Observable pendeln nicht, wenn sie nicht gleichzeitig diagonalisiert werden können, d. h. wenn sie keine Eigenvektorbasis teilen. Wenn Sie diesen Zustand richtig betrachten, wird das resultierende Unsicherheitsprinzip sehr intuitiv.

Betrachten Sie als Beispiel den zweidimensionalen Hilbert-Raum, der die Polarisation eines Photons beschreibt, das sich entlang der $ z $ -Achse bewegt. Seine Polarisation ist ein Vektor in der $ xy $ -Ebene.

Sei $ A $ der Operator, der bestimmt, ob ein Photon entlang der $ x $ -Achse oder der $ y $ -Achse polarisiert ist, wobei ein Wert von zugewiesen wird 0 für die erstere Option und 1 für die letztere. Sie können $ A $ mit einem einfachen Polarisationsfilter messen. Die Matrixelemente sind $$ A = \ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}. $$

Jetzt Sei $ B $ der Operator, der bestimmt, ob ein Photon $ + $ polarisiert (dh polarisiert nach Südwesten / Nordosten) oder $ - $ polarisiert (polarisiert nach Südosten / Nordwesten) ist, und weist ihnen die Werte 0 bzw. 1 zu. Dann $$ B = \ begin {pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1/2 \ end {pmatrix}. $$

Die Operatoren $ A $ und $ B $ pendeln nicht, daher können sie nicht gleichzeitig diagonalisiert werden und gehorchen somit einem Unsicherheitsprinzip. Und Sie können sofort anhand der Geometrie erkennen, warum: $ A $ und $ B $ unterschiedliche Richtungen auswählen. Wenn Sie einen bestimmten Wert von $ A $ hatten, müssen Sie entweder $ x $ oder $ y $ polarisiert sein. Wenn Sie einen bestimmten Wert von $ B $ hätten, müssten Sie $ + $ oder $ - $ polarisiert sein. Es ist unmöglich, beides gleichzeitig zu sein.

Oder wenn Sie Dinge in Kompassrichtungen umformulieren, haben die Fragen "gehst du nach Norden oder Osten" und "gehst du nach Nordosten oder Südosten" nicht gleichzeitig klar definierte Antworten. Dies bedeutet nicht, dass Kompasse falsch oder unvollständig sind oder dass die Beobachtung eines Kompasses die Orientierung beeinträchtigt. Sie sind nur verschiedene Richtungen .

Position und Impuls sind genau gleich.Ein Positionseigenzustand ist scharf lokalisiert, während ein Impulseigenzustand eine unendliche räumliche Ausdehnung hat.Wenn sie den Hilbert-Raum als Vektorraum betrachten, wählen sie einfach verschiedene Richtungen aus.Kein Vektor ist ein Eigenvektor von beiden gleichzeitig.

Nicht pendelnde Observablen bedeuten, dass eine sogenannte Messung den Zustand des Systems ändern kann.

Wenn beispielsweise zwei Observablen A und B nicht pendeln, gibt es einen Eigenvektor von A, dass es kein Eigenvektor von B ist.

Wenn Sie mit A, dann A und dann B interagieren, stimmen die beiden Ergebnisse der A-Interaktion immer überein. Das bedeutet, dass die A-Interaktion sie immer in einem speziellen Zustand belässt, der ein bestimmtes Ergebnis für eine A-Interaktion liefert (dasselbe spezifische Ergebnis wie das erste).

Aber wenn dieser Zustand nicht vorliegt Ein Eigenvektor von B (und ein Eigenvektor von einem ist nicht eigen für den anderen, wenn er nicht pendelt), der dann mit A, dann B und dann A interagiert, kann zwei unterschiedliche Ergebnisse für die A-Wechselwirkungen liefern definitiv, dass die Interaktion mit B keine passive Enthüllung bereits vorhandener Informationen ist, sondern eine Interaktion, die den fraglichen Zustand ändern kann.

