Ich bin zu spät zu dieser Party hier, aber ich kann vielleicht etwas ziemlich annähernd für eine Ableitung der Quantenmechanik werben, indem ich die klassische Mechanik mit ihrem natürlichen mathematischen Kontext kombiniere, nämlich mit der Lie-Theorie . Ich hatte noch keine Gelegenheit, das Folgende an Schülern im ersten Jahr auszuprobieren, aber ich bin ziemlich zuversichtlich, dass das Folgende mit nur ein bisschen mehr pädagogischer Anleitung nach Bedarf eine ziemlich zufriedenstellende Motivation für jeden Schüler mit sein sollte ein wenig mathematische / theoretische Neigung zur Physik.

Weitere Informationen zu den folgenden Themen finden Sie unter nLab: Quantisierung .

Quantisierung war und ist natürlich experimentell motiviert, also durch Beobachtung des beobachtbaren Universums: Es kommt einfach so vor, dass Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie experimentelle Beobachtungen korrekt berücksichtigen, wobei klassische Mechanik und klassische Feldtheorie keine Antwort oder falsch geben Antworten. Ein historisch wichtiges Beispiel ist das Phänomen der „ultravioletten Katastrophe“, ein Paradoxon, das von der klassischen statistischen Mechanik vorhergesagt wird und in der Natur nicht beobachtet wird und das von der Quantenmechanik korrigiert wird.

Man kann aber auch unabhängig fragen von experimentellem Input, wenn es gute formale mathematische Gründe und Motivationen gibt, von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik überzugehen. Könnte man zur Quantenmechanik geführt worden sein, indem man nur über den mathematischen Formalismus der klassischen Mechanik nachgedacht hat? (Genauer gesagt: Gibt es eine natürliche synthetische Quantenfeldtheorie?)

Im Folgenden wird ein Argument in diesem Ausmaß dargelegt. Es wird für Leser mit einem Hintergrund in der modernen Mathematik, insbesondere in der Lie-Theorie, und mit einem Verständnis der Formalisierung der klassischen / Präquantenmechanik in Bezug auf die symplektische Geometrie funktionieren.

Kurz gesagt, ein System der klassischen Mechanik / Präquantenmechanik ist ein Phasenraum, der als symplektische Mannigfaltigkeit $ (X, ω) $ formalisiert ist. Eine symplektische Mannigfaltigkeit ist insbesondere eine Poisson-Mannigfaltigkeit, was bedeutet, dass die Algebra der Funktionen im Phasenraum $ X $, daher die Algebra klassischer Observablen, kanonisch mit einer kompatiblen Lie-Klammer ausgestattet ist: der Poisson-Klammer. Diese Lie-Klammer steuert die Dynamik in der klassischen Mechanik. Wenn beispielsweise $ H \ in C ^ {∞} (X) $ die Funktion im Phasenraum ist, die so interpretiert wird, dass jeder Konfiguration des Systems ihre Energie zugewiesen wird - die Hamilton-Funktion -, ergibt die Poisson-Klammer mit $ H $ die infinitesimale zeitliche Entwicklung des Systems: die als Hamilton-Gleichungen bekannte Differentialgleichung.

Hier zu beachten ist die infinitesimale Natur der Poisson-Klammer. Wenn man eine Lie-Algebra $ \ mathfrak {g} $ hat, ist dies im Allgemeinen als infinitesimale Annäherung an ein global definiertes Objekt, die entsprechende Lie-Gruppe (oder allgemein glatte Gruppe) $ G $, anzusehen. Man sagt auch, dass $ G $ eine Lie-Integration von $ \ mathfrak {g} $ ist und dass $ \ mathfrak {g} $ die Lie-Differenzierung von $ G $ ist.

Daher eine natürliche Frage, die gestellt werden muss ist: Da die Observablen in der klassischen Mechanik eine Lie-Algebra unter Poisson-Klammer bilden, was ist dann die entsprechende Lie-Gruppe?

Die Antwort darauf ist in der Literatur natürlich in dem Sinne „bekannt“, dass Es gibt relevante Monographien, die die Antwort geben. Aber vielleicht überraschend ist die Antwort auf diese Frage (zum Zeitpunkt dieses Schreibens) keine weit verbreitete Tatsache, die ihren Weg in die grundlegenden Lehrbücher gefunden hätte. Die Antwort ist, dass diese Lie-Gruppe, die die Poisson-Klammer integriert, die „Quantomorphismus-Gruppe“ ist, ein Objekt, das nahtlos zur Quantenmechanik des Systems führt.

Bevor wir dies genauer sagen, brauchen wir eine kurze technische Seite: Natürlich ist die Lie-Integration nicht ganz einzigartig. Es kann verschiedene globale Lie-Gruppenobjekte mit derselben Lie-Algebra geben.

Das einfachste Beispiel hierfür ist bereits das von zentraler Bedeutung für das Thema Quantisierung, nämlich die Lie-Integration der abelschen Linie Lie-Algebra $ \ mathbb {R} $. Diesem sind im Wesentlichen zwei verschiedene Lie-Gruppen zugeordnet: die einfach verbundene Übersetzungsgruppe, die wiederum nur $ \ mathbb {R} $ selbst ist und mit ihrer kanonischen additiven abelschen Gruppenstruktur ausgestattet ist, und der diskrete Quotient davon durch die Gruppe von ganzen Zahlen Dies ist die Kreisgruppe

$$ U (1) = \ mathbb {R} / \ mathbb {Z} \ ,. $$

Beachten Sie, dass es sich um das diskrete und handelt daher "quantisierte" Natur der ganzen Zahlen, die die reale Linie hier zu einem Kreis macht. Dies ist nicht ganz ein Zufall der Terminologie, sondern kann zurückverfolgt werden, um das Herzstück dessen zu sein, was über die Quantenmechanik „quantisiert“ wird.

