Ein Teil davon ist, dass die Newtonsche Mechanik in Form von calculus beschrieben wird.

Wenn wir Schwingungsbewegungen betrachten, sprechen wir von einem Teilchen, das dazu neigt, nicht verschoben zu werden aus einer Gleichgewichtsposition. Das heißt, die Kraft auf das Teilchen bei der Verschiebung $ x $, $ F (x) $ ist gleich einer Funktion der Verschiebung $ x $, $ g (x) $.

Hier gibt es zwei Möglichkeiten, wie Kalkül einbezogen wird. Erstens ist $ F = ma $ und $ a $, Beschleunigung, eine "Änderungsrate" und daher ein Kalkülkonzept. Wir haben also $ ma (x) = g (x) $.

Nun ist es zu schwierig, mit einer allgemeinen Funktion $ g $ umzugehen - wir werden damit nichts anfangen. Wie können wir also am allgemeinsten vorgehen? Eine fruchtbare Methode ist eine Taylor-Erweiterung. $ g (x) = g (0) + g '(0) x + \ frac {1} {2} g' '(0) x ^ 2 + \ frac {1} {3!} g ^ {(3) } (0) x ^ 3 + \ cdots $, wobei dies $ g ^ {(n)} (x) $ ist, ist die n-te Ableitung von g am Punkt x.

Wenn wir $ x wollen = 0 $ um eine Gleichgewichtsposition zu sein, müssen wir $ g (0) = 0 $ haben - es gibt keine Kraft auf das Teilchen im Gleichgewicht. Wenn wir wollen, dass es ein stabiles Gleichgewicht ist, das dazu neigt, in seine ursprüngliche Position zurückzukehren, müssen wir $ g '(0) <0 $ haben. Alle anderen Derivate sind Freiwild. Schreiben von $ -k = g '(0) $:

$$ ma (x) = - k x + \ frac {1} {2} g' '(0) x ^ 2 + \ frac { 1} {3!} G ^ {(3)} (0) x ^ 3 + \ cdots $$, wie es in der Physik so nützlich ist, nehmen wir jetzt an, dass $ x $ klein ist, so dass $ x ^ 2 $ sehr ist klein und $ x ^ 3 $ ist noch kleiner. Das heißt, wir ignorieren alle Potenzen von $ x $ größer als eins. Wir schließen mit: $$ m a (x) = - k x $$ Hookesches Gesetz. Die Lösung für diese Gleichung ist immer sinusförmig. (das heißt, es kann in der Form $ x = a \ cos (\ omega t- \ varphi) $ geschrieben werden)

Es ist also unvermeidlich, dass bei diesen Definitionen des "stabilen Gleichgewichts" die Das resultierende Schwingungsmuster bei kleinen Amplituden ist sinusförmig. Immer. Das ist es, was $ \ cos $ und $ \ sin $ aus physikalischer Sicht besonders macht.

(natürlich haben wir auch stillschweigend angenommen, dass $ g $ eine nette Funktion ist, die schön und flüssig und differenzierbar ist, aber man tut dies im Allgemeinen, wenn man an Problemen im Newtonschen Stil arbeitet)

Einer der großen Gründe, die oben nicht diskutiert wurden, ist die Fourier-Theorie - jede Funktion $ f (x) $ kann in der Form $ f (x) = \ int dk \, A (k) e ^ {ikx} ausgedrückt werden $, was im Grunde bedeutet, dass jede Funktion in eine unendliche Summe von Sinus und Cosinus zerlegt werden kann. Da dies der Fall ist und der Umgang mit Sinus und Cosinus mathematisch einfacher ist als der allgemeine Fall von periodischen Funktionen, warum sollten Sie sich über letztere Gedanken machen, wenn Sie jede Funktion immer als Summe von Sinus und Konsin wieder ausdrücken können und eine Lösung in dieser Form vorliegt vollständig isomorph mit dem allgemeinen Fall, vorausgesetzt, Ihre Basisgleichung ist linear?

Weil Zyklen und Schwingungen und Dinge mit Periodizität eng mit dem Kreis verbunden sind. Und $ sin $ und $ cos $ werden basierend auf dem Kreis definiert.

