Wir variieren die Aktion $$ \ delta \ int {L \; \ mathrm {d} t} = \ delta \ int {\ int {\ Lambda \ left ({A_ \ nu, \ teilweise _ \ mu A_ \ nu} \ right) \ mathrm {d} ^ 3 x \; \ mathrm {d} t = 0}} $$$ {\ Lambda \ left ({A_ \ nu, \ teilweise _ \ mu A_ \ nu} \ rechts )} $ ist die Lagrange-Dichte des Systems.

Also, $$ \ int {\ int {\ left ({\ frac {{\ partielle \ Lambda}} {{\ partielle A_ \ nu }} \ Delta A_ \ nu + \ frac {{\ partiell \ Lambda}} {{\ partiell \ links ({\ partiell _ \ mu A_ \ nu} \ rechts)}} \ Delta \ links ({\ partiell _ \ mu A_ \ nu} \ right)} \ right) \ mathrm {d} ^ 3 x \; \ mathrm {d} t = 0}} $$ Durch Integration nach Teilen erhalten wir: $$ \ int {\ int {\ links ({\ frac {{\ partiell \ Lambda}} {{\ partiell A_ \ nu}} - \ partiell _ \ mu \ frac {{\ partiell \ Lambda}} {{\ partiell \ links ({\ partiell _ \ mu A_ \ nu} \ rechts)}} \ rechts) \ delta A_ \ nu \ mathrm {d} ^ 3 x \; \ mathrm {d} t = 0}} \ impliziert \ frac {{\ partiell \ Lambda} } {{\ partielle A_ \ nu}} - \ partielle _ \ mu \ frac {{\ partielle \ Lambda}} {{\ partielle \ links ({\ partielle _ \ mu A_ \ nu} \ rechts)}} = 0 $$ Wir müssen die Dichte des Lagrange bestimmen. Ein Begriff befasst sich mit der Wechselwirkung der Ladungen mit dem elektromagnetischen Feld $ J ^ \ mu A_ \ mu $. Der andere Begriff ist die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes: Dieser Begriff ist die Differenz des Magnetfelds und des elektrischen Feldes. Wir haben also: $$ \ Lambda = J ^ \ mu A_ \ mu + \ frac {1} {{4 \ mu _0}} F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} $$ Wir haben: $$ \ frac {{\ partielle \ Lambda}} {{\ partielle A_ \ nu}} = J ^ \ nu $$ also: \ begin {align} \ teilweise _ \ mu \ frac {{\ teilweise \ Lambda}} {{\ teilweise \ links ({\ teilweise _ \ mu A_ \ nu} \ rechts)}} & = \ frac {1} { {4 \ mu _0}} \ teilweise _ \ mu \ links ({\ frac {\ teilweise} {{\ teilweise \ links ({\ teilweise _ \ mu A_ \ nu} \ rechts)}} F ^ {\ kappa \ lambda} F _ {\ kappa \ lambda}} \ rechts) \\ & = \ frac {1} {{4 \ mu _0}} \ teilweise _ \ mu \ links ({\ frac {\ teilweise} {{\ teilweise \ links ({\ partielle _ \ mu A_ \ nu} \ rechts)}} \ links ({\ links ({\ partielle ^ \ kappa A ^ \ lambda - \ partielle ^ \ lambda A ^ \ kappa} \ rechts) \ links ({\ partiell _ \ kappa A_ \ lambda - \ partiell _ \ lambda A_ \ kappa} \ rechts)} \ rechts)} \ rechts) \\ & = \ frac {1} {{4 \ mu _0}} \ partiell _ \ mu \ left ({\ frac {\ partiell} {{\ partiell \ links ({\ partiell _ \ mu A_ \ nu} \ rechts)}} \ links ({\ partiell ^ \ kappa A ^ \ lambda \ partiell) _ \ kappa A_ \ lambda - \ partiell ^ \ kappa A ^ \ lambda \ partiell _ \ lambda A_ \ kappa - \ partiell ^ \ lambda A ^ \ kappa \ partiell _ \ kappa A_ \ lambda + \ partiell ^ \ lambda A ^ \ kappa \ partielle _ \ lambda A_ \ kappa} \ rechts)} \ rechts) \ end {align} Der dritte und der vierte sind die gleichen wie der erste und der zweite Term. Sie können $ k \ leftrightarrow \ lambda $ ausführen: \ begin {align} \ partielle _ \ mu \ frac {{\ partielle \ Lambda}} {{\ partielle \ linke ({\ partielle _ \ mu A_ \ nu} \ rechts )}} & = \ frac {1} {{2 \ mu _0}} \ teilweise _ \ mu \ links ({\ frac {\ teilweise} {{\ teilweise \ links ({\ teilweise _ \ mu A_ \ nu}) \ rechts)}} \ links ({\ partiell ^ \ kappa A ^ \ lambda \ partiell _ \ kappa A_ \ lambda - \ partiell ^ \ kappa A ^ \ lambda \ partiell _ \ lambda A_ \ kappa} \ rechts)} \ rechts) \ ;. \ end {align} Aber \ begin {align} \ frac {\ partiell} {{\ partiell \ links ({\ partiell _ \ mu A_ \ nu} \ rechts)}} \ links ({\ partiell ^ \ kappa A ^ \ lambda \ partiell _ \ kappa A_ \ lambda} \ rechts) & = \ partiell ^ \ kappa A ^ \ lambda \ frac {\ partiell} {{\ partiell \ links ({\ partiell _ \ mu A_ \ nu} \ rechts)}} \ links ( {\ partiell _ \ kappa A_ \ lambda} \ rechts) + \ partiell _ \ kappa A_ \ lambda \ frac {\ partiell} {{\ partiell \ links ({\ partiell _ \ mu A_ \ nu} \ rechts)}} \ left ({\ partiell ^ \ kappa A ^ \ lambda} \ rechts) \\ & = \ partiell ^ \ kappa A ^ \ lambda \ delta _ \ kappa ^ \ mu \ delta _ \ lambda ^ \ nu + g ^ { \ kappa \ alpha} g ^ {\ lambda \ beta} \ partiell _ \ kappa A_ \ lambda \ frac {\ partiell} {{\ partiell \ links ({\ partiell _ \ mu A_ \ nu} \ rechts)}} \ links ({\ partiell _ \ alpha A_ \ beta} \ rechts) \\ & = 2 \ partiell ^ \ mu A ^ \ nu \ ;. \ end {align}

