Es gibt mehrere Gründe für die Verwendung des Hamilton-Formalismus:

1. Statistische Physik. Das Standardgewicht der thermischen Zustände reiner Zustände wird gemäß

   $$ \ text {Prob} (\ text {state}) \ propto e ^ {- H angegeben (\ text {state}) / k_BT} $$ span>

   Sie müssen also die Hamiltonianer verstehen, um stat mech wirklich real ausführen zu können.

2. Geometrische Schönheit. Hamiltons Gleichungen besagen, dass das Fließen in der Zeit dem Fließen entlang eines Vektorfeldes im Phasenraum entspricht. Dies gibt ein schönes geometrisches Bild davon, wie die Zeitentwicklung in solchen Systemen funktioniert. Menschen verwenden dieses Framework häufig in dynamischen Systemen, in denen sie Fragen wie "Ist die Zeitentwicklung chaotisch?" Studieren.

3. Die Verallgemeinerung auf die Quantenphysik. Der grundlegende Formalismus der Quantenmechanik (Zustände und Observablen) ist eine offensichtliche Verallgemeinerung des Hamiltonschen Formalismus. Es ist weniger offensichtlich, wie es mit dem Lagrange-Formalismus verbunden ist, und viel weniger offensichtlich, wie es mit dem Newtonschen Formalismus verbunden ist.

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[Bearbeiten als Antwort auf einen Kommentar: ]

Dies mag zu kurz sein, aber die grundlegende Geschichte lautet wie folgt:

In der Hamilton-Mechanik sind Observablen Elemente einer kommutativen Algebra, die eine Poisson-Klammer $ \ {\ cdot, \ cdot \} $ span>. Die Algebra der Observablen hat ein unterschiedliches Element, den Hamilton-Operator, der die zeitliche Entwicklung über $ d \ mathcal {O} / dt = \ {\ mathcal {O}, H \} $ definiert span>. Thermische Zustände sind in dieser Algebra einfach lineare Funktionen. (Die Observablen werden als Funktionen im Phasenraum realisiert, und die Klammer stammt aus der dortigen symplektischen Struktur. Entscheidend ist jedoch die Algebra der Observablen: Sie können den Phasenraum aus der Algebra der Funktionen wiederherstellen.)

Andererseits haben wir in der Quantenphysik eine Algebra von Observablen, die nicht kommutativ ist. Aber es hat immer noch eine Klammer $ \ {\ cdot, \ cdot \} = - \ frac {i} {\ hbar} [\ cdot, \ cdot] $ span> ( der Kommutator), und es erhält immer noch seine zeitliche Entwicklung von einem bestimmten Element $ H $ span> über $ d \ mathcal {O. } / dt = \ {\ mathcal {O}, H \} $ span>. Ebenso sind thermische Zustände in der Algebra immer noch lineare Funktionale.

Weitere Kommentare zur Antwort von user1504:

1. Für ein System mit einem Konfigurationsraum der Dimension $ n $ sind die Hamilton-Gleichungen eine Menge von $ 2n $, gekoppelte ODEs erster Ordnung , während die Euler-Lagrange-Gleichungen eine Menge von $ n $ ODEs zweiter Ordnung sind. In einem bestimmten Problem ist es möglicherweise einfacher, die Hamilton-Gleichungen erster Ordnung zu lösen (obwohl ich mir im Moment leider kein gutes Beispiel vorstellen kann).

2. Das stimmt Die Quantenmechanik wird normalerweise im Hamilton-Formalismus dargestellt, aber wie in der Antwort von user1504 impliziert, ist es möglich, einen Lagrange zur Quantisierung klassischer Systeme zu verwenden. Der Hamilton-Ansatz wird üblicherweise als "kanonische Quantisierung" bezeichnet, während der Lagrange-Ansatz als "Pfadintegralquantisierung" bezeichnet wird.

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Edit. Wie Benutzer Qmechanic betont, ist mein Punkt 2 nicht genau richtig. Die Pfadintegralquantisierung kann auch mit dem Hamilton-Operator durchgeführt werden. Siehe zum Beispiel diesen Beitrag zu Physik. SE:

In Pfadintegralen sind Lagrange oder Hamilton grundlegend?

