In den vorherigen Antworten wird das Problem erneut als "Arbeit ist Punkt / Zeit-Abstand erzwingen" wiederholt. Dies ist jedoch nicht wirklich zufriedenstellend, da Sie dann fragen könnten: "Warum ist der Abstand zwischen Arbeitskräften und Punkten?" und das Geheimnis ist dasselbe.

Die einzige Möglichkeit, Fragen wie diese zu beantworten, besteht darin, sich auf Symmetrieprinzipien zu stützen, da diese grundlegender sind als die Bewegungsgesetze. Mit der galiläischen Invarianz, der Symmetrie, die besagt, dass die Gesetze der Physik für Sie in einem fahrenden Zug gleich aussehen, können Sie erklären, warum Energie proportional zur Masse multipliziert mit der Geschwindigkeit im Quadrat sein muss.

Zuerst müssen Sie kinetische Energie zu definieren. Ich werde es wie folgt definieren: Die kinetische Energie $ E (m, v) $ einer Tonkugel $ m $, die sich mit der Geschwindigkeit $ v $ bewegt, ist die Menge an Kalorien Wärme, die sie erzeugt, wenn sie gegen eine Wand schlägt . Diese Definition bezieht sich nicht auf eine mechanische Größe und kann mit Thermometern bestimmt werden. Ich werde zeigen, dass $ E (v) $ unter der Annahme einer galiläischen Invarianz das Quadrat der Geschwindigkeit sein muss.

$ E (m, v) $ muss, wenn es invariant ist, proportional zur Masse sein , weil Sie zwei Tonkugeln nebeneinander schlagen und die doppelte Erwärmung erhalten können, also

$$ E (m, v) = m E (v) $$

Wenn Sie zwei identische Tonkugeln der Masse $ m $ schlagen, die sich mit der Geschwindigkeit $ v $ frontal ineinander bewegen, stoppen beide Kugeln durch Symmetrie. Das Ergebnis ist, dass jeder als Wand für den anderen fungiert und Sie eine Heizmenge von 2 Mio. USD (v) USD erhalten müssen.

Aber sehen Sie sich das jetzt in einem Zug an, der sich entlang bewegt mit einem der Bälle vor der Kollision. In diesem Referenzrahmen beginnt der erste Ball gestoppt, der zweite Ball trifft ihn mit $ 2v $ und das Zwei-Ball-System bewegt sich mit der Geschwindigkeit $ v $.

Die kinetische Energie des zweiten Balls beträgt zu Beginn $ mE (2v) $, und nach der Kollision ist im kombinierten Ball $ 2mE (v) $ kinetische Energie gespeichert. Die durch die Kollision erzeugte Erwärmung ist jedoch dieselbe wie im früheren Fall. Es sind also zwei $ 2mE (v) $ Begriffe zu berücksichtigen: einer repräsentiert die durch die Kollision erzeugte Wärme, die wir zuvor gesehen haben, war $ 2mE (v) $ und der andere repräsentiert die in der sich bewegenden Doppelmasse gespeicherte Energie Ball, der auch $ 2mE (v) $ ist. Aufgrund der Energieeinsparung müssen sich diese beiden Terme vor der Kollision zur kinetischen Energie des zweiten Balls addieren:

$$ mE (2v) = 2mE (v) + 2mE (v) $$

$$ E (2v) = 4 E (v) $$

was bedeutet, dass $ E $ quadratisch ist.

Nicht kreisförmige Kraftzeiten -distance

Hier ist die nicht kreisförmige Version des Force-Times-Distance-Arguments, das jeder so sehr zu lieben scheint, aber niemals richtig gemacht wird. Um zu argumentieren, dass die Geschwindigkeit der Energie quadratisch ist, reicht es aus, zwei Dinge festzustellen:

• Die potentielle Energie auf der Erdoberfläche ist linear in der Höhe.
• Objekte, die auf die Erde fallen Die Erdoberfläche hat eine konstante Beschleunigung.

Das Ergebnis folgt dann.

Dass die Energie in einem konstanten Gravitationsfeld proportional zur Höhe ist, wird durch die Statik ermittelt. Wenn Sie dem Gesetz des Hebels glauben, befindet sich ein Objekt im Gleichgewicht mit einem anderen Objekt auf einem Hebel, wenn die Abstände umgekehrt proportional zu den Massen sind (es gibt einfache geometrische Demonstrationen dafür, die nichts anderes erfordern als die Tatsache, dass Objekte mit gleicher Masse ausgeglichen sind bei gleichen Schwerpunktabständen). Wenn Sie dann den Hebel ein wenig neigen, entspricht die um 1 gewonnene Masse-mal-Höhe der von der anderen gewonnenen Masse-mal-Höhe. Auf diese Weise können Sie Objekte mit sehr geringem Aufwand anheben und absenken, solange die über alle Objekte hinzugefügte Masse-Zeit-Höhe vorher und nachher konstant ist. Dies ist das Archimedes-Prinzip.

