Zu verstehen, warum dies funktioniert, ist ziemlich tiefgreifend. Diese Antwort ist eine ziemlich lange Geschichte, aber es gibt keine Mathematik. Am Ende ('Ein formellerer Ansatz') gibt es einen Überblick über die Funktionsweise der Mathematik: Fahren Sie damit fort, wenn Sie die Geschichte nicht möchten.

Insektengeometrie

Betrachten Sie ein kleines Insekt oder etwas, das auf der Oberfläche des Papiers lebt. Dieses Insekt kann nicht vom Papier sehen, aber es kann gerade Linien zeichnen und Winkel auf dem Papier messen.

Wie zeichnet es gerade Linien? Nun, es macht es auf zwei Arten: Entweder nimmt es zwei Punkte, zeichnet Linien zwischen ihnen auf dem Papier und findet die kürzeste Linie zwischen ihnen, die es "gerade" nennt; oder alternativ zeichnet es eine Linie so, dass sie parallel zu sich selbst ist und this "gerade" nennt. Es gibt einen geometrischen Trick, um solche "parallel zu sich selbst" -Linien zu konstruieren, auf die ich nicht eingehen werde. Und es stellt sich heraus, dass diese beiden Arten von Linien gleich sind.

Ich bin mir nicht sicher, wie es Winkel misst: Vielleicht hat es einen kleinen Winkelmesser.

Jetzt kann unser Insekt Geometrie machen. Es kann verschiedene Dreiecke auf das Papier zeichnen und die Winkel an den Ecken dieser Dreiecke messen. Und es wird sich immer herausstellen, dass sich die Winkel zu $ \ pi $ span> ( $ 180 ^ \ circ $ span> summieren ), Na sicher. Sie können dies auch tun und die Ergebnisse des Insekts überprüfen, und viele Leute tun genau dies in der Schule. Das Insekt (nennen wir es "Euklid") kann tatsächlich ein ganzes Geometriesystem auf seinem Blatt Papier entwickeln. Andere Insektenkünstler werden Bilder und Skulpturen davon machen, und das Buch über Geometrie, das es schreibt, wird seit Tausenden von Jahren in Insektenschulen verwendet. Insbesondere kann das Insekt Formen aus geraden Linien konstruieren und die Bereiche in ihnen messen und eine Reihe von Regeln dafür entwickeln: Rechtecke haben Bereiche, die gleich $ w \ times h $ zum Beispiel.

Ich habe oben nichts angegeben: Ich habe Ihnen nicht gesagt, ob das Papier flach auf einem Schreibtisch lag oder ob es in Ihrer Hand gebogen war. Das liegt daran, dass es für das Insekt keine Rolle spielt : Das Insekt kann nicht sagen, ob das Papier unserer Meinung nach gekrümmt ist oder ob es flach ist: die Linien und Winkel Maßnahmen sind genau gleich . Und das liegt daran, dass das Insekt im wahrsten Sinne des Wortes Recht hat und wir Unrecht haben: Das Papier ist flach, auch wenn wir glauben, dass es gekrümmt ist . Damit meine ich, dass Sie keine Messung auf der Oberfläche des Papiers durchführen können, die Ihnen sagt, ob es "gekrümmt" oder "flach" ist.

Schütteln Sie nun das Papier und lassen Sie eines der Insekten herunterfallen und auf einer Tomate landen. Dieses Insekt beginnt seine Geometrie auf der Oberfläche der Tomate zu machen und findet etwas ziemlich Schockierendes: Im kleinen Maßstab sieht alles in Ordnung aus, aber wenn es versucht, große Figuren zu konstruieren, laufen die Dinge schrecklich schief: Die Winkel in seinen Dreiecken summieren sich zu mehr als $ \ pi $ span>. Linien, die parallel beginnen, weit genug verlängert sind, treffen sich zweimal, und tatsächlich gibt es überhaupt keinen globalen Begriff von Parallelität . Und wenn es den Bereich innerhalb von Formen misst, stellt es fest, dass es immer mehr ist, als es denkt: Irgendwie ist mehr Tomate in den Formen als Papier.