Erstens ist Lagrangian eine mathematische Größe, die keine physikalische Bedeutung hat, aber Hamiltonian ist physikalisch (zum Beispiel ist es die Gesamtenergie von in einigen Fällen das System) und alle Größen in der Hamiltonschen Mechanik haben physikalische Bedeutungen, was die physikalische Intuition erleichtert.

1. In der Hamilton-Mechanik haben Sie kanonische Transformationen, mit denen Sie Koordinaten ändern und einfachere kanonische Koordinaten und Momente finden können, in denen es einfacher ist, Probleme zu lösen.

2. Das Beste ist, Lagrange ist eine leistungsfähige mathematische Methode zur Lösung von Problemen in der klassischen Mechanik, aber Hamiltonian ist eine leistungsstarke Methode zur Lösung von Problemen in der klassischen Mechanik, Quantenmechanik, statistischen Mechanik und Thermodynamik ... usw. eigentlich fast die gesamte Physik ...

ol>

Zum Beispiel: In der Thermodynamik: Gibbs freie Energie, Helmholtz freie Energie ... sind alles kanonische Transformationen von Hamiltonian ..

Ein zusätzlicher Punkt, der in den vorherigen Antworten nicht ausreichend hervorgehoben wurde, ist, dass der Hamilton-Formalismus es Ihnen ermöglicht, kanonische Transformationen durchzuführen, um zum bestmöglichen Koordinatensystem im Phasenraum zu wechseln und das System zu beschreiben. Dies ist viel besser als in der Lagrange-Mechanik, wo Sie nur Koordinatentransformationen im Konfigurationsraum durchführen können. (Der Phasenraum hat die doppelte Anzahl von Dimensionen, sodass Sie eine größere Freiheit haben.) Ich finde Poisson-Klammern in der Hamilton-Mechanik sehr nützlich, um die Bewegungsgleichungen einer beliebigen Funktion von Phasenraumvariablen zu schreiben: $ \ dot {Q} = \ {Q, H \} $. Es ist möglich, konservierte Größen ($ \ dot {Q} = 0 $) in der Hamilton-Mechanik zu finden, die in der Lagrange-Mechanik nicht offensichtlich sind.

Beispiele:

1. ​​Normalmodus-Oszillationen. Wenn sich herausstellt, dass der Hamilton-Operator eine quadratische Funktion von Koordinaten und Impulsen für ein System von $ N $ -Objekten ist, z. $ H = \ sum_ {ij} M_ {ij} q_i q_j + \ sum_ {ij} M_ {ij} p_i p_j $ Dann können Sie einfach eine kanonische Transformation entlang der Eigenvektoren von $ M_ {ij} $ durchführen, um $ M_ {zu diagonalisieren ij} $, und Ihr System wird in unabhängige harmonische Oszillatoren aufgeteilt.

2. Störungstheorie. Sie können einfach die Schwingungen um den Gleichgewichtszustand untersuchen, indem Sie den Hamilton-Operator in den Phasenraumvariablen auf die zweite Ordnung erweitern.

3. In der Planetendynamik gibt es eine große Skalentrennung zwischen der Wechselwirkung von Planeten mit dem Zentralstern und ihren gegenseitigen Wechselwirkungen. "Säkulare Theorie" beschreibt die sehr langfristige Entwicklung des Systems unter Verwendung der Hamiltonschen Mechanik. Sie können eine kanonische Transformation (Von-Zeipel-Transformation) entlang der Aktionswinkelvariablen der kurzfristigen Interaktionen anwenden. Sie können dann die langfristige Entwicklung ableiten (zum Beispiel die der Exzentrizitäten und Neigungen) und untersuchen, ob sich die langfristigen Störungseffekte von Planeten resonant summieren oder nicht, ob das System chaotisch ist usw.

ol>

Dies ist eine Tatsache über den Hamiltonianer im Vergleich zum Lagrange, die ich nicht trivial finde (und die es wert ist, beachtet zu werden).

