Sie müssen die Grenze der infinitesimal kurzen Zeit berücksichtigen, in der die (vertikale auf dem Papier) Geschwindigkeitskomponente unendlich kurz ist und sich somit auch der Winkel für einen infinitesimalen Betrag ändert.In dieser Grenze ist die Korrektur der Länge im Zeitschritt quadratisch und verschwindet genau in der physikalischen Grenze der kontinuierlichen Zeit.Pythagoras:

$$ v_2 = \ sqrt {v ^ 2 + (adt) ^ 2} \ ungefähr v + \ frac {a ^ 2} {2v} dt ^ 2 + \ cdots $$

Weil sich die Richtung der Geschwindigkeit ändert.Die Geschwindigkeit beginnt immer weniger auf Punkt A zu zeigen, und wenn der Abstand zwischen A und B am kleinsten ist, bildet die Geschwindigkeit einen rechten Winkel mit dem Radius, was bedeutet, dass der Beschleunigungsvektor auch einen rechten Winkel mit der Geschwindigkeit bildet.Zu diesem Zeitpunkt ist die radiale Komponente der Geschwindigkeit Null und die Gesamtgeschwindigkeit ist die höchste.Nach diesem Punkt zeigt der Beschleunigungsvektor etwas vom Geschwindigkeitsvektor weg und seine Länge nimmt nur ab, bis er wieder den höchsten Punkt erreicht.

Ich habe dieses Bild erstellt, um Ihnen das Verständnis der gezeichneten Geschwindigkeit (rot) und des Radialgeschwindigkeitsvektors (blau) zu erleichtern.Beachten Sie, dass die Gesamtgeschwindigkeit immer noch zunimmt, wenn die Radialgeschwindigkeit abnimmt, aber immer noch in Richtung A zeigt.

Diese Frage weist auf die Bedeutung der Symplektizität in der Physik hin.

Nehmen wir in einer Orbitalsimulation an, man rückt einfach den Zustand über vor $$ \ begin {align} \ boldsymbol x (t + \! \ Delta t) & = \ boldsymbol x (t) + \ boldsymbol v (t) \, \ Delta t \ tag 1 \\ \ boldsymbol v (t + \ Delta t) & = \ boldsymbol v (t) + \ boldsymbol a (t) \, \ Delta t \ end {align} $$ Dabei ist $ \ Delta t $ eine endliche (nicht infinitesimale) Größe und $ \ boldsymbol a (t) $ wird über das Newtonsche Gravitationsgesetz berechnet. Dadurch dreht sich der umlaufende Körper nach außen und gewinnt an Geschwindigkeit. Das ist es, was @TylerDurden ärgert.

Diese Spirale nach außen ist am deutlichsten, wenn man mit einem Objekt in einer Kreisbahn beginnt. Der erste Schritt ist entlang der Tangente, also weg von der Kreisbahn. Die Geschwindigkeit nimmt ebenfalls zu; Die Geschwindigkeitsänderung ist orthogonal zur Anfangsgeschwindigkeit. Etwas stimmt eindeutig nicht.

Was nicht stimmt, ist die oben durchgeführte Diskretisierung, wie sie durch die einfache numerische Integrationstheorie nahegelegt wird. Jede Differentialgleichung zweiten Grades kann in eine Differentialgleichung erster Ordnung umgewandelt werden, indem die erste Ableitung (in diesem Fall Geschwindigkeit) Teil des Zustands wird und dann numerische Integrationstechniken zum Lösen von ODEs erster Ordnung auf die resultierende Differentialgleichung angewendet werden. Die einfachste numerische Lösung zur Lösung eines Anfangswertproblems erster Ordnung besteht darin, den Zustand über $ \ boldsymbol s (t + \ Delta t) = \ boldsymbol s (t) + \ Delta t \, d \ boldsymbol s (t) / dt $ voranzutreiben . Dies ist die Euler-Methode und führt zu den obigen Gleichungen (1), wenn sie auf einen umlaufenden Körper angewendet wird.

