1. Die komplexen Exponentiale sind Eigenfunktionen der Ableitungs- und Integraloperatoren.Wenn Sie also lineare Differentialgleichungen analysieren und Fourier-Reihen verwenden, können Sie jeden Term für sich betrachten.Wenn Sie Taylor-Reihen verwenden, müssen Sie Wechselwirkungen zwischen einem Begriff und anderen Begriffen in der Reihe berücksichtigen.(Aus diesem Grund schreiben wir unsere Fourier-Reihe häufig in Form komplexer Exponentiale anstelle von Sinus und Cosinus.)

2. Extrapolation.Wenn ich eine Funktion $ f (x) $ span> habe und sie in einer Region $ [x_1, x_2] $ mit einer Taylor-Reihe endlicher Länge $ F_T (x) $ span>, dann außerhalb von $ [x_1, x_2]$ span> Die Taylor-Serie tendiert dazu, ins Unendliche zu gehen.Wenn ich es mit einer Fourier-Reihe endlicher Länge approximiere, bleibt die Reihe als $ x \ bis \ infty $ span> begrenzt.

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Gute Frage. Ein Grund dafür, dass komplexe exponentielle Erweiterungen (die bei realwertigen Problemen Sinus und Cosinus aktivieren) natürlicher sind als Erweiterungen der Taylor-Serie, ist, dass sie keinen speziellen Punkt auswählen müssen, um sie zu erweitern. In vielen Situationen ist die Differentialgleichung translatorisch invariant, und es gibt keinen natürlichen Punkt, um den Taylor expandieren kann. Sie müssen also einen beliebigen Punkt auswählen. Ein allgemeines Muster in der Physik ist, dass Sie, wenn Ihr Problem-Setup eine gewisse Symmetrie aufweist, diese Symmetrie definitiv nutzen möchten, um es zu lösen.

Ein weiteres Problem ist, dass, wie The Photon erwähnte, Polynome bei großen $ x $ span> unweigerlich unbegrenzt groß werden, was nicht mit der periodischen Natur der übereinstimmt Lösungen. Für jede Taylor-Erweiterung endlicher Ordnung müssen Sie die Lösung außerhalb einer einzelnen Grundperiode manuell abschneiden, was etwas umständlich ist.

Aber wahrscheinlich ist der wichtigste Grund, dass Sie sich mit Differentialgleichungen befassen und Sinus und Cosinus die ganz besondere Eigenschaft haben, nach zwei Ableitungen (und dem Die komplexe exponentielle Version bleibt bis zu einem Skalierungsfaktor nach nur einer Ableitung unverändert. Wenn Sie Erfahrung mit Fourier-Transformationen sammeln, werden Sie feststellen, dass Sie mit dieser Tatsache viele lineare Differentialgleichungen in algebraische umwandeln können, die viel einfacher zu handhaben sind. Im Gegensatz dazu führt die Differenzierung eines Polynoms Sie die Leiter hinunter zu einem Polynom niedrigerer Ordnung, sodass Sie nie wieder dorthin zurückkehren, wo Sie begonnen haben, nicht viele, wie viele Ableitungen Sie nehmen. Diese Tatsache hindert Sie daran, diese Technik zu nutzen.

Wenn Sie nach praktischen Vorteilen fragen, müssen Sie alles vergessen, was Sie im Analyseunterricht gelernt haben. Bei einer praktischen Berechnung ist es egal, ob etwas punktuell oder gleichmäßig konvergent ist. Tatsächlich ist es oft sehr nützlich, asymptotische Reihen zu verwenden, die nicht einmal punktweise konvergent sind.

Im Großen und Ganzen macht eine Reihe nützlich, wie numerisch genau ein Ergebnis ist, das Sie damit erzielen können, während nur so viele Begriffe verwendet werden, wie es praktisch ist. "Rigorose" Konvergenzbegriffe sind hier nicht sinnvoll, weil sie über die Grenze unendlich vieler Begriffe sprechen, die in der Praxis offensichtlich nie erreicht wird. (Zum Beispiel ist es im Prinzip richtig, dass $ \ cos (x) $ span> überall durch seine Taylor-Reihe beschrieben wird, aber versuchen Sie, $ \ cos (10 ^ 8) $ span> Verwenden Sie diese Reihe und sehen Sie, wie viele Begriffe Sie benötigen, um eine vernünftige Antwort zu erhalten. Die Taylor-Reihe ist für diese Aufgabe völlig nutzlos.)