Angenommen, der Lagrange $ L $ span> und Hamilton $ H $ span> sind in Bezug auf eine Koordinate $ q_1 $ span> zyklisch. Dann haben wir einen Satz (vgl. [1]):

Die Entwicklung der anderen Koordinaten $ q_2, ..., q_n $ span> ist das eines Systems mit $ n-1 $ span> unabhängiger Koordinate $ q_2, ..., q_n $ mit Hamiltonian $$ H (p_2, ..., p_n, q_2, ..., q_n, t, c), $$ span> abhängig vom Parameter $ c = p_1 $ span>.

Beachten Sie, dass dies falsch ist, wenn anstelle von $ H $ span> geben wir den Satz für den Lagrange $ L $ span> an.

Um genau zu sehen, was ich meine, betrachten Sie den vereinfachten Lagrange des Zweikörperproblems: $$ L = \ frac {\ mu} {2} (\ dot r ^ 2 + r ^ 2 \ dot \ varphi ^ 2) -U (r). $$ span> Wir haben $$ p_ \ varphi = \ mu r ^ 2 \ dot \ varphi = \ ell \ quad (\ text {Konstante}). $$ span> Versuchen Sie nun, $$ \ dot \ varphi = \ frac {\ ell} {zu stecken \ mu r ^ 2} $$ span> innerhalb des Lagrange und vergleichen Sie die so erhaltenen Bewegungsgleichungen mit denen, die Sie direkt in die Bewegungsgleichungen einfügen $ \ frac {\ partielles L} {\ partielles r} = \ frac {d} {dt} \ frac {\ partielles L} {\ partielles \ dot r} $ span>.

[1] “ Mathematische Methoden der klassischen Mechanik „VI Arnold, §15 Kor.2.

Zusätzlich zu den vielen großartigen Antworten, die bereits veröffentlicht wurden:

1) Die Hamiltonsche Mechanik eignet sich für eine allgemeine und systematische Form der Störungstheorie, die als "kanonische Störungstheorie" bezeichnet wird.Die Störungstheorie in der Lagrange-Mechanik ist tendenziell etwas ad hoc und von Fall zu Fall.Ich vermute, dass Hamilton und Jacobi aus diesem Grund die Theorie ursprünglich entwickelt haben, da sie natürlich nichts über ihre zukünftigen statistischen Mechanismen und Quantenanwendungen wussten.

2) Die Hamilton-Mechanik führt zur Hamilton-Jacobi-Gleichung, die nützlich ist, um nicht offensichtliche konservierte Größen für komplizierte Systeme zu finden.

3) Die Hamilton-Jacobi-Gleichung führt wiederum zu Aktionswinkelvariablen, die besonders in der Astronomie nützlich sind (was den frühen Physikern sehr am Herzen lag).

Eine Möglichkeit, die Beziehung zwischen der klassischen Mechanik von Hamilotian und der Quantenmechanik zu erkennen, besteht nicht darin, nach einer direkten Übersetzung von Hamiltionian -> Quantum Hamiltionian (die existiert: Geometrische Quantisierung) zu suchen, sondern die umgekehrte Beziehung zu betrachten. Wenn ein Hamiltion-Operator gegeben und auf Wellenfunktionen der Form $ e ^ {\ frac {i} {\ hbar} \ phi} $ ausgewertet wird (was als hoch gelegenes Wellenpaket angesehen werden kann), vereinfacht sich das Limit $ \ hbar \ bis 0 $ zur Hamiltion-Jacobi-Gleichung mit dem klassischen Hamiltionian. Dies ist als WKB-Näherung bekannt und gilt auch für die Optik (d. H. Lichtstrahlen folgen in erster Näherung den Integralkurven des zugehörigen Hamiltionschen Bildes).

Sie können auch Hamiltons Bewegungsgleichungen in sympletischer Form schreiben: $$ \ dot \ xi_i = \ omega_ {ij} \ frac {\ partielles H} {\ partielles \ xi_j} $$

Wobei $ \ xi_i $ die Koordinaten im Phasenraum sind, dh $ \ xi = (\ mathbf q, \ mathbf p) $. Und $ \ omega $ ist die sympletische Matrix: $$ \ omega = \ begin {bmatrix} 0 && -I_ {n \ times n} \\ I_ {n \ times n} && 0 \\\ end {bmatrix} $ $

Dabei ist $ I_ {n \ times n} $ die Identitätsmatrix mit einem System von $ n $ Raumkoordinaten (und damit $ n $ Geschwindigkeiten und diesen $ 2n $ Phasenbeträgen Raumkoordinaten). Für ein beobachtbares $ G $ haben wir außerdem: $ \ dot G = \ {G, H \} $, wie Sie wissen. Sie können also leicht die Dynamik eines bestimmten beobachtbaren $ G $ haben. Alles sehr nett und ordentlich und allgemein, aber ...