Man findet nämlich, dass die Poisson-Klammer Lie-Algebra $ \ mathfrak {poiss } (X, ω) $ der klassischen Observablen im Phasenraum ist (für X eine verbundene Mannigfaltigkeit) eine Lie-Algebra-Erweiterung der Lie-Algebra $ \ mathfrak {ham} (X) $ von Hamilton-Vektorfeldern auf $ X $ durch die Zeile Lie Algebra:

$$ \ mathbb {R} \ longrightarrow \ mathfrak {poiss} (X, \ omega) \ longrightarrow \ mathfrak {ham} (X) \ ,. $$

Dies bedeutet, dass sich die Poisson-Klammer unter Lie-Integration in eine zentrale Erweiterung der Gruppe der Hamilton-Symplektomorphismen von $ (X, ω) $ verwandelt. Und entweder ist es die ziemlich triviale, nicht kompakte Erweiterung von $ \ mathbb {R} $, oder es ist die interessante zentrale Erweiterung der Kreisgruppe $ U (1) $. Damit diese nicht triviale Lie-Integration existiert, muss $ (X, ω) $ eine Quantisierungsbedingung erfüllen, die besagt, dass sie ein Präquantenlinienbündel zulässt. Wenn ja, dann existiert diese $ U (1) $ - zentrale Erweiterung der Gruppe $ Ham (X, \ omega) $ der Hamiltonschen Symplektomorphismen und heißt… die Quantomorphismusgruppe $ QuantMorph (X, \ omega) $:

$$ U (1) \ longrightarrow QuantMorph (X, \ omega) \ longrightarrow Ham (X, \ omega) \ ,. $$

Obwohl wichtig, ist diese Gruppe aus irgendeinem Grund nicht sehr gut bekannt. Was auffällt, weil es eine kleine Untergruppe davon gibt, die in der Quantenmechanik berühmt ist: die Heisenberg-Gruppe.

Genauer gesagt, wenn $ (X, \ omega) $ selbst eine kompatible Gruppenstruktur hat, insbesondere Wenn $ (X, \ omega) $ nur ein symplektischer Vektorraum ist (als Gruppe unter Hinzufügung von Vektoren betrachtet), können wir nach der Untergruppe der Quantomorphismusgruppe fragen, die die (linke) Wirkung des Phasenraums $ (X) abdeckt , \ omega) $ auf sich. Dies ist die entsprechende Heisenberg-Gruppe $ Heis (X, \ omega) $, die wiederum eine $ U (1) $ - zentrale Erweiterung der Gruppe $ X $ selbst ist:

$$ U (1 ) \ longrightarrow Heis (X, \ omega) \ longrightarrow X \ ,. $$

An dieser Stelle lohnt es sich, eine Sekunde innezuhalten und festzustellen, wie das Kennzeichen der Quantenmechanik wie aus dem Ruder gelaufen ist Nirgendwo kann man nur die Lie-Integration auf die algebraischen Lie-Strukturen in der klassischen Mechanik anwenden:

wenn wir daran denken, dass Lie $ \ mathbb {R} $ in die interessante Kreisgruppe $ U (1) $ statt in die integriert uninteressante Übersetzungsgruppe $ \ mathbb {R} $, dann ist der Name seines kanonischen Basiselements 1∈ℝ kanonisch "i", die imaginäre Einheit. Daher schreibt man die obige zentrale Erweiterung häufig wie folgt:

$$ i \ mathbb {R} \ longrightarrow \ mathfrak {poiss} (X, \ omega) \ longrightarrow \ mathfrak {ham} (X, \ omega) $$

, um dies zu verstärken. Betrachten wir nun den einfachen Sonderfall, in dem $ (X, \ omega) = (\ mathbb {R} ^ {2}, dp∧dq) $ der zweidimensionale symplektische Vektorraum ist, der beispielsweise der Phasenraum des Teilchens ist Ausbreitung auf der Linie. Dann besteht ein kanonischer Satz von Generatoren für die entsprechende Poisson-Klammer-Lie-Algebra aus den linearen Funktionen p und q des Lehrbuchs der klassischen Mechanik zusammen mit der konstanten Funktion. Unter der obigen Lie-theoretischen Identifikation ist diese konstante Funktion das kanonische Basiselement von $ i \ mathbb {R} $, daher ist sie rein theoretisch "i" zu nennen.

Mit dieser Notation ist dann die Die Poisson-Klammer, die in der Form geschrieben ist, die ihre Lie-Integration manifestiert, lautet tatsächlich

$$ [q, p] = i \ ,. $$

Seit der Wahl des Basiselements von $ i \ mathbb {R} $ ist willkürlich, wir können hier das i durch eine nicht verschwindende reelle Zahl neu skalieren, ohne diese Aussage zu ändern. Wenn wir für dieses Element "ℏ" schreiben, lautet die Poisson-Klammer stattdessen

$$ [q, p] = i \ hbar \ ,. $$

Dies ist natürlich die Kennzeichengleichung für die Quantenphysik, wenn wir ℏ hier tatsächlich als Plancksche Konstante interpretieren. Wir sehen, dass es hier nur durch die nicht triviale (interessante, nicht einfach verbundene) Lügenintegration der Poisson-Klammer entsteht.

Dies ist nur der Anfang der Geschichte der Quantisierung, natürlich verstanden und in der Tat "abgeleitet" von der Anwendung der Lie-Theorie auf die klassische Mechanik. Von hier aus geht die Geschichte weiter. Es heißt die Geschichte der geometrischen Quantisierung. Wir schließen diesen Motivationsabschnitt hier mit einem kurzen Ausblick.

Die Quantomorphismusgruppe, die die nicht triviale Lie-Integration der Poisson-Klammer darstellt, ist natürlich wie folgt aufgebaut: Angesichts der symplektischen Form $ ω $ ist es natürlich zu fragen, ob es sich um die Krümmungs-2-Form eines $ U handelt ( 1) $ - Hauptverbindung $ ∇ $ auf einem komplexen Linienbündel $ L $ über $ X $ (dies ist direkt analog zur Dirac-Ladungsquantisierung, wenn anstelle einer symplektischen Form im Phasenraum die Feldstärke 2-Form des Elektromagnetismus betrachtet wird Freizeit). Wenn ja, wird eine solche Verbindung $ (L, ∇) $ als Präquantenlinienbündel des Phasenraums $ (X, ω) $ bezeichnet. Die Quantomorphismusgruppe ist einfach die Automorphismusgruppe des Präquantenlinienbündels, die Diffeomorphismen des Phasenraums abdeckt (die oben erwähnten Hamiltonschen Symplektomorphismen).