Eine andere Art, dasselbe zu sagen, ist ein Aufzug, der aus zwei Plattformen besteht, die durch eine Kette durch eine Riemenscheibe verbunden sind, so dass die eine nach oben und die andere nach unten geht. Sie können ein Objekt anheben, wenn Sie eine gleiche Menge Masse um dieselbe Menge absenken. Sie können zwei Objekte in zwei Schritten um eine bestimmte Entfernung anheben, wenn Sie ein Objekt doppelt so weit fallen lassen.

Dies legt fest, dass für alle umkehrbaren Bewegungen des Aufzugs diejenigen erforderlich sind, für die Sie keine Arbeit ausführen müssen (sowohl im umgangssprachlichen als auch im physikalischen Sinne - die beiden Begriffe stimmen hier überein), bleibt die über alle Objekte summierte Masse-Zeit-Höhe erhalten. Die "Energie" kann nun als die Bewegungsmenge definiert werden, die erhalten bleibt, wenn sich diese Objekte mit einer nicht infinitesimalen Geschwindigkeit bewegen dürfen. Dies ist Feynmans Version von Archimedes.

Die Masse-Zeit-Höhe ist also ein Maß für den Aufwand, der erforderlich ist, um etwas anzuheben, und es ist eine konservierte Größe in der Statik. Diese Menge sollte auch dann erhalten bleiben, wenn in Zwischenstufen Dynamik herrscht. Damit meine ich, dass Sie keine Arbeit geleistet haben, wenn Sie zwei Gewichte fallen lassen, während Sie an einer Schnur hängen, eine elastische Kollision ausführen und die beiden Objekte fangen, wenn sie sich nicht mehr bewegen. Die Objekte sollten dann die gleiche Masse-mal-Höhe erreichen.

Dies ist die ursprüngliche Demonstration der Gesetze elastischer Kollisionen von Christian Huygens, der argumentierte, wenn Sie zwei Massen auf Pendel fallen lassen, und Lassen Sie sie kollidieren, ihr Schwerpunkt muss auf die gleiche Höhe steigen, wenn Sie die Kugeln an ihrem Maximalpunkt fangen. Daraus verallgemeinerte Huygens das in Archimedes implizierte Gesetz der Erhaltung der potentiellen Energie, um das Gesetz der Erhaltung der Quadratgeschwindigkeit bei elastischen Kollisionen abzuleiten. Sein Prinzip, dass der Schwerpunkt nicht durch dynamische Kollisionen angehoben werden kann, ist die erste Aussage zur Energieerhaltung.

Der Vollständigkeit halber ist die Tatsache, dass ein Objekt in einem konstanten Gravitationsfeld mit gleichmäßiger Beschleunigung beschleunigt, eine Folge der galiläischen Invarianz und der Annahme, dass ein Gravitationsfeld für gleichmäßige Bewegungen auf und ab mit konstanter Geschwindigkeit rahmeninvariant ist. Sobald Sie wissen, dass Bewegung in konstanter Schwerkraft eine konstante Beschleunigung ist, wissen Sie, dass

$$ mv ^ 2/2 + mgh = C $$

, so dass Huygens dynamische Größe additiv ist zusammen mit Archimedes Masse mal Höhe konserviert ist die Geschwindigkeit im Quadrat.

Die Frage ist aus didaktischer Sicht besonders relevant, weil man lernen muss, zwischen Energie (Arbeit) und Impuls (Bewegungsmenge) zu unterscheiden.

Die kinematische Eigenschaft, die proportional zu $ ​​v $ ist, wird heutzutage als Impuls bezeichnet. Sie ist die "Bewegungsmenge", die sich in einem sich bewegenden Objekt befindet. Ihre Definition lautet $ p: = mv $.

Die Änderung des Impulses ist proportional zum Impuls: Der Impuls ist das Produkt einer Kraft $ F $ und der Zeitspanne $ \ Delta t $, auf die er angewendet wird. Diese Beziehung ist auch als das zweite Newtonsche Gesetz bekannt: $ F \ Delta t = \ Delta p $ oder $ F dt = dp $. Wenn man $ p $ durch $ mv $ ersetzt, erhält man seine häufigere Form: $ F = m \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} = ma $.

Nun zu einer intuitiven Erklärung Ein Objekt mit doppelter Geschwindigkeit hat viermal so viel kinetische Energie.
Angenommen, A hat die Geschwindigkeit $ v $ und B ist ein identisches Objekt mit der Geschwindigkeit $ 2v $.
B hat eine doppelte Bewegungsmenge (Impuls) - das ist Wäre Ihre Intuition richtig?
Jetzt wenden wir eine konstante Kraft $ F $ an, um beide Objekte zum Stillstand zu bringen. Aus $ F \ Delta t = \ Delta p $ folgt, dass die Zeit $ \ Delta t $, die B benötigt, um langsamer zu werden, doppelt so lang ist (wir wenden dieselbe Kraft auf A und B an). Daher ist der Bremsweg von B um den Faktor 4 größer als der Bremsweg von A (seine Startgeschwindigkeit und damit auch seine mittlere Geschwindigkeit sind doppelt so groß und seine Zeit $ \ Delta t $ ist doppelt so groß Der Abstand $ s = \ bar {v} \ Delta t $ erhöht sich um das 2-fache = 4-fache.
Die zum Verlangsamen von A und B erforderliche Arbeit $ W $ wird als Produkt aus Kraft und Kraft berechnet Bremsweg $ W = Fs $, das ist also auch viermal so viel. Die kinetische Energie ist definiert als diese Menge an Arbeit, also sind wir da.

