Nein.Die Physik bleibt eine experimentelle Wissenschaft und daher ist es nicht möglich, das Experiment durch einen Beweis zu ersetzen.Descartes versuchte dies, als er seine Theorie der Lichtausbreitung vorschlug - sehr elegant -, aber sie sagte fälschlicherweise voraus, dass der Winkel für Licht, das in ein optisch dichteres Medium gelangt, zunehmen würde.Tatsächlich weigerte er sich, an einer Demonstration teilzunehmen, die ihm das Gegenteil zeigte

Ein strenger Beweis ist wichtig, um einige Aspekte (und möglicherweise einige Grenzen) einer Theorie richtig zu verstehen und zu erweitern und um zu beleuchten, wie Phänomene verknüpft und erklärt werden können. Er hat jedoch keine physikalischen Anwendungen, wenn er etwas vorhersagt, das dem Experiment widerspricht.

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Bearbeiten: In diesem Artikel von David Mermin gibt es eine verwandte Diskussion:

Mermin ND.Was ist schlecht an dieser Angewohnheit?Physik heute.2009, 1. Mai; 62 (5): 8-9.

Wenn Sie nur Annahmen treffen, die experimentell überprüft wurden (bis zu einem hohen Grad an Präzision), ist ein rein mathematischer Beweis möglicherweise in Ordnung.Hierbei gibt es jedoch zwei Probleme:

1) Meistens können nicht alle Annahmen experimentell überprüft werden (zum Beispiel die Axiome der Newtonschen Mechanik)

2) Wenn Sie nur Messungen mit einer gewissen Genauigkeit durchführen können, sind Sie sich nie wirklich sicher, ob diese korrekt sind.

In der Wissenschaft geht es sehr um Modellbau. Ein Modell ist eine Reihe von Ideen, innerhalb derer mathematische Beweise möglich sein können, und die verwendet werden, um zu zeigen, wie ein Merkmal ein anderes innerhalb des Modells impliziert. Es ist jedoch nicht möglich, durch Mathematik zu beweisen, dass das Modell die physikalische Welt korrekt beschreibt.

Ihr Beispiel für das rechtwinklige Dreieck ist gut. Innerhalb des Satzes von Ideen der Ebenengeometrie gilt zweifellos der Satz von Pythagarus. Die Ebenengeometrie beschreibt jedoch nicht die Raumzeit.

Selbst wenn wir ein äußerst elegantes und ausgefeiltes theoretisches Modell hätten, das die Natur aller physikalischen Phänomene erfassen könnte, wäre es nicht möglich zu beweisen, dass dieses Erscheinungsbild zuverlässig ist.

Ein verwandtes Thema ist das in den Grundlagen der Logik - Gödels Theoreme. Wir können nicht einmal beweisen, dass die Mathematik selbst konsistent ist! Dies ist nicht das gleiche Thema wie beim Modellbau in der Wissenschaft, aber es zeigt, dass wir uns hier auf Vertrauen und nicht auf Beweise verlassen. Das heißt, wir vertrauen darauf, dass die Mathematik konsistent ist.

Auf der Ebene der Grundphysik kommen weitere Feinheiten ins Spiel. Woher wissen wir, dass die Natur der physischen Welt von der Mathematik vollständig erfasst werden kann? Das wissen wir nicht. Dies bedeutet nicht, dass wir unsere Zeit mit müßigen Spekulationen verschwenden sollten, sondern dass wir ermutigt werden sollen, uns der Grenzen unseres Wissens bewusst zu bleiben.

Nach Ansicht des Wissenschaftsphilosophen Karl Popper ist es grundsätzlich unmöglich , Annahmen oder Hypothesen über die Physik oder die Welt im Allgemeinen zu beweisen / zu bestätigen.Ausgehend von einer Reihe von Annahmen (d. H. Newtons Gesetzen) kann ein Wissenschaftler beweisen, dass, wenn diese Reihe von Annahmen gültig ist, DANN bestimmte Ergebnisse in der realen Welt auftreten sollten.

Wenn ein Experiment mit einem negativen Ergebnis durchgeführt wird, wurde die Vorhersage widerlegt und eine oder mehrere der Annahmen, aus denen es abgeleitet wurde, müssen falsch sein.Wenn ein positives Ergebnis die Vorhersage "nicht widerlegt", erhöht sich unser Vertrauen in die Menge der Annahmen im Vergleich zu konkurrierenden Mengen .Offensichtlich skaliert der Vertrauensgewinn damit, wie spezifisch (und damit "leicht zu widerlegen") die Vorhersagen sind.Keine Menge positiver Ergebnisse kann jedoch jemals "beweisen", dass die Annahmen korrekt sind.Es könnte immer ein anderes physisches System geben, bei dem das Modell ausfällt.