Insbesondere kann sie den Zustand von einem Zustand ändern, der einen bestimmten Fix ergibt Ergebnis für eine Interaktion mit A in ein Ergebnis, das ein anderes Ergebnis für eine Interaktion mit A liefern kann.

Sie können eine Verbindung zu der Tatsache herstellen, dass der genaue physikalische Zustand eines beliebigen physikalischen Systems, das ein endliches Volumen einnimmt, nur mit einer endlichen Menge an Informationen angegeben werden kann.Wenn Sie einige beobachtbare Werte in Betracht ziehen, sind die Eigenzustände möglicherweise entartet. Sie benötigen dann einen weiteren beobachtbaren Pendelverkehr mit dem ersten, um diese Entartung aufzuheben. Wenn Sie auf diese Weise fortfahren, erhalten Sie schließlich einen vollständigen Satz von beobachtbaren Pendelwerten.Da nur eine begrenzte Menge an Informationen erforderlich ist, um den Status des Systems anzugeben, bedeutet dies, dass diese Menge endlich ist.Es wird dann garantiert, dass Sie Observablen finden, die nicht zu dieser Menge gehören.

In der klassischen Grenze pendeln alle Observablen.In dieser Grenze tendiert die Anzahl unterscheidbarer physikalischer Zustände pro Einheitsphasenphase gegen unendlich.

Klassische Mechanik kann in analytischer Form in Bezug auf Position und "konjugierten Impuls" ausgedrückt werden, ein Begriff aus der Lagrange-Mechanik.Dieses Paar gibt uns die P, Q-Variablen der Hamilton-Mechanik;Wenn ein solches Paar quantisiert wird, werden Sie feststellen, dass es nicht pendelt.Der Quantenkommutator "erbt" dieses Verhalten von den klassischen Poisson-Klammern.

Dies bietet also einen physischen Hintergrund für Ihre Frage.Der Lagrange leitet sich letztendlich aus Newtons Bewegungsgesetzen über das Prinzip der geringsten Aktion ab, ein Variationsprinzip.

Ja, es gibt einen fundamentalen Grund, warum einige Observable nicht pendeln.Einige sind die nicht pendelnden Generatoren einer Gruppe.Zum Beispiel sind die Drehimpulse $ J_x, J_y, J_z $ beobachtbar.Sie sind auch die Generatoren von Rotationen in der Rotationsgruppe.Durch Drehen eines Stifts mit den Fingern können Sie überprüfen, ob $ Rot_xRot_y $ und $ Rot_yRot_x $ nicht dieselbe Bleistiftausrichtung ergeben.Rotationen pendeln nicht und unter Berücksichtigung kleiner Rotationen leiten Sie die Kommutierungsrelationen $ [J_k, J_l] = i \ epsilon_ {klm} J_m $ ab.

Sie sagen, dass

Dies führt zu dem Problem, dass in einigen Staaten kein bestimmter Wert einer bestimmten Menge vorliegt.

aber welche Art von Problem ist das? Es ist kein Problem der Meinungsverschiedenheit zwischen Theorie und Experiment. In der Tat, wie ich sehen werde, ist es umgekehrt! Wenn Observable pendeln, können wir keine Theorien konstruieren, die mit dem Experiment übereinstimmen. Das Problem hier ist also, dass dies eine psychologisch oder philosophisch schwierige Sache ist, aber so ist es und wenn es dir nicht gefällt, musst du ein anderes Universum finden, in dem die Regeln gelten sind einfacher...

Bellsche Ungleichungen und GHZ-Experimente können argumentiert werden, um zu zeigen, dass wirklich nichts hinter Nicht- steckt. Observable pendeln. Eine Theorie, die nur auf dem Pendeln von Observablen basiert, kann einfach nicht die richtige Vorhersage für das GHZ-Experiment liefern, QM jedoch (auch sehr leicht). Nicht pendelnde Observablen scheinen also ein sehr grundlegender Teil der Funktionsweise unseres Universums zu sein.

