Die im QM verwendete Wahrscheinlichkeitstheorie unterscheidet sich grundlegend von der aus folgendem Grund üblicherweise verwendeten: Der Raum der Ereignisse ist nicht kommutativ (genauer gesagt nicht boolesch strong) >) und diese Tatsache beeinflusst die bedingte Wahrscheinlichkeitstheorie zutiefst. Die Wahrscheinlichkeit, dass A passiert, wenn B passiert, wird in der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie und in der Quantentheorie unterschiedlich berechnet, wenn A und B quanteninkompatible Ereignisse sind. In beiden Fällen ist die Wahrscheinlichkeit ein Maß für ein Gitter , im klassischen Fall ist das Gitter jedoch ein Boolesches (eine $ \ sigma $ span> -algebra), im Quantenfall nicht.

Um es klarer zu machen, ist die klassische Wahrscheinlichkeit eine Karte $ \ mu: \ Sigma (X) \ bis [0,1] $ span>, so dass $ \ Sigma (X) $ span> eine Klasse ist von Teilmengen der Menge $ X $ span> einschließlich $ \ Emptyset $ span>, geschlossen in Bezug auf das Komplement und das zählbare Vereinigung und so, dass $ \ mu (X) = 1 $ span> und: $$ \ mu (\ cup_ {n \ in \ mathbb N} E_n) = \ sum_n \ mu (E_n) \ quad \ mbox {wenn $ E_k \ in \ Sigma (X) $ mit $ E_p \ cap E_q = \ Emptyset $ für $ p \ neq q $. } $$ span> Die Elemente von $ \ Sigma (X) $ span> sind die Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeit $ \ mu ist $ span>. In dieser Ansicht beispielsweise, wenn $ E, F \ in \ Sigma (X) $ span>, $ E \ cap F. $ span> wird logisch als das Ereignis " $ E $ span> AND $ F $ span>" interpretiert. In ähnlicher Weise entspricht $ E \ cup F $ span> " $ E $ span> ODER $ F $ span>" und $ X \ setminus F $ span> hat die Bedeutung von "NOT $ F $ span> "und so weiter. Die Wahrscheinlichkeit von $ P $ span>, wenn $ Q $ span> angegeben wird, wird überprüft $$ \ mu (P | Q) = \ frac {\ mu (P \ cap Q)} {\ mu (Q)} \ :. \ tag {1} $$

Wenn Sie stattdessen ein Quantensystem betrachten, gibt es "Ereignisse", dh elementare "Ja / Nein" -Sätze, die experimentell testbar sind und die nicht durch logische Operatoren AND und OR verbunden werden können.

Ein Beispiel ist $ P = $ span> "die $ x $ span> -Komponente des Spins dieses Elektrons ist $ 1/2 $ span> "und $ Q = $ span>" der $ y $ span> -Komponente ist $ 1/2 $ span>". Es gibt kein experimentelles Gerät, das $ P $ span> und $ Q $ span> einen Wahrheitswert zuweisen kann gleichzeitig , so dass elementare Sätze wie " $ P $ span> und $ Q $ span>" keine ergeben Sinn. Satzpaare wie $ P $ span> und $ Q $ span> oben sind physikalisch nicht kompatibel .

In Quantentheorien (die elementarste Version von Neumanns) werden die Ereignisse eines physikalischen Systems durch die orthogonalen Projektoren eines trennbaren Hilbert-Raums dargestellt. $ H. $ span>. Die Menge $ {\ cal P} (H) $ span> dieser Operatoren ersetzt die klassische $ \ Sigma (X) $ .

Im Allgemeinen ist die Bedeutung von $ P \ in {\ cal P} (H) $ span> ungefähr so "Der Wert des beobachtbaren $ Z $ span> gehört zur Teilmenge $ I \ subset \ mathbb R $ span>" für einige beobachtbare $ Z $ span> und einige setzen $ I $ span>. Es gibt ein Verfahren zum Integrieren einer solchen Klasse von Projektoren, die in realen Teilmengen gekennzeichnet sind, um einen selbstadjunkten Operator $ \ hat {Z} $ span> zu erstellen, der der beobachtbaren $ Z $ span>, und dies ist nichts anderes als die physikalische Bedeutung des spektralen Zerlegungssatzes .