Als solche wirkt die Quantomorphismusgruppe natürlich auf den Raum von Abschnitten von $ L $. Ein solcher Abschnitt ist wie eine Wellenfunktion, stattdessen hängt er vom gesamten Phasenraum ab und nicht nur von den „kanonischen Koordinaten“. Aus rein abstrakten mathematischen Gründen (die wir hier nicht diskutieren, aber bei der motivischen Quantisierung genauer betrachten) ist es in der Tat natürlich, eine „Polarisation“ des Phasenraums in kanonische Koordinaten und kanonische Impulse zu wählen und nur die Abschnitte der Präquantenlinie zu betrachten Bündel, die nur von ersteren abhängen. Dies sind die tatsächlichen Wellenfunktionen der Quantenmechanik, daher die Quantenzustände. Und die Untergruppe der Quantomorphismusgruppe, die diese polarisierten Abschnitte bewahrt, ist die Gruppe der potenzierten Quantenbeobachtungsgrößen. In dem zuvor erwähnten einfachen Fall, in dem $ (X, ω) $ der zweidimensionale symplektische Vektorraum ist, ist dies beispielsweise die Heisenberg-Gruppe mit ihrer berühmten Wirkung durch Multiplikations- und Differenzierungsoperatoren auf den Raum komplexwertiger Funktionen auf dem Real line.

Weitere Informationen hierzu finden Sie unter nLab: Quantisierung.

Warum sollten Sie jemals versuchen, eine physikalische Theorie zu motivieren, ohne sich auf experimentelle Ergebnisse zu berufen? Die Motivation der Quantenmechanik ist , experimentelle Ergebnisse zu erklären. Es ist offensichtlich, dass Sie ein einfacheres, intuitiveres Bild als die Quantenmechanik wählen würden, wenn Sie nicht daran interessiert wären, etwas vorherzusagen.

Wenn Sie bereit sind, minimale physikalische Eingaben zuzulassen, wie wäre es dann mit: Nehmen Sie das Unsicherheitsprinzip als Postulat. Dann wissen Sie, dass der Effekt auf ein System, bei dem zuerst $ A $ und dann $ B $ gemessen wird, sich von dem unterscheidet, zuerst $ B $ und dann $ A $ durchzuführen. Das kann symbolisch als $ AB \ neq BA $ oder sogar $ [A, B] \ neq 0 $ niedergeschrieben werden. Welche Art von Objekten gehorcht nicht der kommutativen Multiplikation? Auf Vektoren einwirkende lineare Operatoren! Daraus folgt, dass Observable Operatoren und "Systeme" irgendwie Vektoren sind. Der Begriff "Zustand" ist etwas ausgefeilter und folgt nicht wirklich ohne Bezug auf die Messergebnisse (was letztendlich die Born-Regel erfordert). Sie könnten auch argumentieren, dass dieser Effekt im klassischen Limit verschwinden muss, also müssen Sie $ [A, B] \ sim \ hbar $ haben, wobei $ \ hbar $ noch etwas ist (und niemals sein wird, wenn Sie weigern sich, Experimente durchzuführen.) Unbestimmte Anzahl, die im Vergleich zu alltäglichen Einheiten klein sein muss. Ich glaube, dies ähnelt der ursprünglichen Argumentation hinter Heisenbergs Matrixformulierung von QM.

Das Problem ist, dass dies keine Physik ist. Sie wissen nicht, wie Sie etwas ohne die Born-Regel vorhersagen können. Und soweit ich weiß, gibt es keine theoretische Ableitung der Born-Regel, sie ist experimentell gerechtfertigt!

Wenn Sie einen fundamentalen Standpunkt dazu wünschen, warum QM eher als etwas anderes, versuchen Sie, verallgemeinerte probabilistische Theorien zu untersuchen, z. dieses Papier. Aber ich warne Sie, diese liefern weder eine vollständige, einfache noch triviale Rechtfertigung für die QM-Postulate.

Sie sollten die Geschichte der Physik verwenden, um ihnen Fragen zu stellen, bei denen die klassische Physik versagt. Zum Beispiel können Sie ihnen das Ergebnis von Rutherfords Experiment mitteilen und fragen: Wenn ein Elektron um den Kern kreist, bedeutet dies, dass sich eine Ladung beschleunigt. Elektronen sollten also elektromagnetische Energie freisetzen. Wenn dies der Fall ist, würden Elektronen ihre Energie verlieren, um auf dem Kern zusammenzubrechen, was die Existenz eines Atoms innerhalb von Sekundenbruchteilen beenden würde (Sie können ihnen sagen, dass sie rechnen sollen). Aber wie wir wissen, haben Atome Milliarden von Jahren überlebt. Wie? Wo ist der Haken?

Wenn ich eine Einführung in den Quantenphysikkurs für Physikstudenten entwerfen würde, würde ich ernsthaft in Betracht ziehen, von den beobachteten Bell-GHZ-Verstößen auszugehen. Etwas in der Art von David Minins Ansatz. Wenn eines klar macht, dass keine Form der klassischen Physik das tiefste Naturgesetz liefern kann, dann ist es das. (Dies bezieht sich auf experimentelle Fakten, wenn auch eher gedankenhafter Natur. Wie andere kommentiert haben, ist und sollte eine gewisse Verknüpfung mit Experimenten unvermeidlich sein.)

Obwohl es hier viele gute Antworten gibt, glaube ich, dass ich noch etwas beitragen kann, das einen kleinen Teil Ihrer Frage beantwortet.

Es gibt einen Grund, nach einer Theorie jenseits der klassischen Physik zu suchen, die rein theoretisch ist und dies ist die UV-Katastrophe. Nach der klassischen Lichttheorie emittiert ein idealer schwarzer Körper im thermischen Gleichgewicht Strahlung mit unendlicher Kraft. Dies ist ein grundlegendes theoretisches Problem, und es besteht keine Notwendigkeit, sich auf experimentelle Ergebnisse zu berufen, um es zu verstehen. Eine Theorie, die eine unendliche emittierte Leistung vorhersagt, ist falsch .

Die Quantisierung von Licht löst das Problem, und historisch gesehen spielte dies eine Rolle bei der Entwicklung der Quantenmechanik.

Natürlich weist dies nicht auf die Moderne hin Postulate der Quantenmechanik, die Sie rechtfertigen möchten, aber ich denke, es ist immer noch gut, die UV-Katastrophe als eine der Motivationen zu verwenden, um überhaupt nach einer Theorie jenseits der klassischen Physik zu suchen, insbesondere wenn Sie so wenig wie nötig ansprechen möchten zu experimentellen Ergebnissen.