Das Problem ist, dass diese Diskretisierung nicht symplektisch ist (d. h. gegen die Erhaltungsgesetze verstößt). Eine andere Sichtweise ist, dass dieser Ansatz die Geometrie ignoriert. (Die Erhaltungssätze sind "Geometrie".) Es gibt andere nicht-symplektische Techniken wie die kanonische Runge-Kutta-Integration, die einen umlaufenden Körper nach innen spiralförmig machen.

Das vorliegende Problem besteht darin, dass das Konvertieren einer Differentialgleichung zweiter Ordnung in eine Differentialgleichung erster Ordnung und das anschließende Verwenden von Anfangswerttechniken erster Ordnung zum numerischen Lösen der ODE mit Kosten verbunden ist und diese Kosten die Geometrie aus dem Fenster werfen. Was benötigt wird, sind Techniken, die keine Geometrie aus dem Fenster werfen. Ein sehr einfacher Ansatz besteht darin, die Gleichungen (1) in einer etwas anderen Reihenfolge anzuwenden: $$ \ begin {align} \ boldsymbol v (t + \! \ Delta t) & = \ boldsymbol v (t) + \ boldsymbol a (t) \, \ Delta t \ tag 2 \\ \ boldsymbol x (t + \! \ Delta t) & = \ boldsymbol x (t) + \ boldsymbol v (t + \! \ Delta t) \, \ Delta t \ end {align} $$ Dies ist die symplektische Euler-Methode. Beachten Sie, wie die Geschwindigkeits- und Positionsberechnungen jetzt geflochten sind. Dies ist eine der Bedeutungen von "symplektisch".

Wenn Sie die Mathematik in Bezug auf die Anwendung der Gleichungen (2) auf die Gravitation ausarbeiten, werden Sie feststellen, dass diese alternative Formulierung der Euler-Methode explizit dem zweiten Kepler-Gesetz folgt, dass eine von der Sonne zu einem Planeten gezogene Linie herausfegt gleiche Flächen zu gleichen Zeiten. Das ist Geometrie! Keplers zweites Gesetz ist natürlich ein besonderes Beispiel für die Erhaltung des Drehimpulses. Die Erhaltungssätze und die Geometrie sind eng miteinander verbunden.

Jeder Körper, der sich mit zunehmender Geschwindigkeit bewegt, erhöht seine kinetische Energie $ KE $.Da in Ihrem System:

$$ KE + PE = \ text {Konstante} $$

wobei $ PE $ potentielle Energie ist.Daher führt eine Erhöhung von $ KE $ zu einer Verringerung des Abstands zwischen den Objekten (um $ PE $ zu erhöhen).

Hinweis: $ KE $ ist immer positiv.$ PE $ kann positiv oder negativ sein.$ PE $ ist für gebundene Systeme negativ.

Ihre Vektorsummenzeichnung ist falsch. In Anbetracht des einfachen Falls einer perfekt kreisförmigen Umlaufbahn gibt es einen Tangentialgeschwindigkeitsvektor und einen senkrechten (nach innen gerichteten) Beschleunigungsvektor. Genau genommen können Sie sie nicht hinzufügen, da es sich um unterschiedliche Größen handelt (Beschleunigung vs. Geschwindigkeit).

Irgendwann in der Umlaufbahn hat das Objekt eine Anfangsgeschwindigkeit V in einer Richtung, die wir X nennen, und eine Beschleunigung nach innen in der senkrechten Richtung, die wir Y nennen. Ein Viertel der Umlaufbahn später hat sich der Beschleunigungsvektor beschleunigt das Objekt in Y-Richtung von Null auf V, aber es hat sich auch gedreht (zeigt immer noch nach innen), wodurch das Objekt in X-Richtung von V auf Null abgebremst wird. Zu diesem Zeitpunkt gibt es keine Y-Komponente mehr für die Beschleunigung.