Eine wörtliche Antwort auf Ihre Titelfrage wäre einfach "weil sich Schwingungen in der physischen Welt so verhalten, wie es mit $ \ sin $ und $ \ cos $ übereinstimmt". Natürlich fragt man sich dann, warum diese Funktionen so allgegenwärtig sind.

Abhängig von Ihrem physikalischen Hintergrund kennen Sie möglicherweise den harmonischen Oszillator - also ein System für wobei eine Rückstellkraft proportional zur Verschiebung vorhanden ist. Zum Beispiel ist die Bewegung einer Feder eine einfache Harmonische (da nach dem Hookeschen Gesetz die Rückstellkraft proportional zum Ausmaß der Dehnung einer Saite ist) und die Bewegung eines Pendels für kleine Winkelamplituden eine einfache Harmonische. Tatsächlich bewegt sich jedes Objekt im stabilen Gleichgewicht für kleine Störungen harmonisch.

Quantitativ bedeutet dies, dass für eine einfache harmonische Bewegung $ F = - kx $ für eine Verschiebung $ x $ gilt . Außerdem ist $ F = ma = m \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} $. Wenn wir also diese beiden Gleichungen kombinieren, stellen wir fest, dass

$$ \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} = - \ frac {k} {m} x $$

Dies ist eine Differentialgleichung, die gelöst werden muss, um $ x (t) $ zu finden. Es stellt sich heraus, dass die Lösung dieser Gleichung ein Ausdruck der Form $ A \ sin (\ omega t - \ phi) $ für die Konstanten $ A $, $ \ omega $ und $ \ phi $ ist, um dies selbst zu überprüfen. Stecken Sie eine Funktion wie $ x (t) = 2 sin \ left (\ sqrt {\ frac {k} {m}} t - \ frac {\ pi} {2} \ right) $ ein.

Da einfache harmonische Bewegungen die häufigste Form der Schwingung sind und einfache harmonische Bewegungen mit $ \ sin $ und $ \ cos $ beschrieben werden, folgen die meisten Schwingungen in der Physik diesen trigonometrischen Funktionen.

Die Zykloide erscheint nicht so oft wie $ \ sin $ und $ \ cos $, nur weil es keinen Grund dafür gibt. Es gibt nicht viele physikalische Phänomene, die Zykloidenpfaden folgen, da die Zykloide im Vergleich zu dem ziemlich einfachen $ \ sin (\ theta) = \ operatorname {Im} ({e ^ {i \ theta}}) $ eine so komplexe Form hat und $ \ cos (\ theta) = \ operatorname {Re} ({e ^ {i \ theta}}) $.

Diese Frage erinnert mich an einige Bemerkungen auf den Seiten 14-16 von Peter Woits Quantenmechanik und Darstellungstheorie. Notizen

Stellen Sie sich grundsätzlich vor, Sie betrachten alle periodischen Funktionen aus dem real zu den komplexen Zahlen. Dies entspricht der Betrachtung aller Funktionen vom Einheitskreis bis zu den komplexen Zahlen. Fügen wir die Eigenschaft hinzu, dass unsere Funktion $ f $ so sein soll, dass $ f (\ theta_1 + \ theta_2) = f (\ theta_1) f (\ theta_2) $ (dies ist zugegebenermaßen an dieser Stelle willkürlich, aber bei Zumindest ist es eine elegante Eigenschaft :)).

Dann ist es eine Tatsache, dass unsere Funktion die Form $ \ theta \ rightarrow e ^ {ik \ theta} = \ cos (k \ theta) haben muss ) + i \ sin (k \ theta) $ für eine ganze Zahl $ k $. Dies führt also ein, warum man sich insbesondere für trigonometrische Optionen interessiert und nicht für andere Arten der Beschreibung von Schwingungen.