Ausgehend von Newtons Gravitationsgesetz könnten viktorianische Astronomen beispielsweise die Bewegung des Mondes und anderer Planeten sehr genau vorhersagen. Ihre Modelle "wurden ständig nicht widerlegt". Sie bemerkten jedoch schließlich, dass sich die Umlaufbahn von Merkur nicht so verhielt, wie Newton es vorhergesagt hätte. Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie lieferte eine Reihe neuer Annahmen, aus denen man eine hochspezifische Vorhersage über die Merkur-Umlaufbahn (anders als die Newtonsche) ableiten kann, die durch die Daten "nicht widerlegt" werden konnte. Unter Verwendung von Einsteins Annahmen kann man Beschreibungen der Planetenbahnen ableiten, die fast gleichwertig (aber etwas besser) sind als die Newtonschen. Es werden sogar zusätzliche, neuartige Vorhersagen wie die Gravitationslinse getroffen - eine weitere hochspezifische, leicht zu widerlegende Behauptung, die von den Daten jedoch nicht widerlegt wird. Nichts davon beweist grundlegend, dass die Annahmen der allgemeinen Relativitätstheorie korrekt / vollständig sind, und ihre Unfähigkeit, das Innere von Schwarzen Löchern zu beschreiben, könnte ein Zeichen dafür sein, dass ein besserer Satz von Annahmen erforderlich ist.

Kurz gesagt: Ausgehend von einer Reihe von Annahmen kann man Vorhersagen über die reale Welt ableiten. Wenn Experimente beweisen, dass die Vorhersagen (und damit die Annahmen) falsch sind, kann man eine andere (und hoffentlich bessere) Menge auswählen. Positive Ergebnisse beweisen / validieren die Annahmen nicht , sondern sollten einen guten Wissenschaftler dazu inspirieren, noch spezifischere Vorhersagen daraus abzuleiten und sie immer strengeren Tests zu unterziehen.

Gibt es einen Fall, in dem mathematische Beweise das Experimentieren ersetzen können?

Yes.

Jedes Mal, wenn Sie beweisen können, dass ein Satz $ P $ span> durch eine Prämisse impliziert wird $ A $ span> und $ A $ span> sind experimentell überprüfbar, dann müssen Sie nie $ P $ span>. Das Überprüfen von $ A $ span> ist gut genug.

Als Beispiel kann das Gaußsche Gesetz, $ \ oint E \ cdot dA = \ frac {Q} {\ epsilon_0} $ span>, durch das Coulombsche Gesetz bewiesen werden : $ E = \ frac {Q \ hat {r}} {4 \ pi \ epsilon_0 r ^ 2} $ span> und umgekehrt. Sie sind äquivalente Anweisungen. Das Gaußsche Gesetz ist in einem Labor schwer zu verifizieren (es ist schwer, den Fluss des elektrischen Feldes über eine gesamte Oberfläche zu messen), aber das Coulombsche Gesetz ist ziemlich leicht zu verifizieren (es ist leicht, das inverse Quadratgesetz aus einer Ladung zu beobachten). Da bewiesen ist, dass das Coulombsche Gesetz das Gaußsche Gesetz impliziert, müssen Sie das Gaußsche Gesetz im Prinzip niemals direkt überprüfen. Sie dürfen immer nur das Coulombsche Gesetz überprüfen, und Sie werden genau genauso sicher in Gauß 'Gesetz sein wie in Coulombs, weil Sie Beweise dafür haben, dass es durch Coulombs Gesetz impliziert ist.

Ein Einwand gegen dieses Beispiel könnte nun sein:

Aber das ist nur trivial. Da das Gaußsche Gesetz und das Coulombsche Gesetz gleichwertig sind, ist die experimentelle Überprüfung des Coulombschen Gesetzes eine experimentelle Überprüfung des Gaußschen Gesetzes.

Okay, das stimmt, aber ohne den Beweis der Gleichwertigkeit ist es überhaupt nicht offensichtlich. Wenn wir nicht den Beweis hätten, dass das Coulombsche Gesetz das Gaußsche Gesetz impliziert, müssten wir beide experimentell verifizieren. Und weil es schwieriger ist, das Gaußsche Gesetz zu überprüfen als das Coulombsche Gesetz, wären wir in ersterem wahrscheinlich weniger zuversichtlich als in letzterem. Dies ist ein Beispiel für einen mathematischen Beweis, der die experimentelle Verifikation ersetzt.

In meinem Beispiel handelt es sich um ein Szenario, in dem sich zwei Aussagen gegenseitig implizieren. Dies gilt jedoch im Allgemeinen, wenn die Implikation eines Satzes durch eine Prämisse einseitig ist und Sie die Prämisse nur experimentell überprüfen müssen. Obwohl ich nicht sicher bin, ob es dafür viele Beispiele gibt.

Im Allgemeinen können mathematische Beweise die experimentelle Validierung jedoch nicht vollständig ersetzen. Sie benötigen immer eine experimentelle Validierung für jede Theorie und viel it.