Wir haben:

\ begin {align} \ frac {\ partiell} {{\ partiell \ links ({\ partiell _ \ mu A_ \ nu} \ rechts)}} \ links ({\ partiell ^ \ kappa A ^ \ lambda \ partiell _ \ lambda A_ \ kappa} \ rechts) & = 2 \ partiell ^ \ nu A. ^ \ mu \;. \ end {align}

Also,

\ begin {align} \ teilweise _ \ mu \ left ({\ frac {{\ teilweise \ Lambda}} {{\ teilweise \ links ({\ partiell _ \ mu A_ \ nu} \ rechts)}}} \ rechts) & = \ frac {1} {{\ mu _0}} \ partiell _ \ mu \ links ({\ partiell ^ \ mu A. ^ \ nu - \ partiell ^ \ nu A ^ \ mu} \ rechts) \\ & = \ frac {1} {{\ mu _0}} \ partiell _ \ mu F ^ {\ mu \ nu} \ ;. \ end {align} Die Lagrange-Gleichungen liefern die nicht homogenen Maxwell-Gleichungen:

$$ \ partielle _ \ mu F ^ {\ mu \ nu} = \ mu _0 J ^ \ nu \;. $$

Nun, Sie sind fast da. Verwenden Sie die Tatsache, dass $$ {\ partiell (\ partiell _ {\ mu} A _ {\ nu}) \ über \ partiell (\ partiell _ {\ rho} A _ {\ sigma})} = \ delta _ {\ mu} ^ {\ rho} \ delta _ {\ nu} ^ {\ sigma} $$, was gültig ist, weil $ \ partielle _ {\ mu} A _ {\ nu} $ $ d ^ 2 $ unabhängige Komponenten sind.

Lieber amc, schreibe zuerst deine Lagrange-Dichte als $$ L = - \ frac {1} {4} F _ {\ mu \ nu} F ^ {\ mu \ nu} = - \ frac {1} {2 } (\ partielle_ \ mu A_ \ nu) F ^ {\ mu \ nu} $$ Ist das soweit in Ordnung? Das $ F _ {\ mu \ nu} $ enthält zwei Terme, die es in den beiden Indizes antisymmetrisch machen. Es wird jedoch mit einem anderen $ F ^ {\ mu \ nu} $ multipliziert, das bereits antisymmetrisch ist, sodass ich es nicht erneut antisymmetrisieren muss. Stattdessen geben mir beide Terme dasselbe, sodass sich der Koeffizient $ -1 / 4 $ einfach in $ -1 / 2 $ ändert.

Nun zwingen Sie die Feldgleichungen, die Ableitungen des Lagrange zu berechnen in Bezug auf $ A_ \ mu $ und seine Derivate. Zunächst verschwindet die Ableitung der Lagrange-$ L $ in Bezug auf $ A_ \ mu $ -Komponenten selbst, da die Lagrange nur von den partiellen Ableitungen von $ A_ \ mu $ abhängt. Ist das bisher klar?

Die Bewegungsgleichungen lauten also $$ 0 = - \ Partial_ \ Mu [\ Partial L / \ Partial (\ Partial_ \ Mu A_ \ Nu)] = \ Dots $$ Hoppla, du bist schon an diesem Punkt angelangt. Aber jetzt schauen Sie sich meine Form des Lagrange oben an. Die Ableitung des Lagrange in Bezug auf $ \ partielle_ \ mu A_ \ nu $ ist einfach $$ - \ frac {1} {2} F ^ {\ mu \ nu} $$, weil $ \ partielle_ \ mu A_ \ nu $ erscheint einfach als Faktor, so dass die Bewegungsgleichungen einfach $$ 0 = + \ frac {1} {2} \ teilweise_ \ mu F ^ {\ mu \ nu} $$ sind. Ich habe jedoch absichtlich einen Fehler gemacht. Ich habe den Lagrange nur in Bezug auf $ \ partielle_ \ mu A_ \ nu $, die im ersten Faktor von $ F _ {\ mu \ nu} $ enthalten sind, mit den niedrigeren Indizes unterschieden. $ \ Partial_ \ mu A_ \ nu $ -Komponenten erscheinen jedoch auch in $ F ^ {\ mu \ nu} $, dem zweiten Faktor im Lagrange, einer mit den oberen Indizes. Wenn Sie die entsprechenden Begriffe aus der Leibniz-Regel hinzufügen, führt dies einfach dazu, dass sich der gesamte Beitrag verdoppelt. Die richtige Bewegungsgleichung, einschließlich des natürlichen Koeffizienten, lautet also $$ 0 = \ partielle_ \ mu F ^ {\ mu \ nu} $$ Die allgemeine Normalisierung ist wichtig, da diese Gleichung möglicherweise zusätzliche Terme wie den Strom erhält, dessen Koeffizient offensichtlich ist, und Sie keinen relativen Fehler von zwei zwischen der Ableitung von $ F $ und dem Strom $ j $ erhalten möchten.