Da Sie immer noch verwirrt zu sein scheinen, werde ich hier eine andere Taktik ausprobieren:

Sie zeigen die Tangentialgeschwindigkeit (A) und die Radialbeschleunigung (B) an und addieren sie, um den grünen Pfeil zu erhalten.Was Sie vermissen, ist, dass dies in einem Schwerefeld auftritt.Wenn der anfängliche Pfad von dem Objekt wegklettert, das er umkreist, verliert er an Geschwindigkeit.Dies wird als dritter Pfeil angezeigt, der gegenüber von A zeigt und genau die richtige Menge ist, um das Gleichgewicht und Ihr Objekt friedlich im Orbit zu halten, anstatt ins Unendliche zu fliegen.

Nachdem ich die Antworten anderer Leute gelesen habe, sehe ich, dass Sie immer noch verwirrt sind. Ich denke, ich gehe mein Risiko ein, um Ihre Verwirrung zu beseitigen.

Es scheint, dass Ihre Verwirrung der Grund dafür ist, warum der umlaufende Körper nicht auf unendliche Geschwindigkeiten beschleunigt (oder schließlich auf Körper A abstürzt), und der Grund für Ihre Verwirrung liegt in Ihrer Annahme, dass die resultierende Geschwindigkeit immer größer ist als die vorherige. was nicht korrekt ist.

Lassen Sie mich mit einem kleinen Beispiel für die Visualisierung beginnen.

Nehmen wir an, dass der A-Körper fest ist und sich der Körper B in einer geraden Linie bewegt, die den A-Körper nicht kreuzt (ignorieren wir zunächst die Richtungsänderung der Geschwindigkeit).

Wenn sich nun Körper B Körper A nähert, nimmt seine Geschwindigkeit zu, bis er den Punkt erreicht, an dem er sich in minimalem Abstand von Körper A befindet. An diesem Punkt hat Körper B immer noch eine große Geschwindigkeit, sodass er sich weiter über diesen Punkt hinaus bewegt. Aber auch nach diesem Punkt beginnt die zwischen beiden Körpern erzeugte Kraft zu verlangsamen (ihre Geschwindigkeit zu verringern). Irgendwann ist die Geschwindigkeit 0 und der Körper B kehrt zum Mindestabstand zurück. Wenn wir dieses System in Ruhe lassen, schwingt Körper B periodisch, erreicht niemals die maximale Geschwindigkeit und stürzt niemals auf A ab.

Sie stimmen mir zu, dass ein solches System keinem physischen System ähnelt, aber es sollte Ihnen helfen, die notwendige Intuition zu entwickeln.

Ich hoffe, Sie kennen eine gleichmäßige Kreisbewegung, aber es genügt zu sagen, dass für jede Bewegung die Beschleunigung senkrecht zur Bewegung nur die Bewegungsrichtung ändert.

Jetzt haben wir die Werkzeuge, um die volle Orbitalbewegung in Angriff zu nehmen.

Am Schließpunkt der Umlaufbahn ist die Beschleunigung senkrecht zur Bewegung und ändert nicht die Größe der Geschwindigkeit, aber selbst wenn dies der Fall wäre und selbst wenn dies die Geschwindigkeit wie in Ihrem Bild erhöhen würde, haben Sie dieseDie Geschwindigkeit ist groß genug, dass sich der B-Körper weiter vom A-Körper entfernt wie zuvor, aber in einem solchen Szenario beginnt die Kraft, die B-Masse zu beschleunigen, wodurch die Geschwindigkeit auf die gleiche Weise wie in verringert wirddas System, in dem die Bewegung auf eine gerade Linie beschränkt war.

Der B-Körper wird sich immer weiter entfernen, während er eine Kurve beschreibt, die durch den kontinuierlichen Zug in radialer Richtung bis zu dem Punkt gegeben ist, an dem er sich nicht weiter entfernt und zu A zurückkehrt, wobei dieselbe Bewegung wiederholt wirdkontinuierlich

Ich hoffe, dies klärt Ihre Verwirrung.

Erstens ist Kalkül nicht nur wirklich kleine Schritte : Ich kann Ihnen zeigen, wie Sie Prozesse einschränken, die mit einer wirklich kleinen schrittbasierten Lösung nicht übereinstimmen, z. B. das Erstellen einer Treppe mit immer kleineren Stufen. Die Gesamtgröße "Profil plus Anstieg" bleibt 2k, während die Grenze eine Linie mit der Länge sqrt (2) k ist.