Ich wollte nur diesen Nachtrag hinzufügen, um zu rechtfertigen, warum meine Antwort im Grunde das Gegenteil aller anderen, gut geschriebenen und hoch bewerteten Antworten ist. Ich denke, das liegt daran, dass sie allgemeiner versuchen, ein Missverständnis des OP anzugehen, das in diesem Zitat gut dargestellt wird:

Der Grund, warum ich das frage, ist, dass die meisten, wenn nicht nur alle ToEs in der theoretischen Physik so ziemlich nur ihre Mathematik haben. Das berüchtigtste dafür ist die Stringtheorie. Wenn die Stringtheorie in der von mir vorgestellten Weise mathematisch bewiesen werden konnte und dieser Beweis unabhängig repliziert wurde und den Test der Zeit auf die gleiche Weise wie der Satz von Pythagoras bestand, müssen wir uns dann die Mühe machen, tatsächlich ein Experiment durchzuführen? / p>

Okay, lassen Sie mich das ein wenig auspacken. Sie werden never mathematisch eine physikalische Theorie beweisen. Sie können nur einen Satz beweisen, und Sätze sind einfach Abbildungen zwischen Sätzen: Wenn Satz $ A $ span> wahr ist, dann ist Satz $ B $ span> ist wahr. Sie können keinen Beweis verwenden, um einen Vorschlag aus der Luft zu erstellen. Alle physikalischen Theorien müssen mit Sätzen beginnen (wir nennen sie "Axiome" oder "Postulate"). Ein Modell wird konstruiert, indem mit Postulaten begonnen wird und dann viele Konsequenzen dieser Postulate mathematisch bewiesen werden. Im Allgemeinen können Sie die Postulate nicht beweisen. Wenn Sie dies tun, handelt es sich nicht mehr um Postulate, und Sie brauchten dafür ohnehin neue Postulate. (Dies geschieht im Allgemeinen, wenn wir zu einer allgemeineren Theorie übergehen, deren Postulate entweder einfacher oder erklärender sind. Beispielsweise sind Maxwells Gleichungen Postulate für die klassische Elektrodynamik, aber die Quantenelektrodynamik hat breitere Postulate, aus denen Sie Maxwells Gleichungen ableiten können.)

Aus diesem Grund benötigen Sie immer eine experimentelle Überprüfung. Und normalerweise hat es nicht die saubere transitive Implikationskraft, die ich oben beschrieben habe. Normalerweise ist es sehr schwierig, Postulate experimentell zu verifizieren, und ihre Konsequenzen sind viel einfacher zu verifizieren. Oben habe ich angegeben, dass, wenn die Prämisse $ A $ span> den Satz $ B $ span> beweist und Sie $ A $ span>, dann müssen Sie $ B nicht überprüfen. $ span> Aber ziemlich oft (besonders wenn $ A $ span> ist ein Postulat), $ B $ span> ist einfacher zu überprüfen als $ A $ span>. Bei der Überprüfung von $ B $ span> wird class $ A $ span> jedoch nicht gleichwertig überprüft. Wenn Sie $ B $ span> nicht überprüfen oder überprüfen, ob $ B $ span> falsch ist, Vergewissern Sie sich, dass $ A $ span> aufgrund des implizierten Kontrapositivs falsch ist. (So beispielsweise die Äther-Theorie des Lichts wurde durch das Experiment von Michelson und Morley diskreditiert, indem gezeigt wurde, dass eine seiner Konsequenzen falsch ist.)

Das Überprüfen von $ B $ span> allein überprüft nicht unbedingt $ A $ span>, da möglicherweise einige vorhanden sind anderes Postulat, $ C $ span>, das auch impliziert $ B $ span>. Die einzige Ausnahme hiervon ist, wenn $ A $ span> und $ B $ span> sich gegenseitig implizieren und somit äquivalent sind , wie mein Beispiel für das Coulomb / Gauß-Gesetz. Aber im Allgemeinen, um unser "Vertrauen" in eine Prämisse $ A $ span> aufzubauen, vorausgesetzt, wir können $ A nicht verifizieren $ span> direkt im Labor möchten wir viele der Konsequenzen von $ A überprüfen. $ span> Obwohl wir nie so viel gewinnen werden Vertrauen in $ A $ span>, wie wir es in einer seiner Konsequenzen tun, weil für jede Konsequenz $ B $ span> von $ A $ span>, es könnte andere Prämissen geben, die $ B $ span> implizieren. Dies macht die Überprüfung einer wissenschaftlichen Theorie sehr schwierig.

Auf der Mathematik zuvor getesteter Modelle aufzubauen, ist in der Tat eine Sache, die getan wird. Es heißt Engineering. Wir machen es buchstäblich die ganze Zeit.

Der Unterschied besteht darin, dass wir im Ingenieurwesen versuchen, innerhalb einiger Einschränkungen das bestmögliche Produkt herzustellen, während ein Wissenschaftler theoretisch nach der Wahrheit sucht. Daher wird im Engineering eine ganze Reihe von Kosten-Nutzen-Analysen durchgeführt, darunter "Was passiert, wenn unsere Annahmen fehlschlagen?"