CheersLubos

Obwohl ich spät in der Party bin, poste ich eine Antwort auf elementarer Ebene. Vielleicht beweist dies die Kraft der Tensorrechnung, die in allen vorherigen netten Antworten verwendet wurde.

Abstract

^{In dieser Antwort werden wir versuchen, Maxwell-Gleichungen im leeren Raum abzuleiten \ begin {align} \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {E} & = - \ frac {\ teilweise \ mathbf {B}} {\ teilweise t} \ tag {001a} \\ \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {B} & = \ mu_ {0} \ mathbf {j} + \ frac {1} {c ^ {2}} \ frac {\ teilweise \ mathbf { E}} {\ partielle t} \ tag {001b} \\ \ nabla \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {E} & = \ frac {\ rho} {\ epsilon_ {0}} \ tag {001c} \\ \ nabla \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {B} & = 0 \ tag {001d} \ end {align} aus den Euler-Lagrange-Gleichungen \ begin {Gleichung} \ boxed {\: \ dfrac {\ partiell} {\ partiell t} \ left (\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ dot {\ eta} _ {\ jmath}} \ rechts) + \ nabla \ boldsymbol {\ cdot} \ left [\ dfrac {\ teilweise \ mathcal {L}} {\ teilweise \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ eta _ {\ jmath} \ rechts)} \ rechts] - \ frac {\ teilweise \ mathcal { L}} {\ partielle \ eta _ {\ jmath}} = 0, \ quad \ left (\ jmath = 1,2,3,4 \ right) \:} \ tag {002} \ end {Gleichung} wo \ begin {Gleichung} \ mathcal {L} = \ mathcal {L} \ left (\ eta _ {\ jmath}, \ dot {\ eta} _ {\ jmath}, \ boldsymbol {\ nabla} \ eta _ {\ jmath} \ right) \ qquad \ left (\ jmath = 1,2,3,4 \ right) \ tag {003} \ end {Gleichung} ist die Lagrange-Dichte der Frage (außer einem konstanten Faktor) \ begin {Gleichung} \ boxed {\: \ mathcal {L} = \ dfrac {\ Vert \ mathbf {E} \ Vert ^ {2} -c ^ {2} \ Vert \ mathbf {B} \ Vert ^ {2}} {2} + \ dfrac {1 } {\ epsilon_ {0}} \ left (- \ rho \ phi + \ mathbf {j} \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {A} \ right) \:} \ tag {004} \ end {Gleichung} und $ \: \ eta _ {\ jmath} \ left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, t \ right), \: \: \ jmath = 1,2,3,4 \: $ die Komponenten $ \: A_ {1}, \: A_ {2}, \: A_ {3}, \ phi \: $ des EM-Potential-4-Vektors. In gewissem Sinne baut diese Ableitung auf der Umkehrung auf (dies ist das Finden einer richtigen Lagrange-Dichte aus Maxwell-Gleichungen), indem man sich rückwärts bewegt. Siehe meine Antwort hier: Deriving Lagrange-Dichte für elektromagnetisches Feld sup>}

1. Hauptabschnitt

Zuerst drücken wir $ \: \ mathbf {E}, \ mathbf {B} \: $ von (004) als potenzielle 4-Vektor-Komponenten $ \: A_ {1}, \: A_ {2} aus , \: A_ {3}, \ phi \: $ \ begin {align} \ mathbf {B} & = \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ tag {005a} \\ \ mathbf {E} & = - \ boldsymbol {\ nabla} \ phi - \ dfrac {\ partiell \ mathbf {A}} {\ partiell t} = - \ boldsymbol {\ nabla} \ phi - \ mathbf {\ dot { EIN}} \ tag {005b} \ end {align} Ab (005) sind die Maxwell-Gleichungen (001a) und (001d) automatisch gültig. Daher müssen die vier (4) skalaren Maxwell-Gleichungen (001b) und (001c) aus den vier (4) skalaren Euler-Lagrange-Gleichungen (002) abgeleitet werden. Darüber hinaus ist anzunehmen, dass die Vektorgleichung (001b) aus (002) in Bezug auf die Komponenten des Vektorpotentials $ \: \ mathbf {A} = \ left (A_ {1}, \: A_ {) abgeleitet werden muss 2}, \: A_ {3} \ right) \: $, während die Skalargleichung (001c) aus (002) in Bezug auf das Skalarpotential $ \: \ phi \: $ abgeleitet werden muss.

