Der einfachste Weg, das Christoffel-Symbol zu erklären, besteht darin, sie im flachen Raum zu betrachten. Normalerweise lautet der Laplace-Wert eines Skalars in drei flachen Dimensionen:

$$ \ nabla ^ {a} \ nabla_ {a} \ phi = \ frac {\ partiell ^ {2} \ phi} {\ partiell x ^ {2}} + \ frac {\ partiell ^ {2} \ phi} {\ partiell y ^ {2}} + \ frac {\ partiell ^ {2} \ phi} {\ partiell z ^ {2} } $$

Aber das ist nicht der Fall, wenn ich vom $ (x, y, z) $ -Koordinatensystem zu den Zylinderkoordinaten $ (r, \ theta, z) $ wechsle. Jetzt wird der Laplace:

$$ \ nabla ^ {a} \ nabla_ {a} \ phi = \ frac {\ partiell ^ {2} \ phi} {\ partiell r ^ {2}} + \ frac {1} {r ^ {2}} \ left (\ frac {\ partiell ^ {2} \ phi} {\ partiell \ theta ^ {2}} \ rechts) + \ frac {\ partiell ^ {2 } \ phi} {\ partielle z ^ {2}} - \ frac {1} {r} \ left (\ frac {\ partielle \ phi} {\ partielle r} \ rechts) $$

Das Wichtigste ist der letzte Term oben - Sie haben jetzt nicht nur zweite Ableitungen von $ \ phi $, sondern auch einen Begriff, der eine erste b> Ableitung von $ \ phi $ beinhaltet. Genau das macht ein Christoffel-Symbol. Im Allgemeinen lautet der Laplace-Operator:

$$ \ nabla_ {a} \ nabla ^ {a} \ phi = g ^ {ab} \ partiell_ {a} \ partiell_ {b} \ phi - g ^ {ab} \ Gamma_ {ab} {} ^ {c} \ Partial_ {c} \ phi $$

Bei Zylinderkoordinaten codiert der zusätzliche Term die Tatsache, dass die Koordinate Das System ist für den Ableitungsoperator nicht homogen - Flächen mit konstantem $ r $ sind weit vom Ursprung entfernt viel größer als nahe am Ursprung. Im Fall eines gekrümmten Raums (Zeit) erklären die Christoffel-Symbole die Inhomogenitäten / Krümmung / was auch immer des Raums (Zeit) selbst.

Was die Krümmungstensoren betrifft, sind sie Kontraktionen voneinander. Der Riemann-Tensor ist einfach ein Antikommutator für abgeleitete Operatoren - $ R_ {abc} {} ^ {d} \ omega_ {d} \ equiv \ nabla_ {a} \ nabla_ {b} \ omega_ {c} - \ nabla_ {b } \ nabla_ {a} \ omega_ {c} $. Es misst, wie sich die parallele Übersetzung eines Vektors / einer Form unterscheidet, wenn Sie in Richtung 1 und dann in Richtung 2 oder in entgegengesetzter Reihenfolge gehen. Der Riemann-Tensor ist jedoch mit vier Indizes schwer zu handhaben. Es stellt sich jedoch heraus, dass es auf den ersten beiden und letzten beiden Indizes antisymmetrisch ist, so dass es tatsächlich nur eine einzige Kontraktion (Kontraktion = multiplizieren mit dem metrischen Tensor und Summe über alle Indizes) gibt, die man darauf machen kann, $ g ^ {ab} R_ {acbd} = R_ {cd} $, und dies definiert den Ricci-Tensor. Der Ricci-Skalar ist nur eine weitere Kontraktion davon, $ R = g ^ {ab} R_ {ab} $.

Aufgrund der speziellen Relativitätstheorie wusste Einstein bereits, dass Materie durch einen Zwei-Index-Tensor dargestellt werden musste, der die Drücke, Ströme und Dichten der Materieverteilung kombinierte. Diese Materieverteilung sollte, wenn sie physikalisch sinnvoll ist, auch eine Kontinuitätsgleichung erfüllen: $ \ nabla_ {a} T ^ {ab} = 0 $, was im Grunde besagt, dass Materie in der Verteilung weder erzeugt noch zerstört wird und dass die Zeitrate von Änderung eines Stroms ist der Druckgradient. Als Einstein seine Feldgleichungen aufschrieb, wollte er, dass eine Menge, die aus dem metrischen Tensor erzeugt wurde, der dies auch erfüllte (nenne es $ G ^ {ab} $), gleich $ T ^ {ab} $ gesetzt wurde. Dies bedeutet jedoch, dass $ \ nabla_ {a} G ^ {ab} = 0 $. Es stellt sich heraus, dass es nur eine solche Kombination von Begriffen gibt, die die erste und die zweite Ableitung des metrischen Tensors betreffen: $ R_ {ab} - \ frac {1} {2} Rg_ {ab} + \ Lambda g_ {ab} $, wobei $ \ Lambda $ ist eine beliebige Konstante. Dies ist also, was Einstein für seine Feldgleichung ausgewählt hat.