Möchten Sie ein gutes Beispiel dafür finden, dass es fehlschlägt? Die Tacoma Narrows Brücke. Wir haben unsere Mathematik benutzt, wir haben die Strenge gemacht und unsere Mathematik stimmte einfach nicht mit der Realität überein.

Im Engineering haben wir einen Prozess namens Verification and Validation (V&V). Die Überprüfung kann mathematisch erfolgen, da Sie sicherstellen möchten, dass Ihr Modell nicht versucht, rechtwinklige Dreiecke zu erstellen, die gegen den Satz von Pythagoreas verstoßen (d. H. Wird die Gleichung korrekt gelöst?). Bei der Validierung geht es mehr darum herauszufinden, ob das Modell tatsächlich die gewünschten Fragen richtig beantwortet (d. H. Wird die richtige Gleichung gelöst?). Wir können nie sicher wissen, was die Realität unter dem nächsten Felsen hat, wenn wir nicht darunter schauen.

Jede gute reine Mathematikwissenschaft, wie die derzeit laufenden ToE-Bemühungen, wird schließlich hinsichtlich ihrer Fähigkeit "bewertet", interessante Vorhersagen zum Ausgehen und Testen zu treffen.

In der Praxis finden wir, dass reine Mathematik und Experimente in einem komplizierten Tanz wie Yin und Yang verwoben sind. Es gibt Aspekte der Wissenschaft, die weitaus mehr Mathematik als Experimentieren sind (wie die Stringtheorie), und andere Aspekte, die mehr Experimentieren als Mathematik sind. Aber sie sind immer eine Mischung

Mit Ihrem Experiment können Sie nur sagen, dass Ihre Experimente die Theorie unterstützen, nicht, dass sie es beweist.Experimente können aus vielen Gründen mit Theorien übereinstimmen, nicht immer, weil die Annahmen korrekt sind.In Bereichen, in denen viele Experimente die vorhergesagten Ergebnisse liefern, können Sie sicher sein, dass ein Satz Ihrer Theorie mit dem Experiment übereinstimmt, aber Sie können niemals 100% sicher sein.Wenn Sie ein Dreieck finden, das gegen Pythagoras verstößt, kann dies daran liegen, dass der Raum gekrümmt und nicht euklidisch ist, wie es die allgemeine Relativitätstheorie vorhersagt.

Eine physikalische Theorie oder ein physikalisches Modell basiert auf Annahmen.Mit mathematischen Methoden machen Sie Vorhersagen.Selbst wenn der mathematische Teil solide ist, benötigen Sie experimentelle Ergebnisse, um Ihre Annahmen zu überprüfen oder in Frage zu stellen.

Vielleicht kann Logik nicht verwendet werden, um eine Theorie zu bestätigen, aber sie kann verwendet werden, um sie zu widerlegen.

Wenn ein bestimmtes Modell der Logik der physikalischen Realität gegeben und angenommen wird, kann ein Widerspruch in diesem Modell gefunden werden, der zu der Schlussfolgerung führt, dass man die Theorie ablehnen sollte.Tatsächlich entspricht ein logischer Widerspruch angesichts der Annahmen einem physischen Widerspruch.

Wir erleben einen ähnlichen Zustand mit dem Informationsparadoxon des Schwarzen Lochs.Obwohl wir in diesem Fall keine vollständige Theorie (Schwerkraft + Quantum) haben, um das Phänomen vollständig zu verstehen.

I think (Hervorhebung im Folgenden), dass das Wichtigste beim Nachdenken über diese Frage ist, dass es sich eher um Physiker als um Physik handelt . Mit anderen Worten, es geht eher um die philosophy und practice, wie wir als Menschen die Wissenschaft tun und darüber nachdenken, als um die natürliche Welt selbst.

Die Wissenschaftsphilosophie ist heutzutage ziemlich gut etabliert. Wir nennen es "the Scientific Method". Es ist zwar wichtig zu erkennen, dass es sich um eine unbeweisbare Philosophie handelt, mit potenziellen Fallstricken (Wissenschaftler sind dafür bekannt, Fehler zu machen), aber Sie werden nicht weit kommen, wenn Sie versuchen, jemanden davon zu überzeugen, sie aufzugeben, denn im Großen und Ganzen es hat sich als ziemlich erfolgreich erwiesen. Obwohl die wissenschaftliche Methode viele Formen annimmt (siehe die Wikipedia-Seite zur Diskussion), ist die Notwendigkeit experimenteller Beweise ziemlich eindeutig. Die wissenschaftliche Methode wird alternativen Formen des Wissenserwerbs (wie der reinen Vernunft der alten Griechen) im Wesentlichen aufgrund ihrer strengen Rechenschaftspflicht gegenüber Experimenten als überlegen angesehen. Es gibt viele attraktive Theorien, die die Logik ansprechen, aber als falsch angesehen werden, weil sie nicht der Realität entsprechen. Dafür gibt es viele Gründe: menschliche Fehlbarkeit, unvollständige Informationen, Ego, Politik usw.