Die Tomate ist tatsächlich gekrümmt : Ohne jemals die Oberfläche der Tomate zu verlassen, kann das Insekt erkennen, dass die Oberfläche irgendwie deformiert ist. Schließlich kann eine ganze Theorie der Tomatengeometrie entwickelt werden, und später werden einige wirklich kluge Insekten mit Namen wie "Gauß" und "Riemann" eine Theorie entwickeln, die es ihnen ermöglicht, die Geometrie gekrümmter Oberflächen im Allgemeinen zu beschreiben: Tomaten, Birnen und so weiter .

Intrinsische &-Krümmung

Um genau zu sein, sprechen wir davon, dass das Blatt Papier "an sich flach" und die Oberfläche der Tomate "an sich gekrümmt" ist: Dies bedeutet nur, dass nur Messungen an der Oberfläche durchgeführt werden Wir können feststellen, ob die Regeln der euklidischen Geometrie gelten oder nicht.

Es gibt eine andere Art von Krümmung, die extrinsische Krümmung ist: Dies ist die Art von Krümmung, die Sie nur messen können, wenn Sie ein Objekt als in einen höherdimensionalen Raum eingebettet betrachten. Bei Papierbögen sind die Oberflächen dieser Objekte zweidimensionale Objekte, die in den dreidimensionalen Raum eingebettet sind, in dem wir leben. Und wir können feststellen, ob diese Oberflächen extrinsisch gekrümmt sind, indem wir normale Vektoren zu den Oberflächen konstruieren und prüfen, ob sie alle in die gleiche Richtung zeigen. Aber die Insekten können das nicht: Sie können nur die intrinsische Krümmung messen.

Und kritisch kann etwas extrinsisch gekrümmt sein, während es an sich flach ist. (Das Gegenteil ist nicht der Fall, zumindest im Fall von Papier: Wenn es intrinsisch gekrümmt ist, ist es auch extrinsisch gekrümmt.)

Dehnen von &-Komprimieren

Der Unterschied zwischen an sich flachen und an sich gekrümmten Oberflächen, den ich oben erwähnt habe, ist von entscheidender Bedeutung: Der Bereich innerhalb der Formen ist unterschiedlich . Dies bedeutet, dass die Oberfläche gedehnt oder zusammengedrückt wird: Bei der Tomate gibt es mehr Fläche innerhalb der Dreiecke als bei flachem Papier.

Dies bedeutet, dass Sie Teile davon dehnen oder komprimieren müssen, wenn Sie ein an sich flaches Objekt nehmen und es so verformen möchten, dass es an sich gekrümmt ist: Wenn wir ein Blatt Papier nehmen und es krümmen möchten über die Oberfläche einer Kugel müssten wir dann & strecken und komprimieren: Es gibt keinen anderen Weg, dies zu tun.

Das ist nicht für die äußere Krümmung: Wenn ich ein Stück Papier nehme und es beispielsweise in einen Zylinder rolle, wird die Oberfläche des Papiers überhaupt nicht gedehnt oder komprimiert. (Tatsächlich ist es ein bisschen so, weil Papier tatsächlich ein dünnes dreidimensionales Objekt ist, ideales zweidimensionales Papier jedoch nicht.)

Warum gebogenes Papier es starr macht

Endlich kann ich die Frage beantworten. Papier ist ziemlich widerstandsfähig gegen Dehnen. &-Komprimierung: Wenn Sie versuchen, ein (trockenes) Blatt Papier zu dehnen, reißt es, bevor es sich wirklich gedehnt hat, und wenn Sie versuchen, es zu komprimieren, faltet es sich auf schreckliche Weise zusammen, aber nicht komprimiert .