Was immer Sie vorschlagen würden, ist "wirklich" hinter der Quantenmechanik, muss die gleiche Vorhersage wie die Quantenmechanik über die Ergebnisse von treffen ein Bell- oder GHZ-Experiment, weil wir diese Experimente durchgeführt und das von QM vorhergesagte Ergebnis gefunden haben. Dies schließt aus, dass, wenn sich etwas hinter der Quantenmechanik befindet, alle ihre Observablen pendeln.

Das Universum sieht quantenmechanisch aus, weil es quantenmechanisch

(Oben gibt es eine Lücke: Wir könnten Signale zulassen, die schneller als Licht sind, und dann könnten versteckte Variablen vorhanden sein. Aber das ist für Physiker in dem Sinne wirklich störend, dass nicht pendelnde Observablenist es nicht, denn wenn wir eine Kommunikation zulassen, die schneller als Licht ist, müssen wir laut Einstein zulassen, dass die Bedingungen in der Zukunft Einfluss darauf haben, was in der Gegenwart passiert. Das bedeutet, dass ich meinen Experimenten nicht mehr vertrauen kann, weil es jemand aus der Zukunft könnteSie stören sie. Nicht pendelnde Observablen bedeuten, dass wir nur Vorhersagen von Wahrscheinlichkeiten in Experimenten akzeptieren müssen, aber das ist viel besser, als alle Experimente wegzuwerfen, weil Ihr Rivale aus der Zukunft sie sabotieren könnte.)

Ich möchte eine subtil falsche Aussage am Anfang des ursprünglichen Beitrags, auf die in den Kommentaren hingewiesen wurde, etwas erweitern:

OP: Wenn diese Observablen nicht pendeln, gibt es keine gleichzeitige Basis von Eigenvektoren für jeden von ihnen. In diesem Fall ist $ | \ phi \ rangle $ im Allgemeinen kein Eigenvektor von $ A $, wenn er ein Eigenvektor von $ A $ ist. (kursiv $ \ rightarrow $ falsche Anweisung)

Comment (WillO): Sie sagen, wenn Observable nicht pendeln, können sie keine gemeinsamen Eigenvektoren haben. Dies ist nicht wahr.

Um das einfachste konkrete Beispiel zu geben, nehmen wir an, unser Hilbert-Raum ist endlichdimensional und $ A $ und $ B $ sind nicht pendelnde Observablen (Matrizen). Betrachten Sie diese beiden "erweiterten" Operatoren in einem ähnlich "erweiterten" Hilbert-Raum:

$$ A '= \ begin {pmatrix} Eine & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}, \, \, B '= \ begin {pmatrix} B & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} $$

Natürlich pendeln $ A '$ und $ B' $ auch nicht, aber sie teilen sich einen Eigenvektor $ v = (\, 0 \, \, 1 \,) ^ {\ text {T}} $ wegen der Block $ 1 $ in jeder ihrer Ecken.

Die Moral der Geschichte ist, dass nicht pendelnde Observablen nur den ersten Satz des OP implizieren, nicht den zweiten, den ich kursiv geschrieben habe (siehe oben). Nicht pendelnde Observable implizieren, dass sie nicht eine ganze gemeinsame Eigenbasis teilen können.

Bearbeiten

Ich habe mich geirrt, dass die Aussage auf subtile Weise falsch ist (siehe die Kommentare von @ Kostya unten).Die ursprünglich beabsichtigte Bedeutung des OP (so habe ich sie auch zuerst verstanden und von der ich weiß, dass sie aufgrund ihrer nachfolgenden Kommentare tatsächlich die beabsichtigte Bedeutung des OP war) war falsch, aber die Art und Weise, wie sie formuliert wurde, negierte tatsächlich das Problem, das dazu führteeine technisch korrekte Aussage. Im Allgemeinen ist ein Eigenvektor einer Matrix $ A $ kein Eigenvektor einer anderen Matrix $ B $, wenn $ [A, B] \ neq 0 $.Es kann einige Eigenvektoren von $ A $ geben, die mit $ B $ gemeinsam sind (wie ich ursprünglich betont habe), aber nicht alle werden gemeinsam sein.