Es ist kein "schlechter Geschmack", es ist bis zur Bedeutungslosigkeit unkalkulierbar.

Der springende Punkt bei der Dimensionsanalyse ist, dass es einige Größen gibt, die nicht miteinander vergleichbar sind: Sie können sich nicht entscheiden, ob ein Meter größer oder kleiner als zehn Ampere ist, und der Versuch, zehn Kelvin fünf Volt hinzuzufügen, reicht nur aus ergeben inoperablen Unsinn. (Einzelheiten zum Warum finden Sie unter Was rechtfertigt die Dimensionsanalyse? und die vielen verknüpften Duplikate in der rechten Seitenleiste.)

Genau das passiert beispielsweise mit der Exponentialfunktion: Wenn Sie das Exponential von einem Meter wollen, müssen Sie in der Lage sein, einen Sinn zu ergeben $$ \ exp (1 \: \ rm m) = 1 + (1 \: \ rm m) + \ frac12 (1 \: \ rm m) ^ 2 + \ frac {1} {3!} (1 \: \ rm m) ^ 3 + \ cdots, $$ Dazu müssen Sie in der Lage sein, Längen mit Bereichen, Volumina und anderen Positionsfähigkeiten hinzuzufügen und zu vergleichen. Sie können versuchen , nur die Einheiten auszuschneiden und damit umzugehen, aber denken Sie daran, dass es genau dem Äquivalent entsprechen muss $$ \ exp (100 \: \ rm cm) = 1 + (100 \: \ rm cm) + \ frac12 (100 \: \ rm cm) ^ 2 + \ frac {1} {3!} (100 \: \ rm cm) ^ 3 + \ cdots, $$ und es gibt einfach keinen unveränderlichen Weg, dies zu tun.

Nun, um klar zu sein, das Problem ist viel tiefer als das: Das eigentliche Problem mit $ \ exp (1 \: \ rm m) $ ist, dass es einfach keinen sinnvollen Weg gibt, es so zu definieren, wie es (i) unabhängig vom Einheitensystem sein und (ii) eine Reihe von Eigenschaften beibehalten, die ihm wirklich den Namen eines Exponentials einbringen. Wenn das, was man will, eine einfache, klare Sichtweise ist, ist ein guter Blickwinkel, dass man unter anderem fragen würde, wenn man $ \ exp (x) $ für $ x $ mit nicht trivialer Dimension definieren würde es, dem Eigentum zu gehorchen $$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ exp (x) = \ exp (x), $$ Dies ist dimensional inkonsistent, wenn $ x $ (und damit $ \ mathrm d / \ mathrm dx $) nicht dimensionslos ist.

In den Kommentaren und in einem veröffentlichten Artikel wurde auch darauf hingewiesen, dass Sie Taylor-Reihen tatsächlich über dimensionale Größen haben können, indem Sie einfach $ f (x) = \ sum_ {n = setzen 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!} \ Frac {\ mathrm d ^ nf} {\ mathrm dx ^ n} (0) x ^ n $, und das ist wahr genug. Für die transzendentalen Funktionen wollen wir jedoch keine alten Taylor-Reihen, wir wollen die kanonischen: Sie sind oft die Definition der Funktionen, und wenn jemand eine Definition von vorschlagen würde, sagen wir $ \ sin ( x) $ für dimensionale $ x $, es sei denn, es kann auf die kanonische Taylor-Reihe zurückgreifen, ist es einfach nicht den Namen wert. Und wie oben erläutert, weisen die kanonischen Taylor-Reihen grundlegende Skalierungsprobleme auf, die sie im Wasser tot machen.

Das heißt, für Logarithmen können Sie bei bestimmten Gelegenheiten über den Logarithmus einer dimensionalen Größe $ q $ sprechen, aber dort nehmen Sie im Wesentlichen einen repräsentativen $ q_0 $ und berechnen $$ \ log (q / q_0) = \ log (q) - \ log (q_0), $$ Wenn Sie letzteres verstehen möchten, müssen die beiden numerischen Werte in denselben Einheiten liegen. In diesem Fall ist die endgültige Antwort unabhängig von der Einheit selbst. Wenn die Situation es Ihnen auch ermöglicht, additive Konstanten zu löschen oder sie in etwas anderes zu integrieren (z. B. beim Lösen von ODEs, wobei ein repräsentativer Fall das elektrostatische Potential einer unendlichen Linienladung ist oder wann Wenn Sie Plots im Log-Maßstab ausführen, werden Sie möglicherweise das $ \ log (q_0) $ los, wenn Sie verstehen, dass es beim Waschen herauskommt, wenn Sie zurückkommen, um das i zu punktieren.