Aber Papier ist sehr dünn und daher nicht sehr biegefest (weil es durch Biegen nur ein winziges Stück gedehnt wird und für unser ideales zweidimensionales Papier überhaupt nicht gedehnt wird).

Dies bedeutet, dass es einfach ist, Papier extrinsisch zu krümmen, aber sehr schwer, es intrinsisch zu krümmen.

Und jetzt werde ich ein bisschen mit den Händen winken: Wenn Sie Papier wie bisher in eine U-Form krümmen, krümmen Sie es nur äußerlich: Es ist immer noch an sich flach. Das macht ihm also überhaupt nichts aus. Wenn es sich jedoch auch in die andere Richtung krümmt, muss es sich intrinsisch krümmen: Es muss sich dehnen oder komprimieren. Es ist leicht zu erkennen, dass dies nur ein Blick auf das Papier ist: Wenn es in ein 'U' gebogen ist, muss es entweder gedehnt werden oder die Unterseite muss sich in die andere Richtung krümmen komprimieren.

Und aus diesem Grund macht es das Biegen von Papier so starr: Es "verbraucht" die Fähigkeit, das Papier extrinsisch zu krümmen, so dass jede weitere extrinsische Krümmung auch eine intrinsische Krümmung beinhaltet, die Papier nicht mag zu tun.

Warum das alles wichtig ist

Wie ich zu Beginn sagte, ist dies eine ziemlich tiefe Frage.

• Die Mathematik dahinter ist absolut faszinierend und schön, während sie relativ leicht zu verstehen ist, wenn Sie sie einmal gesehen haben. Wenn Sie es verstehen, erhalten Sie einen Einblick in die Funktionsweise der Köpfe von Menschen wie Gauß, was einfach wunderbar ist.
• Die Mathematik und Physik dahinter stellt sich als eine der Mathematikarten heraus, die Sie benötigen, um die Allgemeine Relativitätstheorie zu verstehen, eine Theorie, die sich ausschließlich mit Krümmung befasst. Wenn Sie dies richtig verstehen, beginnen Sie auf dem Weg, die schönste und tiefgreifendste Theorie der modernen Physik zu verstehen (ich wollte 'eine der ...' schreiben, aber nein: Es gibt GR und es gibt alles andere).
• Die Mathematik und Physik dahinter ist auch in Sachen Ingenieurwesen wichtig: Wenn Sie verstehen wollen, warum Balken stark sind oder warum Autopaneele starr sind, müssen Sie dieses Zeug verstehen.
• Und schließlich ist es die gleiche Mathematik : Die Mathematik, die Sie benötigen, um verschiedene technische Strukturen zu verstehen, kommt der Mathematik, die Sie zum Verständnis von GR benötigen, ziemlich nahe: Wie cool ist das?

Ein formellerer Ansatz: ein bemerkenswerter Satz

Der letzte Abschnitt oben beinhaltete einige Handbewegungen: Der Weg, um es weniger handgewellt zu machen, ist auf das wunderbare Theorema Egregium ('bemerkenswerter Satz') aufgrund von Gauß zurückzuführen. Ich möchte nicht auf das gesamte Detail eingehen (tatsächlich bin ich wahrscheinlich nicht mehr dazu in der Lage), aber der Trick, den Sie machen, ist, dass Sie für eine zweidimensionale Oberfläche die normale Vektor $ \ vec {n} $ span> in drei Dimensionen (der Vektor zeigt aus der Oberfläche), und Sie können berücksichtigen, wie dieser Vektor die Richtung (in drei Dimensionen) ändert, wenn Sie ihn bewegen verschiedene Kurven auf der Oberfläche. An jedem Punkt der Oberfläche verlaufen zwei Kurven: eine, bei der der Vektor die Richtung entlang der Kurve am schnellsten ändert, und eine, bei der sich die Richtung am langsamsten ändert (dies folgt im Wesentlichen aus der Kontinuität).