Wenn $ P, Q \ in {\ cal P} (H) $ span>, gibt es zwei Möglichkeiten: $ P $ und $ Q $ span> pendeln oder nicht .

Von Neumanns grundlegendes Axiom besagt, dass Kommutativität die mathematische Entsprechung der physikalischen Kompatibilität ist .

Wenn $ P $ span> und $ Q $ span> pendeln, $ PQ $ span> und $ P + Q-PQ $ span> sind immer noch orthogonale Projektoren, dh Elemente von $ {\ cal P} (H) $ span>.

In dieser Situation entspricht $ PQ $ span> " $ P $ span> AND $ Q $ span> ", während $ P + Q-PQ $ span>" $ P $ span> ODER $ Q $ span>" usw., insbesondere "NOT $ P $ span> "wird immer als orthogonaler Projektor auf $ P (H) ^ \ perp $ span> (der orthogonale Unterraum von $ P (H) $ span>), und jeder klassische Formalismus gilt auf diese Weise. Tatsächlich hat eine maximale Menge von paarweise pendelnden Projektoren formale Eigenschaften, die mit denen der klassischen Logik identisch sind: ist ein boolescher $ \ sigma $ span> -Algebra.

In diesem Bild ist ein Quantenzustand eine Karte, die die Wahrscheinlichkeit $ \ mu (P) $ span> festlegt, dass $ P $ span> wird experimentell für jeden $ P \ in {\ cal P} (H) $ span> verifiziert muss erfüllen: $ \ mu (I) = 1 $ span> und $$ \ mu \ left (\ sum_ {n \ in \ mathbb N} P_n \ rechts) = \ sum_n \ mu (P_n) \ quad \ mbox {wenn $ P_k \ in {\ cal P} (H) $ mit $ P_p P_q = P_qP_p = 0 $ für $ p \ neq q $.} $$ span>

Der berühmte Gleason-Satz legt fest, dass, wenn $ \ text {dim} (H. ) \ neq 2 $ span>, die Kennzahlen $ \ mu $ span> haben alle die Form $ \ mu (P. ) = \ text {tr} (\ rho_ \ mu P) $ span> für einen gemischten Zustand $ \ rho_ \ mu $ span> (ein positiver Trace-Klassenoperator mit Einheitenspur), biunivokal bestimmt durch $ \ mu $ span> .In der konvexen se Bei den Zuständen sind die extremen Elemente die standardmäßigen reinen Zustände . Sie werden bis zu einer Phase durch Einheitsvektoren $ \ psi \ in H $ span> bestimmt, so dass mit einigen trivialen Berechnungen (Abschluss von $ \ psi_ \ mu $ span> auf eine orthonormale Basis von $ H $ span> und verwendet diese Basis zur Berechnung der Ablaufverfolgung), $$ \ mu (P) = \ langle \ psi_ \ mu | P \ psi_ \ mu \ rangle = || P \ psi_ \ mu || ^ 2 \ :. $$ span>

(Heutzutage gibt es eine verallgemeinerte Version dieses Bildes, in der die Menge $ {\ cal P} (H) $ span> durch die Klasse des begrenzten Positivs ersetzt wird Operatoren in $ H $ span> (die sogenannten "Effekte") und Gleasons Theorem werden durch Buschs Theorem mit einer sehr ähnlichen Aussage ersetzt.)

Die Quantenwahrscheinlichkeit wird daher von der Karte für einen gegebenen allgemein gemischten Zustand angegeben. $ \ rho $ span>, $$ {\ cal P} (H) \ ni P \ mapsto \ mu (P) = \ text {tr} (\ rho_ \ mu P) $$ span>

Es ist klar dass, sobald man sich mit physikalisch inkompatiblen Aussagen befasst, (1) nicht gelten kann, nur weil es nichts gibt wie $ P \ cap Q $ span> in der Menge der physikalisch sinnvollen Quantensätze. All dies liegt an der Tatsache, dass der Raum der Ereignisse $ {\ cal P} (H) $ span> ist jetzt ein nicht kommutativer str Ein Satz von Projektoren, der zu einem nicht-booleschen Gitter führt.