Nur weil dies im speziellen Fall des Logarithmus möglich ist, der darin besteht, multiplikative Konstanten in additive umzuwandeln, heißt das nicht, dass Sie ihn in anderen Kontexten verwenden können ─ und nicht.

Orthodoxe Ansicht

Eine formelle Einstellung: $ \ exp x $ kann als Reihe ausgedrückt werden:

$$ \ exp x = 1 + x + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 3} {3!} + \ cdots + \ frac {x ^ n} {n! } + \ cdots $$

Wenn also $ x $ die Einheit $ X $ hat, haben die Begriffe dieser Reihe entsprechende Einheiten

$$ \ text {Keine}, X, X ^ 2, X ^ 3, \ cdots X ^ n, \ cdots $$

was nicht dimensional konsistent ist. Das gleiche Argument für $ \ ln $ oder für jede analytische Funktion (d. H. Eine Funktion, die in einer solchen Reihe erweitert werden kann). Dies würde auch für etwas so Einfaches wie

$$ \ frac {1} {1-x} = 1 + x + x ^ 2 + \ cdots. $$

Eigentlich braucht man nicht einmal die ganze Serie. Nur zwei Terme einer Taylor-Erweiterung reichen aus, um die Variable dimensionslos zu machen. Zum Beispiel, wenn eine Funktion $ f (x) $ wie folgt aussieht:

$$ f (x) = x - x ^ 2 + O (x ^ 3), $$

Wenn $ x $ auf 0 geht, kann $ x $ beispielsweise keine Dimension $ X $ haben, andernfalls würde man am Ende $ X $ und $ X ^ 2 $ hinzufügen. Dies gilt natürlich auch für asymptotische Serien wie

$$ f (x) = \ frac {1} {x ^ 2} + \ frac {2} {x ^ 3} + O \ left (\ frac {1} {x ^ 4} \ right), $$

als $ x \ bis + \ infty $.

Spielen um die Orthodoxie

Was ist mit dem folgenden Argument? Ich werde ein sehr einfaches Beispiel nehmen, das überhaupt keine Serien beinhaltet,

$$ f (x) = x + x ^ 2. $$

Das obige orthodoxe Argument impliziert, dass $ x $ dimensionslos sein soll. Aber ich werde argumentieren, dass die Koeffizienten 1 von $ x $ und $ x ^ 2 $ tatsächlich die Dimensionen $ X ^ {- 1} Y $ und $ X ^ {- 2} Y $ haben, wobei $ X $ die ist Einheit von $ x $ und $ Y $ würde dann die Einheit von $ f (x) $ werden. Es macht alles konsistent, nicht wahr? Ja, aber es ist eine Travestie, weil es bedeutet, dass wir uns anstelle von $ f (x) $ tatsächlich mit

$$ f_ \ text {pseudo} (x) = a \ left (\ frac {x} {x_0} + \ left (\ frac {x} {x_0} \ right) ^ 2 \ right), $$

wobei $ x_0 $ die Einheit $ X $ und $ a $ die Einheit $ Y $ hat, dh

$$ f_ \ text {pseudo} (x) = af \ left (\ frac {x} {x_0} \ right). $$

Und hier ist es: Das Argument von $ f $ ist in der Tat dimensionslos! Das Argument verallgemeinert sich auf jede Reihe. Betrachten wir zur Veranschaulichung Exponential:

$$ \ exp x = \ sum_ {i = 0} ^ n \ frac {1} {n!} x ^ n. $$

Das Argument wäre also, dass $ 1 / n! $ tatsächlich die Einheit $ X ^ {- n} $ hat. Fair genug, aber statt $ \ exp $ bedeutet dies, dass wir uns mit

$$ \ exp_ \ text {pseudo} (x) = a \ sum_ {i = 0} ^ n \ frac {1} {n!} \ left (\ frac {x} {x_0} \ right) ^ n, $$

wobei $ x_0 $ die Dimension $ X $ hat und wo jetzt $ 1 / n! $ dimensionslos ist und wie oben $ a $ eine Dimension $ Y $ hat. Das heißt, dass

$$ \ exp_ \ text {pseudo} (x) = a \ exp \ frac {x} {x_0}. $$

Wir haben also das Argument, dass $ \ exp $ dimensionslos ist.

Meine viszerale Meinung zu diesem kleinen Spiel: Nun, duh! Das alles wirklich? Darüber hinaus erfordert es, wie Emilio Pisanty's in den Kommentaren hervorhob, dass wir eine Skala $ x_0 $ (und noch eine weitere Skala $ a $ potenziell) vom Himmel pflücken: Der springende Punkt der Dimensionsanalyse ist, dass wir alle berücksichtigt haben mögliche dimensionierte Mengen vorher. Hier stellen wir nachträglich eine weitere vor, die weder für Emilio noch für mich Sinn macht.