Wir können eine Zahl konstruieren, $ r $ span>, die beschreibt, wie schnell der Vektor die Richtung entlang einer Kurve ändert (ich habe völlig vergessen, wie das geht, aber Ich denke, es ist einfach), und für diese beiden maximalen &-Minimal-Kurven können wir die beiden Raten $ r_1 $ span> und $ r_2 nennen $ span>. $ r_1 $ span> & $ r_2 $ span> werden die beiden Hauptkrümmungen der Oberfläche.

Dann wird die Menge $ K = r_1r_2 $ span> die Gaußsche Krümmung der Oberfläche und das Theorema Egregium genannt. em> sagt, dass diese Größe der Oberfläche eigen ist: Sie können sie nur messen, indem Sie die Winkel usw. auf der Oberfläche messen. Der Grund, warum der Satz bemerkenswert ist, ist, dass die gesamte Definition von $ K $ span> Dinge beinhaltete, die für die Oberfläche extrinsisch sind, insbesondere die beiden Prinzipien Krümmungen. Da $ K $ span> intrinsisch ist, können unsere Insekten es messen !

Die euklidische Geometrie ist wahr (insbesondere das parallele Postulat ist wahr) für Oberflächen, auf denen nur $ K = 0 $ span> ist.

Und wir können jetzt etwas genauer über die ganze Sache sprechen, über die ich oben gesprochen habe: "Dehnen von &-Komprimieren". Wenn wir & nicht dehnen dürfen, um das Blatt Papier zu komprimieren, ändern all die Dinge, die wir daran tun dürfen, nichts an den Messungen, die die Insekten durchführen können: Längen oder Winkel, die intrinsisch sind, dh gemessen vollständig in der Oberfläche des Papiers, kann sich nur ändern, wenn Sie das Papier dehnen oder komprimieren. Änderungen am Papier, die diese intrinsischen Eigenschaften beibehalten, werden als Isometrien bezeichnet. Und da $ K $ span> intrinsisch ist, wird es nicht durch Isometrien verändert.

Betrachten Sie nun ein Blatt Papier, das in drei Dimensionen flach ist. Es ist offensichtlich, dass $ r_1 = r_2 = 0 $ span> (der normale Vektor zeigt immer in die gleiche Richtung). Also $ K = 0 $ span>.

Falten Sie nun das Papier in einer 'U'-Form: Jetzt ist klar, dass $ r_1 \ ne 0 $ span> - wenn Sie eine Kurve über das Tal in der Papier dann ändert der Normalenvektor von dieser Kurve die Richtung. Aber diese Faltung ist eine Isometrie: Wir haben das Papier nicht gedehnt oder komprimiert. $ K $ span> muss also immer noch $ 0 $ span> sein: Das Papier ist immer noch an sich flach. Da jedoch $ K = r_1r_2 $ span> und $ r_1 \ ne 0 $ span> bedeutet dies, dass $ r_2 = 0 $ span>.

Und dies bedeutet, dass die andere Hauptkrümmung Null sein muss. Diese Hauptkrümmung verläuft entlang der Linie, die das Tal des 'U' hinunterführt. Mit anderen Worten, das Papier kann sich nicht in die andere Richtung biegen, ohne von sich aus gekrümmt zu werden ( $ K \ ne 0 $ span>), was bedeutet, dass es gedehnt werden muss. P. >

(Ich habe hier noch ein bisschen von Hand gewinkt: Ich habe nicht definiert, wie Sie $ r $ span> berechnen, und ich habe nicht gezeigt, dass es keine andere Kurve gibt Sie können entlang des Papiers zeichnen, das $ r = 0 $ span> hat, abgesehen von dem offensichtlichen.)

Einer der Gründe, warum dies alles sehr interessant ist, ist, dass diese Mathematik der Anfang der Mathematik ist, die Sie benötigen, um die Allgemeine Relativitätstheorie zu verstehen, bei der es auch um Krümmung geht.