Die Formel, die (1) ersetzt, lautet jetzt:

$$ \ mu (P | Q) = \ frac {\ text {tr} (\ rho_ \ mu QPQ)} {\ text {tr} (\ rho_ \ mu Q)} \ tag {2} \ :. $$ span>

Darin ist $ QPQ $ span> ein orthogonaler Projektor und kann als " $ P interpretiert werden $ span> AND $ Q $ span> "(dh $ P \ cap Q $ span>) wenn $ P $ span> und $ Q $ span> kompatibel sind. In diesem Fall gilt (1) wieder. (2) führt zu allen "seltsamen Dingen", die in Quantenexperimenten auftauchen (wie im Doppelspalt). Insbesondere ergibt sich aus (2) die Tatsache, dass im QM Wahrscheinlichkeiten durch Kombinieren komplexer Wahrscheinlichkeitsamplituden berechnet werden.

(2) stützt sich nur auf das von Neumann-Luders-Reduktionspostulat , das besagt, dass, wenn das Ergebnis der Messung von $ P \ in {\ cal P} (H) $ span> ist JA, wenn der Status $ \ mu $ span> war (dh $ \ rho_ \ mu $ span>), der Status unmittelbar nach der Messung ist $ \ mu '$ span>, der $ \ rho _ {\ mu '} $ span> mit

$$ \ rho _ {\ mu'}: = \ frac { P \ rho_ \ mu P} {\ text {tr} (\ rho_ \ mu P)} \ :. $$ span>

ADDENDUM . Tatsächlich ist es möglich, den Begriff der logischen Operatoren AND und OR für alle Elementpaare in $ {\ cal P} (H) $ span> zu erweitern, und das war das Programm von Neumann und Birkhoff (die Quantenlogik ). Tatsächlich erlaubt es nur die Gitterstruktur von $ {\ cal P} (H) $ span>, oder besser ist es. Mit diesem erweiterten Begriff von AND und OR ist " $ P $ span> AND $ Q $ span>" den orthogonalen Projektor auf $ P (H) \ cap Q (H) $ span> , während " $ P $ span> OR $ Q $ span> "ist der orthogonale Projektor auf die Schließung des Raums $ P (H) + Q (H) $ span> . Wenn $ P $ span> und $ Q $ span> diese Begriffe von AND und OR auf die Standardbegriffe reduzieren. Mit den erweiterten Definitionen wird $ {\ cal P} (H) $ span> jedoch zu einem Gitter im richtiger mathematischer Sinn, wobei die partielle Ordnungsbeziehung durch die Standardeinbeziehung geschlossener Teilräume gegeben ist ( bedeutet $ P \ geq Q $ span> $ P (H) \ supset Q (H) $ span>). Der Punkt ist, dass die physikalische Interpretation dieser Erweiterung von AND und OR ist unklar. Das resultierende Gitter ist jedoch nicht boolesch. Mit anderen Worten, zum Beispiel sind diese erweiterten UND- und ODER-Verteilungen nicht so verteilend wie die Standard-UND- und ODER-Verknüpfungen (dies zeigt ihre Quantennatur). Behalten Sie jedoch auch die Definition von "NOT $ P $ span>" als orthogonaler Projektor für $ P (H) ^ \ perp bei $ span>, die gefundene Struktur von $ {\ cal P} (H) $ span> ist bekannt: Ein $ \ sigma $ span> -vollständig, begrenzt, orthomodular, trennbar, atomar, irreduzibel und Überprüfung der Bedeckungseigenschaft, Gitter. Um 1995 wurde von Solér definitiv eine Vermutung von Neumanns Behauptung bewiesen, dass es nur drei Möglichkeiten gibt, solche Gitter praktisch zu realisieren: Das Gitter orthogonaler Projektoren in einem trennbaren komplexen Hilbert-Raum, das Gitter von orthogonalen Projektoren in einem trennbaren realen Hilbert-Raum, das Gitter von orthogonalen Projektoren in einem trennbaren quaternionischen Hilbert-Raum.