Aus den Gleichungen (005) drücken wir die Lagrange-Dichte (004) als mögliche 4-Vektor-Komponenten $ \: A_ {1}, \: A_ {2}, \: A_ {3}, \ phi \ aus : $: \ begin {align} \ left \ Vert \ mathbf {E} \ right \ Vert ^ {2} & = \ left \ Vert - \ boldsymbol {\ nabla} \ phi - \ dfrac {\ partielle \ mathbf {A}} {\ partielle t} \ rechts \ Vert ^ {2} = \ links \ Vert \ mathbf {\ Punkt {A}} \ rechts \ Vert ^ {2} + \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ Vert ^ {2} +2 \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {\ dot {A}} \ right) \ tag {006a} \\ & \keine Nummer\\ \ left \ Vert \ mathbf {B} \ right \ Vert ^ {2} & = \ left \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right \ Vert ^ {2} \ equiv \ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ left [\ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} - \ dfrac {\ teilweise \ mathbf {A. }} {\ partielle x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ right] \ tag {006b} \ end {align} Die zweite Gleichung in (006b) ist die Identität \ begin {Gleichung} \ left \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right \ Vert ^ {2} \ equiv \ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ left [\ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} - \ dfrac {\ partiell \ mathbf {A}} {\ partiell x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol { \ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ right] \ tag {Id-01} \ end {Gleichung} ist in 2 bewiesen. Identities Section. Durch Einfügen von Ausdrücken (006) in (004) beträgt die Lagrange-Dichte ^{\ begin {Gleichung} \ mathcal {L} = \ underbrace {\ tfrac {1} {2} \ left \ Vert \ mathbf {\ dot {A}} \ right \ Vert ^ {2} + \ tfrac {1} {2} \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ Vert ^ {2} + \ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {\ dot {A}}} _ {\ tfrac {1} {2} \ left \ Vert - \ boldsymbol {\ nabla} \ phi - \ frac {\ partiell \ mathbf {A}} {\ partiell t} \ rechts \ Vert ^ {2}} - \ tfrac {1} {2} c ^ {2 } \ underbrace {\ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ left [\ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} - \ frac {\ partiell \ mathbf {A}} {\ partielle x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ rechts]} _ {\ left \ Vert \ boldsymbol {\ nabla } \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right \ Vert ^ {2}} + \ frac {1} {\ epsilon_ {0}} \ left (- \ rho \ phi + \ mathbf {j} \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {A} \ right) \ tag {007} \ end {Gleichung} sup>}

Wir ordnen die Elemente in (007) wie folgt neu an:

^{\ begin {align} \ mathcal {L} & = \ overbrace {\ tfrac {1} {2} \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ Vert ^ {2} - \ frac {\ rho \ phi} {\ epsilon_ {0}} + \ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {\ dot {A}}} ^ {\ mathcal {L} _ {\ phi} = \ text {in Bezug auf} \ phi} + \ tfrac {1} {2} \ left \ Vert \ mathbf {\ dot {A}} \ right \ Vert ^ {2} + \ tfrac {1} {2} c ^ {2} \ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ left [\ frac {\ partielle \ mathbf {A}} {\ partielle x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} - \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} \ right] + \ frac {\ mathbf {j} \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {A}} {\ epsilon_ {0}} \ tag {008a} \\ \ mathcal {L} & = \ tfrac {1} {2} \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ Vert ^ {2} - \ frac {\ rho \ phi} {\ epsilon_ {0}} + \ underbrace {\ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {\ dot {A}} + \ tfrac {1} {2} \ left \ Vert \ mathbf {\ dot {A}} \ right \ Vert ^ {2} + \ tfrac {1} {2} c ^ {2} \ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ left [\ frac {\ partielle \ mathbf {A}} {\ partielle x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} - \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} \ rechts] + \ frac {\ mathbf {j} \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {A}} {\ epsilon_ {0}}} _ {\ mathcal {L} _ {\ mathbf {A}} = \ text { in Bezug auf} \ mathbf {A}} \ tag {008b} \ end {align} sup>}

Der $ \: \ mathcal {L} _ {\ phi} \: $ -Teil der Dichte enthält alle $ \: \ phi $ -Terms und wird vernünftigerweise alleine an der Ableitung der Maxwell-Gleichung (001c) von teilnehmen die Euler-Lagrange-Gleichung (002) in Bezug auf $ \: \ eta_ {4} = \ phi \: $. Der Teil $ \: \ mathcal {L} _ {\ mathbf {A}} \: $ der Dichte enthält alle $ \: \ mathbf {A} $ - Terme und wird vernünftigerweise allein an der Ableitung der Maxwell-Gleichung teilnehmen ( 001b) aus den Euler-Lagrange-Gleichungen (002) in Bezug auf $ \: \ eta_ {1}, \ eta_ {2}, \ eta_ {3} = A_ {1}, A_ {1}, A_ {3} \ : $. Beachten Sie den allgemeinen Begriff $ \: \ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {\ dot {A}} \: $ der Teile $ \: \ mathcal {L} _ {\ phi}, \ mathcal {L} _ {\ mathbf {A}} \: $.