Fehler und Falten

Wenn Sie das U-förmige Stück Papier nehmen und versuchen, es irgendwann in die andere Richtung zu biegen, versagt es natürlich plötzlich und wird auf komplizierte Weise gefaltet.Ich denke, es gibt einen ganzen Studienbereich, der darüber nachdenkt.Ich vermute, dass in diesem Fall (während des plötzlichen Ausfalls, nicht danach, glaube ich) an den Stellen auf dem Papier lokal eine intrinsische Krümmung ungleich Null auftreten muss.Ich bin mir sicher, dass es eine Menge interessanter Mathematik gibt (abgesehen von allem anderen muss es für technische Strukturen sehr interessant sein), aber ich weiß es nicht.

Sie haben im Wesentlichen Prinzipien hinter Biegemomenten und Tragwerksplanung entdeckt.

Wie in einem anderen Poster angegeben, ist die von Ihnen erstellte Struktur physisch stärker, da zum Biegen von etwas (z. B. einem oben geladenen Balken) die oberen Schichten komprimiert werden, während die unteren Schichten gedehnt werden. Dies liegt einfach an der Geometrie und der physikalischen Natur der Materialien. Kurz gesagt, die Last (Kraft) wird von einer Richtung senkrecht zum Balken in eine innere Kraft - Längsspannung - umgewandelt. Insbesondere führt die aufgebrachte Last (von Gewicht, Schwerkraft, was auch immer) zu einem Biegemoment im Element. Dieses Biegemoment manifestiert sich als innere Spannungen (Zug- und Druckkräfte) innerhalb des Elements, die der Biegung gleicher Größe widerstehen. P. >

Einige Grundierungen für Kräfte: Kompression und Spannung sind dasselbe, nur unterschiedliche "Richtungen", dh: Wenn die Kompression -1 oder -2 beträgt, beträgt die Spannung 1 oder 2. Wenn Sie das wissen und wissen, dass die Oberseite der Wenn das Element unter Druck steht und der Boden unter Spannung steht, können wir davon ausgehen, dass es eine Kraftverteilung über das Element gibt. Und ich denke, Der wichtigste Teil Ihrer Frage ist, dass es einen Punkt geben muss, an dem x = 0 (die neutrale Oberfläche) ist, da die Kraftverteilung über das Element von -x auf + x geht. Im Bild unten kreuzen sich die Spannungen (grüne Pfeile) irgendwann 0.

Daher können wir in unserem Beispiel beobachten, dass maximale Spannungen an den Kanten, der Ober- und Unterseite des Trägers auftreten. Dieses Prinzip ist genau, wie und warum I-Träger funktionieren. Die Festigkeit des Elements ergibt sich aus den Materialeigenschaften des Materials (seiner Fähigkeit, Druck oder Spannung (Dehnung) zu widerstehen). Das bedeutet, dass so etwas wie ein Stahlträger durch die Berechnung der Zugbelastung an der Oberfläche nur begrenzt biegsam ist. Physikalisch lautet diese Gleichung (für die Richtung $ x $ span>):

$ \ sigma_ {x} = - \ frac {y} {c} \ sigma_ {m} $ span>

Wobei $ c $ span> die neutrale Fläche ist (die imaginäre Ebene, auf der $ \ sigma_ {x} = 0 $ ) und $ y $ span> ist der Abstand von der neutralen Oberfläche und $ \ sigma_ {m} $ span> ist der maximale Absolutwert der Spannung im Element.

Für Laien ist die Höhe des Balkens der treibende Faktor für seine Stärke, nicht für die Dicke. In der Ebene mit maximaler Belastung (Zug und Druck) erhalten Sie jedoch mehr Festigkeit. Dies ergibt die klassische I-Trägerform.

Was hat das alles mit Papier zu tun?