Der Satz von Gleason ist in den drei Fällen gültig. Die Erweiterung des quaternionc-Falls wurde von Varadarajan in seinem berühmten Buch 1 über die Geometrie der Quantentheorie erhalten, jedoch wurde eine Lücke in seinem Beweis in diesem veröffentlichten Artikel behoben, den ich mitverfasst habe 2

Unter der Annahme einer Poincaré-Symmetrie, zumindest für Elementarsysteme (Elementarteilchen), kann der Fall realer und quaternionischer Hilbert-Räume ausgeschlossen werden (hier sind zwei veröffentlichte Arbeiten, die ich gemeinsam habe) zu diesem Thema verfasst: 3 und 4).

ADDENDUM2 . Nach einer Diskussion mit Harry Johnston denke ich, dass eine interpretative Bemerkung über den probabilistischen Inhalt des Zustands $ \ mu $ span> in dem oben dargestellten Bild erwähnenswert ist. In QM ist $ \ mu (P) $ span> die Wahrscheinlichkeit, dass, wenn ich ein bestimmtes Experiment durchgeführt habe (um $ zu überprüfen P $ span>), $ P $ span> würde sich als wahr herausstellen. Es scheint, dass es hier einen Unterschied in Bezug auf den klassischen Begriff der Wahrscheinlichkeit gibt, auf den angewendet wird klassische Systeme. Dort bezieht sich die Wahrscheinlichkeit hauptsächlich auf etwas, das bereits existiert (und auf unser unvollständiges Wissen darüber). In der oben vorgestellten Formulierung von QM I bezieht sich die Wahrscheinlichkeit stattdessen auf das, was passieren wird, wenn ...

ADDENDUM3 . Für $ n = 1 $ span> ist der Satz von Gleason gültig und trivial. Für $ n = 2 $ span> ist ein Gegenbeispiel bekannt. $ \ mu_ \ nu (P) = \ frac {1} {2} (1+ (v \ cdot n_P) ^ 3) $ span> wobei $ v $ span> ist ein Einheitsvektor in $ \ mathbb R ^ 3 $ span> und $ n_P $ span> ist der Einheitsvektor in $ \ mathbb R ^ 3 $ span>, der dem orthogonalen Projektor $ P zugeordnet ist: \ mathbb C ^ 2 \ bis \ mathbb C ^ 2 $ span> in der Bloch-Sphäre: $ P = \ frac {1} {2} \ left (I + \ sum_ { j = 1} ^ 3 n_j \ sigma_j \ right) $ span>.

ADDENDUM4 . Unter dem Gesichtspunkt der Quantenwahrscheinlichkeit hat das Reduktionspostulat von Neumann-Luders eine sehr natürliche Interpretation. Angenommen, $ \ mu $ span> ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß über dem Quantengitter $ {\ cal P} (H) $ span> repräsentiert einen Quantenzustand und nimmt an, dass die Messung von $ P \ in {\ cal P} (H) $ span> in diesem Zustand das Ergebnis $ 1 $ span>. Der Zustand nach der Messung wird daher durch $ \ mu_P (\ cdot) = \ mu (P \ cdot P) $ span> dargestellt, nur im Hinblick auf das oben erwähnte Postulat.

Es ist leicht zu beweisen, dass $ \ mu_P: {\ cal P} (H) \ bis [0,1] $ span> das einzige Wahrscheinlichkeitsmaß ist so dass $$ \ mu_P (Q) = \ frac {\ mu (Q)} {\ mu (P)} \ quad \ mbox {wenn $ Q \ leq P $} \ :. $$ span>

Nach mehr Überlegungen gibt es einen eindeutigen philosophischen Unterschied mit praktischen Auswirkungen. Das Zwei-Spalt-Experiment liefert ein gutes Beispiel dafür.

In einem klassischen Universum ging jedes bestimmte Photon, das auf den Bildschirm trifft, entweder durch Spalt A oder durch Spalt B. Auch wenn wir uns nicht die Mühe gemacht haben, zu messen dies oder das andere ist immer noch passiert, und wir können $ P (A) $ und $ P (B) $ sinnvoll definieren.