Aber ... hier ist das, was ich für den erstaunlichsten Teil der Hamilton-Mechanik halte: $$ X = x ^ i \ partielle_i = \ {\ xi ^ i, H \} \ teilweise_i $$

Wobei $ X $ ein Hamilton-Vektorfeld ist. Stattdessen können wir nun für ein beobachtbares $ G $ sein Vektorfeld verallgemeinern: $$ X_G = x ^ i_G \ Partial_i, \ Quadx ^ i_G = \ {\ xi ^ i, G \} = \ frac {d \ xi ^ i} {d \ epsilon} $$

Für jeden gegebenen Parameter $ \ epsilon $ für beobachtbares $ G $ wird ein Operator $ X_G $ generiert. Taylor-Erweiterung erster Ordnung: $$ \ xi ^ i (\ epsilon) - \ xi ^ i (\ epsilon_0) = (\ epsilon - \ epsilon_0) X_G \ xi ^ i $$

Wobei Operator $ X_G $ wirkt auf $ \ xi ^ i $. Wir können die Differentialgleichung in aufeinanderfolgenden infinitesimalen Transformationen lösen, die an der fundamentalen Exponentialgrenze ankommen, und so die vollständige allgemeine Lösung von jedem Hamilton-System für jedes beobachtbare $ G $: $$ \ xi ^ i (\ haben epsilon) = \ exp \ left (\ Delta \ epsilon X_G \ right) \ xi ^ i_0 $$

Verstehst du die Kraft davon? Auch hier ist es die Lösung eines jeden Hamilton-Systems für jedes beobachtbare $ G $ mit dem vom Operator $ X_G $ generierten Parameter $ \ epsilon $. Wenn Sie die Dynamik analysieren möchten, ist $ \ epsilon $ die Zeit und $ G $ der Hamilton-Wert, wobei $ X_H $ den Hamilton-Vektorraum definiert. Alle Hamilton-Systeme haben die gleiche Lösung. Die gleiche Lösung !! Lösen wir also nach der Dynamik (dh wo $ \ epsilon $ die Zeit ist): $$ \ xi ^ i (t) = \ exp \ left (\ Delta t \ frac {d} {dt} \ right) \ xi ^ i_0 $$

Also, wie Sie sehen können, ziemlich nett. Die Lagrange-Mechanik liefert schöne, einheitliche Bewegungsgleichungen. Die Hamiltonsche Mechanik liefert schöne einheitliche Lösungen für den Phasenraum für die Bewegungsgleichungen. Außerdem haben Sie die Möglichkeit, einen zugehörigen Operator und eine koordinatenunabhängige sympletisch-geometrische Interpretation zu erhalten. Ersteres ist in der Quantenmechanik von entscheidender Bedeutung, letzteres in dynamischen Systemen.

Der kanonische (Hamiltonsche) Formalismus bietet einen der Hauptpfade zur Quantisierung der Schwerkraft. Die allgemeine Relativitätstheorie kann als ADM 3 + 1-Zerlegung der Raumzeit ausgedrückt werden:

http://en.wikipedia.org/wiki/ADM_formalism

Und Hamiltonians zugrunde liegende Quantenmechanik:

http://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_(quantum_mechanics)

Dies bietet nicht nur eine schwer fassbare Verbindung zwischen ansonsten grundlegend inkompatiblen Theorien (Quantenfeldtheorie und allgemeine Relativitätstheorie), aber im Hamiltonschen Formalismus von GR ist es möglich, Probleme numerisch zu lösen, die ansonsten über die Standard-Einstein-Feldgleichungen äußerst schwierig oder unmöglich sind.