Lassen Sie mich nur eine intuitive Erklärung abgeben. Sie könnten Ihre Frage wie folgt umformulieren:

Warum nimmt die Geschwindigkeit nur als Quadratwurzel der kinetischen Energie zu, nicht linear?

Nun, lassen Sie einen Ball aus einer Höhe von 1 Meter fallen und er hat die Geschwindigkeit v , wenn er auf den Boden trifft.

Lassen Sie ihn jetzt fallen eine Höhe von 2 Metern. Wird es eine Geschwindigkeit von 2v haben, wenn es auf den Boden trifft?

Nein, weil es den zweiten Meter in viel kürzerer Zeit zurücklegt (weil es sich bereits bewegt), also hat es weniger Zeit, um an Geschwindigkeit zu gewinnen.

Der einzige wirkliche physikalische Grund (der keine wirklich zufriedenstellende Antwort ist) ist, dass $ E \ sim v ^ 2 $ das ist, was uns Experimente sagen. Zum Beispiel ist die potentielle Energie der Gravitation auf der Erdoberfläche proportional zur Höhe. Wenn Sie ein Objekt fallen lassen, können Sie messen, dass die Höhe, in die es fällt, proportional zum Quadrat seiner Geschwindigkeit ist. Wenn also Energie erhalten werden soll, muss die kinetische Energie proportional zu $ ​​v ^ 2 $ sein.

Natürlich könnten Sie sich fragen, warum die Energie des Gravitationspotentials proportional zur Höhe ist, und sobald dies gelöst ist , frage dich, warum eine andere Art von Energie proportional zu etwas anderem ist und so weiter. Irgendwann wird es eine philosophische Frage. Unter dem Strich hat sich herausgestellt, dass die Definition der kinetischen Energie als proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit eine nützliche Theorie darstellt. Deshalb machen wir das.

Andererseits könnte man immer sagen, wenn es eine lineare Geschwindigkeit hätte, würde es als Impuls bezeichnet werden ;-)

P.S. Es kann erwähnenswert sein, dass die kinetische Energie nicht genau proportional zu $ ​​v ^ 2 $ ist. Die spezielle Relativitätstheorie gibt uns die folgende Formel:

$ K = mc ^ 2 \ left (1 / \ sqrt {1 - v ^ 2 / c ^ 2} - 1 \ right) $

Bei niedrigen Geschwindigkeiten entspricht dies im Wesentlichen $ mv ^ 2/2 $.

Um eine andere, mathematischere Version davon zu veröffentlichen, die nicht von der Thermodynamik abhängt, sondern nur von der Vektorrechnung und den Newtonschen Gesetzen, betrachten wir Newtons zweites Gesetz:

$$ \ sum {\ vec F} = m {\ vec a} $$

Wenden Sie nun die Definition der Arbeit an: $ W = \ int d {\ vec s} \ cdot {\ vec F} $

Wir gehen davon aus, dass $ s $ der tatsächliche Pfad ist, den das Partikel zurücklegt, und verwenden einige clevere Änderungen von Variablen:

$$ \ begin {align} \ sum W & = m \ int d {\ vec s (t)} \ cdot {\ vec a} \\ & = m \ int dt \ frac {d {\ vec s}} {dt} \ cdot {\ vec a} \\ & = m \ int dt \, {\ vec v} \ cdot {\ vec a} \\ & = m \ int dt \, {\ vec v} \ cdot \ frac {d {\ vec v}} {dt} \\ & = m \ int {\ vec v} \ cdot d {\ vec v} \\ & = \ frac {1} {2} m \ left (v_ {f} ^ {2} - v_ {i} ^ {2} \ right ) \\ & = \ Delta {\ rm KE} \ end {align} $$