In einem Quantenuniversum, wenn wir uns nicht die Mühe gemacht haben, welchen Spalt zu messen ein Photon ging durch, dann ist es nicht wahr, dass es durch den einen oder anderen Schlitz gegangen ist. Man könnte sagen, es hat beides durchgemacht, obwohl selbst das nicht ganz stimmt; Alles, was wir wirklich sagen können, ist, dass es "durch die Schlitze gegangen ist".

(Die Frage, welchen Schlitz ein Photon im Zwei-Schlitz-Experiment durchlaufen hat, ist wie die Frage, was die Religion des Photons ist. Es ist einfach nicht so eine sinnvolle Frage.)

Das bedeutet, dass $ P (A) $ und $ P (B) $ einfach nicht existieren. Hier kommt eine der praktischen Implikationen ins Spiel: Wenn Sie QM nicht richtig verstehen [Ich lüge hier ein bisschen; Ich werde darauf zurückkommen.] Dann können Sie immer noch eine Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Teilchen den Spalt A durchlaufen hat, und eine Wahrscheinlichkeit, dass es den Spalt B durchlaufen hat. Wenn Sie dann versuchen, die übliche Mathematik auf diese Wahrscheinlichkeiten anzuwenden, ist dies nicht der Fall arbeiten, und dann beginnen Sie zu sagen, dass die Quantenwahrscheinlichkeit nicht den gleichen Regeln wie die klassische Wahrscheinlichkeit folgt.

(Eigentlich berechnen Sie wirklich, wie hoch die Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse gewesen wären Wenn Sie sich entschieden haben, sie zu messen. Da Sie dies nicht getan haben, sind sie bedeutungslos und die Mathematik trifft nicht zu.)

Also: Der philosophische Unterschied besteht darin, dass beim Studium von Quantensystemen im Gegensatz zu klassischen Systemen die Wahrscheinlichkeit, dass etwas passiert wäre, wenn Sie es gemessen hätten, im Allgemeinen nicht aussagekräftig ist, es sei denn, Sie haben es tatsächlich getan. Die praktische Implikation ist, dass Sie nachverfolgen müssen, was Sie gemessen oder nicht gemessen haben, um eine ungültige Berechnung zu vermeiden.

(In klassischen Systemen sind die meisten syntaktisch gültigen Fragen sinnvoll, es hat einige Zeit gedauert Um das oben angegebene Gegenbeispiel zu finden: In der Quantenmechanik sind die meisten Fragen nicht aussagekräftig und Sie müssen wissen, was Sie tun, um die zu finden, die es sind.)

Beachten Sie, dass das Verfolgen, ob Sie etwas gemessen haben oder nicht, keine abstrakte Übung ist, die auf Fälle beschränkt ist, in denen Sie versuchen, die Wahrscheinlichkeitstheorie anzuwenden. Dies hat einen direkten und konkreten Einfluss auf das Experiment: Wenn Sie im Fall des Zwei-Spalt-Experiments messen, welchen Spalt jedes Photon durchlaufen hat, verschwindet das Interferenzmuster .

(Noch schwieriger: Wenn Sie messen, durch welchen Spalt jedes Photon gegangen ist, und dann die Ergebnisse dieser Messung vor dem Betrachten des Films richtig löschen, wird das Interferenzmuster wieder angezeigt.)

PS: Es kann unfair sein zu sagen, dass die Berechnung einer "hätte" -Wahrscheinlichkeit bedeutet, dass Sie QM nicht richtig verstehen. Es kann einfach bedeuten, dass Sie sich bewusst für eine andere Interpretation entscheiden und es vorziehen, Ihre Wahrscheinlichkeitsauffassung nach Bedarf zu ändern oder zu verallgemeinern. Die Antwort von V. Moretti geht detailliert darauf ein, wie Sie dies tun könnten. Obwohl so etwas interessant ist, scheint es mir nicht von offensichtlichem Nutzen zu sein. (Es ist nicht klar, dass es einen Einblick in das Verschwinden und Wiederauftauchen des Interferenzmusters gibt, wie oben beschrieben.)