Übrigens ist die Lagrange- (und Lagrange-Dichte) in der allgemeinen Relativitätstheorie physikalisch, da man die Einstein-Feldgleichungen direkt aus der Einstein-Hilbert-Aktion ableiten kann. Diese Minimierung der Wirkung ist auch die Grundlage des pfadintegralen Ansatzes zur Quantenfeldtheorie:

http://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation

Die in QFT so nützlichen Feynman-Diagramme leiten sich direkt daraus ab, und natürlich ist die Stringtheorie eine höherdimensionale Verallgemeinerung des Pfadintegralansatzes.

http://www.staff.science. uu.nl/~hooft101/lectures/stringnotes.pdf

Der Hamilton-Operator kann verwendet werden, um eine Entwicklung der "Phasendichte" eines Systems von N Körpern zu beschreiben. Die Dichte in der Phase ist eine konservierte Größe für ein System im Gleichgewicht nach dem Liouville-Theorem. Die Position und die Impulse können jeden allgemeinen intensiven Parameter beschreiben. Gibbs verwendete diesen Ansatz, um statistische Mechanik abzuleiten.

Dieser Ansatz des Konzepts der Entwicklung einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion kann in vielen anderen Anwendungen verwendet werden. Meine aktuelle Forschung wendet dies auf die Theorie der Zustandsraumkontrolle, die wirtschaftliche Analyse und die Bewertung von Strahlenschäden in Zellen an. Es ist zwar etwas verworren, aber äußerst nützlich. Dies geht Hand in Hand mit der Entropiemaximierung.

Ein Vorteil des Hamilton-Operators ist der direkte Ausdruck des Satzes von Noether. Der Satz von Noether besagt, dass Symmetrie zu konservierten Größen führt.

Eine Möglichkeit, den Satz von Noether zu verstehen, besteht darin, dass einem System mit einer Symmetrie im Lagrange eine ignorierbare Koordinate zugeordnet ist. Zum Beispiel kann ein System mit Rotationssymmetrie in Koordinaten ausgedrückt werden, bei denen der Drehwinkel $ \ phi $ span> im Lagrange nicht erscheint.

$$ \ frac {\ partielles L} {\ partielles \ phi} = 0 \ impliziert \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partielles L} {\ teilweise \ Punkt {\ phi}} \ rechts) = \ frac {d p_ \ phi} {dt} = 0 $$ span>

Die $ \ phi $ span> -Komponente des Impulses bleibt also erhalten.

Der Hamilton-Ansatz ist besonders bei numerischen Methoden nützlich. Beachten Sie, wie eine der Hamilton-Evolutionsgleichungen über Impulsänderungen informiert.

$$ \ frac {d p_i} {dt} = - \ frac {\ partielles H} {\ partielles q ^ i}, \ quad \ frac {dq ^ i} {dt} = \ frac {\ partielles H} {\ partielles p_i} $$ span>

In einem System mit konservierten kanonischen Impulsen fordern Hamiltons Gleichungen explizit eine Konservierung. In vielen Fällen ist der Hamilton-Operator selbst eine konservierte Größe (wie Energie). Das Finden numerischer Lösungen für Hamilton-Gleichungen anstelle von Newtons zweitem Gesetz führt zu einer größeren Stabilität der numerischen Lösungen. Es gibt eine ganze Klasse von Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen, symplektische Integratoren, die diese Funktion verwenden.

Wenn Sie ein Orbitalproblem direkt aus $ \ vec {F} = m \ ddot {\ vec {x}} $ span> numerisch entwickeln, entsteht ein numerischer Fehler schnell und die Umlaufbahn wird von der wahren Lösung abweichen. Eine Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, die Energie und den Drehimpuls als Funktionen der Zeit zu berechnen ( $ E (t) $ span>, $ \ ell (t) $ span>) aus Positionslösungen $ r (t) $ span>, $ \ theta (t ) $ span>, $ \ phi (t) $ span>. Sie werden feststellen, dass $ E (t) $ span> und $ \ ell (t) $ span> sich erheblich unterscheiden von den Startwerten und immer schlechter werden.