Wir sehen also, dass die Definition von Arbeit gleichbedeutend mit einer quadratischen Abhängigkeit von der Geschwindigkeit ist. Wen interessiert das? Nun legen wir einige Anforderungen an die Truppe fest. Wir gehen nämlich davon aus, dass unsere Kräfte konservativ sind. Was bedeutet das? Nun, es bedeutet, dass unsere Kraft frei von Locken ist $ \ rightarrow {\ vec \ nabla} \ times {\ vec F} = 0 $. Dies entspricht mathematisch vielen Dingen, aber die wichtigsten beiden sind, dass $ \ int d {\ vec s} \ cdot {\ vec F} $ nicht vom Pfad abhängt, über den Sie integrieren, sondern nur von den Endpunkten der Kurve und zweitens, dass $ {\ vec F} = - {\ vec \ nabla} \ phi $ für eine Funktion $ \ phi (x, y, z, t) $. Sobald Sie dies wissen, ist es relativ einfach zu zeigen, dass $ \ int {\ vec ds} \ cdot {\ vec F} = \ phi_ {0} - \ phi_ {f} $

Dann haben Sie :

$$ 0 = \ Delta {\ rm KE} + \ sum \ Delta {\ rm PE} _ {i} $$

wo die Summe über den Potentialen für die verschiedenen Kräfte liegt (und ich habe $ \ phi $ durch PE ersetzt, da wir jetzt offensichtlich über potentielle Energie sprechen.) Wir haben jetzt bewiesen, dass sich die Gesamtenergie nicht ändert. Daher gibt uns die Standarddefinition von Arbeit eine konservierte Größe, die wir Energie nennen können (solange wir das Fehlen nichtkonservativer Kräfte annehmen, aber in Gegenwart dieser Kräfte wird Energie nicht konserviert, und wir müssen uns Sorgen machen Wärme- und Strahlungsverluste).

Wie Piotr vorgeschlagen hat, folgt , dass die kinetische Energie quadratisch zunimmt, wenn man die Definition der Arbeit $ W = \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} $ akzeptiert. Warum? Weil die Kraft und das infinitesimale Intervall linear von der Geschwindigkeit abhängen. Daher ist es natürlich anzunehmen, dass Sie, wenn Sie beide Größen multiplizieren, am Ende so etwas wie $ K v ^ {2} $ erhalten müssen, wobei $ K $ eine 'willkürliche' Konstante ist.

A. Eine viel interessantere Frage ist, warum der Lagrange von der Geschwindigkeit im Quadrat abhängt. Angesichts der Homogenität des Raums kann er nicht explizit $ \ mathbf {r} $ enthalten, und angesichts der Homogenität der Zeit kann er nicht von der Zeit abhängen. Da der Raum isotrop ist, kann der Lagrange auch nicht die Geschwindigkeit $ \ mathbf {v} $ enthalten. Daher sollte die nächst einfachere Wahl sein, dass der Lagrange die Geschwindigkeit im Quadrat enthalten muss. Ich denke, dass der Lagrange grundlegender ist als die anderen Größen, aber seine Ableitung beinhaltet die Definition von Arbeit oder gleichwertig Energie. Wahrscheinlich werden Sie die Idee nicht kaufen, dass diese letzte Erklärung die wahre Ursache dafür ist, dass die kinetische Energie quadratisch ansteigt, obwohl ich denke, dass sie viel zufriedenstellender ist als die erste Erklärung.

In kommt auf Definitionen an.

Momentum ist definiert als $ p = mv $. Der Impuls wächst linear mit der Geschwindigkeit, wodurch der Impuls zu einer intuitiv zu verstehenden Größe wird (je mehr Impuls, desto schwieriger ist es, ein Objekt anzuhalten). Kinetische Energie ist eine weniger intuitive Größe, die einem bewegten Objekt zugeordnet ist. KE wird so zugewiesen, dass die augenblickliche Änderung des KE zu jedem Zeitpunkt den Impuls dieses Objekts ergibt:

$ \ frac {dKE} {dv} = p $

A separat Die Frage, die man sich stellen könnte, ist, warum wir uns für diese Menge interessieren. Die Antwort ist, dass in einem System ohne Reibung die Summe der kinetischen und potentiellen Energien eines Objekts erhalten bleibt:

$ \ frac {d (KE + PE)} {dt} = 0 $

Für jede relativ gleiche (in Prozent) Erhöhung der Geschwindigkeit muss die aufgebrachte Kraft über eine zunehmend (quadratisch) lange Fahrstrecke vorhanden sein. F = m * a. Gleichzeitig Kraft * Distanz = Arbeit, wobei Arbeit = Energie.

Die allgemeine Form der kinetischen Energie umfasst Korrekturen höherer Ordnung aufgrund der Relativitätstheorie. Der quadratische Term ist nur eine Newtonsche Näherung, die gültig ist, wenn die Geschwindigkeiten im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit c niedrig sind.

Es gibt einen weiteren fundamentalen Grund, aus dem die kinetische Energie nicht linear von der Geschwindigkeit abhängen kann. Kinetische Energie ist ein Skalar, Geschwindigkeit ist ein Vektor. Wenn die Abhängigkeit linear wäre, würde dies außerdem bedeuten, dass die kinetische Energie variieren würde, indem $ \ mathbf {v} $ durch $ - \ mathbf {v} $ ersetzt wird. Das heißt, Die kinetische Energie würde von der Orientierung abhängen, was wiederum keinen Sinn ergibt. Die Newtonsche quadratische Abhängigkeit und die relativistischen Korrekturen $ v ^ 4 $, $ v ^ 6 $ ... erfüllen beide Anforderungen: Die kinetische Energie ist skalar und unveränderlich, um $ \ mathbf {v} $ durch $ - \ mathbf {v} zu ersetzen. $.