Fourierreihen sind in diesem Sinne nützlich, da viele Phänomene in der Natur eine räumliche oder zeitliche Translationsinvarianz aufweisen. In den einfachsten Fällen werden Probleme im Fourier-Raum diagonal dargestellt, sodass Sie die genaue Lösung in einem Schritt aufschreiben können. In komplizierteren Fällen können Sie das Problem im Fourier-Raum fast diagonal darstellen und störend behandeln.

Viele der anderen Antworten befassen sich mit den praktischen Aspekten der Erweiterung der Fourier-Reihe gegenüber der Taylor-Reihe. Es gibt jedoch mindestens einen physikalischen Grund, einen über den anderen zu wählen, und das heißt, dass die Expansionskoeffizienten eines Vektors, der auf orthonormaler Basis geschrieben ist, bestimmte Arten von physikalischen Informationen offenbaren Über das System, das von der Funktion beschrieben wird, und die Art der offenbarten physischen Informationen hängt von der Wahl der Basis ab:

T Die physikalische Relevanz von Erweiterungen auf orthonormaler Basis

Dies steht in direktem Zusammenhang mit einigen der Antworten, die Fourier-Reihen in der Sprache der linearen Algebra enthalten, wobei die Sinus- und Cosinus-Werte eine orthonormale Basis für den Funktionsraum bilden, den Sie betrachten. In diesem Zusammenhang hat eine orthonormale Basis vier schöne Eigenschaften. Das erste ist lediglich, dass orthonormale Basen rechnerisch gut sind, da sie es Ihnen ermöglichen, Expansionskoeffizienten einfach zu berechnen, indem Sie das innere Produkt des Vektors mit einem Basiselement nehmen. Die anderen drei sind physikalisch relevanter:

• Die Expansionskoeffizienten auf orthonormaler Basis haben eine direkte physikalische Interpretation. Im Kontext der grundlegenden Mechanik beispielsweise der $ v_x $ span>, der an $ \ hat {x} $ span angehängt ist > in einem Geschwindigkeitsvektor ist wirklich die Geschwindigkeit in der Richtung $ x $ span> im folgenden Sinne. Stellen Sie sich vor, Sie bewegen sich entlang der $ x $ span> -Achse mit der Geschwindigkeit $ v_x $ span> (des Objekts) und beobachten die Objekt, während es sich bewegt: Das Objekt wird von Ihnen zurücktreten, aber in dieser Richtung mit Ihnen Schritt halten. Daher ist es wichtig, dass die Komponenten eines Vektors auf orthonormaler Basis physikalisch relevante Informationen über das von diesem Vektor beschriebene System enthüllen.

• Die Art der offenbarten physischen Informationen hängt von der gewählten orthonormalen Basis ab. Wenn Sie einen Geschwindigkeitsvektor in der Basis $ \ {\ hat {x}, \ hat {y}, \ hat {z} \} $ span> darstellen möchten, dann Sie erhalten die Geschwindigkeiten in diese Richtungen (in dem im vorherigen Aufzählungspunkt erläuterten Sinne). Wenn Sie stattdessen die Basis auswählen, auf der einer der Basisvektoren entlang $ \ vec {v} $ span> liegt, ist die Komponente entlang dieses Basisvektors die Geschwindigkeit des Teilchens. Unterschiedliche Basen enthüllen unterschiedliche Informationen und verbergen unterschiedliche Informationen.

• Schließlich sind die Expansionskoeffizienten auf orthonormaler Basis eindeutig , was es uns wirklich ermöglicht, die Größen physikalisch zu interpretieren. (Was würde die $ x $ span> -Komponente der Geschwindigkeit wirklich bedeuten, wenn sie zwei verschiedene Werte annehmen könnte?)

The physikalische Interpretation von Expansionskoeffizienten in einer Fourier-Reihe

Im Zusammenhang mit Fourier-Reihen haben diese Aufzählungspunkte die folgende Bedeutung.

