Es gibt keine Quantenmechanik eines Photons, nur eine Quantenfeldtheorie der elektromagnetischen Strahlung. Der Grund dafür ist, dass Photonen niemals nicht relativistisch sind und frei emittiert und absorbiert werden können, daher keine Erhaltung der Photonenzahl.

Dennoch gibt es eine Forschungsrichtung, in der Menschen versuchen, bestimmte Größen des elektromagnetischen Feldes im Hinblick auf die Photonenwellenfunktion neu zu interpretieren, siehe zum Beispiel dieses Papier.

Diese Frage ist leicht verwirrend. In der Quantenfeldtheorie spielen die Dirac-Gleichung und die Schrödinger-Gleichung sehr unterschiedliche Rollen. Die Dirac-Gleichung ist eine Gleichung für das Feld, das kein Teilchen ist. Die zeitliche Entwicklung eines Teilchens, dh eines Quantenzustands, ist immer durch die Schrödinger-Gleichung gegeben. Der Hamiltonianer für diese Zeitentwicklung wird in Form von Feldern geschrieben, die selbst einer bestimmten Gleichung folgen. Die richtige Antwort lautet also: Schrödinger-Gleichung mit einem Hamilton-Operator, ausgedrückt als masseloses Vektorfeld, dessen Gleichung nichts anderes als Maxwells Gleichung ist.

Die Maxwell-Gleichungen, genau wie in der klassischen Elektrodynamik. Sie müssen jedoch die Quantenfeldtheorie verwenden, um mit ihnen zu arbeiten.

http://en.wikipedia.org/wiki/Relativistic_wave_equations
http : //en.wikipedia.org/wiki/Quantum_electrodynamics

Obwohl die obigen Antworten großartig sind, fehlte mir das, was der Frage nach einer Gleichung analog zur Schrödinger- (oder Dirac-) Gleichung fehlte.

Es gibt eine Größe namens Riemann-Silberstein-Vektor ( https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Silberstein_vector#Photon_wave_function), die zuerst von dem berüchtigten Bernhardt Riemann verwendet wurde um eine präzise Formulierung der Maxwellschen Gleichungen zu demonstrieren.

Dieser „Vektor“ hat die Form:

$$ \ vec {F} = \ vec {E} + ic \ vec {B} $$

Eine schnelle Online-Suche zeigt, dass die in dieser Form geschriebene klassische Elektrodynamik bei der Lösung von Problemen sehr nützlich sein kann.

Im Quantenbereich kann eine der Wellenfunktion analoge Größe für ein einzelnes Photon geschrieben werden. Eine solche Menge hat die Form:

$$ i \ hbar \ Partial_ {t} \ vec {F} = c \ left (\ vec {S} \ cdot \ frac {\ hbar} {i} \ vec {\ nabla} \ right) \ vec {F} $$ Was einfach in der Form geschrieben werden kann:

$$ i \ hbar \ Partial_ {t} \ vec {F} = c \ left (\ vec {S} \ cdot \ hat {P} \ right) \ vec {F} $$

Dies kann eine nützliche Größe sein, um die Eigenschaften eines einzelnen Photons zu untersuchen. Beginnen Sie mit der Wikipedia-Seite, es ist tatsächlich eine interessante und nützliche Menge.

Das allgemeine Konzept der Quantenmechanik ist, dass Teilchen Wellen sind. Eine von Handwellen "Ableitungen" der Quantenmechanik ist die Annahme, dass sich die Phase der Teilchen genauso verhält wie die Phase des Lichts $ \ exp (i \ vec {k} \ cdot \ vec {x} - iE t / \ hbar) $ (siehe Feynman Lectues on Physics , Band 3, Kapitel 7-2).

Für monochromatisches (oder fast monochromatisches) Licht nehmen Sie einfach die Maxwell-Gleichungen und fügen Sie die Annahme hinzu, dass ein Photon nicht teilweise absorbiert werden kann. Meistens reicht es aus, die paraxiale Näherung oder die ebene Wellenapproximation zu verwenden. Es funktioniert für Standardanordnungen der Quantenmechanik wie Elitzur-Vaidman-Bombentester.