Alle Schlüsselelemente der Quantenmechanik finden sich in der klassischen Physik.

1) In der statistischen Mechanik wird das System auch durch eine Verteilungsfunktion beschrieben. Keine bestimmten Koordinaten, keine bestimmten Impulse.

2) Hamilton machte seinen Formalismus für die klassische Mechanik. Seine Ideen entsprachen weitgehend den Ideen, die lange vor Experimenten in die moderne Quantenmechanik einflossen: Er versuchte, die Physik so geometrisch wie möglich zu gestalten.

3) Aus Lie-Algebren wussten die Leute, dass der Übersetzungsoperator etwas mit der Ableitung zu tun hat. Aus der Impulserhaltung wussten die Menschen, dass Übersetzungen etwas mit Momentum zu tun haben. Es war nicht so seltsam, den Impuls mit dem Derivat zu assoziieren.

Jetzt sollten Sie einfach alles mischen: statistische Mechanik mit dem Hamilton-Formalismus zusammenführen und den Hauptbestandteil hinzufügen, der für Radiophysiker offensichtlich war: das können Sie nicht ein kurzes (dh lokalisiertes) Signal mit einem engen Spektrum haben.

Voila, Sie haben Quantenmechanik.

Grundsätzlich ist Feynmans Ansatz zur Quantenmechanik für Ihre Zwecke möglicherweise "klarer". Es wurde lange nach den beiden anderen Ansätzen gefunden und ist für die einfachen Probleme, die Menschen normalerweise während des Studiums berücksichtigen, viel weniger produktiv. Deshalb ist es für den Anfang nicht so beliebt. Aus philosophischer Sicht könnte es jedoch einfacher sein. Und wir alle wissen, dass es den anderen Ansätzen entspricht.

Abgesehen davon gibt es nichts Einzigartiges an nicht pendelnden Operatoren oder an der Formulierung von Mechanik in einem Hilbert-Raum, wie dies von der Koopman-von-Neumann-Mechanik demonstriert wurde, und es gibt nichts Einzigartiges an einer Phasenraumkoordinatendarstellung von Mechanik nach Groenewolds und Moyals Formulierung der Quantentheorie.

Es gibt jedoch natürlich einen grundlegenden Unterschied zwischen Quanten- und klassischen Theorien. Es gibt viele Möglichkeiten, diesen Unterschied zu destillieren, sei es als Nichtlokalität, Unsicherheit oder als Messproblem. Die beste Methode, um die Unterschiede zu isolieren, die ich gehört habe, ist folgende:

Quantenmechanik geht es darum, wie Wahrscheinlichkeitsphase und Wahrscheinlichkeitsamplitude interagieren. Dies fehlt grundlegend in Hilbert-Raumformulierungen der klassischen Mechanik, in denen die Phasen- und Amplitudenentwicklungsgleichungen vollständig entkoppelt sind. Es ist diese Phase-Amplituden-Wechselwirkung, die uns das Wellen-Teilchen-Verhalten, die Elektronenbeugung im Zwei-Spalt-Experiment und damit eine einfache Motivation für die Quantenmechanik (und wahrscheinlich den häufigsten Einstieg in diese) gibt. Diese Phasen-Amplituden-Wechselwirkung ist auch von grundlegender Bedeutung für das Verständnis kanonisch konjugierter Variablen und des Unsicherheitsproblems.

Ich denke, wenn dieser Ansatz gewählt würde, könnte die Notwendigkeit einer anderen physikalischen Theorie am einfachsten zunächst durch Einzelteilcheninterferenz gerechtfertigt werden, die dann zu den zuvor genannten Punkten führt.

Soweit ich weiß, fordern Sie einen minimalistischen Ansatz für die Quantenmechanik, der das Studium mit wenig Bezug auf Experimente motiviert.

Das Schlechte. Soweit ich weiß, gibt es kein einzelnes Experiment oder theoretisches Konzept, das Ihre Schüler dazu motivieren könnte, Dirac-Kets $ | \ Psi \ rangle $, Operatoren und Hilbert-Räume einzuführen , die Schrödinger-Gleichung ... auf einmal. Dafür gibt es zwei Gründe und beide hängen zusammen. Erstens unterscheidet sich die gewöhnliche Wellenfunktion oder Dirac-Formulierung der Quantenmechanik zu stark von der klassischen Mechanik. Zweitens wurde die gewöhnliche Formulierung in Stücken von vielen verschiedenen Autoren entwickelt, die versuchten, die Ergebnisse verschiedener Experimente zu erklären - viele Autoren erhielten einen Nobelpreis für die Entwicklung der Quantenmechanik -. Dies erklärt, warum "seit ein paar Jahren" die einzigen Antworten, die Sie gefunden haben, "unvollständig, nicht ganz zufriedenstellend" sind.

Das Gute. Ich glaube das kann Ihre Anforderungen größtenteils mit der modernen Wigner & Moyal-Formulierung der Quantenmechanik erfüllen, da diese Formulierung Kets, Operatoren, Hilbert-Räume, die Schrödinger-Gleichung vermeidet ... In dieser modernen Formulierung die Beziehung zwischen der klassischen (links) und der Quante (rechts) Mechanische Axiome sind

$$ A (p, x) \ rho (p, x) = A \ rho (p, x) ~~ \ Longleftrightarrow ~~ A (p, x) \ Stern \ rho ^ \ mathrm {W} (p, x) = A \ rho ^ \ mathrm {W} (p, x) $$

$$ \ frac {\ teilweise \ rho} {\ partielles t} = \ {H, \ rho \} ~~ \ Longleftrightarrow ~~ \ frac {\ partielles \ rho ^ \ mathrm {W}} {\ partielles t} = \ {H, \ rho ^ \ mathrm {W} \} _ \ mathrm {MB} $$

$$ \ langle A \ rangle = \ int \ mathrm {d} p \ mathrm {d} x A (p, x) \ rho (p, x) ~~ \ Longleftrightarrow ~~ \ langle A \ rangle = \ int \ mathrm {d} p \ mathrm {d} x A (p, x) \ rho ^ \ mathrm {W} (p, x) $$

wobei $ \ star $ das Moyal Star-Produkt ist, $ \ rho ^ \ mathrm {W} $ die Wigner-Distribution und $ \ {, \} _ \ mathrm {MB} $ die Moyal-Klammer. Die Funktionen $ A (p, x) $ sind die gleichen wie in der klassischen Mechanik. Ein Beispiel für die erste Quantengleichung ist $ H \ star \ rho_E ^ \ mathrm {W} = E \ rho_E ^ \ mathrm {W} $, die die Energieeigenwerte angibt.