Die Euler-Lagrange-Gleichung in Bezug auf $ \: \ eta_ {4} = \ phi \: $ lautet: \ begin {Gleichung} \ dfrac {\ partiell} {\ partiell t} \ overbrace {\ left (\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ dot {\ phi}} \ rechts)} ^ {0} + \ nabla \ Boldsymbol {\ cdot} \ overbrace {\ left [\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ phi \ rechts)} \ rechts]} ^ {\ boldsymbol {\ nabla} \ phi + \ mathbf {\ dot {A}}} - \ overbrace {\ frac {\ partielle \ mathcal {L}} {\ partielle \ phi}} ^ {- \ frac {\ rho} {\ epsilon_ {0 }}} = 0 \ tag {009} \ end {Gleichung} oder \ begin {Gleichung} \ nabla \ boldsymbol {\ cdot} \ underbrace {\ left (- \ boldsymbol {\ nabla} \ phi - \ frac {\ partielle \ mathbf {A}} {\ partielle t} \ rechts)} _ {\ mathbf {E. }} = \ frac {\ rho} {\ epsilon_ {0}} \ tag {010} \ end {Gleichung} das ist die Maxwell-Gleichung (001c) \ begin {Gleichung} \ nabla \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {E} = \ frac {\ rho} {\ epsilon_ {0}} \ tag {001c} \ end {Gleichung}

Um die Maxwell-Gleichung (001b) abzuleiten, drücken wir sie mit Hilfe der Gleichungen (005) in Form der möglichen 4-Vektor-Komponenten $ \: A_ {1}, \: A_ {2}, \: A_ aus. {3}, \ phi \: $: \ begin {Gleichung} \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right) = \ mu_ {0} \ mathbf {j} + \ frac { 1} {c ^ {2}} \ frac {\ partiell} {\ partiell t} \ left (- \ boldsymbol {\ nabla} \ phi - \ frac {\ partiell \ mathbf {A}} {\ partiell t} \ Recht) \ tag {011} \ end {Gleichung} Die Identität benutzen \ begin {Gleichung} \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right) = \ boldsymbol {\ nabla} \ left (\ nabla \ boldsymbol { \ cdot} \ mathbf {A} \ right) - \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} \ tag {012} \ end {Gleichung} Gleichung (011) ergibt \ begin {Gleichung} \ frac {1} {c ^ {2}} \ frac {\ partiell ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partiell t ^ {2}} - \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} + \ Boldsymbol {\ nabla} \ left (\ nabla \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {A} + \ frac {1} {c ^ {2}} \ frac {\ partiell \ phi} {\ partiell t} \ rechts) = \ mu_ {0} \ mathbf {j} \ tag {013} \ end {Gleichung} Die $ \: k $ -Komponente von Gleichung (013) wird richtig ausgedrückt, um wie eine Euler-Lagrange-Gleichung wie folgt auszusehen: \ begin {Gleichung} \ dfrac {\ partiell} {\ partiell t} \ links (\ frac {\ partiell \ mathrm {A} _ {k}} {\ partiell t} + \ frac {\ partiell \ phi} {\ partiell x_ {k} } \ rechts) + \ nabla \ boldsymbol {\ cdot} \ left [c ^ {2} \ left (\ frac {\ partielle \ mathbf {A}} {\ partielle x_ {k}} - \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ right) \ right] - \ frac {\ mathrm {j} _ {k}} {\ epsilon_ {0}} = 0 \ tag {014} \ end {Gleichung} Es reicht aus, über Gl. (014) aus der Euler-Lagrange-Gleichung (002) in Bezug auf $ \: \ eta_ {k} = A_ {k}, \: \: k = 1,2,3 \: $:

\ begin {Gleichung} \ dfrac {\ partiell} {\ partiell t} \ links (\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ Punkt {A} _ {k}} \ rechts) + \ nabla \ boldsymbol {\ cdot} \ left [\ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ links (\ boldsymbol {\ nabla} A_ {k} \ rechts)} \ rechts] - \ frac {\ partiell \ mathcal {L}} { \ partielle A_ {k}} = 0 \ tag {015} \ end {Gleichung}

Jetzt \ begin {Gleichung} \ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ Punkt {A} _ {k}} = \ dfrac {\ partiell} {\ partiell \ Punkt {A} _ {k}} \ left (\ boldsymbol { \ nabla} \ phi \ boldsymbol {\ cdot} \ mathbf {\ dot {A}} + \ tfrac {1} {2} \ left \ Vert \ mathbf {\ dot {A}} \ right \ Vert ^ {2} \ right) = \ frac {\ partiell \ phi} {\ partiell x_ {k}} + \ frac {\ partiell \ mathrm {A} _ {k}} {\ partiell t} \ tag {016a} \ end {Gleichung}

