Der Vektor $ \ hat \ varphi $ ist am Ursprung nicht definiert, da die Koordinatentransformation $$ (x, y) \ mapsto (r, \ varphi) = \ left (\ sqrt {x ^ 2 + y ^)2}, \ arctan (y / x) \ right) $$ ist dort einzigartig.Daher ist Ihr Feld $ \ mathbf B $ am Ursprung singulär.

Der Satz, dass $$ \ nabla \ times \ mathbf B = 0 \ Rightarrow \ oint_C \ mathbf B \ cdot d \ mathbf r = 0 $$ erfordert, dass die Kurve $ C $ im Linienintegral bis zu einem Punkt kontrahierbar ist, ohne Singularitäten zu durchlaufen.Dies ist nicht der Fall für die Ebene, bei der der Ursprung ausgeschlossen ist, wenn sich die Kurve um den Ursprung windet.

Die Singularität entsteht natürlich, weil Sie einen unendlich dünnen Draht haben.Versuchen Sie, das Magnetfeld für einen Draht der Dicke $ R_1 $ mit gleichmäßiger Stromdichte zu finden und die Grenze von $ R_1 \ auf 0 $ zu setzen, während der Gesamtstrom konstant bleibt.Die Kräuselung ist außerhalb des Drahtes Null, divergiert jedoch innerhalb des Drahtes, wie es die Maxwell-Gleichungen vorschreiben.

Es gibt bereits sehr gute Antworten, daher möchte ich nur eine physikalische Vorstellung davon geben, warum dieses Vektorfeld kräuselfrei ist, obwohl es eine Zirkulation ungleich Null aufweist.

Wir können eine Analogie der Locke mit einem unendlich kleinen Schaufelrad in einem Flüssigkeitsstrom ziehen. Wir betrachten das Vektorfeld als eine Strömung der Flüssigkeit und das Schaufelrad spielt die Rolle der Locke. Die Richtung der Kräuselung wird durch die Achse des Schaufelrads und durch die Rechtsregel angegeben. Die Größe der Kräuselung ist mit der Winkelgeschwindigkeit des Schaufelrads verbunden

Wenn wir das Schaufelrad in eine Flüssigkeit legen, die entsprechend dem angegebenen Vektorfeld fließt, drückt die Flüssigkeit die Paddel wie in der folgenden Abbildung

Das Vektorfeld ist am unteren Paddel (näher an der Mitte) stark und am oberen schwächer. Das Nettoergebnis dieser beiden Paddel wäre, sich im Uhrzeigersinn zu drehen. Die Flüssigkeit drückt jedoch auch das linke Paddel nach unten und das rechte Paddel nach oben. Diese Drehung gegen den Uhrzeigersinn hebt genau die Drehung vom oberen und unteren Paddel im Uhrzeigersinn auf, und das Nettoergebnis ist, dass sich das Schaufelrad nicht dreht. Dieses Vektorfeld ist kräuselfrei, obwohl es eindeutig eine Zirkulation ungleich Null aufweist.

Diese Formel gilt außerhalb des Drahtes, wobei $ J = 0 $ ist. Maxwells Gleichung besagt, dass dort $ \ nabla \ times B = 0 $ ist.

Es gibt jedoch kein Skalarfeld, dessen Gradient $ B $ um den Draht beträgt.Dies ist der typische Fall, in dem Sie ein irrotationales Feld haben, das kein (globales) Potenzial zulässt.Andernfalls wäre das Integral von $ B $ um den Draht Null und dies ist nach einem der Maxwellschen Gesetze in integraler Form nicht zulässig.

Wenn $ J $ innerhalb des Drahtes einheitlich ist, enthält $ I $ nur den Teil des Stroms, der von der betrachteten Linie von $ B $ erfasst wird. Dies hängt also von $ r $ ab, dh $ I = I (r) $und die Formel ändert sich und erzeugt $ \ nabla \ times B \ neq 0 $.

1. OPs Magnetfeld $$ \ vec {B} ~ = ~ \ frac {k} {\ rho} \ hat {\ boldsymbol \ varphi}, \ qquad \ rho ~ \ neq ~ 0, \ tag {1} $$ in Zylinderkoordinaten $ (\ rho, \ varphi, z) $ gehorcht (im Verteilungssinn) Ampere's Circuital Law (ACL): $$ \ mu_0 \ vec {J} ~ \ stackrel {(ACL)} {=} ~ \ vec {\ nabla} \ times \ vec {B} ~ \ stackrel {(1)} {=} ~ 2 \ pi k ~ \ delta ^ 2 (x, y) \ hat {\ bf z}, \ tag {2} $$ mit der Stromdichte, die durch eine 2D Dirac-Delta-Verteilung gegeben ist. Die Integralform von Gl. (2) führt zu $$ \ mu_0 I ~ \ stackrel {(2)} {=} ~ 2 \ pi k. \ tag {3} $$

2. Eine schnelle Möglichkeit, die zweite Gleichheit in Gl. (2) soll das Magnetfeld regulieren $$ \ vec {B} _ {\ varepsilon} ~ = ~ \ frac {k \ rho} {\ rho ^ 2 + \ varepsilon} \ hat {\ boldsymbol \ varphi}, \ tag {1 '} $$ $$ \ mu_0 \ vec {J} _ {\ varepsilon} ~ \ stackrel {(ACL)} {=} ~ \ vec {\ nabla} \ times \ vec {B} _ {\ varepsilon} ~ \ stackrel {(1 ')} {=} ~ \ frac {2k \ varepsilon} {(\ rho ^ 2 + \ varepsilon) ^ 2} \ hat {\ bf z}, \ tag {2'} $$ $$ \ mu_0 I _ {\ varepsilon} ~ \ stackrel {(2 ')} {=} ~ \ int_0 ^ {\ infty} 2 \ pi \ rho ~ \ mathrm {d} \ rho ~ \ frac {2k \ varepsilon} {(\ rho ^ 2 + \ varepsilon) ^ 2} ~ = ~ 2 \ pi k, \ tag {3 '} $$ mit einem Regler $ \ varepsilon>0 $ und nehmen Sie das Limit $ \ varepsilon \ auf 0 ^ + $. Ein strenger Verteilungsnachweis verwendet Testfunktionen, die z.B. meine Phys.SE-Antwort hier.

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