Nun der zweite Teil von Ihnen Frage. Was ist die minimale Motivation für die Einführung der Quantenausdrücke rechts? Ich denke, dass es wie folgt sein könnte. Es gibt eine Reihe von Experimenten, die auf eine Dispersionsrelation $ \ Delta p \ Delta x \ geq \ hbar / 2 $ hinweisen, die mit der klassischen Mechanik nicht erklärt werden kann. Diese experimentelle Tatsache kann als Motivation für die Substitution des kommutativen Phasenraums der klassischen Mechanik durch einen nicht kommutativen Phasenraum verwendet werden. Die mathematische Analyse der nichtkommutativen Geometrie zeigt, dass gewöhnliche Produkte im Phasenraum durch Startprodukte ersetzt werden müssen, der klassische Phasenraumzustand durch eins, $ \ rho ^ \ mathrm {W} $, das begrenzt ist Phasenraumbereiche, die größer als die Planck-Länge sind, und Poisson-Klammern müssen durch königliche Klammern ersetzt werden.

Obwohl dieser minimalistische Ansatz nicht unter Verwendung der gewöhnlichen Wellenfunktion oder des Dirac-Formalismus erhalten werden kann, gibt es drei Nachteile mit der Wigner & Moyal Ansatz jedoch. (i) Die mathematische Analyse ist alles andere als trivial. Die erste Quantengleichung von oben lässt sich leicht ableiten, indem das gewöhnliche Produkt durch ein Startprodukt und $ \ rho \ rightarrow \ rho ^ \ mathrm {W} $ im klassischen Ausdruck ersetzt wird. Die dritte Quantengleichung kann auch auf diese Weise erhalten werden, weil gezeigt werden kann, dass

$$ \ int \ mathrm {d} p \ mathrm {d} x A (p, x) \ star \ rho ^ \ mathrm {W} (p, x) = \ int \ mathrm {d} p \ mathrm {d} x A (p, x) \ rho ^ \ mathrm {W} (p, x) $$

Dies ist ein spät kommender relevanter Kommentar zu Ihrem Unterrichtsproblem (aber keine Antwort - ich habe versucht zu kommentieren, aber es wurde zu groß).

Etwas, das Sie in Ihrer Klasse erwähnen könnten, ist die moderne Theorie der Steuerungssysteme, wie sie Ingenieurstudenten vermittelt wird. Ich kam zu QM, nachdem ich Kontrollsysteme studiert und einige Jahre in meinem Beruf geübt hatte, und danach hat QM ein natürliches Gefühl. Jetzt frage ich mich, ob QM die Formulierung der Kontrollsystemtheorie nicht beeinflusst haben könnte. Grundsätzlich hat man aber einen Zustandsraum - den linearen Raum der minimalen Daten, die man benötigt, um die Zukunft des Systems eindeutig zu definieren, eine Schrödinger-ähnliche Evolutionsgleichung und Observablen, die auf den Zustand einwirken und so Daten für den Rückkopplungsregler sammeln. Die Interpretation der Observablen unterscheidet sich jedoch grundlegend von der im QM. Aber "sich entwickelnder Zustand + Messungen" ist die Zusammenfassung, und dennoch führen Unsicherheiten in den Observablen zu ganzen nichttrivialen Feldern stochastischer Steuerungssysteme und robuster Steuerungssysteme (solche, die trotz Unsicherheiten in den verwendeten mathematischen Modellen funktionieren). Der technische Standpunkt ist ebenfalls sehr experimentell - Sie versuchen, Ihr System genau zu modellieren, aber Sie geben ganz bewusst nicht an, wie dieses Modell entsteht, es sei denn, die Physik kann Ihnen bei der Optimierung eines Modells helfen - aber häufig die Probleme sind so von Unsicherheit durchdrungen, dass es überhaupt keine Hilfe ist, die Physik gründlich zu untersuchen, und in der Tat geht es in der Theorie der Kontrollsysteme darum, mit Unsicherheit umzugehen, darauf zu reagieren und Ihr System auf einen sicheren Kurs zu lenken, obwohl unsichere äußere unkontrollierbare Kräfte es endlos büffeln. Hier gibt es sogar Schattierungen des Unsicherheitsprinzips: Wenn Ihr Zustandsmodell unsicher ist und geschätzt wird ( z. B. durch einen Kalman-Filter), stört das, was Ihr Controller tut, das System, das Sie messen möchten - obwohl von Natürlich ist dies der Beobachter-Effekt und nicht das Heisenberg-Prinzip. Man versucht tatsächlich, das Produkt zweier Unsicherheiten zu minimieren. Sie ringen mit dem Kompromiss zwischen der Notwendigkeit, gegen die Notwendigkeit zu messen.

Diese Geschichte wird das Thema nicht so motivieren, wie Sie es möchten, aber es wäre trotzdem interessant zu zeigen, dass es eine ganze Gruppe von Ingenieuren und Mathematikern gibt, die so denken und es tatsächlich sehr natürlich und unmysterisch finden, selbst wenn sie es tun lerne es zuerst. Ich denke, ein entscheidender Punkt hierbei ist, dass niemand Studenten der Kontrolltheorie erschreckt, bevor sie mit der Rede von einem katastrophalen Versagen der Theorie beginnen, der Notwendigkeit, ein Wissensfeld und intellektuelle Kämpfe, die die besten Köpfe der Welt jahrzehntelang beschäftigten, vollständig neu zu erfinden. Natürlich muss man in der Physik lehren, warum Menschen diesen Weg gegangen sind, aber es ist auch wichtig zu betonen, dass dieselben großen Köpfe, die mit dem Thema beschäftigt waren, den Weg für uns geebnet haben , so dass wir jetzt stehen auf ihren Schultern und können wirklich besser sehen, obwohl wir weit von ihren intellektuellen Gleichen entfernt sind.