Nachtrag: , der nach der Diskussion in den Kommentaren klarer geworden ist. Es scheint, dass die alternative Formulierung Vorteile haben könnte, wenn kompliziertere Szenarien behandelt werden (QFT auf gekrümmter Raumzeit wurde als ein Beispiel genannt). Das ist durchaus plausibel, und ich will sicher nicht implizieren, dass die Arbeit keinen Wert hat; Es ist mir jedoch immer noch nicht klar, dass es als Alternative zum herkömmlichen Ansatz beim Erlernen des grundlegenden QM pädagogisch nützlich ist.

PPS: Abhängig von der Interpretation können andere philosophische Unterschiede in Bezug auf die Natur oder Ursprung der Zufälligkeit. Die Bayes'schen Statistiken sind meines Erachtens breit genug, dass diese Unterschiede nicht von großer Bedeutung sind, und selbst aus frequentistischer Sicht glaube ich nicht, dass sie praktische Auswirkungen haben.

Die Wahrscheinlichkeiten in QM werden durch die quadratischen Amplituden der relevanten Terme in der Wellenfunktion oder durch den Erwartungswert des relevanten Projektors oder POVM angegeben. Es ist jedoch nicht der Fall, dass diese Zahlen immer in einer Weise wirken, die mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung übereinstimmt.

Wenn es beispielsweise zwei sich gegenseitig ausschließende Möglichkeiten gibt, dass ein Ereignis eintritt, dann die Berechnung von Die Wahrscheinlichkeit würde sagen, dass die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist, mit denen es auf jede dieser Arten auftritt. In Einzelphotoneninterferenzexperimenten scheint dies jedoch nicht zu funktionieren. Es gibt zwei Wege durch das Interferometer, das Photon kann nicht auf beiden Wegen gleichzeitig detektiert werden, sie schließen sich also gegenseitig aus, oder? Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass das Photon aus einem bestimmten Port am anderen Ende austritt, sollten Sie einfach die Wahrscheinlichkeit addieren, dass es auf jeder Route verläuft. Diese Berechnung liefert jedoch die falsche Antwort: Sie können jede gewünschte Wahrscheinlichkeit erhalten, indem Sie die Pfadlängen ändern. Siehe:

http://arxiv.org/abs/math/9911150.

Dann haben Sie das Problem zu erklären, unter welchen Umständen die Wahrscheinlichkeitsrechnung gilt.

Sie fragen nach häufigeren Ansätzen zur Quantenwahrscheinlichkeit. Es gibt einige solche Ansätze, z. - Hugh Everetts Arbeit von 1957 und seine Promotion. These:

http://www-tc.pbs.org/wgbh/nova/manyworlds/pdf/dissertation.pdf.

Ich denke, diese Argumente funktionieren nicht, weil der Frequenzansatz selbst nicht funktioniert. Warum sollte die relative Häufigkeit über eine unendliche Anzahl von Proben etwas mit dem zu tun haben, was in einem Labor beobachtet wird? Und wenn es eine Erklärung gibt, warum beschäftigen wir uns dann mit diesem relativen Frequenzmaterial, anstatt die eigentliche Erklärung zu verwenden? Die beste Erklärung für die Anwendbarkeit ist der entscheidungstheoretische Ansatz:

http://arxiv.org/abs/quant-ph/9906015

http://arxiv.org/abs/0906.2718.

Der beste Versuch, die Umstände zu erklären, unter denen es gilt, sind die Anforderungen, die die Quantenmechanik an die Umstände stellt, unter denen Informationen kopiert werden können:

http://arxiv.org /abs/1212.3245.

Die Anwendung der Wahrscheinlichkeit in anderen Bereichen als der Quantenmechanik ist eine clevere Methode, um Situationen zu modellieren, die so komplex sind, dass die genaue Analyse nicht durchführbar oder zumindest sehr langwierig ist.