Nun hat $ R_ {ab} $ die gleiche Anzahl von Anzeigen wie der Spannungsenergietensor. Eine handwellige Sichtweise auf das, was $ R_ {ab} $ bedeutet, besteht darin, zu sagen, dass es Ihnen den "Teil der Krümmung" sagt, der sich aus der Anwesenheit von Materie ergibt. Wo bleiben die verbleibenden Komponenten von $ R_ {abc} {} ^ {d} $, von denen $ R_ {ab} $ nicht abhängt? Nun, der einfachste Weg (nicht VOLLSTÄNDIG korrekt, aber am einfachsten) besteht darin, diese Teile der Krümmung zu nennen, die aus der Dynamik des Gravitationsfeldes selbst abgeleitet sind - eine leere Raumzeit, die zum Beispiel nur Gravitationsstrahlung enthält, erfüllt beispielsweise $ R_ {ab } = 0 $, hat aber auch $ R_ {abc} {} ^ {d} \ neq 0 $. Gleiches gilt für eine Raumzeit, die nur ein Schwarzes Loch enthält. Diese zusätzlichen Komponenten von $ R_ {abc} {} ^ {d} $ geben Ihnen Informationen über die Gravitationsdynamik der Raumzeit, unabhängig davon, welche Materie die Raumzeit enthält.

Das wird lang, also lasse ich das dabei.

Die Verbindung hat eine physikalische Bedeutung - es ist das Gravitationsfeld. Die Metrik ist das Gravitationspotential.

Die Tatsache, dass die Christoffel-Symbole keine Tensoren sind, ändert nichts an der Tatsache, dass sie von Bedeutung sind. Sie können durch eine Koordinatentransformation an jedem Punkt zum Verschwinden gebracht werden. In GR bedeutet dies jedoch nur, dass Sie das Gravitationsfeld verschwinden lassen können, indem Sie einen frei fallenden Koordinatenrahmen auswählen. Das ist eine physikalische Aussage über das Gravitationsfeld.

Das Transformationsgesetz für Christoffel-Symbole ist gut definiert, und eine Möglichkeit, über das mathematische Konzept der abstrakten Verbindung nachzudenken, besteht darin, zwei verschiedene Symbolbeschreibungen zu identifizieren, wenn sie sich nur unterscheiden durch Koordinatentransformation. Die abstrakte Verbindung hat an einem Punkt keinen Wert, aber Holonomiewerte für Schleifen.

In einer allgemein kovarianten Theorie gibt es keine lokalen Eichinvarianten-Observablen. Sie müssen sich also mit koordinatentransformierenden Dingen zufrieden geben wie der metrische Tensor und die Verbindung.

Beachten Sie, dass Christoffel-Symbole keine physikalische Bedeutung haben, da sie keine Tensoren sind. Es ist immer möglich, lokale Koordinaten so zu wählen, dass alle $ \ Gamma $ verschwinden.

Aber ihre mathematische Bedeutung ist, dass sie einen Pseudotensor bilden. Technisch gesehen, wenn wir zwei kovariante Ableitungen $ \ nabla_1 $ und $ \ nabla_2 $ haben, erfüllt ihre Differenz $ \ Gamma: = \ nabla_1 - \ nabla_2 $ einige nette mathematische Eigenschaften (nämlich, dass es sich um einen ultralokalen Operator handelt) und wirkt daher weiter Jedes Objekt ist nur lokal und kann durch einen Tensor dargestellt werden.