Fast alle Teile des Kalküls, die zur Vorhersage der Physik dienen, funktionieren jedoch tatsächlich mit Systemen, die auf wirklich kleinen Schritten basieren. Anstatt direkt in die Analysis einzutauchen, beginne ich mit Ihren Schritten.

Lassen Sie uns untersuchen, was passiert, wenn wir die Schrittgröße verkleinern.

Unser umlaufender Körper befindet sich bei 1 AU. Es umkreist die Sonne, die ~ 2 10 ^ 30 kg wiegt. Es bewegt sich mit ~ 29.870 m / s. Die Gravitationsbeschleunigung beträgt ~ 0,0060 m / s ^ 2. Die Umlaufbahn dauert ungefähr ein Jahr.

Über einen Zeitschritt von t beträgt die Geschwindigkeit:

$$ \ sqrt {(29870 \ frac {m} {s}) ^ 2 + (0,0060 \ frac {m} {s ^ 2} * t) ^ 2} $$ oder $$ 29870 \ frac {m} {s} * \ sqrt {1 + (2.01 * 10 ^ {- 7} \ frac {1} {s} * t) ^ 2} $$ durch Teilen durch die aktuelle Geschwindigkeit. Der Teil, der den umlaufenden Körper schneller macht, ist der Teil unter der Quadratwurzel: $ \ sqrt {1 + (2.01 * 10 ^ {- 7} \ frac {1} {s} * t) ^ 2} $ - when ist es größer als 1, ist die Geschwindigkeit nach dem Zeitschritt größer

Was passiert, wenn t lächerlich klein ist? Eine Möglichkeit, dies herauszufinden, besteht darin, die Taylor-Serie ^{1 sup>}

$$ \ sqrt {1 + (2.01 * 10 ^ {- 7} \ frac {1} {s} * t) ^ 2} $$ sei $ x = (2.01 * 10 ^ {- 7} \ frac {1} {s} * t) ^ 2 $

$$ = 1+ \ frac {x} {2} - \ frac {x ^ 2} {8} + ... $$ Hier können wir garantieren, dass das Präfix dieser Reihe um den Wert des nächsten Elements in der Reihe von der "echten Antwort" im Unendlichen abweicht.

$ 1 $ ist also eine Annäherung an die Antwort, die um weniger als $ \ frac {x} {2} $ falsch ist.

Lassen Sie uns die Planck-Zeit für $ t $ oder ~ $ 5 * 10 ^ {- 44} s $ einstecken.

Wir erhalten, dass die Geschwindigkeit des umlaufenden Körpers seine ursprüngliche Geschwindigkeit ist, plus höchstens 1 Teil in 10 ^ 100.

Angenommen, dieser Körper umkreist die aktuelle Lebensdauer des Universums.Dann beträgt die Geschwindigkeit, die wir möglicherweise feststellen, ungefähr 1 Teil in 10 ^ 60.

Wenn das Universum kontinuierlich ist, gibt es im Grenzfall keine zusätzliche Geschwindigkeit.Wenn es in einem wirklich kleinen Maßstab diskret ist, dann wäre die Menge an zusätzlicher Geschwindigkeit, die durch solche Zeitschritte erzeugt wird, in Zeitskalen, die wir untersuchen können, nicht nachweisbar und möglicherweise durch "diskrete" Rundung verloren, da Raum und Zeit diskret sind. P.>

Wenn das Universum räumlich und zeitlich quantisiert ist, liegt die erwartete Skala auf der Planck-Skala, weit unter dem, mit dem wir derzeit experimentieren können.Und wir können zeigen, dass unser kontinuierliches Kalkülmodell des Universums ein Modell des Universums erzeugt, das nah genug ist, dass wir es mit unseren aktuellen Beobachtungsfähigkeiten nicht unterscheiden können.

^{1 sup> Der Kluge wird bemerken, dass ich hier in Calculus gerutscht bin.Ja, ich betrüge.}