Als anschauliche Anekdote habe ich kürzlich ein Hörbuch über die Entwicklung eines Feldes namens "Verhaltensökonomie" genossen. Mitte des 20. Jahrhunderts hatten Ökonomen Modelle wirtschaftlicher Phänomene entwickelt, die davon ausgegangen waren, dass alle Beteiligten vollkommen rational waren und perfekte Informationen hatten. Dies war äußerst praktisch, und der mathematische Formalismus führte zu vielen eleganten Ergebnissen. Es gab nur ein Problem: Viele dieser eleganten Ergebnisse waren falsch. Eine Vorhersage der Standard-Wirtschaftstheorie war beispielsweise, dass an der Börse keine Blasen existieren könnten, was mit dem Marktcrash 2007-2008 dramatisch widerlegt wurde. Seltsamerweise glaubten nicht alle Ökonomen an diese klassische Wirtschaftstheorie, und die Dissidenten hatten sogar eine ganze Reihe von Laborexperimenten durchgeführt, um zu beweisen, dass Menschen nicht so rational handeln, wie herkömmliche Wirtschaftsmodelle annehmen. Die Dissidenten wurden als Verhaltensökonomen bezeichnet und liehen sich Werkzeuge aus der Psychologie aus, um festzustellen, wie sich Menschen in wirtschaftlichen Situationen tatsächlich verhalten, anstatt wie sie sich verhalten sollten , um mathematisch logisch und bequem zu sein. Zu meiner Überraschung als Physiker ignorierte die Mehrheit der Ökonomen die Verhaltensökonomie viele Jahrzehnte lang ohne besonders guten Grund. Die Daten zeigten deutlich, dass die Verhaltensökonomie experimentell solide war, aber aufgrund von Mischungen aus Ego und dem Wunsch, dass eine bestimmte Theorie wahr ist, wurden solche experimentellen Daten erst vor kurzem als Mainstream angesehen.

Solche Vorfälle sind für die Wirtschaft nicht besonders. Newtons Befürwortung der besonderen Lichttheorie führte viele Physiker jahrzehntelang in die Irre, bis Fresnel und Young die Wellentheorie endgültig als richtig erwiesen. Boltzmann zitierte dieses Beispiel, als er seine eigenen unpopulären Meinungen über statistische Mechanik verteidigte, und im Nachhinein war er genau richtig. Infälle wie diese sind der Grund, warum fast alle Physiker zustimmen würden, dass jede Theorie durch Experimente bestätigt werden muss. Menschen sind fehlbar, egal wie klug sie denken, dass sie sind. Die Geschichte ist übersät mit Beispielen von unbewiesenen, aber attraktiven Hypothesen, die Menschen jahrzehntelang in die Irre führen, bevor sie widerlegt werden (Äther, statisches Universum, vielleicht WIMPs usw.).

Selbst wenn ein Beweis wasserdicht erscheint, kann es vorkommen, dass es Faktoren gibt, die wir in unserem Beweis einfach nicht berücksichtigt haben. Eine andere Geschichte erzählt von Euler, wie er berechnet, wie er für seinen Gönner Klempnerarbeiten durchführen soll. Er hat die Mathematik natürlich perfekt ausgearbeitet, aber die Erfindung, die er entworfen hat, hat überhaupt nicht funktioniert. Die nicht idealen Faktoren, die Euler aus seinem Modell herausgelassen hatte, erwiesen sich als wichtig.

Die Tatsache, dass so viele solcher Fehler weiterhin auftreten, zeigt, dass in-Praxis-Leute nicht dem Standard entsprechen, den sie predigen. Insbesondere für gut etablierte Theorien wird ein mathematisches Argument, warum etwas auf eine bestimmte Weise sein sollte, oft als Evangelium angesehen. Ich denke, dies gilt insbesondere für Unmöglichkeits- oder "No-Go" -Sätze. Z.B. Das Konzept hinter dem Spielzeug " Levitron" wurde von einigen für unmöglich gehalten - bis jemand eines herstellte, das funktionierte. Das Problem mit No-Go-Theoremen ist, dass es wirklich sehr, sehr schwer ist, alle möglichen Umstände zu berücksichtigen, wenn Sie beweisen wollen, dass so etwas wie Levitation unmöglich ist. Es gibt unzählige komplizierte Effekte in der Physik (wie im Fall des Levitron eine gyroskopische Präzession), die Ihre Analyse subtil beeinflussen können, und es ist absurd schwierig, wirklich sicher zu sein, dass Sie jeden dieser Effekte berücksichtigt haben.