Es gibt keinen besten Weg, um die Frage "Warum Quantenmechanik?" zu beantworten, da die beste Antwort genau davon abhängt, was der Fragesteller skeptisch sieht. Angenommen, das lokale Kapitel der Quantum Mechanics Haters 'Union (QMHU) hat mich eingeladen, das Konzept vor ihnen zu verteidigen.

Zuerst sagt Alice: "Ich weiß nichts über QM, aber ich habe gehört, dass es 'Wahrscheinlichkeitswolken' und 'viele Welten' verwendet und 'nichts ist wahr' und so, und ich kann es einfach nicht Bring mich dazu zu glauben, dass etwas so Seltsames richtig sein könnte. " Ich würde ihr das Phänomen der Einzelelektronen-Doppelspaltinterferenz erklären. Es ist ziemlich offensichtlich, dass keine Theorie klassischer Punktpartikel dies erklären kann.

Dann sagt Bob: "Ich habe einen soliden Hintergrund in QM für Studenten oder Absolventen, und ich gebe zu, dass Einzelelektronen-Doppelspaltinterferenz wirklich seltsam ist. Aber die Quantenmechanik scheint noch seltsamer zu sein, also wette ich immer noch, dass es einige völlig klassische gibt Erklärung dafür. " Ich würde ihm die Sätze von Kochen-Specker und Bell erklären.

Dann sagt Charlie: "Okay, Sie haben mich überzeugt, dass die klassische Mechanik Dinge wie Einzelelektronen-Doppelspaltinterferenz nicht erklären kann. Aber es ist nicht offensichtlich, dass die Quantenmechanik dies auch kann. Schließlich ist das eigentlich ziemlich schwierig System zur quantitativen Analyse. " Ich würde ihm die Energiespektren des Wasserstoffatoms erklären und zeigen, dass eine Berechnung, für die nur wenige Vorlesungen erforderlich sind, tatsächlich beobachtete Phänomene äußerst genau vorhersagen kann.

Dann sagt Deborah: "Okay, das ist ziemlich beeindruckend. Aber ich wette, ohne allzu großen Aufwand könnten wir eine einfachere Theorie entwickeln, die ebenso quantitativ genaue Vorhersagen macht." Ich würde ihr erklären, dass die theoretisch vorhergesagten und experimentell gemessenen Werte des anomalen magnetischen Moments des Elektrons mit zehn signifikanten Zahlen übereinstimmen und dass keine Vorhersage in irgendeinem Bereich des Menschen vorliegt Die Existenz war jemals so quantitativ genau - daher müsste jede Alternative zu QM ziemlich verdammt gut sein.

Dann sagt Ethan: "Okay, ich bin überzeugt, dass QM sehr nützlich ist, um einige seltsame Dinge zu erklären, die passieren, wenn Sie ein Elektron auf zwei schmale Schlitze schießen oder die Frequenz des von elektrisch angeregtem Wasserstoff emittierten Lichts genau messen. Aber Wen interessiert das? Ich habe noch nie eines dieser Dinge getan und werde es auch nie tun. " Ich würde ihm erklären, dass die Quantenmechanik entscheidend ist, um zu verstehen, wie eine breite Palette nützlicher Materialien hergestellt werden kann - insbesondere Halbleiter, auf die sich so gut wie alle elektronischen Geräte der letzten 50 Jahre stützen.

Dann sagt Franny: "Mein Einwand ist der gleiche wie der von Ethan, außer dass ich Amish bin, also benutze ich keine Elektronik und deine Antwort auf ihn befriedigt mich nicht." Ich würde ihr erklären, dass das Pauli-Ausschlussprinzip - das nur für Quantensysteme sinnvoll ist - die Elektronen in jedem Atom in ihrem Körper in ihren Orbitalen hält und verhindert, dass sie alle in den $ 1s $ -Zustand fallen, was dazu führen würde sie in eine Bosonische Pfütze zu schmelzen.

Dann sagt George: "Ich bin Professor für Philosophie, daher interessiert mich nichts, was im entferntesten praktisch oder wichtig ist. Alles, was mich interessiert, sind 'große Fragen'." Ich würde ihm erklären, dass die Entwicklung der Quantenmechanik eines der Ereignisse in der gesamten menschlichen Geschichte ist, das unser Verständnis der grundlegenden ontologischen Natur der Existenz am radikalsten verändert hat und dass Philosophen immer noch aktiv debattieren was es "wirklich bedeutet".

Dann sagt Harriett: "Wie George, aber ich bin ein Mathematikprofessor, also ist alles, was mich interessiert, Mathematik." Ich würde ihr erklären, dass die Entwicklung des QM zu großen, mit der Feldmedaille ausgezeichneten Entwicklungen in unserem Verständnis der reinen Mathematik geführt hat, wie in den Bereichen Faserbündel, Quantenfeldtheorie und topologische Feldtheorie.

Dann sagt Iris: "Ich kümmere mich nicht um irgendetwas davon. Alles was ich will ist viel, viel Geld." Ich würde ihr erklären, dass Quantencomputer relativ bald in der Lage sein könnten, große Zahlen effizient zu faktorisieren, wodurch das von den meisten Banken verwendete RSA-Verschlüsselungsschema gebrochen wird. Wenn sie also eines in die Hände bekommt, kann sie möglicherweise viele, viele stehlen von Geld.