• Die Expansionskoeffizienten geben an, wie sehr die Funktion einer bestimmten Sinus- oder Cosinusfunktion ähnelt. Betrachten wir einen der Begriffe in der Erweiterung, gegeben durch $$ a_n \ cos \ left (\ omega_n t \ right) + b_n \ sin \ left (\ omega_n t \ right), $$ span> Dabei ist $ \ omega_n = 2 \ pi n / T $ span>. Wenn wir dies als neu schreiben $$ A_n \ sin \ left (\ omega_n t + \ phi_n \ right), $$ span> Dabei ist $ A_n = \ sqrt {a_n ^ 2 + b_n ^ 2} $ span> und $ \ phi_n = \ tan ^ {- 1} (a_n / b_n) $ span>, dann können wir die Koeffizienten so interpretieren, dass sie uns zwei Informationen geben. Die Amplitude $ A_n $ span> gibt an, wie stark diese bestimmte Funktion in die Erweiterung einfließt und wie stark die ursprüngliche Funktion dieser bestimmten Sinusfunktion ähnelt. Mit anderen Worten, $ A_n $ span> gibt an, inwieweit die ursprüngliche Funktion mit der Frequenz $ n / T $ span schwingt >. Mit anderen Worten, die Expansionskoeffizienten geben uns den Frequenzinhalt des ursprünglichen Signals, wobei die Expansionskoeffizienten diese Beziehung quantifizieren. (Die Phasen $ \ phi_n $ span> wären beispielsweise für Interferenzexperimente relevant, aber für die Zwecke dieser Diskussion ist es die Amplitude, die wirklich wichtig ist.)

• Eine Fourier-Reihe (und eine Fourier-Transformation) liefert den Frequenzinhalt (oder die Wellenlänge, abhängig vom Kontext) der Funktion, die eine physikalische Größe in einem physikalischen System beschreibt. Man kann auch andere Sätze orthogonaler Funktionen verwenden. In der Elektrostatik können wir beispielsweise das elektrostatische Potential mithilfe von Legendre-Polynomen erweitern, und diese Funktionen ergeben den $ ^ 1 $ span> -Multipol (Monopol, Dipol, Quadrupol usw.). Struktur des elektrostatischen Potentials. Unterschiedliche orthonormale Basen zeigen unterschiedliche Arten von physischen Informationen über das System.

• Die Einzigartigkeit ermöglicht es uns erneut, die oben genannten Schritte auszuführen. Wenn die Fourier-Reihe tatsächlich eine Fourier-Reihe $ ^ 2 $ span> wäre, würde dies nicht wirklich funktionieren.

Taylor series

Soweit ich weiß, gibt es kein "natürliches" inneres Produkt auf der Menge der Polynome, das die Menge der Monome $ x ^ n $ span> orthonormal macht, und Daher können wir eine Taylor-Reihe nicht wirklich als orthonormale Erweiterung interpretieren. Wir können jedoch $ ^ 3 $ span> eine Taylor-Reihe als Erweiterung auf nicht orthogonaler Basis interpretieren, und so kommen wir ein wenig zurück der Interpretationskraft.

Insbesondere enthüllen die Expansionskoeffizienten strukturelle Informationen über die Funktion, indem sie zeigen, wie konstant die Funktion ist, wie linear die Funktion ist, wie quadratisch , wie kubisch und so weiter. Dies kann auch wichtige physikalische Konsequenzen haben, wie die Tatsache zeigt, dass der einfache harmonische Oszillator allgegenwärtig ist: Wenn eine potentielle Energie "sehr quadratisch" ist, ähnelt das Verhalten des Systems einem einfachen harmonischen Oszillator. P. >

Dies ist nicht die Art von Informationen, die über eine Fourier-Reihe $ ^ 4 $ span> angezeigt werden, und daher enthüllen different-Basen unterschiedliche Informationen .

Numerische Approximation

Schließlich kann, wie in anderen Antworten erwähnt, das eine oder andere numerische Berechnungen unterstützen, aber ich würde argumentieren, dass dieses auch physikalische Implikationen hat (oder zumindest von der Physik informiert wird). Ein archetypisches Beispiel finden Sie im vorherigen Abschnitt über Taylor-Serien. In gewissem Sinne ist die Annäherung des Systems als einfacher harmonischer Oszillator eine numerische Annäherung, die sowohl physikalische Bedeutung als auch physikalische Rechtfertigung hat.