Wenn Sie mit Hamilton-Gleichungen arbeiten, wirkt sich ein numerischer Fehler auf Ihre Berechnungen aus, aber $ \ ell () $ span> ist bei jedem Schritt und $ E (t) $ span> ist stabiler, da es eine Funktion der stabilen $ p $ span> ist $ q $ span>. Die Positionskoordinaten weisen weiterhin einen numerischen Fehler auf. Da jedoch $ E $ span> und $ \ ell $ span> stabil sind, wackeln die Koordinaten eher um die wahren Werte als divergierend.

Extrem kurze und nicht erwähnte Antwort: Impuls und Position in der Quantenmechanik (QM) bilden eine Darstellung der Heisenberg-Algebra in Form von Einheitsoperatoren.In der Newtonschen Mechanik (NM) gibt es keine sichtbare zugrunde liegende algebraische Struktur, aber in der Hamiltonschen Mechanik (HM) bilden Impuls und Position auch eine Darstellung der Heisenberg-Algebra, diesmal in Bezug auf reale Funktionen.Unter diesem gruppentheoretischen Gesichtspunkt sind HM und QM kaum zu unterscheiden, während QM im Vergleich zu NM wie Magie aussieht.

Das klassische Problem der Mechanik besteht darin, die Bewegungsgleichungen für ein gegebenes Lagrange- oder Hamilton-System zu lösen. In diesem Fall ist es nur eine Frage der Wahl, ob der Hamilton- oder Lagrange-Formalismus verwendet wird, um dies zu tun. Sobald die Lösung gefunden ist, ist alles, was Sie über dieses spezifische System wissen müssen, darin enthalten.

Aber wie wäre es, wenn man grundlegendere Fragen stellen möchte, ob es Eigenschaften physikalischer Systeme gibt, die nicht spezifisch für die bestimmte Form eines Hamiltonian / Lagrangian sind, sondern allen Systemen inhärent sind. Um dies zu beantworten, muss man die mathematische Struktur entschlüsseln, die für alle physikalischen Systeme generisch ist. Genau dann unterscheidet sich die Hamilton-Formulierung von der Lagrange-Formulierung: Die generische Struktur, die den Hamilton-Systemen zugrunde liegt, trägt den Namen „symplektische Mannigfaltigkeiten“ und es stellt sich heraus, dass ihre Mathematik so reichhaltig ist, dass sie für die Mathematik bis dahin von großem Interesse ist Dieses Datum.

Das bekannteste Beispiel für eine generische Eigenschaft von Hamilton-Systemen, die nicht mit der spezifischen Form eines Hamilton-Systems zusammenhängt, ist das Liouville-Theorem, das besagt, dass der Phasenraum mit der Zeit erhalten bleibt. Intuitiv bedeutet dies, dass Informationen während der Lebensdauer des Systems niemals verloren gehen.

Das Studium der Hamiltonschen Dynamik / symplektischen Mannigfaltigkeiten ist besonders nützlich, wenn die Raumzeit nicht euklidisch ist. Zum Beispiel existieren symplektische Mannigfaltigkeiten und damit Hamilton-Dynamik auf einer Kugel $ S ^ {2n} $ span> für n> 1 nicht. Es sind also diese Arten von Fragen, die ganz natürlich in der symplektischen Mannigfaltigkeit / Hamiltonschen Umgebung und nicht im Lagrange-Formalismus untersucht werden können.

Die folgende Antwort ist ein bisschen "intuitiv", aber hoffentlich immer noch meistens richtig oder zumindest zum Nachdenken anregend. Entschuldigung für die mangelnde Genauigkeit. Ich habe vor, diese Gedanken eines Tages in einen schönen Blog-Beitrag zu schreiben. Dies ist nur eine grobe Skizze.

Ich bin nicht sicher, aber der größte Punkt im Konzept von "Hamiltonian" ist, dass zwei unabhängige Systeme Energie additiv sind.

Nicht wechselwirkende Systeme können durch H1 + H2 beschrieben werden.

Ich habe diese Seite durchsucht und dies wurde nicht beschrieben.

Warum ist diese Additivität so wichtig?

Nehmen wir einen harmonischen Oszillator.

Der Phasenraum ist der Umfang eines Kreises.

Energie ist proportional zum Radius des Kreises.

Also der Umfang.

Also die Anzahl der Mikrozustände.

