Um Lagrange im QM zu verwenden, muss der Pfadintegralformalismus verwendet werden. Dies wird normalerweise nicht in einem QM-Kurs für Studenten behandelt, weshalb nur Hamiltonianer verwendet werden. In der aktuellen Forschung werden Lagrange häufig im nicht-relativistischen QM verwendet.

Im relativistischen QM werden sowohl Hamiltonianer als auch Lagrange verwendet. Der Grund, warum Lagrange-Leute populärer sind, ist, dass sie Zeit- und Raumkoordinaten auf die gleiche Grundlage stellen, was es ermöglicht, relativistische Theorien auf kovariante Weise aufzuschreiben. Mit Hamiltonianern ist die relativistische Invarianz nicht explizit und kann viele Dinge komplizieren.

Daher werden beide Formalismen sowohl in der relativistischen als auch in der nicht-relativistischen Quantenphysik verwendet. Dies ist die sehr kurze Antwort.

Wie Weinberg in seinem QFT-Buch ausführt, ist es im Hamilton-Formalismus einfacher, die Einheitlichkeit der Theorie zu überprüfen, da die Einheitlichkeit direkt mit der Evolution zusammenhängt, während im Lagrange-Formalismus die Symmetrien, die Raum mit Zeit vermischen, expliziter sind. Daher ist der Hamilton-Formalismus in nicht-relativistischen und galiläischen Quantentheorien normalerweise bequemer.

Ich würde sagen, weil Sie Probleme und Pädagogik effizient lösen. Beide werden jedoch in beiden Fällen verwendet.

Der Hamilton-Operator-Ansatz betont die Spektrumaspekte der Quantenmechanik, mit denen der Schüler an dieser Stelle $ - $ vertraut ist, aber hier ist ein Lagrange

$$ \ mathcal {L} \ left (\ psi, \ mathbf {\ nabla} \ psi, \ dot {\ psi} \ right) = \ mathrm i \ hbar \, \ frac {1} {2} (\ psi ^ {*} \ dot {\ psi} - \ dot {\ psi ^ {*}} \ psi) - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ mathbf {\ nabla} \ psi ^ {*} \ mathbf {\ nabla} \ psi - V (\ mathbf {r}, t) \, \ psi ^ {*} \ psi $$

für die Schrödinger-Gleichung $$ \ frac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ psi ^ {*}} - \ frac {\ partiell} {\ partiell t} \ frac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ frac {\ partiell \ psi ^ {* }} {\ partielle t}} - \ sum_ {j = 1} ^ 3 \ frac {\ partielle} {\ partielle x_j} \ frac {\ partielle \ mathcal {L}} {\ partielle \ frac {\ partielle \ psi ^ {*}} {\ partielle x_j}} = 0. $$

Der Lagrange (Dichte) ist besonders relevant für die Pfadintegralformulierung und in gewisser Weise näher, um Symmetrien einer Feldtheorie hervorzuheben . Noether-Theorem und so weiter. $ - $, aber ich erinnere mich, dass Peskin & Schröders Buch über Quantenfeldtheorie mit dem Hamiltonschen Ansatz beginnt und nur 300 Seiten in Pfadintegralmethoden einführt.

Ich denke, der Hamilton-Ansatz wird im Grundstudium eher aufgrund der Gewohnheit und des Einflusses von Dirac als aufgrund eines tiefgreifenden mathematischen Grundes betont. Der Hamiltonianer ist auch leichter zu unterrichten, weil er mit den klassischen Intuitionen der Zeit vereinbar ist.

Historisch gesehen sprach sich Dirac stark für den Vorrang des Hamiltonianers aus, buchstäblich bis kurz vor seinem Tod. Meine eigene Interpretation eines schrägen Verweises auf den Lagrange, den Dirac in seinen Lectures on Quantum Mechanics (1966) (eine großartige Lektüre!) Gemacht hat, ist, dass Dirac mit dem Ruhm, den Feynman erlangte, unzufrieden war, obwohl Dirac war immer so zurückhaltend, wenn es darum ging, Unzufriedenheit mit anderen Physikern auszudrücken, dass es sehr schwer zu sagen ist. Diracs Herunterspielen des Wertes des Lagrange-Ansatzes ist natürlich sehr ironisch, da Dirac in einem frühen Artikel erstmals gezeigt hat, dass der klassische Lagrange auf QM angewendet werden kann [1]. Es war dasselbe Papier, das viele Jahre später Feynmans bemerkenswerte QED-Arbeit inspirierte und entfesselte.

[1] P. A. M. Dirac, Der Lagrange in der Quantenmechanik, Phys. Zs. Sowjetunion 3 (1933) Nr. 1; Nachdruck in: J. Schwinger (Hrsg.), Selected Papers on Quantum Electrodynamics , 1958, Nr. 26

In wenigen Worten

1. Die Unitarität des Evolutionsoperators U (t) ist mit dem Hamiltonschen Formalismus leicht zu erkennen.
2. Lorentz-Invarianz der S-Matrix (Streumatrix) ist leicht zu sehen mit Lagrange Formalismus.
ol>

Es ist nicht wahr, " dass QFT und Teilchenphysik stattdessen auf Lagrange "

Der Generator für Zeitübersetzungen in der Quantentheorie ist der Hamiltonianer, nicht der Lagrange; Daher brauchen wir einen Hamiltonianer, um die Evolution des Quantensystems zu untersuchen.

Wie in Band 1 von Weinbergs Lehrbuch über QFT, Kapitel 7, erwähnt:

Es ist der Hamilton-Formalismus, der zur Berechnung der S-Matrix benötigt wird (ob durch Operator- oder Pfadintegral-Methoden), aber es ist nicht immer einfach, Hamiltonianer auszuwählen, die eine Lorentz-invariante S-Matrix ergeben.

Der Sinn des Lagrange-Formalismus besteht darin, dass es einfach ist, die Lorentz-Invarianz und andere Symmetrien zu erfüllen: Eine klassische Theorie mit einer Lorentz-invarianten Lagrange-Dichte führt bei kanonischer Quantisierung zu einer Lorentz-invarianten Quantentheorie. Das heißt, wir werden hier sehen, dass eine solche Theorie die Konstruktion geeigneter quantenmechanischer Operatoren ermöglicht, die die Kommutierungsrelationen der Poincaré-Algebra erfüllen und daher zu einer Lorentz-invarianten S-Matrix führen.

Daher besteht das übliche Rezept darin, einen Lagrange zu postulieren, zu überprüfen, ob er bestimmte grundlegende Eigenschaften erfüllt, dann einen Hamilton-Operator aus diesem Lagrange abzuleiten und schließlich diesen Hamilton-Operator zu verwenden, um die Elemente der S-Matrix zu berechnen.

Meiner Meinung nach ist die bestehende Wahl zwischen kanonischen (Hamiltonian) und pfadintegralen (Lagrange) Formalismen eine weitreichende Folge des Teilchenwellen-Dualismus im QM.Der erste betont die spektralen Aspekte, der zweite kann als tiefe Verallgemeinerung des Fermat-Prinzips für die Strahlausbreitung in der Optik angesehen werden.Da die meisten Experimente in der Teilchenphysik eine Art Streuung darstellen, sind die Wellenaspekte normalerweise wichtiger, weshalb der Lagrange-Formalismus für die praktische Anwendung viel angemessener ist.