_{1. Alle außer dem ersten Nicht-Null-Term in der Erweiterung hängen tatsächlich vom gewählten Ursprung ab, daher ist die Verwendung von "the" hier nicht korrekt, und hier gibt es ein wenig Sophistik in dem Sinne, dass ich die Wichtigkeit der Einzigartigkeit der Erweiterung betone . Der Punkt ist jedoch immer noch gut. Sub>}

_{2. Wir können natürlich verschiedene Intervalle wählen, über die eine Fourier-Reihe für eine bestimmte Funktion berechnet werden soll, und in diesem Sinne ist eine Fourier-Reihe nicht eindeutig. Das Intervall wird jedoch normalerweise durch das physikalische System bestimmt, das wir beschreiben, und in diesem Sinne erhalten wir die Einzigartigkeit zurück. Tatsächlich berechnen wir manchmal tatsächlich eine Fourier- -Transformation . In diesem Fall ist das Intervall die gesamte reelle Linie. Sub>}

_{3. In der Physik können wir sowieso ein intuitives Gefühl dafür bekommen, was wir tun. Und vielleicht können wir das auch in der Mathematik, soweit sie es uns erlauben. Ich weiß jedoch nicht, inwieweit Mathematiker Taylor-Reihen auf diese Weise denken. Sub>}

_{4. Abgesehen davon, dass, wie in einer anderen Antwort erwähnt, eine Beziehung zwischen Fourier-Reihen und Taylor-Reihen besteht, die im Kontext einer komplexen Analyse aufgedeckt wird. Es gibt also noch ein bisschen Sophistik, um meinen Standpunkt zu vermitteln. Sub>}

Einer der tiefsten Gründe für die Verwendung der Fourier-Erweiterung ist die Idee der durch Symmetrien induzierten harmonischen Analyse. Das Hauptthema heißt Repräsentationstheorie und bildet die Grundlage für große Teile der Physik.

Hier ist die Idee: Betrachten Sie eine (endliche - oder kompakte, für die viele ähnliche Eigenschaften gelten) Gruppe $ G $ span> und einen Vektorraum $ V $ span>, auf dem es arbeitet. Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass das Feld des Vektorraums die Charakteristik 0 oder zumindest nicht 2 hat (der letztere Fall ist mit vielen Ausnahmen der schlimmste). Wenn Sie verwirrt sind, nehmen Sie einfach an, wir haben einen $ \ mathbb {R} $ span> - oder $ \ mathbb {C} $ span> -basierter Vektorraum.

Dies bedeutet, dass Gruppenelemente $ g \ in G $ span> als Homomorphismen des Vektorraums im Vektorraum $ fungieren V $ span>. Das heißt, Jedes Gruppenelement $ g: V \ bis V $ span> kann als lineare Abbildung über $ V $ span> betrachtet werden, dessen Die Gruppenmultiplikation berücksichtigt die Homomorphismuszusammensetzung, dh $ (g_1 \ cdot g_2) (v) = (g_1 \ circ g_2) (v) $ span> wobei $ \ cdot $ span> bezeichnet die Multiplikationen als Gruppenmitglieder, während $ \ circ $ span> die Zusammensetzung als Homomorphismen bezeichnet.

Die folgende Struktur wird als Gruppendarstellung oder $ G $ span> -Raum bezeichnet, der viele nette Eigenschaften hat. Dazu gehört die Tatsache, dass für eine bestimmte Gruppe $ G $ span> der $ G $ span> -Raum kann auf nur ganz bestimmte Weise in $ G $ span> -Unterräume zerlegt werden. Sie zerlegen sich eindeutig in sogenannte irreduzible $ G $ span> -Subspaces, die nicht weiter zerlegt werden können. Von diesen irreduziblen Teilräumen existieren nur sehr spezifische für die gegebene Gruppe $ G $ span> (für endliche Gruppen gibt es tatsächlich nur eine endliche Anzahl von nicht äquivalenten irreduziblen $ G $ span> -Typen).

Dies bedeutet, dass unabhängig davon, wie Ihr $ G $ span> -Raum aussieht, die Zerlegung immer dieselben irreduziblen Typen enthält, wenn auch mit unterschiedlichen Beiträgen - denken Sie daran als eine Art "Primfaktor-Zerlegung" Ihres $ G $ span> -Raums; Seine Komponenten hängen nur von $ G $ span> ab. Sie können festlegen, bevor Sie etwas anderes berechnen. Auf diese Weise haben Wissenschaftler der Molekulardynamik die Entartung von Anregungen ausschließlich auf der Grundlage von Symmetrieüberlegungen festgestellt, bevor sie überhaupt die genauen Frequenzen berechnet oder die dynamischen Parameter des Systems kennen

Wenn Sie zusätzliche Eigenschaften Ihres $ V $ span> haben, z. B. ein Skalarprodukt, und die Gruppenoperation dies berücksichtigt, erhalten Sie zusätzliche nette Eigenschaften, zElemente aus verschiedenen irreduziblen $ G $ span> -Unterräumen Ihres $ G $ span> -Raums sind orthogonal (Schur's Lemma)).Wenn Ihre Gruppe abelisch, d. H. Kommutativ ist und Ihr Feld $ \ mathbb {C} $ span> ist, haben die irreduziblen Räume die Dimension 1.