Um den vorherigen Punkt klar zu machen: Das Problem mit einem mathematischen Beweis ist nicht, dass die Natur irgendwie beweisen wird, dass die Mathematik falsch ist. Es ist immer möglich, die Hypothesen, unter denen der Beweis erbracht wurde, für ungültig zu erklären. Wenn wir also niemals versuchen würden, bekannte mathematische Ergebnisse über die Hypothesen hinaus zu erweitern, von denen wir wussten, dass sie wahr sind, hätten wir kein Problem. Aber als Menschen verwenden wir gerne Intuition über Dinge, die wir verstehen, um über Dinge zu lernen, die wir nicht verstehen. Dies ist auch Teil der Wissenschaft. Und unter solchen Umständen gibt es keinen Ersatz für Experimente, bis jemand etwas anderes demonstriert (nicht "beweist etwas anderes!").

(Natürlich ist dies nur mein Gedanke in dieser Angelegenheit. Um zu beweisen, dass ich Recht habe, müssten Sie ein Experiment durchführen, bei dem z. B. zwei Gruppen zufällig ausgewählter Forscher recherchierten, eine Gruppe Experimente verwendete, um alles zu verifizieren, und der andere nicht. Dann sehen Sie, wer am Ende die bessere Theorie hat.)

Willkommen in unserer Herde! Ihre Frage berührt eines der grundlegenden Probleme im Leben, denke ich: Woher wissen wir, dass das, was wir erleben, real ist?

Ich glaube, es ist Brauch, zwischen Mathematik einerseits und Wissenschaft (dh empirische Wissenschaft) andererseits zu unterscheiden:

• In der Mathematik haben wir es mit der absoluten Wahrheit zu tun, aber mit einer Einschränkung: Wir beginnen immer mit einer Reihe von Axiomen, und alle logischen Schlussfolgerungen daraus sind wahr. if Die Axiome sind wahr. Die mathematische Wahrheit ist also absolut, wenn sie als komplexe Aussage "Wenn [Axiome] dann [Schlussfolgerungen]"
verstanden wird
• In der Wissenschaft wissen wir andererseits, dass wir niemals die Wahrheit einer Theorie beweisen können; Das Beste, was wir tun können, ist es zu widerlegen: Eine Theorie ist eine (sehr fundierte) Vermutung, die etwas vorhersagt, das wir in einem Experiment testen können. Wenn das Experiment die Vorhersage nicht bestätigt, haben wir bewiesen, dass die Theorie grob falsch war. Die wissenschaftliche Methode ist also ein Werkzeug, um Unwahrheiten herauszufiltern, und die Hoffnung ist, dass das, was uns nach langer Zeit übrig bleibt, für alle praktischen Zwecke der Wahrheit ziemlich nahe kommt.

Um Ihre Frage mit einer umfassenden Verallgemeinerung zu beantworten: Nein, Mathematik kann die empirische Wissenschaft niemals ersetzen, obwohl sich die beiden ergänzen und gegenseitig informieren.

Gibt es einen Fall, in dem mathematische Beweise das Experimentieren ersetzen können?

Nein. Jedes physikalische Modell muss experimentell validiert werden. Außerdem hängen diese beiden Dinge überhaupt nicht zusammen.
Reine mathematische Theorien beweisen etwas und physikalische Experimente verifizieren theoretische Modelle.
Wenn Sie mich einen Witz machen lassen: Wird durch den Nachweis, dass Sie keinen Hunger haben, ein Test mit Lebensmitteln eliminiert?

Wenn Wissenschaftler jemals behaupteten, ein rechtwinkliges Dreieck in der Natur gefunden zu haben, das gegen den Satz von Pythagoras verstößt, wäre es logischer anzunehmen, dass sie einen Fehler gemacht haben

Nein. Es bedeutet nur, dass sich dieses Dreieck auf einer nichteuklidischen Oberfläche befindet. Zum Beispiel versagt der Satz von Pythagoras bei sphärischen Dreiecken, aber in diesem Fall kann man den Satz von Pythagoras analog :

$$ \ cos c = \ cos a \ cos b \ $$ span> Hier $ C = \ pi / 2 $ span>

Und man kann ein solches Dreieck leicht auf eine sphärische Oberfläche zeichnen, so dass ALLE seine Winkel $ \ pi / 2 $ span> wären! :

Ein solches Dreieck $ A'B'C '$ span>

Und zu Ihrem Vergnügen: Da mathematisch gesehen unendlich viele Topologien existieren, - gibt es unendlich viele Ausnahmen des Satzes von Pythagoras.

Um Ihre Neugier zu wecken, ein Beispiel für ein "kreatives" Ausnahmedreieck auf der wave-like-Oberfläche:

Entschuldigung, ich bin keine gute Schublade, daher ist mein Bild nicht ideal, aber Sie haben die Idee.

Es gibt den Fall des mathematischen Beweises, dass die Schwerkraft has im Lichte der Stringtheorie existiert:

Die Stringtheorie sagt die Existenz von Gravitonen und ihre genau definierten Wechselwirkungen voraus. Ein Graviton in der störenden Stringtheorie ist ein geschlossener String in einem ganz bestimmten niederenergetischen Schwingungszustand

Weitere Informationen finden Sie in diesem Artikel.