Ich denke, es folgt aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik. Es verwandelt Ihre Definition von Arbeit in eine konservierte Eigenschaft namens Energie. Wenn Sie Arbeit im $ Fdx $ -Stil definieren (wie es James Joule getan hat), folgt der quadratische Ausdruck für kinetische Energie mit den Symmetrieargumenten.

In seiner ausgezeichneten Antwort schlägt Ron Maimon geschickt vor, Wärme zu verwenden, um dies zu vermeiden ein Hinweis auf die Arbeit. Um die Anzahl der Kalorien zu bestimmen, verwendet er ein Thermometer. Ein perfektes Thermometer misst $ \ partielle {E} / \ partielle {S} $. Wenn er mit der Definition der Entropie fertig ist, benötigt er immer noch eine nichtmechanische Definition der Arbeit. (Tatsächlich glaube ich, dass es Joules Beitrag ist, zu zeigen, dass die Kalorie ein überflüssiges Maß für Energie ist.) Die Schwäche in Rons Antwort ist, dass er auch den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik benötigt, um die Frage zu beantworten.

Um dies explizit zu sehen, schreiben Sie das erste Gesetz in Form der Gibbs-Gleichung: $$ dE = TdS + vdp + Fdx $$ Diese Gleichung definiert $ v = \ partiell {E} / \ partiell {p} $. Für ein konservatives System setzen Sie $ dE = 0 $ und um Huygens zu folgen, setzen Sie $ dS = 0 $, um $ vdp = - Fdx $ zu erhalten, und um Maimon zu folgen, setzen Sie $ dx = 0 $, um $ vdp = -TdS $ zu erhalten. Dies sind zwei Möglichkeiten zur Messung der kinetischen Energie.

Nun zur Integration. Huygens nimmt an, dass $ p $ nur eine Funktion von $ v $ ist. Für kleine Änderungen in $ v $ machen wir die lineare Approximation $ p = mv $, wobei $ m \ äquiv. Dp / dv $. Schließen Sie das an, integrieren Sie es und Sie erhalten die quadratische Abhängigkeit. Tatsächlich ist es nicht allzu schwer zu erkennen, dass, wenn Sie die Schwerkraft für die Kraft verwenden, $ F = mg $, die zu $$ \ frac {1} {2} mv ^ 2 + mgh = C führt. $$ Raimon ebenfalls muss Nehmen Sie die Unabhängigkeit von $ p $ auf $ S $ an. Um sich zu integrieren, muss er $ T $ als Funktion von $ S $ (und möglicherweise $ p $) bewerten oder die Wärmekapazität nutzen.

Beachten Sie nun, dass die Änderungen in $ v $ klein sein müssen. Tatsächlich ist die kinetische Energie nicht immer proportional zu $ ​​v ^ 2 $. Wenn Sie sich der Lichtgeschwindigkeit nähern, bricht das Ganze zusammen und für das Licht selbst gibt es keine Masse, aber Photonen haben eine kinetische Energie von $ c p $, wobei $ c $ die Lichtgeschwindigkeit ist. Daher ist es besser, sich kinetische Energie als $$ E_ {kin} = \ int v dp $$ vorzustellen und einfach die Integration durchzuführen, um die wahre Abhängigkeit von $ v $ zu ermitteln.

Zusammenfassend also Ich schlage vor, dass das "Warum" der Frage dasselbe ist wie das "Warum" des ersten Gesetzes.

Grundsätzlich bezieht sich der Impuls auf die Kraft mal der Zeit und KE auf die Kraft mal die Entfernung. Es ist alles ein Maß für den Bezugsrahmen, entweder Zeit oder Entfernung. Die Beziehung zwischen Zeit und Entfernung für eine Startgeschwindigkeit von Null ist $ d = \ frac {at ^ 2} {2} = \ frac {tV} {2} $. Stecken Sie dies in die Gleichungen, die Sie erhalten. KE $ = \ frac {pV} {2} = \ frac {p ^ 2} {2m} $

Woolah - Magie!

Ich habe eine quantitative Antwort, bei der es sich um ein Gedankenexperiment handelt, bei dem alle außer den einfachsten Gleichungen vermieden werden.

Ein Objekt, das von der Geschwindigkeit v = 0 bis v = 1 wechselt, muss auf irgendeine Weise gedrückt oder gezogen werden. In meiner Erklärung werde ich die gleiche Methode verwenden, um das Objekt von v = 0 nach v = 1, dann von v = 1 nach v = 2, dann von v = 2 nach v = 3 usw. zu verschieben. Ich werde zeigen, wie die Energie der Bewegung ist Das im Objekt enthaltene Element steigt von 0 auf 1 auf 4 auf 9 usw.