Also S = -log (E) * c.

Warum ist das eine große Sache?

Denn wenn wir zwei harmonische Oszillatoren nehmen, wird die Entropie additiv (umfangreich).

Warum ist das so eine große Sache?

Wahrscheinlichkeit. Unabhängige Systemprotokollwahrscheinlichkeiten sind additiv.

Die physische Unabhängigkeit und die probabilistische Unabhängigkeit sind in diesem Fall also gleich.

So wird statistische Physik möglich.

Dies ist eine andere Sichtweise auf die Aussage der akzeptierten Antwort. Aus informationstheoretischer Sicht.

Warum ist Unabhängigkeit so wichtig?

Die Kolmogorov-Komplexität der Algorithmen, die den Phasenraum oder sogar die Bewegung beschreiben, ist additiv. Es ist also optimal. Im Sinne von Occams Rasiermesser.

Daher ist der Hamiltonsche Formalismus der optimalste Weg, um Theorien zu erstellen, die unabhängige Systeme beschreiben.

Unter diesem Gesichtspunkt ist es intuitiv zu sehen, dass die Störungstheorie "funktioniert".

Wenn die Energieänderung eines Subsystems gering ist (schwache Störung), wird der Phasenraum nicht viel größer, so dass die zur Beschreibung des gestörten Systems zu speichernden Informationen nicht viel größer sind, da die Größe des Phasenraums dies tut nicht viel ändern.

Dieser informationstheoretische Ansatz liefert also eine intuitive Erklärung, warum die Störungstheorie "funktioniert".

Die Hamilton-Gleichung ist daher wichtig, weil sie es ermöglicht, unabhängige Systeme unabhängig in den informationstheoretischen (aus denen probabilistischen) Rahmenbedingungen zu behandeln, wie dies am ersten Punkt der ersten Antwort angedeutet wurde. Darauf basiert die statistische Mechanik. Auch würde Thermodynamik mit dem Konzept der Energie nicht existieren. Da unabhängige Systeme durch ihre Energie beschrieben werden, die umfangreich und additiv ist.

Interessanterweise beziehen sich alle umfangreichen Variablen in der Thermodynamik auf Änderungen des Phasenraums. Das Volumen wächst, der volumenbezogene Phasenraum ändert sich, die kinetische Energie nimmt ab (der impulsbezogene Phasenraum nimmt ab) in adiabatischen Systemen, so dass der Gesamtinformationsgehalt konstant bleibt (und folglich die Entropie).

Ohne Energie gibt es also keine Entropie, keine Information, keinen Phasenraum, kein E = mc ^ 2.

Warum? Ohne Energie gibt es keine Unabhängigkeit zwischen isolierten Systemen.

Warum ist das falsch? Theorien (Algorithmen), die unabhängige Systeme beschreiben, haben eine additive Kolmogorov-Komplexität. Ohne das Konzept der Energie hätten Theorien diese Eigenschaft nicht, würden also Occams Rasiermesser nicht gehorchen und wären daher unnötig komplexer als nötig. Wäre weniger richtig.

Im Rahmen von Solomonoffs Theorie kann diese Aussage gerechtfertigt werden.

In der algorithmischen Informationstheorie (Leibniz, Kolmogorov, Chaitin) gibt es ein Konzept, "elegante Programme".Dies sind minimale Programme, die eine bestimmte Binärsequenz erzeugen können.Wir können eine Analogie zur Physik oder zu jeder anderen axiomatischen Theorie machen (diese Analogie wurde von Chaitin untersucht).Der Lagrange-Hamilton-Formalismus (mit dem Min-Action-Prinzip) stellt einen minimalen mathematischen Rahmen dar, der viele experimentelle Daten aus allen Bereichen der Physik von QFT bis GR erklären kann.Leider ist es in der algorithmischen Informationstheorie kein triviales Problem, zu beweisen, dass ein Programm "elegant" ist.Nach dieser Analogie ist dies kein triviales Problem, ob der Lagrange / Hamilton-Formalismus der bestmögliche ist.Um Ihre Frage zu beantworten, geht es um "Eleganz" oder Minimalität (in mathematischen Axiomen / Prinzipien, die benötigt werden).