\ begin {Gleichung} \ frac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell A_ {k}} = \ frac {\ partiell} {\ partiell A_ {k}} \ left (\ frac {\ mathbf {j} \ boldsymbol {\ cdot } \ mathbf {A}} {\ epsilon_ {0}} \ right) = \ frac {\ mathrm {j} _ {k}} {\ epsilon_ {0}} \ tag {016b} \ end {Gleichung} und \ begin {Gleichung} \ dfrac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell \ links (\ boldsymbol {\ nabla} A_ {k} \ rechts)} = \ dfrac {\ partiell} {\ partiell \ links (\ boldsymbol {\ nabla} A_ {k} \ rechts)} \ links (\ tfrac {1} {2} c ^ {2} \ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ links [\ frac {\ partiell \ mathbf {A. }} {\ partielle x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} - \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} \ right] \ right) = c ^ {2} \ left (\ frac {\ partielle \ mathbf {A}} {\ partielle x_ {k}} - \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A. } _ {k} \ right) \ tag {016c} \ end {Gleichung} Die letzte Gleichung in (016c) ist aufgrund der in 2 nachgewiesenen Identität (Id-02) gültig. Identities Section: \ begin {Gleichung} \ dfrac {\ partiell \ links (\ links | \! \ links | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ rechts | \! \ rechts | ^ {2} \ rechts)} { \ partiell \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ rechts)} = \ dfrac {\ partiell} {\ partiell \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ { k} \ rechts)} \ links (\ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ links [\ frac {\ partiell \ mathbf {A}} {\ partiell x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot } \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} - \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} \ right] \ right) = 2 \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} - \ frac {\ partielle \ mathbf {A}} {\ partielle x_ {k}} \ rechts) \ tag {Id-02} \ end {Gleichung} Unter Verwendung der Ausdrücke der Gleichungen (016) ergibt die Euler-Lagrange-Gleichung (015) (014) und damit die Maxwell-Gleichung (001b).