Die Schwerkraft wurde bereits vor dieser "Nachdiktion" beobachtet. Kam die Beobachtung der Schwerkraft vor dieser (immer noch hypothetischen) Vorhersage der Schwerkraft? Nein. Aber ohne andere Beobachtungen würde die gesamte Stringtheorie natürlich nicht existieren.
Das ist eine der Grundregeln der Wissenschaften. Theorien müssen auf Beobachtung beruhen.
Es könnte sein, dass die Schwerkraft a priori in die Stringtheorie geriet (was ich nicht weiß).

Ich bin sicher, dass es Beispiele für Theorien gibt, die neue (im Gegensatz zum Beispiel der Schwerkraft in der Stringtheorie) unsichtbare messbare physikalische Prozesse, Effekte, Konstanten, Gesetze usw. vorhersagen.

In der statistischen Thermodynamik wird beispielsweise die Tatsache vorhergesagt, dass Wärme von heiß nach kalt fließt. Dies wurde bereits vor dem Aufkommen der statistischen Thermodynamik verifiziert, aber es hätte genauso gut umgekehrt sein können, denke ich.
Sie können sich fragen, ob die Grundlage des statistischen Ansatzes (die Existenz von Atomen) ohne die gesamte vorhergehende Physik hätte geschaffen werden können. Aber ich denke es könnte.
Wir werden nie sicher sein, weil sich die Physik so entwickelt hat, was nicht heißt, dass wir keine fundierten Vermutungen anstellen können.

Kann es sein, dass die Grundannahmen einer mathematischen Theorie experimentell validiert wurden, aber die Vorhersage einer Ableitung in dieser Theorie experimentell ungültig gemacht werden könnte?Ja - neben allen bereits genannten Gründen besteht immer die Möglichkeit, dass es in der Natur etwas gibt, das NICHT durch die Theorie modelliert wird.Aus diesem Grund suchen beispielsweise einige Wissenschaftler nach einer sogenannten „fünften Kraft“.

Auf einer prosaischeren Ebene: Es ist möglich, dass ein astronomisches Phänomen durch eine mathematische Ableitung vorhergesagt wird, die mit der Allgemeinen Relativitätstheorie beginnt, aber die tatsächlichen Beobachtungen weichen aufgrund des Vorhandenseins elektromagnetischer Effekte von dieser Vorhersage ab [die GR nicht als solche erklären konntebefasst sich nur mit Gravitation].Ich erwähne dies, weil die meisten Astronomen glauben, dass Elektromagnetismus auf galaktischer Ebene vernachlässigbar ist, aber mindestens ein Forscher hat diese Annahme bestritten.

Ich kann mir mindestens einen Fall vorstellen, in dem wissenschaftliche Gesetze mathematisch bewiesen wurden.

In der Mathematik beweisen Sie Theoreme, indem Sie Logik auf die Axiome anwenden. Axiome sind Tatsachen, von denen angenommen wird, dass sie korrekt sind, ohne dass ein Beweis erforderlich ist. Beispiele für Axiome, die von Peano verwendet werden, sind:

  0 ist eine natürliche Zahl.
Für jede natürliche Zahl x ist x = x.
Wenn für alle natürlichen Zahlen x und y x = y ist, dann ist y = x
 

In fast allen Fällen verwendet die Wissenschaft keine Axiome. Stattdessen werden Beobachtungen verwendet, um zu sehen, wie sich die Natur verhält.

Es gibt jedoch einige Fälle, in denen die Wissenschaft der Verwendung von Axiomen nahe kommt, und in diesem Fall kann die Mathematik verwendet werden, um andere Tatsachen zu beweisen. Dieser Beweis beruht dann stark auf der Tatsache, dass die Annahmen (Axiome) korrekt sind.

Ein berühmtes Beispiel ist das Energieerhaltungsgesetz, das erste Gesetz der Thermodynamik. Seit Beginn der Untersuchungen von Dampfmaschinen durch Carnot wurde erkannt, dass die Energie in einem isolierten System in andere Formen umgewandelt, aber nicht erzeugt werden kann. Dieses Gesetz wurde von Emmy Noether auf eine viel stärkere Grundlage gestellt, als sie 1918 ihren Erhaltungssatz veröffentlichte. In diesem Satz bewies sie mathematisch, dass, solange die Gesetze der Physik nicht mit der Zeit variieren, Die Energieeinsparung folgt. Gleiches gilt für die Erhaltung des Impulses (der folgt, wenn sich die physikalischen Gesetze nicht mit dem Standort ändern) und anderer konservierter Größen. Für jede Symmetrie gibt es eine entsprechende Konservierung.

Mit anderen Worten, hier behandeln wir sehr grundlegende Tatsachen wie die Invarianz des physikalischen Gesetzes in Bezug auf Zeit oder Ort als Axiome und verwenden Mathematik, um unsere Gesetze daraus abzuleiten.