Und jetzt kommen wir zur Fourier-Analyse: Die Fourier-Komponenten sind nichts anderes als die Zerlegung Ihres Vektors in seine irreduziblen Komponenten, wenn Ihre Gruppe $ G $ span> die Übersetzungen sind.

Betrachten Sie der Einfachheit halber die Gruppe der Übersetzungsoperatoren $ T_k $ span> (nehmen Sie aus technischen Gründen eine endliche eindimensionale Kette und periodische Randbedingungen an), die $ j \ in [n] $ span> bis $ T_k (j): = (j + k-1) \ mod n + 1 $ span> (dh Verschiebung um $ k $ span> und Umbruch auf 1, wenn $ n $ span> überschritten ist ). Bei einem (komplexwertigen) Vektor $ v = (v_1, v_2, \ dots, v_n) $ span> ist ein Übersetzungsoperator $ T_k $ span> transformiert $ v $ span> gemäß $ T_k v: = (v_ {T_k ^ {- 1} 1}, v_ {T_k ^ {- 1} 2}, \ dots, v_ {T_k ^ {- 1} n}) $ span>, dh alle Koordinaten von $ v $ span> werden um $ k $ span> verschoben und umwickelt. Gemäß der Darstellungstheorie kann dieser $ G $ span> -Raum mit dem $ T_k $ span>, der die Gruppe bildet, zerlegt werden in eindimensionale irreduzible Teilräume. Es stellt sich heraus, dass dies genau die Fourier-Komponenten sind, wie leicht zu überprüfen ist.

Nämlich: Betrachten Sie den $ G $ span> -subspace $ F_m: = \ langle (e ^ {1 \ cdot im}, e ^ {2 \ cdot im}, \ dots, e ^ {n \ cdot im}) \ rangle $ span> (die Winkel geben den durch den Vektor im Inneren erzeugten Raum an). Der $ i $ span> ist hier die imaginäre Einheit, und $ m $ span> wählt den irreduziblen Unterraum aus (wie üblich) Jargon, die Harmonische). Dies ist eindeutig nicht reduzierbar, da es eindimensional ist. Es ist auch tatsächlich ein $ G $ span> -Raum. Es reicht aus, $ T_k $ span> auf $ anzuwenden (e ^ {1 \ cdot im}, e ^ {2 \ cdot im}, \ dots, e ^ {n \ cdot im}) $ span>. Dies gibt Ihnen $ (e ^ {(1-k) im}, e ^ {(2-k) im}, \ dots, e ^ {(nk) im}) $ span>, aber das ist dasselbe wie $ e ^ {- ikm} \ cdot (e ^ {1 \ cdot im}, e ^ {2 \ cdot im}, \ dots , e ^ {n \ cdot im}) $ span>, also nur eine Konstante mal dem ursprünglichen Vektor und daher in $ F_m $ span>. Wir haben gezeigt, dass $ F_m $ span> ein irreduzibler $ G $ span> -Raum für die Übersetzungen ist. P. >

Da wir ein skalares Produkt haben, wissen wir aus der Darstellungstheorie automatisch, dass die $ F_m $ span> für verschiedene $ m $ span>. Dies gilt auch für andere relevante Gruppen. Wenn Sie beispielsweise die Rotationsgruppen auf der Kugel haben, erhalten Sie die sphärischen Harmonischen als irreduzible Räume. Auch hier ist es nicht erforderlich, langwierige Integrationen auf der Oberfläche der Kugel zu durchlaufen - sie werden für all diese automatisch durch Schurs Lemma angezeigt.

TL; DR: Wenn Sie eine Gruppe haben, die mit einigen zusätzlichen Bedingungen in einem Vektorraum arbeitet (Gruppe ist endlich oder kompakt, obwohl einige Ergebnisse auch für nicht kompakte Gruppen funktionieren; Feld verhält sich gut, kein Zeichen2 zum Beispiel) erhalten Sie eine Vielzahl von Garantien, wie Ihr Vektorraum zerlegt werden kann und wie diese Zerlegung aussehen wird.Zusätzliche Strukturen im Vektorraum, wie z. B. ein Skalarprodukt usw., führen zu zusätzlichen Garantien.Die Fourier-Zerlegung ist die Zerlegung, die sich ergibt, wobei der Sonderfall der Gruppe die Übersetzung der Koordinaten ist und leicht verallgemeinert werden kann.Das relevante Gebiet heißt "Repräsentationstheorie" und ist eines der elegantesten Themen der Mathematik mit starkem Einfluss auf die zeitgenössische Physik.