Andererseits im QM ist die Natur von Natur aus probabilistisch. Wenn Sie eine Beobachtung machen, hat der Quantenzustand, in dem sich Ihr System befindet, eine Wahrscheinlichkeit für jedes mögliche Ergebnis. Es ist kein Trick mehr, Berechnungen durchzuführen. Es ist ein Merkmal der Natur. Das ist der Unterschied.

Vielleicht finden Sie den Aufsatz Quantentheorie aus fünf vernünftigen Axiomen von Lucien Hardy interessant. In der Zusammenfassung heißt es:

In diesem Artikel wird gezeigt, dass die Quantentheorie aus fünf sehr vernünftigen Axiomen abgeleitet werden kann. Die ersten vier dieser Axiome stimmen offensichtlich sowohl mit der Quantentheorie als auch mit der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie überein. Axiom 5 (das kontinuierliche reversible Transformationen zwischen reinen Zuständen erfordert) schließt die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie aus.

Es gibt einen wichtigen Unterschied, der jedoch nicht grundlegend ist.

In beiden Fällen ergibt sich die Wahrscheinlichkeit aus der Notwendigkeit, die Ergebnisse von zwei inkompatiblen Modellen zu vergleichen, die in unterschiedlichen Maßstäben arbeiten, dem mikroskopischen und dem makroskopischen.

Darwin und Fowler haben vor langer Zeit gezeigt, wie man aus der Quantenmechanik die klassische statistische Mechanik ableitet, den Hauptort in der klassischen Physik, an dem Wahrscheinlichkeiten auftreten. In gewissem Sinne ist die Quantenmechanik von grundlegender Bedeutung, und es gibt kein Problem, den klassischen Fall daraus abzuleiten. Fowler, Statistische Mechanik

Aber ich werde sie trotzdem in der anderen Reihenfolge präsentieren Wenn man in der klassischen Physik beispielsweise ein ideales Gas analysiert, ist das System der $ 10 ^ {23} $ -Partikel deterministisch. Und die Anzahl der Variablen beträgt 6 mal $ 10 ^ {23} $. Dies ist die mikroskopische Ansicht des Gesamtsystems. Man kann aber auch bestimmte Eigenschaften dieses Gases anhand einiger weniger thermodynamischer Variablen, Temperaturdruck und Volumen, untersuchen, die einen Makrozustand beschreiben. In Bezug auf diese Beschreibung ist das System jedoch probabilistisch: Man kennt nur die Wahrscheinlichkeiten, mit denen seine Moleküle eine bestimmte Energie usw. besitzen. Außerdem die Verbindung zwischen den beiden Beschreibungsebenen des Systems, der Mikroebene und dem Makro -level, erfolgt über Messung . Die Messung der Geschwindigkeit eines Moleküls wird durch den langjährigen Durchschnitt über seine Flugbahn seiner Geschwindigkeit modelliert. Dann stellt sich heraus, dass dieses Verfahren für alle normalen Moleküle, sofern sich das System im Gleichgewicht befindet, fast unabhängig davon, welches Molekül oder welche Flugbahn Sie untersuchen, dieselbe Antwort liefert, und Einstein definierte dies als probabilistisch Erwartung der Energie eines Moleküls. Siehe Jan von Plato, Erstellen moderner Wahrscheinlichkeiten. Daher werden nur den Messergebnissen Wahrscheinlichkeiten zugewiesen.

Nun ist nach Feynman und anderen etwas Paralleles in der Quantenmechanik wahr. Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus der Notwendigkeit, Mikrophänomene bis auf die Makroebene zu verstärken, wo wir das Messgerät sehen können, eine Nadel auf einem Zifferblatt, die auf eine Zahl auf dem Zifferblatt zeigt. (Schrödingers Gleichung ist selbst eine deterministische Gleichung, und Wahrscheinlichkeiten kommen nur in die Messaxiome.) Die einzigen "Ereignisse" im Sinne der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie, d. H. Dinge, denen Wahrscheinlichkeiten zugewiesen sind, sind die Ergebnisse von Messungen. Und auch hier hat die Messung etwas damit zu tun, den Zustand eines Mikrosystems in Form von Makrozuständen anstelle seiner Mikrozustände reduziert zu beschreiben. Die Nadel auf dem Zifferblatt folgt wirklich den Gesetzen der Quantenmechanik: Sie hat eine Wellenfunktion, ist in einem verschränkten Zustand usw., aber wenn wir sagen "das Ergebnis der Messung war, dass die Nadel auf 3 zeigte", beschreiben wir das Messgerät in klassischen Begriffen, die Makrobegriffe sind. Der Übergang von der Mikrobeschreibung des Teilchens in Bezug auf Quantenkonzepte zu dieser reduzierten Beschreibung bringt Wahrscheinlichkeiten mit sich.