Für $ \ nabla_1 $ nehmen wir normalerweise die kovariante Ableitung, an der wir interessiert sind (z. B. eine metrische kovariante Ableitung mit verschwindender Torsion, die durch einen metrischen Tensor $ induziert wird g $). Für $ \ nabla_2 $ gibt es zwei allgemeine (und weit verbreitete) Auswahlmöglichkeiten. Man kann entweder die koordinatenkovariante Ableitung $ \ partiell $ (die den Koordinatenvektor $ {\ partiell \ über \ partiell x} $ und die Covektorfelder $ {\ rm d} x $ anihiliert, und dies ergibt den üblichen Ausdruck $ \ nabla = \ partiell + \ Gamma_ {Christoffel} $. Die andere Wahl (die die vorherige verallgemeinert) ist eine kovariante Ableitung $ \ bar \ partielle $, die einige Tetraden $ e $ vernichtet (im vorherigen Fall hatten wir die Tetrade $ {\ rm d} x $, was sehr spezifisch ist; für die allgemeine Tetrade müssen keine zugehörigen Koordinaten vorhanden sein. Dies führt zum Tetradenformalismus und man schreibt $ \ nabla = \ bar \ partielle + \ gamma $, wobei $ \ gamma $ sind Ricci-Rotationskoeffizienten.

Der Riemann-Tensor ist wieder eine tensorielle Darstellung eines ultralokalen Operators, nämlich des Krümmungsoperators $ R (u, v) $. Dies ist eine Blackbox, die zwei Vektorfelder (als Richtung betrachtet) verwendet und einen ultralokalen Operator zurückgibt, der angibt, wie stark sich der Raum entlang dieser Richtungen krümmt. Genauer gesagt, es zeigt Ihnen, was mit einem Vektor passiert, wenn Sie ihn parallel entlang des infinitesimalen Polygons $ 0 \ nach u \ nach u + v \ nach v \ nach [u, v] \ nach 0 $ transportieren. Es kann als Quadrat betrachtet werden, außer dass die beiden Felder nicht geschlossen werden müssen und dies durch ihren Kommutator $ [u, v] $ gemessen wird. Sie können es also als $ R (e_a, e_b) e_c = {R_ {abc}} ^ d e_d $ ausdrücken und erhalten den üblichen Riemann-Tensor.

Nun, wegen (a) Symmetrie des Riemann-Tensors sind zwei inäquivalente Kontraktionen möglich. Eine davon ist die Spur $ {R_ {abc}} ^ c $, und diese kann trivialerweise als Null für den aus der Levi-Civita-Verbindung abgeleiteten Riemann-Tensor angesehen werden (allgemeiner für Verbindungen, bei denen Volumenelemente erhalten bleiben). Die andere Kontraktion, $ {R_ {abc}} ^ a $, gibt den Ricci-Tensor an. Dies ist für die Levi-Civita-Verbindung symmetrisch (weil die Spur des Riemann-Tensors Null ist und die Torsion verschwindet).

Eine nützliche (allerdings recht mathematische) Ansicht des Ricci-Tensors ist ein "Laplace" der Metrik ", $ R_ {ij} \ sim - {1 \ over 2} \ Delta g_ {ij} $ und in Analogie zu Wärmeströmen bezieht sich dies auf Ricci-Ströme, die ein grundlegendes Werkzeug für die Untersuchung der Poincaré-Vermutung sind.

Die geometrische Bedeutung des Ricci-Tensors besteht nun darin, dass er die Verformung des Volumenelements in normalen geodätischen Koordinaten misst. Dies sind Koordinaten, die Sie um jeden Punkt erhalten können, wenn Sie die Nachbarschaft durch geodätische Flüsse parametrisieren. Der Ricci-Tensor misst also, wie Geodäten um einen Punkt in einer bestimmten Richtung dichter oder spärlicher werden. Stellen Sie sich vor, wie eine Kugel mit positiver Krümmung weniger Volumen hat, weil ihre Geodäten konvergieren (sie sind die großen Kreise auf der Kugel) als ein hyperbolischer Raum mit negativer Krümmung, in dem die Geodäten divergieren (es gibt unendlich viele gerade Linien parallel zu einer bestimmten Linie). Insbesondere Ricci-flache Verteiler (die Lösungen von Vakuum-Einstein-Gleichungen mit kosmologischer Konstante Null) verhalten sich in dieser Hinsicht wie der übliche euklidische Raum. Sie müssen dies auf Einstein-Mannigfaltigkeiten (die Vakuumlösungen mit einer kosmologischen Konstante ungleich Null sind) verallgemeinern, um Analoga des Kugel- und des hyperbolischen Raums (nämlich DeSitter- und Anti-DeSitter-Raum) zu erhalten.

Es gibt viel Zu diesen Themen gibt es noch mehr zu sagen, aber ich hoffe, dass dies zumindest ein wenig für Sie hilfreich sein wird.