:

seine Hausdorff-Dimension ist 2 (genau, sein Bild ist das Einheitsquadrat, dessen Dimension in jeder Definition der Dimension 2 ist stark>

Sie sollten morgen darüber nachdenken, wenn Sie Ihren Rasen mähen. Man geht normalerweise immer vorwärts / rückwärts, mit abgewinkelten Kurven, aber niemals seitwärts. Genau wie auf der Achterbahn. Aber jetzt haben Sie sich tatsächlich zweidimensional bewegt.

Und dann gibt es Fraktale mit Bruchdimensionen , die ich hier nur erwähnen möchte.

Schlussfolgerung (oder eher deren Fehlen)

Der Inhalt Ihres Monitors kann je nach Interesse verschiedene Dimensionen aufweisen.

In einem geometrischen Kontext ist die Dimension (an einem Punkt) ungefähr die Anzahl der Koordinaten, die Sie benötigen, um einen Punkt in einer festen Nachbarschaft zu identifizieren. Beachten Sie, dass in einem geometrischen Kontext mindestens eine Topologie erforderlich ist, um von Kontinuität, Nachbarschaften usw. sprechen zu können.

Diese intuitive Definition funktionierte früher recht gut, aber an einem bestimmten Punkt raumfüllende Kurven wurden entdeckt und die Leute fragten sich, ob es möglich sein könnte, dass $ \ Bbb R ^ n $ und $ \ Bbb R ^ m $ für einige $ n \ homöomorph (dh topologisch äquivalent) sind ne m $. Der Beweis, dass dies nicht der Fall ist, ist überraschend schwierig und verwendet eine algebraische Topologie.

Dies gibt eine gute Definition für Räume, die lokal wie $ \ Bbb R ^ n $ oder $ \ Bbb C ^ n $ aussehen, wie Mannigfaltigkeiten, einfache Komplexe usw.

In Unterschiedliche Kontexte, wie in der algebraischen Geometrie, gibt es unterschiedliche Definitionen (wie die Länge + 1 der längsten Kette irreduzibler Teilvarianten: Punkt $ \ Teilmenge $ Kurve $ \ Teilmenge \ cdots \ Teilmenge $ Hyperfläche $ \ Teilmenge $ irreduzible Komponente des Ganzen Raum), alle mit ihren eigenen Feinheiten: Es ist oft überraschend schwierig, eine gute Definition der Dimension zu finden und zu beweisen, dass sie sich so verhält, wie sie sollte (mit Ausnahme von Vektorräumen).

Unsere strenge Definition von "Dimension" stammt aus der linearen Algebra. Dies wird ein kurzer Überblick über die mathematische Art der Beschreibung von Dimensionen und ihre physikalische Bedeutung sein.

Das erste erforderliche Konzept ist ein Vektorraum . Ein Vektorraum kann effektiv als eine Sammlung von Punkten betrachtet werden, die einige bestimmte (und sehr nützliche) Eigenschaften erfüllen. Die wichtige physikalische Anmerkung hier ist, dass die gesamte klassische und relativistische Physik den Raum, in dem wir leben, als Vektorraum behandelt.

Alle Vektorräume haben mindestens eine Basis . Eine Basis ist eine Menge von ( linear unabhängigen) Vektoren mit einigen Eigenschaften. Das Bemerkenswerte ist, dass jeder Vektor im Vektorraum als skalares Vielfaches dieser Basisvektoren ausgedrückt werden kann. Zum Beispiel haben wir im 3D-Raum: $$ e_1 = (1, 0, 0) \\ e_2 = (0, 1, 0) \\ e_3 = (0, 0, 1) $$

Jeder Vektor im 3D-Raum kann als Kombination dieser Vektoren ausgedrückt werden. Beispielsweise ist $ (5, 3, 7) = 5 * (1, 0, 0) + 3 * (0, 1, 0) + 7 * (0, 0, 1) = 5e_1 + 3e_2 + 7e_3 $ / p>

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Basisvektoren, die zur vollständigen Beschreibung aller Punkte im Raum benötigt werden. (Aufgrund der linearen Unabhängigkeit, die ich hier nicht beschreiben werde, ist diese Zahl für einen bestimmten Vektorraum festgelegt.)

Die physikalische Bedeutung ist relativ einfach. In der klassischen Mechanik gibt es eine implizite Annahme, dass die Welt als Vektorraum der Dimension 3 beschrieben werden kann. Mit anderen Worten, es werden nur drei linear unabhängige Vektoren benötigt, um den gesamten Raum zu beschreiben, in dem wir leben. Die Relativitätstheorie warf dies aus dem Fenster.

Betrachten Sie zwei Objekte A und B, die zum Zeitpunkt 0 bei $ (1, 1, 1) $ positioniert sind. Ich schreibe dies als $ (1, 1, 1, 0) $. Angenommen, einer von ihnen bleibt aus Ihrer Sicht stationär und einer von ihnen bewegt sich einmal mit hoher Geschwindigkeit in einem großen Kreis. Klassischerweise hätten die Objekte nach dieser Iteration die Konfiguration: $$ \ begin {align} A & = (1, 1, 1, t) \\ B& = (1, 1, 1, t) \\ AB & = (0, 0, 0, 0) \ end {align} $$

Mit anderen Worten, klassisch gibt es keinen Unterschied in der zeitlichen oder räumlichen Konfiguration von A und B. Drei Dimensionen reichen aus, um beschreibe dies. Mit der Relativitätstheorie erhalten wir jedoch $$ \ begin {align} A & = (1, 1, 1, t + \ Delta t) \\ B& = (1, 1, 1, t ) \\ A-B& = (0, 0, 0, \ Delta t) \ end {align} $$

Während sich $ A $ bewegte, gibt es einen zeitlichen Unterschied zwischen $ A $ und $ B $. Da $ A - B = (0, 0, 0, \ Delta t) $ ist, ist ein vierter Basisvektor obligatorisch , um die Konfiguration, die wir gerade gesehen haben, vollständig zu beschreiben. Folglich muss der Raum unter Relativitätstheorie vierdimensional sein.