Ja. Genau das tat Einstein in seiner Arbeit über die spezielle Relativitätstheorie von 1905. Er überlegte, wie Koordinaten operativ definiert werden, und leitete daraus mathematisch Ergebnisse ab. Zwar verwendete Einstein die empirische Annahme der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, aber das logische (mathematische) Argument hängt nicht von den physikalischen Eigenschaften des Lichts ab, sondern nur von der Existenz einer maximalen Geschwindigkeit in der Natur. Die operative Definition von Koordinaten hängt von der Höchstgeschwindigkeit ab. Wir müssen die maximale Geschwindigkeit nicht messen, da die Messung der Geschwindigkeit von der Definition der Koordinaten abhängt. Folglich können alle Geschwindigkeiten als Bruchteile dieser Höchstgeschwindigkeit ausgedrückt werden

Allgemeiner können wir die gesamte spezielle und allgemeine Relativitätstheorie aus dem allgemeinen Relativitätsprinzip ableiten, dass die lokalen Gesetze der Physik unabhängig von der Referenzsubstanz, mit der ein bestimmter Beobachter sie quantifiziert, dieselben sind.

Es ist weniger bekannt oder bekannt, dass von Neumann dasselbe für die Quantenmechanik getan hat. Die mathematische Struktur der Quantenmechanik hängt von only von der Annahme ab, dass wir Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse von Messungen unter gegebenen Anfangsbedingungen zusammen mit der Beobachtung angeben können, dass die Ergebnisse von Messungen nicht mit dem Determinismus übereinstimmen.

Dirac setzte qm und sr in der relativistischen Quantenmechanik zusammen und leitete die tatsächlichen Eigenschaften von Elektronen und Photonen ab. Das Argument kann auf das Standardmodell der Teilchenphysik erweitert werden.

Kurz gesagt, die allgemeine Form der gesamten modernen Physik kann mathematisch aus allgemeinen Prinzipien abgeleitet werden. Experimente sind noch erforderlich, jedoch nur, um diskrete Alternativen auszuschließen und die Werte grundlegender Parameter zu bestimmen. Wie das geht, habe ich in meinen Büchern in konzeptionellen und mathematischen Details gezeigt (siehe Profil).

Gibt es einen Fall, in dem mathematische Beweise das Experimentieren ersetzen können?

Yes, dies geschieht ständig in realen wissenschaftlichen Umgebungen.

(Nun, für diejenigen, die nicht einverstanden sind, lesen Sie dies bitte vollständig durch, bevor Sie mich ablehnen.)

Es gibt bestimmte Prinzipien, die unter Physikern "Dogma" sind. Einige klassische Beispiele sind:

• Kausalität

Wenn Ihnen jemand eine Theorie gezeigt hat, die er entwickelt hat (vielleicht versucht er, einige bekannte Probleme in einem bestimmten Bereich zu lösen), und Sie ihm gezeigt haben, dass seine Mathematik impliziert , dass die Energieeinsparung verletzt wird - Dies ist unter Physikern gleichbedeutend, wenn Sie der anderen Person sagen, dass sie falsch liegt.

Wenn in diesem Beispiel klar ist, dass die "Energieeinsparung" verletzt wird, WÜRDEN die Physiker darauf bestehen, dass ein Experiment zum Testen dieser Theorie Zeitverschwendung ist.

Jetzt sage ich diese Dinge nicht als Kritik an Physiker, aber die Realität ist, dass es einige Ideen gibt, die so tief verwurzelt sind, dass es einer außerordentlichen Menge an Beweisen bedarf, um die Meinung der Physiker zu ändern. Und das ist normalerweise aus gutem Grund. Einige Konzepte sind so gut etabliert (wie das oben erwähnte "Dogma"), dass es in der Tat Zeitverschwendung ist, sie zu überdenken.

Ja, am Ende (wenn die Zeit unendlich wird) werden Experimente und empirische Beweise immer die mathematische Theorie außer Kraft setzen. In der Praxis gibt es jedoch viele Ausnahmen.

Es ist in gewisser Weise ein Grund, warum manche glauben, dass große Veränderungen nur in riesigen "Paradigmenwechseln" stattfinden, in denen die jüngere, aufgeschlossenere Generation die Sturheit der älteren Generation überlebt. (Ich habe gehört, dass) die Geburt der Quantenmechanik diese Art von Verschiebung hatte, da ein Großteil der älteren Generation sich weigerte, die neuen Modelle zu akzeptieren, die der experimentellen Arbeit entsprachen.

Ja, das kannst du.Wie hoch ist die Summe aller positiven ganzen Zahlen?-1/12, richtig?Ist das wahr?Ja.Können Sie es empirisch beweisen?Nein.Empirisch würden Sie eine größere Zahl als die vorherige erhalten, theoretisch erhalten Sie eine kleinere Zahl als die erste positive ganze Zahl.