Beginnen Sie mit zwei identischen Kugeln, m1 und m2. Zwischen den beiden Kugeln befindet sich eine Feder s1, die unter Druck gehalten wird. Angenommen, die Masse der Feder ist sehr klein. Die potentielle Energie im Frühjahr ist PE = 2 und alle 3 Akteure haben eine Geschwindigkeit v = 0.

A. v = 0. Alle Objekte haben eine Geschwindigkeit von 0, also kinetische Energie KE = 0.

B. v = 1. Lassen Sie die Feder los und m1 schießt mit der Geschwindigkeit v = 1 nach links ab. m2 geht mit v = -1 in die entgegengesetzte Richtung. Die kinetische Energie beider Kugeln ist gleich und beträgt KE = 1, da die gesamte potentielle Energie der Feder symmetrisch auf die Kugeln übertragen wurde.

C. v = 2. Platzieren Sie nun eine weitere identische Kugel, m3, rechts von m1 und bewegen Sie sich ebenfalls mit v = 1 und mit einer zusammengedrückten Feder, s2, zwischen ihnen. An m1 hat sich nichts geändert, es fährt immer noch glücklich mit v = 1. Wie hoch ist die Gesamtenergie des m1-, s2- und m3-Systems? Es ist 1 + 2 + 1 = 4, was m1s KE, s2s PE und m3s KE ist.

Lassen Sie nun die Feder los und m1 schießt mit v = 2 nach links ab und m3s Geschwindigkeit geht von v = 1 nach v = 0 macht seine KE = 0. Weil wir gesagt haben, dass die Masse der Feder sehr klein ist, so dass ihre KE fast Null ist, ist die gesamte Energie, die sich vor der Freigabe der Feder im System befand, jetzt in m1. Das KE von m1 ist also KE = 4. Puh, KE ist proportional zu v im Quadrat!

D. v = 3. Wiederholen Sie einfach den Vorgang, um m1 von v = 2 auf v = 3 zu bringen, indem Sie eine weitere identische Kugel, m4, abschieben. Berechnen Sie zunächst die Gesamtenergie des Zwei-Kugel- und Federsystems, bevor die Feder freigegeben wird. Es ist 4 + 2 + 4 = 10. Nach dem Lösen der Feder hat m4 v = 1, was wir als KE = 1 festgelegt haben. M1 hat also die verbleibende Energie des Systems, die KE = 9 ist.

E. v = 4. Wiederholen Sie den Vorgang. Energie des Systems vor dem Loslassen der Feder, 9 + 2 + 9 = 20. KE von m1 nach dem Loslassen der Feder, KE = 20-4 = 16.

Ich bin nicht glücklich, die Masse der Feder wegzunehmen, so dass eine sauberere Erklärung eine Feder an jeder Kugel und den Kugeln hat interagieren über ihre Federn, die in Kontakt sind.

Kinetische Energie ist definiert als $ \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ (zumindest in der klassischen Mechanik).

Wenn die Bewegung eines Objekts ist einem physikalischen Gesetz unterworfen, das über die Zeit konstant ist (zum Beispiel $ \ ddot {r} = - \ frac {GM} {r ^ 2} $, wobei GM eine Konstante ist), dann, wenn Sie beide Seiten in Bezug auf Abstand und integrieren multiplizieren Sie mit der Masse $ m $ des Objekts, das Sie erhalten:

$$ \ frac {1} {2} mv_2 ^ 2 - \ frac {GMm} {r_2} = \ frac {1} {2 } mv_1 ^ 2 - \ frac {GMm} {r_1} $$

Unter der Annahme, dass das Gesetz über die Zeit konstant ist, wird zwischen dem Anfangs- und dem Endzustand die Menge des Objekts $ \ frac {1} {2} mv ^ 2 - \ frac {GMm} {r} $ bleibt auch über die Zeit erhalten.

Wenn anstelle von $ - \ frac {GM} {r ^ 2} $ das physikalische Gesetz eine andere Funktion ist $ f (r) $ konstant über die Zeit, dann bleibt die Menge $ \ frac {1} {2} mv ^ 2 - F (r) $ des Objekts, wobei F ein Grundelement von f ist, auch über die Zeit erhalten.

Diese Größe wird Energie genannt. Dann geben wir den beiden Begriffen einen Namen: Der Begriff, der von der Geschwindigkeit abhängt ($ \ frac {1} {2} mv ^ 2 $), wird als kinetische Energie bezeichnet, und der Begriff, der von der Entfernung abhängt ($ -F ( r) $) wird als potentielle Energie bezeichnet.