Wenn der OP das Papier horizontal (flach) ausrichtet, beträgt die Höhe des Papiers relativ zur neutralen Oberfläche grundsätzlich 0. IE können wir davon ausgehen, dass das gesamte Papier eine neutrale Oberfläche ist. Das heißt, es kann buchstäblich keiner Biegung widerstehen. Drehen Sie das Papier um 90 Grad, und jetzt ist das gesamte Papier hoch, und das gesamte Papier kann sich nicht verbiegen und kann nicht gebogen werden. Es knickt normalerweise ein oder reißt vor dem Biegen.

Die gekrümmte Form, die OP erzeugt, nutzt alle hier behandelten Konzepte. Anstatt eine I-Form zu erstellen, erstellt OP eine C-Form, was zu der Idee führt, dünne Materialien durch Verwendung von Wellen zu nutzen, um eine unglaubliche Festigkeit zu erzielen und gleichzeitig das Gewicht niedrig zu halten. Zum Beispiel werden die inneren Schichten eines Kartons gewellt oder in kleine gekrümmte Formen gefaltet, um einem Biegen zu widerstehen. Wir können also weniger Material verwenden, um viel höhere Festigkeiten zu erzielen.

Wenn Sie ein Materialstück biegen, wird der Widerstand durch Dehnen des Materials am äußeren Teil der Biegung und Komprimieren des Materials an der Innenseite der Biegung bereitgestellt.

Ein dünnes flaches Blatt biegt sich leicht, da beim Biegen physikalisch nicht viel Dehnen oder Komprimieren auftritt.

Wenn Sie Ihrem Buch eine Falte geben, wie eine Mulde, kann sich diese Form nicht physisch biegen, ohne sich an den oberen Rändern stark zu dehnen und am unteren Rand der Mulde stark zusammenzudrücken.Eine sehr kleine Biegung würde viel Dehnen und Komprimieren verursachen, und daher hat die Form viel Biegefestigkeit.

Die anderen Antworten sind bisher technisch korrekt, aber keine von ihnen scheint wirklich eine vernünftige / intuitive und einfache Antwort zu geben. Also werde ich es versuchen.

Stellen Sie sich vor, Sie biegen ein Objekt an einem Ende leicht nach unten, während Sie das andere Ende fest horizontal halten. (Es könnte fast jedes Objekt sein, könnte Papier sein, ein Ast von einem Baum, ein Plastikrohr, ein langer dünner Gummiblock, sogar ein Betonblock!) Aber biegen Sie das Objekt nur leicht von einem Ende, damit Sie nicht sind. t brechen oder brechen.

Um sich überhaupt zu biegen, muss sich die Oberseite des Objekts stärker dehnen als die Unterseite, da sie sich an der "Außenseite" der "Kurve" befindet, die sich beim Biegen des Objekts bildet.

(Die Unterseite ist gequetscht oder auch "komprimiert", aber es ist einfacher zu visualisieren, wenn wir das ignorieren und uns auf das konzentrieren, was auf der Oberseite des Objekts passiert.)

Fast alle Materialien und Objekte widerstehen Dehnung und Kompression, zumindest in kleinen Grenzen. Einige widersetzen sich massiv (versuchen Sie, eine Stahlstange zu dehnen). Andere widersetzen sich nicht viel (versuchen Sie, an einer Nylonschnur oder einem Gummiband oder einer Feder zu ziehen). Einige brechen oder reißen schnell (Beton und Papier dehnen sich überhaupt nicht gut, sie brechen oder reißen stattdessen schnell). Andere Materialien dehnen sich ziemlich stark (Stahl ist einer, weshalb er zur Verstärkung von Betonkonstruktionen verwendet wird, im Gegensatz zu Beton widersteht er einer Dehnungswirkung).

Dieser Unterschied zwischen der Biegung von "oben" und "unten" und der Tatsache, dass das Objekt, wenn es nur geringfügig gebogen wird, both gebogen werden muss und ihre Kurven unterschiedliche Radien haben, bestimmt das Ergebnis. ob es sich bei dem Objekt um Ihr Stück Papier, einen ganzen Notizblock, einen Ast oder einen Stahlträger handelt.