Wenn man sich ansieht, was im Beweis vor sich geht, reduziert sich dies im Wesentlichen auf die Tatsache, dass die trigonometrischen Funktionen funktionieren haben schöne Eigenschaften in Bezug auf Differenzierung und Beziehung zueinander, z $$ \ sin (\ theta_1 + \ theta_2) = \ sin (\ theta_1) \ cos (\ theta_2) + \ sin (\ theta_2) \ cos (\ theta_1) $$

Ja, es gibt Alternativen. Ein großer Teil der Abhängigkeit von Sinus und Cosinus ist jedoch historisch. Die Analyse oszillierender mechanischer Systeme konzentrierte sich natürlich auf Sinus, da die Dinge so vibrieren. Mit diesem Rahmen stellte sich heraus, dass auch die elektrischen und magnetischen Systeme reagieren. Plus (oder vielleicht könnte man alternativ sagen) kreisförmige Bewegung zerfällt leicht in Sinus und Cosinus. Und die Liste geht weiter.

Bei Alternativen können gut erzogene, begrenzte, periodische Wellenformen über die Fourier-Transformation in Sinus und Cosinus zerlegt und die FT kraftvoll in die Laplace-Transformation erweitert werden. Zykloide sind interessant, aber sie verhalten sich schlecht - sie erfordern unendlich viel dy / dx. Und das wiederum macht sie ungeeignet, um auf Probleme anzuwenden, die NICHT unendlich dy / dx haben - was fast alles ist.

Das heißt nicht, dass es für einige Anwendungen KEINE Alternativen gibt - siehe Wavelet-Theorie.

Ein weiterer Grund ist, dass wir die Zeit als immer fortschreitend wahrnehmen und viele Beispiele für Rotation mit konstanten Drehzahlen sehen. Daher ist es für uns selbstverständlich, Schwingungen in Bezug auf die Zeit bis zum Winkel plus Radius und von dieser x, y-Position aus auszudrücken.

Sin und Cosinus geben uns per Definition die x, y-Koordinaten bei einem Winkel und einem Radius von 1 an, daher ist es zweckmäßig, sie zu verwenden.

Einfach ausgedrückt, unser Universum tendiert dazu, auf eine Weise zu arbeiten, bei der das Vorhandensein von etwas die Rate einer verwandten Variablen verändert. Man könnte sagen, das Universum arbeitet konsequent für jede Aktion, bei der jede sofortige Änderung die Zukunft des Systems beeinflusst. Es stellt sich heraus, dass dies mathematisch gesehen ein reales Beispiel für exponentielles Wachstum ist. Man könnte sagen, dass die meisten Eigenschaften von Dingen, die wir im Universum beobachten, im Wesentlichen exponentiell auftreten. Das kanonische Exponential, über das wir nachdenken, ist e ^ x.

Nun wette ich, Sie fragen sich, warum ich Exponentiale in einer Frage zu Sinus und Cosinus anspreche. Der Grund ist, dass Sinus und Cosinus tatsächlich Exponentialfunktionen sind, wenn der Exponent unseres Interesses imaginäre Zahlen beinhaltet. Genau wie die Wachstumsrate von etwas im klassischen exponentiellen Wachstum mit zunehmender unabhängiger Variable zunimmt, schafft die genaue Menge des vorhandenen Materials beim Umgang mit Sinus und Cosinus ein System, das reagiert, indem es in bestimmten Intervallen zunimmt und in anderen abnimmt.

Im Wesentlichen können Sie sich dies als eine spezielle Form des exponentiellen Wachstums vorstellen, bei der alle Ihre vorherigen Werte außerhalb der aktuellen Wellenlänge, die Sie untersuchen, keine Rolle spielen und tatsächlich nur die Menge Ihrer Variablen im Überschuss von einigen Vielfachen Ihres Materials, die die Bulk-Eigenschaften beeinflussen.

Um bildlich darüber nachzudenken, zeichnen Sie ein Diagramm mit einer realen und einer imaginären Achse. Zeichnen Sie einen Punkt auf der Zahlenlinie, multiplizieren Sie diese Zahl mit einer reellen Zahl und dann mit einer imaginären Zahl und wiederholen Sie diese. Sie werden feststellen, dass die reelle Zahl den Wert skaliert , während die imaginäre Zahl den Pfeil dreht . Durch die Zuordnung dieses Verhaltens zu Exponentialen werden Exponentiale erzeugt, bei denen das Wachstum "skaliert" (das klassische e ^ x, an das wir denken) oder das Wachstum "rotiert" (Sinus und Cosinus).