Aus der Perspektive komplexer Zahlen sind Fourier-Reihen Polynome - oder zumindest Taylor-Reihen. Nehmen Sie zum Beispiel die Funktion $ 1 $ span> $ f $ span> mit $ f (x) = x $ span> für $ - 1/2 \ le x < 1/2 $ span>. Die Fourier-Reihe von $ f $ span> ist

$$ f (x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n-1}} {\ pi n} \ sin 2 \ pi n x. $$ span>

Mit komplexen Zahlen kann dies wie folgt bewiesen werden: Für $ - 1/2 < x < 1/2 $ span> haben wir

$$ f (x) = \ Im \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {n-1}} {\ pi n } \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} nx} = \ Im \ frac {1} {\ pi} \ log (1 + \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} x}) = \ Im \ frac {1} {\ pi} \ mathrm {i} (\ pi x) = x $$ span>

wobei der letzte Schritt dies verwendet, wenn $ \ phi $ span> das Argument von $ 1+ \ mathrm {e} ^ ist {2 \ pi \ mathrm {i} x} $ span> dann $ \ tan \ phi = \ frac {\ sin 2 \ pi x} {1+ \ cos 2 \ pi x} = \ tan \ pi x $ span>, und so $ \ phi = \ pi x $ span> nach unserer Annahme von $ x $ span>. Da die Fourier-Reihe für $ f $ span> mit der Periode $ 1 $ span> eindeutig periodisch ist, haben wir Gleichheit für alle $ x \ not \ in \ mathbb {Z} + \ frac {1} {2} $ span>.

Um die Verbindung mit der Taylor-Serie herzustellen, ziehen Sie

$$ F (z) = \ frac {\ log (1 + z)} {\ pi} = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {( -1) ^ {n-1}} {\ pi n} z ^ n. $$ span>

Wir haben gesehen, dass $ F (\ mathrm {e} ^ {2 \ pi ix}) $ span> einen Imaginärteil $ f (x) $ span>. $ f $ span> ist also der Imaginärteil der Beschränkung von $ F $ span> auf die Grenze des Einheitskreisesund die Fourier-Reihe von $ f $ span> ist einfach die Taylor-Reihe von $ F $ span>, die auf derEinheitskreis.Diese Taylor-Reihe konvergiert für alle $ z $ span> mit $ | z |\ le 1 $ span> und $ z \ not = -1 $ span>, und dementsprechend konvergiert die Fourier-Reihe für alle $ x \ not \ in \ mathbb {Z} + \ frac {1} {2} $ span>.

Fourier-Reihen können Sie Ihren Raum potenzieller Lösungen als unendlichdimensionales Analogon eines endlichdimensionalen euklidischen Vektorraums modellieren. Alle Ihre formalen analytischen Argumente können in diesem unendlichen dimensionalen Raum stattfinden, in dem Sie Ihre euklidische Intuition verwenden können.

Zum Beispiel anstelle eines inneren Produkts $ \ langle u, v \ rangle = \ sum_ {i = 1} ^ n u_i \ cdot v_i $ span> von Euklidische Vektoren, Sie haben das innere Produkt $ \ langle f, g \ rangle = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_0 ^ {1} f (t) g (t ) \, dt $ span> von Funktionen. Anstelle der "orthonormalen Standardbasis" $ e_1, ..., e_n $ span> von Euklidisch $ n $ -space, Sie haben die "standardmäßigen orthonormalen Basen" $ e ^ {2 \ pi nt} $ span>, $ n \ in \ mathbb {Z} $ span>, und dies führt zu Plancherels Formel für das innere Produkt. Natürlich muss man noch die Analyse durchführen, um die Konvergenz der Integrale und Summen zu beweisen, die anstelle der endlichen Summen der euklidischen Geometrie auftreten.

Dies hat viele sehr praktische Anwendungen. Zum Beispiel können die Methoden zum Lösen linearer Differentialgleichungen unter Verwendung von Werkzeugen der linearen Algebra in Analogie zur linearen Algebra, die in endlichdimensionalen euklidischen Vektorräumen durchgeführt wird, verstanden (und tatsächlich entwickelt) werden.