Zurück zu Ihrem Papier.

Wenn Ihr Papier flach ist, liegen die Ober- und Unterseite des Blattes vertikal extrem nahe beieinander. So kann es sich biegen oder fallen lassen, ohne dass sich die Oberseite fast dehnt. Die Oberseite dehnt sich tatsächlich ein wenig, weshalb selbst das umgedrehte Blatt in einer gekrümmten Form floppt - es kommt ein Punkt, an dem sich die Oberseite bei einer stärkeren Biegung stärker dehnen müsste als die Unterseite, aus der die Fasern bestehen Papier widersteht ihm, so dass es sich nicht mehr leicht biegt (ohne dass Sie es zerknittern oder so).

Nehmen wir nun an, Sie biegen das Blatt entlang seiner Länge, sogar geringfügig. Jetzt sind "oben" und "unten" der Kurve nicht die beiden Oberflächen des Blattes, ein winziger Abstand voneinander. Sie sind das "Tal" des gebogenen Blattes und die beiden Kanten, die höher sind (die beiden Seiten des Blattes) die sich nach oben biegen). Diese sind vertikal viel weiter voneinander entfernt als die beiden Oberflächen. Das Blatt Papier versucht also immer noch zu floppen, aber es kann überhaupt nicht (oder nur mikroskopisch oder an den Ecken) floppen, weil die " top "müsste sich jetzt stark dehnen, nur um das Blatt ein wenig zu biegen. Papierfasern dehnen sich nicht gut (sie sind miteinander verbunden und widerstehen einer Dehnung über einen kleinen Betrag hinaus; sie reißen stattdessen). Schwerkraft zieht auch nicht das andere Ende des Blattes nach unten, um das Ende nach unten zu drücken, selbst auf "Kosten" des Zerreißens einiger Fasern.

Das Endergebnis ist, dass sich die Fasern an den "oberen" Rändern jetzt stark dehnen müssten, damit das Papier "floppen" kann - sie können sich also nicht genug dehnen, um zu floppen - und sie sind es auch nicht nach unten gezogen genug, um zu reißen (oder sich auf andere Weise zu biegen). Das Blatt bleibt also einfach dort, wo es ist. Jetzt wirkt das Blatt also viel starrer.

Sie können dies sehen, indem Sie sich vorstellen, dasselbe zu versuchen, jedoch mit einer Silikonfolie oder etwas anderem, das wirklich schlaff und flexibel ist, anstelle von Papier. Jetzt funktioniert das Biegen des Blattes entlang seiner Länge nicht mehr gut, da das Material selbst seiner "oberen" Oberfläche oder den Kanten, die sich überhaupt nicht stark dehnen, nicht widersteht, sodass es immer noch einen Weg finden kann, nach unten zu fallen.

(** Ich habe einiges vereinfacht. Die Hauptbereiche, die ich vereinfacht habe, sind: Wenn das Objekt lang und schlank genug ist, findet es möglicherweise andere Möglichkeiten zum Biegen, z. B. diagonale Krümmung mit Eine diagonale Hälfte nach oben und die andere nach unten. Wenn Sie also versuchen, ein Metallmaßband zu weit herauszuhalten, geschieht dies. Wenn es möglich ist, passiert dies auch Ihrem Blatt Papier. Es gibt also andere Möglichkeiten In der Technik, wo das Biegen eines Trägers oder einer Säule normalerweise ein Fehler ist, werden sie als "Fehlermodi" bezeichnet. Daher sollten Stahlwerke viel mit Blick auf ihre 3D-Form entworfen werden, um dies zu verhindern. Auch viele Objekte sind es komplex oder nicht "elastisch" über eine kleine Menge hinaus, zum Beispiel besteht Ihr Papier aus miteinander verbundenen Fasern, und wie sich diese Bindung auf die Fasern auswirkt, spielt ebenfalls eine große Rolle. Lebendes Holz von Bäumen besteht aus verschiedenen Teilen und diese interagieren auch miteinander so splittert es nach einer Weile, bricht aber nicht vollständig. Aber dies sollte Ihnen eine gute Vorstellung davon geben, was los ist. Seien Sie einfach wachsam e es ist eine vereinfachte Version)

Durch "Krümmen" des Papiers wird das zweite Moment der Fläche vergrößert, da dadurch der Abstand der Papierquerschnittsfläche vom Schwerpunkt des Abschnitts effektiv vergrößert wird.