Es ist nützlich, diese Größen zu definieren, denn wenn wir annehmen, dass die Beschleunigung eines Objekts eine Funktion der zeitlich konstanten Entfernung ist (wie dies bei der Fall ist) das Gravitationsgesetz, das Coulombsche Gesetz, das Hookesche Gesetz, ...) und wenn wir den Wert von $ F (r) $ und den Wert der Geschwindigkeit in einem gegebenen Abstand $ r_1 $ kennen (die beide aus Messungen abgeleitet sind) Dann können wir die Geschwindigkeit des Objekts in jeder anderen Entfernung direkt ableiten, ohne jedes Mal das Integral von $ f (r) $ berechnen zu müssen.

Da kinetische Energie eine definierte Größe ist, ist es bedeutungslos zu fragen warum es quadratisch mit der Geschwindigkeit zunimmt, tut es, weil es so definiert ist. Das obige Argument gibt einen Grund an, warum es so definiert ist.

Warum wird so viel mehr Energie benötigt, um von 1 m / s auf 2 m / s zu gelangen, als um zu gehen von 0 m / s bis 1 m / s?

Es ist nicht schwieriger, etwas von 1 m / s auf 2 m / s zu beschleunigen als von 0 m / s auf 1 m / s. Bei einer konstanten Beschleunigung dauert es dieselbe Zeit, jedoch dauert es dreimal so lange (Die Beschleunigung von 0 m / s auf 2 m / s dauert also viermal länger als von 0 m / s auf 1 m / s.)

Nehmen wir an, Sie beschleunigen Ihr Objekt mit einer konstanten Geschwindigkeit so dass es eine Zeit $ \ tau $ dauert, um von 0 m / s auf 1 m / s zu gelangen. Dann dauert es genauso lange, bis $ \ tau $ von 1 m / s auf 2 m / s gelangt.

Seine Geschwindigkeit als Funktion der Zeit ist $ v (t) = \ frac {1} {\ tau} t $. Insbesondere ist $ v (\ tau) = 1 $ und $ v (2 \ tau) = 2 $. Die als Funktion der Zeit zurückgelegte Strecke beträgt $ d (t) = \ frac {1} {2 \ tau} t ^ 2 $

Es dauert eine Strecke $ d (\ tau) = \ frac {\ tau} {2} $, um es von 0 m / s auf 1 m / s zu beschleunigen, während es eine Strecke $ d (2 \ tau) = 2 \ tau $ braucht, um es von 0 m / s auf 2 m zu beschleunigen /s.

Wie Sie sehen können, ist $ d (2 \ tau) = 4d (\ tau) $. Sie müssen zu keinem Zeitpunkt kinetische Energie aufrufen, um diese Beobachtung zu erklären. Die Entfernung dauert viermal länger, da sich das Objekt zwischen $ \ tau $ und $ 2 \ tau $ schneller bewegt als zwischen $ 0 $ und $ \ tau $. In ähnlicher Weise dauert es bei einer konstanten Verzögerungsrate viermal länger, bis das Bremsen bei einer Geschwindigkeit von $ 2v $ zum Stillstand kommt, als bei einer Geschwindigkeit von $ v $, nicht weil kinetische Energie das Bremsen irgendwie schwieriger macht, wenn wir schneller fahren, sondern einfach, weil es Das Bremsen dauert zweimal länger (die Zeit, um von $ 2v $ auf $ v $ zu gelangen, entspricht der Zeit, um von $ v $ auf $ 0 $ zu gelangen), und weil wir uns schneller als $ v $ bewegen (und somit mehr Distanz zurücklegen) ) während der halben Bremszeit.

Die quadratische Variation der kinetischen Energie mit der Geschwindigkeit kann durch die Symmetrieeigenschaften von Raum und Zeit erklärt werden. Die Lagrange-Funktion ist definiert als $ \ mathcal {L} = TU $ span>, wobei $ T $ span> das ist kinetische Energie und $ U $ span> ist die potentielle Energie.

Wir wissen, dass der Raum homogen und isotrop ist und die Zeit homogen. Für ein freies Teilchen sollte der Lagrange $ \ mathcal {L} $ span> die folgenden Eigenschaften haben:

1. $ \ mathcal {L} $ span> sollte nicht von der Positionskoordinate abhängen.
2. $ \ mathcal {L} $ span> sollte nicht vom Geschwindigkeitsvektor abhängen. Vielmehr sollte es von der Größe der Geschwindigkeit abhängen, d. H. Einer gewissen Leistung des Geschwindigkeitsvektors
3. $ \ mathcal {L} $ span> sollte nicht von der Zeitkoordinate abhängen.
ol>

Die allgemeine Form des Lagrange für ein freies Teilchen lautet also $$ \ mathcal {L} (x, v, t) = \ alpha v ^ n $$ span > wobei $ \ alpha $ span> eine Konstante ist, die unabhängig von Koordinaten, Geschwindigkeiten und Zeit ist. Jetzt kann der Impuls unter Verwendung der Beziehung $$ p = \ frac {\ partiell \ mathcal {L}} {\ partiell v} = \ alpha nv ^ {n-1 berechnet werden } $$ span> Der Impuls ist jedoch immer eine lineare Funktion der Geschwindigkeit, die durch Dimensionsanalyse leicht bewiesen werden kann. Dies ist nur möglich, wenn $ n = 2 $ span> im obigen Ausdruck.