Für nichtmonochronatisches Licht ist es viel komplizierter. Mehr zur Natur der Quantenmechanik eines Photons: Iwo Bialynicki-Birula, Zur Wellenfunktion des Photons, Acta Physica Polonica 86, 97-116 (1994).

Ein einzelnes Photon wird quantenmechanisch durch die Maxwell-Gleichungen beschrieben, wobei die Lösungen als komplex angesehen werden. Die Maxwell-Gleichungen können in Form der Matrix-Dirac-Gleichung geschrieben werden, wobei die Pauli-Zweikomponentenmatrizen, die Spin-1/2-Elektronen entsprechen, durch analoge Dreikomponentenmatrizen ersetzt werden, die Spin-1-Photonen entsprechen. Da die Dirac-Gleichung und die entsprechende Maxwell-Gleichung vollständig relativistisch sind, gibt es kein Problem damit, dass die Masse des Photons Null ist, wie dies bei einer Schrödinger-ähnlichen Gleichung der Fall wäre. Siehe http://www.nist.gov/pml/div684/fcdc/upload/preprint.pdf.

Nach Wigners Analyse wird der Einzelphotonen-Hilbert-Raum von einer Basis überspannt, die durch Energiemomente an der vorderen Lichtkegelgrenze und einer Helizität von $ \ pm 1 $ parametrisiert ist.

Eine offensichtlich Lorentz-Kovariantenbeschreibung im Positionsraum muss jedoch ein fiktives longitudinales Photon mit einer Helizität von 0 enthalten. Dieser Freiheitsgrad ist ein reines Maß und entkoppelt sich. Interessanterweise ist die Zustandsnorm jetzt positiv semidefinit statt positiv definit, wobei die Quermoden eine positive Norm und die longitudinalen eine Nullnorm haben.

Mit einem Photon sind verschiedene Wellen verbunden. In der QED ist das Photon mit einer klassischen Lösung des (4-) Vektorpotentials verbunden. Das Vektorpotential enthält Merkmale, die nicht physikalisch sind, da sich eine Änderung des Messgeräts nicht in einer Änderung der physikalischen Eigenschaften widerspiegelt. Daher könnte seine Rolle als Wellenfunktion etwas fragwürdig sein. Dennoch muss es eine Welle geben, die die bekannten Interferenz- und Beugungsmuster erklärt.

Wenn wir einen Bildschirm sehen, der von durchgelassenem Laserlicht beleuchtet wird Als Doppelspalt empfangen unsere Augen Photonen, die von den Atomen auf der Oberfläche des Bildschirms gestreut werden. Atome absorbieren und emittieren Photonen als quantenelektrische Dipolantennen. Dies impliziert, dass die Atome für das elektrische Feld empfindlich sind. Aus dem dem Photon zugeordneten Vektorfeld kann ein elektrisches Feld berechnet werden. Dieses Feld ist messgeräteunabhängig und somit ein physikalisches Feld. Dieses Feld ist eine Lösung für Maxwells Gleichungen und beschreibt die üblichen Interferenz- und Beugungsmuster.

Meine Antwort ist eher ein Kommentar zu anderen richtigen Antworten: Sie können keine Delta-Funktion für das Photon in 3D erstellen, da die Längskomponente eines masselosen Vektorfelds fehlt. Dies bedeutet jedoch nicht, dass es im Einzelphotonensektor kein nützliches und aussagekräftiges Konzept für eine Wellenfunktion gibt. Dies ist nur eine besondere Tatsache über das freie elektromagnetische Feld. Grundsätzlich können Sie Licht nicht in einem Bereich lokalisieren, der kleiner als die charakteristische Wellenlänge ist. Maxwell-Gleichungen für die quellenlose ( magnetische) Komponente des Vektorpotentialfeldes $ \ bf {A} $ spielen die Rolle der Schrödinger-Gleichung.

Ich empfehle das Buch von Rodney Loudon " Die Quantentheorie des Lichts" als gute Ressource, um das Quantenniveau der Beschreibung für Licht wirklich zu verstehen.