2. Identities Section

^{Wenn $ \: \ mathbf {A} = \ left (\ mathrm {A} _ {1}, \ mathrm {A} _ {2}, \ mathrm {A} _ {3} \ right) \: $ ist a Vektorfunktion der kartesischen Koordinaten $ \: \ left (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} \ right) \: $ then \ begin {Gleichung} \ left \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right \ Vert ^ {2} \ equiv \ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ left [\ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} - \ dfrac {\ partiell \ mathbf {A}} {\ partiell x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol { \ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ right] \ tag {Id-01} \ end {Gleichung} und
\ begin {Gleichung} \ dfrac {\ partiell \ links (\ links | \! \ links | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ rechts | \! \ rechts | ^ {2} \ rechts)} { \ partiell \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ rechts)} = \ dfrac {\ partiell} {\ partiell \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ { k} \ rechts)} \ links (\ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ links [\ frac {\ partiell \ mathbf {A}} {\ partiell x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot } \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} - \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} \ right] \ right) = 2 \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} - \ frac {\ partielle \ mathbf {A}} {\ partielle x_ {k}} \ rechts) \ tag {Id-02} \ end {Gleichung} wobei die funktionale Ableitung der linken Seite definiert ist als \ begin {Gleichung} \ dfrac {\ partiell \ links (\ links | \! \ links | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ rechts | \! \ rechts | ^ {2} \ rechts)} { \ partiell \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ rechts)} \ equiv \ left [\ dfrac {\ partiell \ links (\ left | \! \ left | \ boldsymbol {\ nabla } \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right | \! \ right | ^ {2} \ right)} {\ partiell \ links (\ dfrac {\ partiell \ mathrm {A} _ {k}} { \ partielle x_ {1}} \ rechts)}, \ dfrac {\ partielle \ links (\ links | \! \ links | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ rechts | \! \ rechts | ^ {2} \ rechts)} {\ partiell \ links (\ dfrac {\ partiell \ mathrm {A} _ {k}} {\ partiell x_ {2}} \ rechts)}, \ dfrac {\ partiell \ left (\ left | \! \ left | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right | \! \ right | ^ {2} \ right)} {\ partiell \ left ( \ dfrac {\ partielle \ mathrm {A} _ {k}} {\ partielle x_ {3}} \ rechts)} \ rechts] \ tag {Id-03} \ end {Gleichung} Beweis der Gleichung (Id-01): \ begin {eqnarray *} && \ left | \! \ Left | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right | \! \ right | ^ {2} = \ left (\ frac {\ partielle A_ {3}} {\ partielle x_ {2} } - \ frac {\ partielle A_ {2}} {\ partielle x_ {3}} \ rechts) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partielle x_ {3}} - \ frac {\ partielle A_ {3}} {\ partielle x_ {1}} \ rechts) ^ {2} + \ links (\ frac {\ partielle A_ {2}} {\ partielle x_ {1}} - \ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partielle x_ {2}} \ rechts) ^ {2} \\ % ---------------------------------------- & = & \ left [\ left (\ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partielle x_ {2}} \ rechts) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partiell x_ {3}} \ rechts) ^ {2} \ rechts] + \ links [\ links (\ frac {\ partiell A_ {2}} {\ partiell x_ {1}} \ rechts) ^ {2} + \ links (\ frac {\ partiell A_ {2}} {\ partiell x_ {3}} \ rechts) ^ {2} \ rechts] + \ links [\ links (\ frac {\ partiell A_ {3}} {\ partiell x_ {1}} \ rechts) ^ {2} + \ links (\ frac {\ partiell A_ {3}} {\ partiell x_ {2}} \ rechts) ^ {2} \ rechts] \\ % ---------------------------------------- &&-2 \ left [\ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partielle x_ {2}} \ frac {\ partielle A_ {2}} {\ partielle x_ {1}} + \ frac {\ partielle A_ { 2}} {\ partielle x_ {3}} \ frac {\ partielle A_ {3}} {\ partielle x_ {2}} + \ frac {\ partielle A_ {3}} {\ partielle x_ {1}} \ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partielle x_ {3}} \ rechts] \\ % ---------------------------------------- & = & \ left [\ left (\ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partielle x_ {1}} \ rechts) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partiell x_ {2}} \ rechts) ^ {2} + \ links (\ frac {\ partiell A_ {1}} {\ partiell x_ {3}} \ rechts) ^ {2} \ rechts] + \ links [\ links (\ frac {\ partiell A_ {2}} {\ partiell x_ {1}} \ rechts) ^ {2} + \ links (\ frac {\ partiell A_ {2}} {\ partiell x_ {2}} \ rechts) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partielle A_ {2}} {\ partielle x_ {3}} \ rechts) ^ {2} \ rechts] \\ % ---------------------------------------- && + \ left [\ left (\ frac {\ partielle A_ {3}} {\ partielle x_ {1}} \ rechts) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partielle A_ {3}} {\ partielle x_ {2}} \ rechts) ^ {2} + \ links (\ frac {\ partiell A_ {3}} {\ partiell x_ {3}} \ rechts) ^ {2} \ rechts] - \ links [\ links ( \ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partielle x_ {1}} \ rechts) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partielle A_ {2}} {\ partielle x_ {2}} \ rechts) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partiell A_ {3}} {\ partiell x_ {3}} \ rechts) ^ {2} \ rechts] \\ % ---------------------------------------- &&-2 \ left [\ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partielle x_ {2}} \ frac {\ partielle A_ {2}} {\ partielle x_ {1}} + \ frac {\ partielle A_ { 2}} {\ partielle x_ {3}} \ frac {\ partielle A_ {3}} {\ partielle x_ {2}} + \ frac {\ partielle A_ {3}} {\ partielle x_ {1}} \ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partielle x_ {3}} \ rechts] \\ % ---------------------------------------- & = & \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {1} \ Vert ^ {2} + \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {2} \ Vert ^ {2} + \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {3} \ Vert ^ {2} - \ left (\ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partielle x_ {1}} \ frac {\ partielles A_ {1}} {\ partielles x_ {1}} + \ frac {\ partielles A_ {2}} {\ partielles x_ {1}} \ frac {\ partielles A_ {1}} {\ partielles x_ {2} } + \ frac {\ partielle A_ {3}} {\ partielle x_ {1}} \ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partielle x_ {3}} \ rechts) \\ % ---------------------------------------- &&- \ left (\ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partielle x_ {2}} \ frac {\ partielle A_ {2}} {\ partielle x_ {1}} + \ frac {\ partielle A_ {2 }} {\ partielle x_ {2}} \ frac {\ partielle A_ {2}} {\ partielle x_ {2}} + \ frac {\ partielle A_ {3}} {\ partielle x_ {2}} \ frac { \ partielle A_ {2}} {\ partielle x_ {3}} \ rechts) - \ links (\ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partielle x_ {3}} \ frac {\ partielle A_ {3}} {\ partielle x_ {1}} + \ frac {\ partielle A_ {2}} {\ partielle x_ {3}} \ frac {\ partielle A_ {3}} {\ partielle x_ {2}} + \ frac {\ partielles A_ {3}} {\ partielles x_ {3}} \ frac {\ partielles A_ {3}} {\ partielles x_ {3}} \ rechts) \\ % ---------------------------------------- & = & \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {1} \ Vert ^ {2} + \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {2} \ Vert ^ {2} + \ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {3} \ Vert ^ {2} - \ frac {\ partiell \ mathbf {A}} {\ partiell x_ {1}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {1} - \ frac {\ partiell \ mathbf {A}} {\ partiell x_ {2}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm { A} _ {2} - \ frac {\ teilweise \ mathbf {A}} {\ teilweise x_ {3}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {3} \\ % ---------------------------------------- & = & \ sum ^ {k = 3} _ {k = 1} \ left [\ Vert \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ Vert ^ {2} - \ frac {\ partiell \ mathbf {A}} {\ partielle x_ {k}} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {k} \ right] \ end {eqnarray *} Beweis der Gleichung (Id-02): Aus der Gleichung \ begin {eqnarray *} && \ left | \! \ Left | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ right | \! \ right | ^ {2} = \ left (\ frac {\ partielle A_ {3}} {\ partielle x_ {2} } - \ frac {\ partielle A_ {2}} {\ partielle x_ {3}} \ rechts) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partielle x_ {3}} - \ frac {\ partielle A_ {3}} {\ partielle x_ {1}} \ rechts) ^ {2} + \ links (\ frac {\ partielle A_ {2}} {\ partielle x_ {1}} - \ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partielle x_ {2}} \ rechts) ^ {2} \\ % ---------------------------------------- & = & \ left [\ left (\ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partielle x_ {2}} \ rechts) ^ {2} + \ left (\ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partiell x_ {3}} \ rechts) ^ {2} \ rechts] + \ links [\ links (\ frac {\ partiell A_ {2}} {\ partiell x_ {1}} \ rechts) ^ {2} + \ links (\ frac {\ partiell A_ {2}} {\ partiell x_ {3}} \ rechts) ^ {2} \ rechts] + \ links [\ links (\ frac {\ partiell A_ {3}} {\ partiell x_ {1}} \ rechts) ^ {2} + \ links (\ frac {\ partiell A_ {3}} {\ partiell x_ {2}} \ rechts) ^ {2} \ rechts] \\ % ---------------------------------------- &&-2 \ left [\ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partielle x_ {2}} \ frac {\ partielle A_ {2}} {\ partielle x_ {1}} + \ frac {\ partielle A_ { 2}} {\ partielle x_ {3}} \ frac {\ partielle A_ {3}} {\ partielle x_ {2}} + \ frac {\ partielle A_ {3}} {\ partielle x_ {1}} \ frac {\ partielle A_ {1}} {\ partielle x_ {3}} \ rechts] \ end {eqnarray *} wir haben \ begin {eqnarray *} \ dfrac {\ partiell \ links (\ links | \! \ links | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ rechts | \! \ rechts | ^ {2} \ rechts)} { \ partiell \ links (\ dfrac {\ partiell \ mathrm {A} _ {1}} {\ partiell x_ {1}} \ rechts)} & = & 0 = 2 \ links (\ dfrac {\ partiell \ mathrm {A. } _ {1}} {\ partielle x_ {1}} - \ dfrac {\ partielle \ mathrm {A} _ {1}} {\ partielle x_ {1}} \ rechts) \\ \ dfrac {\ partiell \ links (\ links | \! \ links | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ rechts | \! \ rechts | ^ {2} \ rechts)} { \ partiell \ links (\ dfrac {\ partiell \ mathrm {A} _ {1}} {\ partiell x_ {2}} \ rechts)} & = & 2 \ links (\ dfrac {\ partiell \ mathrm {A} _ {1}} {\ partielle x_ {2}} - \ dfrac {\ partielle \ mathrm {A} _ {2}} {\ partielle x_ {1}} \ rechts) \\ \ dfrac {\ partiell \ links (\ links | \! \ links | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ rechts | \! \ rechts | ^ {2} \ rechts)} { \ partiell \ links (\ dfrac {\ partiell \ mathrm {A} _ {1}} {\ partiell x_ {3}} \ rechts)} & = & 2 \ links (\ dfrac {\ partiell \ mathrm {A} _ {1}} {\ partielle x_ {3}} - \ dfrac {\ partielle \ mathrm {A} _ {3}} {\ partielle x_ {1}} \ rechts) \ end {eqnarray *} Damit \ begin {Gleichung *} \ dfrac {\ partiell \ links (\ links | \! \ links | \ boldsymbol {\ nabla} \ boldsymbol {\ times} \ mathbf {A} \ rechts | \! \ rechts | ^ {2} \ rechts)} {\ partiell \ links (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {1} \ rechts)} = 2 \ left (\ boldsymbol {\ nabla} \ mathrm {A} _ {1} - \ frac {\ partiell\ mathbf {A}} {\ teilweise x_ {1}} \ rechts) \ end {Gleichung *} Beweisgleichung (Id-02) für $ \: k = 1 \: $ und ähnlich für die beiden anderen Komponenten $ \: k = 2,3 $. sup>}