Da wir ein freies Teilchen betrachten (das nur kinetische Energie hat), ist der Lagrange (Auswahl von $ n = 2 $ span>) $$ \ mathcal {L} = T = \ alpha v ^ 2 $$ span> Somit ist die kinetische Energie proportional zu $ v ^ 2 $ span> und nicht zu einer anderen Potenz von $ v $ span> .

Eine Möglichkeit, Ihre Frage zu betrachten, lautet wie folgt:

$$ E (v) = \ frac {m v ^ 2} {2} \; . $$

Wenn wir also die Geschwindigkeit mit einer bestimmten Größe multiplizieren, dh wenn wir die Geschwindigkeit skalieren, erhalten wir Folgendes:

$$ E (\ lambda v) = \ frac {m (\ lambda v) ^ 2} {2} = \ lambda ^ 2 \ frac {mv ^ 2} {2} = \ lambda ^ 2 E (v) \; . $$

Das heißt, wenn Sie Ihre Geschwindigkeit um einen Faktor von $ \ lambda $ skalieren, wird Ihre Energie um einen Faktor von $ \ lambda ^ 2 $ skaliert - dies sollte Ihre Frage beantworten (einfach einstecken) die Zahlen).

Das Quadrat der kinetischen Energie ist vollkommen sinnvoll, wenn unsere Realität nicht tatsächlich erste Ordnung im Raum ist, sondern lediglich eine Messung der relativen Geschwindigkeit, mit der ein Objekt die Zeit durchläuft. Der Raum unserer Existenz wird dann zu jedem Zeitpunkt, zu dem er fortschreitet, zum Raum der gleichzeitigen Zeit.

In diesem Szenario erzeugt das Ändern der kinetischen Energie eines Objekts einen Stoß (denken Sie an "Kraft"). ) in einen neuen Raum der Gleichzeitigkeit, wenn sich die Zeit für ein Objekt schneller oder langsamer bewegt.

Warum funktioniert Newtons erstes Gesetz? Liegt es daran, dass die Zeit mit einer konstanten Geschwindigkeit vergeht, wenn sie sich nicht ändert? Und wenn es sich ändert, tut es dies als Quadrat / Quadratwurzel, weil Zeit als in alle Richtungen verlaufend erlebt wird?

Zeit würde dann als omnidirektional verlaufend angesehen, während Bewegung offensichtlich linear existiert. Kombiniere diese und du hast die Quadratwurzel der Raumzeit! Genau wie der sich ausdehnende oder zusammenziehende Radius einer Kugel! (Ich scheine immer den mexikanischen Hut des Higg vor meinen Augen zu haben, wenn ich daran denke, dass Gewalt aus irgendeinem Grund in eine bestimmte Richtung geht, obwohl sie hier nicht direkt in Beziehung steht, soweit ich das beurteilen kann lol.)

Wenn die Zeit langsamer vergeht, schrumpft der Raum für jedes Objekt entsprechend, um sich jederzeit an die Lichtgeschwindigkeitsinvarianz für jedes Objekt anzupassen. Die Lorentz-Kontraktion resultiert und wird mit der Geschwindigkeit vorherrschend, mit der die Zeit für ein Objekt relativ zum anderen gegen Null geht. Der Raum der gleichzeitigen Zeit an einem Punkt rundet dann das Bild ab.

Die Symmetrien von SR und Energieeinsparung machen in diesem Szenario Spaß.

Realität muss tatsächlich existieren auf diese Weise, so gut ich es beurteilen kann. Es gibt keinen Spielraum dafür, dass es falsch ist, da die Lichtgeschwindigkeitsinvarianz auch für das Infinitesimal der Beschleunigung gilt. Das Infinitesimale kann nur ein Spiegelbild eines neuen Raums der Gleichzeitigkeit sein, der erzeugt wird, wenn das beschleunigende Objekt in allen Fällen die Lichtgeschwindigkeitskonstanz aufrechterhalten soll.

Kinetische Energie ist eigentlich kein Skalar, der im Raum existiert. Und Zeit ist tatsächlich eine echte Sache, die wirklich vergeht. Das Vergehen der Zeit ist keine Illusion.

Kinetische Energie erfordert das Vergehen der Zeit, weil es die quantitative relative Ausdehnung dieser Geschwindigkeit ist, die die Zeit vergeht, die definiert, welche kinetische Energie tatsächlich und wirklich vorliegt is!

Das Ergebnis ist, dass das Quadrat der kinetischen Energie perfekt mit der Lorentz-Invarianz übereinstimmt, um unsere Realität so zu erklären, wie wir sie messen, wenn wir nur akzeptieren, dass diese Zeit vergeht ist eine echte Sache, und geben Sie ihr den Vorrang in unserem Denken, den es verdient zu haben!