Die Steifheit eines Querschnitts ist proportional zum Quadrat des Abstands vom Schwerpunkt (siehe auch Theorem der parallelen Achse), sodass die Krümmung des Papiers seine Steifheit effektiv mit mehreren Größenordnungen multipliziert gebogenes Papier weist eine minimale Verschiebung auf (= bleibt gerade).

Hier ist ein weiteres Beispiel für dasselbe Prinzip. Ein horizontal gehaltenes Papier biegt sich unter seinem eigenen Gewicht. Ein perfekt flaches Papier, das perfekt vertikal gehalten wird, kann sein eigenes Gewicht bei minimaler Verschiebung tragen. Es ist das gleiche Prinzip, radikale Erhöhung der Steifheit along der Biegerichtung durch Vergrößerung des Abstands vom Schwerpunkt.

Hinweis: Ich verwende hier "Krümmung" als Verb, obwohl es wahrscheinlich nicht korrekt ist, um die Aktion nicht mit dem Effekt des Biegens des Papiers aufgrund der Schwerkraft zu verwechseln.

Alle diese anderen Antworten sind viel zu lang und kompliziert (obwohl sie wahrscheinlich technisch korrekter sind als meine Antwort).Wenn Sie das Papier biegen, erstellen Sie im Wesentlichen eine einseitige Hängebrücke.Denken Sie an eine Hängebrücke, die ein Tal / eine Schlucht / einen Fluss nicht vollständig überspannt, d. H. Ein Ende hängt in der Luft.Wenn Sie das Blatt Papier falten, werden die vertikaleren Seiten zur Aufhängung, die das Deck hochhält.Nehmen Sie die Federung ab und das Deck hat nicht genügend Kraft, um sein eigenes Gewicht zu halten.

Ich werde eine andere intuitive Antwort versuchen, da wir hier anscheinend einige technische Antworten haben. Wie Sie sagen, dreht sich alles um die elastischen Eigenschaften.

Wenn Sie das Papier ohne Falten halten, geben Sie der Oberfläche eine Randbedingung - in diesem Fall horizontal. Jeder Punkt auf dem Rest des Papiers spürt eine nach unten gerichtete Schwerkraft sowie parallele (elektrostatische) Kontaktkräfte zur Oberfläche. Diese Kräfte liegen jedoch vollständig in Richtung der Kurve, da die von Ihnen festgelegte Randbedingung keine Komponenten entlang der Translationsrichtung des Zylinders enthält (siehe Abbildung).

Wenn Sie jedoch diese Komponenten induzieren, erzeugen Sie durch Ändern der Randbedingungen an jedem Punkt Kräfte in alle Richtungen (parallel zur Oberfläche). Diese Kräfte sind im Wesentlichen vorhanden, da das Papier nicht diskontinuierlich gewechselt werden kann (dies ist Teil der von Ihnen erwähnten elastischen Eigenschaften). Wenn das Papier lang genug ist, kann die Gravitationskraft schließlich gewinnen und das Papier kann fallen (oder reißen oder knittern).

Ich denke, das liegt an der Struktur des Papiers.Die Fasern in der Pulpe, aus denen sie aufgebaut ist, sind in einer Richtung ausgerichtet. Dies ist auch der Grund, warum es viel einfacher ist, das Blatt in eine Richtung (mit den Fasern) als in die andere (über sie) zu reißen.