Dann sagt Jonathan Gleason: "Ich habe keine persönlichen Einwände gegen die Idee der Quantenmechanik. Es fällt mir nur sehr schwer, den Kopf herumzureißen. Können Sie mir eine konzeptionelle Zusammenfassung mit fünf Sätzen geben, die ein solides Verständnis der klassischen Mechanik voraussetzt?" ? " (Sehen Sie, was ich dort getan habe? Ich denke, diese Frage kommt der ursprünglichen Formulierung des OP am nächsten.) So würde ich antworten: "Die klassische Mechanik ist ziemlich hart darin, keine funktionale Variation $ \ delta S / \ delta \ varphi $ zuzulassen überhaupt in der Aktion. Jeder macht Fehler - es ist nicht nötig, das Buch auf diese Felder zu werfen. Anstatt jede Feldkonfiguration, für die sich die Aktion auch nur ein kleines bisschen ändert, vollständig zu verbieten, seien wir nett. Wir lassen die Felder davonkommen mit gelegentlich einigen Werten, bei denen die Aktion nicht vollständig stationär ist. Aber wir wollen nicht, dass diese Mistfelder unsere liberalen Einstellungen missbrauchen, also werden wir sie auf einer gleitenden Skala bestrafen, bei der sich die Aktion umso schneller ändert eine bestimmte Feldkonfiguration, je mehr wir unseren Fuß setzen. "

Es scheint mir, dass Ihre Frage im Wesentlichen nach einem platonischen mathematischen Modell der Physik fragt, das Prinzipien zugrunde liegt, aus denen der Quantenformalismus gerechtfertigt und tatsächlich abgeleitet werden könnte. Wenn ja, dann befinden Sie sich im Gegensatz zu der überwiegenden Mehrheit der traditionellen Instrumentalisten im Lager der realistischen Physiker der Minderheit (aber im Wachstum).

Der Haken ist die beste, wenn nicht nur die Chance, ein solches Modell zu entwickeln Gottähnliches Wissen oder zumindest mit fast übermenschlicher Intuition eine korrekte Vermutung der zugrunde liegenden Phänomene, und offensichtlich hat noch niemand genug erreicht, um die gesamte Physik unter einem einzigen Rubrik in dieser Richtung zu vereinen.

In Mit anderen Worten, um die abstrakteste Erklärung zu erhalten, ist ironischerweise der praktischste Ansatz erforderlich, da für das Sehen im kleinsten Maßstab das größte Mikroskop wie der LHC erforderlich ist, oder Sherlock Holmes kann nur mit ausreichenden Daten zu der unerwartetsten Schlussfolgerung gelangen ( Fakten, Watson, ich brauche mehr Fakten!)

Obwohl ich ein Realist bin, sehe ich diesen Instrumentalismus (zufrieden damit, Effekte zu modellieren, ohne nach Ursachen zu suchen, was mit "Black-Box-Tests" verglichen werden könnte ") war und ist indispe nsable.

Ich lese immer gerne " BERTLMANN'S SOCKEN UND DIE NATUR DER WIRKLICHKEIT " * von J. Bell, um mich daran zu erinnern, wann und warum eine klassische Beschreibung fehlschlagen muss.

Er im Grunde bezieht sich auf die EPR-Korrelationen. Sie könnten seine Argumentation motivieren, indem Sie die gemeinsame Mengenlehre (z. B. drei verschiedene Mengen: A, B, C und versuchen Sie, sie irgendwie zusammenzuführen) mit demselben Konzept von "Mengen" in Hilbert-Räumen vergleichen, und Sie werden feststellen, dass sie nicht gleich sind ( Bell-Theorem).

• http://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00220688/en/

Thomas ' Kalkül enthält eine lehrreiche Newtonsche Mechanik-Übung, über die jeder nachdenken sollte: Die Gravitationsfeldstärke innerhalb der Erde ist proportional zur Entfernung vom Zentrum, und so ist es auch Null in der Mitte. Und natürlich gibt es den strengen Beweis, dass die Materie, wenn sie gleichmäßig in einer Kugel verteilt ist, außerhalb der Kugel eine Gravitationskraft ausübt, die mit der identisch ist, die ausgeübt worden wäre, wenn die gesamte Masse gewesen wäre konzentriert in der Mitte.

Wenn man nun aus physikalischer Sicht darüber nachdenkt, was Materie ist, kommt es zu logischen und physischen Schwierigkeiten, die nur beantwortet wurden de Broglie und Schrödingers Theorie der Materiewellen.

Dies ergibt sich auch aus dem Nachdenken über Diracs weise Bemerkung: Wenn «groß» und «klein» nur relative Begriffe sind, hat es keinen Sinn, das Große in Bezug auf das Kleine zu erklären ... es muss eine geben absolute Bedeutung für die Größe.

Ist Materie ein Pulver oder eine Flüssigkeit, die gleichmäßig und kontinuierlich verteilt ist und jede Dichte annehmen kann (kurz vor unendlich)? Dann muss diese Sphäre gleichmäßig verteilter Materie in endlicher Zeit auf einen Punkt unendlicher Dichte schrumpfen ... Warum sollte Materie starr und inkompressibel sein? Wirklich, das ist ohne die Wellentheorie der Materie unerklärlich. Schrödingers Gleichung zeigt, dass, wenn eine Materiewelle aus irgendeinem Grund zu komprimieren beginnt, sie eine Rückstellkraft erfährt, um der Kompression entgegenzuwirken, so dass sie nicht über einen bestimmten Punkt hinausgehen kann (ohne mehr Energie hinein zu gießen).
Siehe das zugehörige https://physics.stackexchange.com/a/18421/6432. Nur so kann erklärt werden, warum das Konzept des «Partikels» eine gewisse Gültigkeit haben kann und nicht noch etwas Kleineres benötigt, um es zu erklären.

In seinen Prinzipien der Quantenmechanik skizziert Dirac einige inhärente theoretische Probleme mit der klassischen Mechanik, die einige dazu motivieren könnten, einige der Grundprinzipien der Quantenmechanik als erwartete grundlegende Merkmale der Physik ohne Bezugnahme auf die zu betrachtentatsächliche Experimente, die zur genauen Version der Quantenmechanik führten, wie wir sie heute verstehen.Natürlich skizziert Dirac auch die experimentellen Fehler der klassischen Mechanik in demselben Kapitel, in dem er diese theoretischen Überlegungen erwähnt (tatsächlich erwähnt er die experimentellen Fehler vor den theoretischen Überlegungen - wahrscheinlich aus dem offensichtlichen Grund, den niemand gerne annehmen würdedie eher vagen theoretischen Bedenken hinsichtlich eines so erfolgreichen Schemas der klassischen Mechanik sehr ernst, bis sie mit der brutalen Tatsache konfrontiert werden, dass das Schema in der Tat nicht allgemein angemessen ist).In diesem Vorwort finden Sie die theoretischen Überlegungen, die Dirac angestellt hat:

Wenn wir die endgültige Struktur der Materie erklären wollen, kann sie in der klassischen Denkweise nicht verstanden werden. Denn der klassische Ansatz wäre, die makroskopische Materie hinsichtlich ihrer mikroskopischen Bestandteile zu verstehen. Aber das Problem ist "Zu welchem ​​Zweck?". Klassisch könnte man sich klar vorstellen, dass diese mikroskopischen Bestandteile weiter aus noch mehr mikroskopischen Bestandteilen bestehen. (Und wenn Sie darüber nachdenken, ergibt dies wirklich eine Menge Struktur (Informationen, wenn Sie dies wünschen) für Materie, die nicht berücksichtigt werden kann, wenn wir die endlichen spezifischen Wärmekapazitäten von Materie messen. Erklären Sie also das Große mit den Begriffen des Kleinen kann nicht erfolgreich sein, bis wir wissen, wo wir aufhören sollen. Und es kann keinen logischen Haltepunkt geben, es sei denn, wir haben eine absolute Bedeutung für das Kleine. Der einzige generische Begriff von groß und klein kann in Bezug auf die Störung definiert werden, die eine Messung für das Kleine verursacht Da der klassische Gedanke besagt, dass die Messungen so sanft sein können, wie wir wollen, gibt es kein absolut kleines, da für eine ausreichend sanfte Messung jedes System als ausreichend groß angesehen werden kann. Der einzige Ausweg ist, dass es eine gibt Beschränken Sie sich darauf, wie sanft die Messungen im Prinzip sein können - denn dies erleichtert die Vorstellung eines absolut kleinen Maßstabs. Der Maßstab, in dem Bestandteile ohne weitere interne Struktur wirklich als strukturlos behandelt werden können. Sobald wir haben Wenn wir so weit gekommen sind, können wir weiter behaupten, dass das Ergebnis dieser Messungen nicht kausal aus dem vorherigen Zustand des Systems folgen kann, der - unter der Annahme - durch die Unfreundlichkeit des Systems gestört werden muss, da bestimmte Messungen notwendigerweise bis zu einem gewissen Grad unempfindlich sind Messung.

Wir haben also die unvermeidliche Unsicherheit und die Unvermeidlichkeit der Wahrscheinlichkeitscharakteristik der Messergebnisse. Natürlich ist das alles extrem handgewellt, aber da das OP um etwas rein Theoretisches gebeten hat, dachte ich, dass dies so weit wie möglich von rein theoretischen Überlegungen entfernt sein muss, denn so weit ist Dirac gegangen!

PS: Es gibt einen sehr losen Weg, die pfadintegrale Version der Quantenmechanik aus der klassischen Mechanik ganz teilweise zu motivieren, ohne auf irgendeine andere Diskussion der Quantenmechanik Bezug zu nehmen. Das heißt, das Handlungsprinzip religiös ernst zu nehmen. Das heißt, da das Aktionsprinzip die gesamte Trajektorie auf einmal aus allen anderen möglichen Trajektorien auszuwählen scheint, anstatt den Pfad stiefmütterlich nach dem explizit deterministischen Newtonschen Bewegungsgesetz zu bestimmen, wenn wir dies erhöhen wollen Unterscheidungsmerkmal des Aktionsprinzips ( aus irgendeinem mysteriösen Grund), dann können wir sagen, dass das Partikel tatsächlich alle möglichen Wege berücksichtigt, um von einem Punkt zum anderen zu gelangen. Dies könnte möglicherweise dazu motivieren, das Teilchen tatsächlich als Überlagerung all dieser Trajektorien zu betrachten. Der Rest der Funktionen bleibt jedoch noch recht unklar.

Die klassische Mechanik ist auf der einen Seite keine endgültige Theorie und auf der anderen Seite nicht weiter zerlegbar. Sie können es also nicht verbessern, es wird so gegeben, wie es ist.

Zum Beispiel können Sie nicht erklären, warum ein sich bewegender Körper, der vom vorherigen Punkt seiner Flugbahn verschwindet, am infinitesimalen Nahpunkt wieder erscheinen sollte, aber keinen Meter vor ihm erscheinen kann (Teleportation). Was bedeutet es, die Flugbahn auf eine durchgehende Linie zu beschränken? Keine Antwort. Das ist Axiom. Sie können keinen MECHANISMUS zum Einschränken erstellen.

Ein weiteres Beispiel: Sie können nicht aufhören, Körper in Teile zu zerlegen. Sie können keine endgültigen Elemente (Partikel) erreichen, und wenn Sie dies tun, können Sie nicht erklären, warum diese Partikel nicht mehr unteilbar sind. Die Angelegenheit sollte in Klassikern kontinuierlich sein, während Sie sich nicht vorstellen können, wie materielle Punkte existieren.

Sie können auch nicht erklären, wie das gesamte unendliche Universum gleichzeitig in seinen gesamten Informationen existieren kann. Was passiert in einer absolut geschlossenen Box oder was passiert in absolut unerreichbaren Regionen der Raumzeit? Klassiker neigen dazu zu denken, dass die Realität auch dort real ist. Aber wie kann es sein, wenn es absolut nicht nachweisbar ist? Der wissenschaftliche Ansatz besagt, dass nur das Messbare existiert. Wie kann es also in einer absolut geschlossenen Box (mit einer Katze darin) Realität werden?

In der klassischen Mechanik kann man die absolute Identität von Bausteinen nicht erreichen. Wenn zum Beispiel alle Atome aus Protonen, Neutronen und Elektronen bestehen, sind diese Teilchen ähnlich, aber nicht gleich. Zwei Elektronen in zwei verschiedenen Atomen sind im Klassiker nicht gleich, sie sind zwei Kopien eines Prototyps, aber nicht der Prototyp selbst. Sie können also keine wirklich grundlegenden Bausteine ​​der Realität in Klassikern definieren.

Sie können keinen Indeterminismus in Klassikern definieren. Sie können nicht realisierte Möglichkeiten im Klassiker definieren und können nicht sagen, was mit einer Möglichkeit geschehen ist, die möglich, aber nicht realisiert war.

In Klassikern kann man keine Nichtlokalität definieren. Bei Klassikern gibt es nur zwei Möglichkeiten: Ein Ereignis beeinflusst ein anderes (Ursache und Wirkung) und zwei Ereignisse sind unabhängig voneinander. Sie können sich nicht vorstellen, dass zwei Ereignisse miteinander korrelieren, sich aber nicht gegenseitig beeinflussen! Dies ist bei Klassikern möglich, aber unvorstellbar!