Eine Methode besteht darin, die Maxwell-Aktion zu variieren (setzen Sie $ J ^ \ mu = 0 $, wenn Sie möchten, für den quellenfreien Fall) $$ S = \ int d ^ 4 x {\ mathcal {L}} = - \ int d ^ 4 x \ left (\ frac {1} {4} F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} + J ^ \ mu A_ \ mu \ right). $$ Beachten Sie zunächst, dass $$ \ begin {align} \ delta \ left (F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} \ right) & = 2 F ^ {\ mu \ nu} \ delta F _ {\ mu \ nu} \\ & = 2 F ^ {\ mu \ nu} \ left (\ Partial_ \ Mu \ Delta A_ \ Nu - \ Partial_ \ Nu \ Delta A_ \ Mu \ Right) \\ & = 4 F ^ {\ Mu \ Nu } \ Partial_ \ Mu \ Delta A_ \ Nu \\ & = 4 \ Left [\ Partial_ \ Mu \ Left (F ^ {\ Mu \ Nu} \ Delta A_ \ Nu \ Right) - \ Partial_ \ Mu F ^ {\ mu \ nu} \ delta A_ \ nu \ right], \ end {align} $$, wobei wir die Tatsache verwendet haben, dass $ F $ antisymmetrisch ist.

Beachten Sie auch, dass $ \ partielle_ \ mu \ left (F ^ {\ mu \ nu} \ delta A_ \ nu \ right) $ term verschwindet beim Konvertieren in ein Oberflächenintegral unter Verwendung des Standardarguments, dass $ \ delta A_ \ mu $ an der Integrationsgrenze verschwindet.

Unter Verwendung der obigen Angaben ist die Variation der Aktion $$ \ delta S = - \ int d ^ 4x \ \ delta A_ \ nu \ left (- \ p artial_ \ mu F ^ {\ mu \ nu} + J ^ \ nu \ right), $$, was, da $ \ delta A_ \ nu $ willkürlich ist, das gewünschte Ergebnis $$ \ partielle_ \ mu F ^ {\ mu ergibt \ nu} = J ^ \ nu. $$