Der Grund, warum Ihr Lehrer es "schlechten Geschmack" nannte und nicht nur völlig falsch, ist, dass die Leute dies die ganze Zeit mit dem Logarithmus tun.Der Logarithmus ist einzigartig, da Sie damit multiplikative Faktoren in additive Begriffe aufteilen können, sodass die Leute so etwas schreiben $$ \ log (r / r_0) = \ log (r) - \ log (r_0) = \ log (r) + C. $$ Der häufigste Weg, dies versehentlich zu tun, ist durch ein Integral, $$ \ int \ frac {\ mathrm dr} {r} "=" \ log r + C. $$ Das ist technisch falsch, aber fast jeder schreibt es so.Am Ende des Tages können Sie die Konstanten immer wieder im Logarithmus kombinieren, damit die Argumente die richtigen Dimensionen haben.

Die anderen Antworten sind richtig, wenn Sie in Bezug auf die Einheitenanalyse daran denken, können Sie keine Mengen hinzufügen, die unterschiedliche Einheiten zueinander haben.Trotzdem kann man formal immer so etwas tun $$ f \ left (\ frac {x} {1 \ operatorname {m}} \ right) $$ um etwas zu bekommen, das mathematisch funktioniert.

Wenn es zu schlechtem Geschmack / schlechter Praxis wird, haben Sie diesen Nenner selbst von Hand eingeführt.Bei jedem physischen Problem, bei dem Sie eine komplizierte Funktion wie $ \ sin $, $ \ ln $ oder $ \ exp $ bewerten müssen, gibt es immer eine physikalisch relevante Größe mit denselben Einheiten, mit denen Sie eine Einheit ohne bilden könnenMenge.Wenn wir beispielsweise mit dem einfachen harmonischen Oszillator arbeiten, können wir die Federkonstante $ k $ und die Masse $ m $ kombinieren, um eine Größe mit den Einheiten der inversen Zeit $ \ omega \ equiv \ sqrt {k / zu erzeugen.m} $.Es ist $ \ omega $, das es uns ermöglicht, $ x = A \ sin (\ omega t) $ sinnvoll zu schreiben, um die Bewegung des Oszillators zu beschreiben.

Ich habe absichtlich etwas eingerichtet, das so lautet:

f lbs = Brücke mV / 2 ^{x log _{2 sub> mV / lbs sup>}}

Ja, das funktioniert.Die 2 ist eine offensichtlich dimensionslose Konstante *, daher muss die Einheit wirklich auf das x gehen.

Es ist eine Art schlechte Form, da wirklich kleine Änderungen in x wirklich großen Änderungen im Ergebnis entsprechen oder auf andere Weise schwierig sind, ein Gefühl dafür zu bekommen, was die Zahlen tun werden.

* Wenn die Formel in ihrer ursprünglichen Form dargestellt wird, existiert die 2 nicht.Es wird nur angezeigt, wenn es in Standardform neu geschrieben wird.

Ich sehe, dass die meisten Einheiten wie multiplikative Unbekannte wirken. Das heißt, wir können uns vorstellen, dass es eine (möglicherweise unbekannte) natürliche Einheit für die Menge gibt, und die Einheit ist ein (möglicherweise unbekannter) Skalierungsfaktor, der unsere menschliche Einheit in die natürliche Einheit umwandelt. Um eine konsistente Formel zu erstellen, möchten wir, dass alle diese Unbekannten aufgehoben werden. Physisits betrachten Einheiten, die nicht wie multiplikative Unbekannte wirken (zum Beispiel Celsius und Fahrenheit), als schlechten Geschmack.

Es stellt sich also die Frage, was verschiedene Funktionen mit einem unbekannten Multiplikativ tun. Betrachten wir die einfache Funktion, die Zahl auf eine Potenz zu erhöhen.

Großartig, wir hatten eine gute Geschmackseinheit und eine gute Geschmackseinheit.

Schauen wir uns nun den Logarithmus an.

Dieses Ergebnis ist keine "Einheit für guten Geschmack", da es sich eher um ein unbekanntes Additiv als um ein unbekanntes Multiplikativ handelt, aber es ist nicht schrecklich, damit zu arbeiten. In vielen Fällen können wir das F (u) abbrechen und zu einer konsistenten Forumula gelangen. In der Tat verwenden Ingenieure den Logarithmus häufig auf diese Weise.

Schauen wir uns nun das Exponential an.

ick, ich denke in einigen Fällen ist es möglich, die Stromversorgung abzubrechen, aber es ist ziemlich schrecklich, damit umzugehen.