Welche Wahrscheinlichkeiten sind nicht

Es ist ein Mythos, dass die Wahrscheinlichkeiten klassisch sind statistische Mechanik beruht auf Unwissenheit oder ist subjektiv. Sie entstehen nur, weil man seine Aufmerksamkeit auf die normale Zelle der Mikrozustände (normale Zelle im Sinne von Darwin und Fowler) beschränkt und außergewöhnliche Zustände ignoriert. Die Definition von "normal" ist objektiv: Zustände können in Zustandszellen eingeteilt werden: alle Zustände, die dieselben zeitlichen Durchschnittseigenschaften besitzen. Die normale Zelle ist die größte Zelle. In der thermodynamischen Grenze ist die normale Zelle nicht nur die größte, sondern auch die einzige mit positivem Volumen. Alle anderen Zellen sind lediglich Grenzen mit geringerer Dimension.

Es ist ein Mythos, dass die Wahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik irgendwie "nicht kommutativ" sind. Das Problem ist nicht, dass es nicht pendelnde Observable gibt. Wenn Sie den Impuls messen, ist der Versuchsaufbau ziemlich eindeutig, und der Raum der Ereignisse hängt vom physischen Aufbau ab und hat nur die Ergebnisse der Impulsmessung. Wenn das Messgerät zur Messung des Impulses geeignet ist, sind die Ergebnisse für die Position keine Ereignisse. Das Setup schließt das Messen der Position aus, sodass Positionsmessungen in diesem Setup nicht möglich sind. Und umgekehrt. Es gibt keinen übergreifenden Wahrscheinlichkeitsraum mit beiden Arten von Ereignissen, wie Mathematiker, die die sogenannte "Quantenwahrscheinlichkeit" oder "Nichtkommutative Wahrscheinlichkeit" naiv studieren, naiv annehmen. Bohr lehrte uns, dass Sie, wenn Sie die Vorrichtung für eine Art von Messung (z. B. Impuls) einrichten, die Möglichkeit der anderen Art von komplementärer Messung (z. B. Position) physikalisch ausschließen. Das bedeutet, dass Sie entweder in einem Wahrscheinlichkeitsraum mit Ereignissen und normalen Maßzahlen für ihre Wahrscheinlichkeit arbeiten oder sich in einem völlig anderen Wahrscheinlichkeitsraum mit eigenen Ereignissen und einem eigenen Maß befinden. Nun würde niemand sagen, dass ein Operator auf Raum A entweder mit einem Operator auf einem völlig anderen Raum B pendelte oder nicht mit diesem pendelte, und das ist es, was wir hier haben.

ANTWORT: In der probabilistischen Formulierung der Quantenmechanik (Copenhagen Interpretation-CIQM) können sich vor der Messung keine gegenseitig ausschließenden Ereignisse existieren, da CIQM maximal erforderlich ist, um den lokalen Realismus zu verletzen und minimal es könnte das Prinzip der Lokalität brechen. Und nach der Messung besteht das von Ihnen erwähnte Problem nicht, da es durch eine viel größere Herausforderung beseitigt wird, d. H. Die Gleichzeitigkeit von zwei räumlich getrennten Ereignissen oder quantenmechanisch getrennten Ereignissen (wobei die beiden nicht unbedingt gleichwertig sind). Bitte starten Sie von der Karte in https://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_locality.

Building Blocks

• ($ 0000 $) - Zuallererst ist das Konzept der Wahrscheinlichkeit ein Entwurf der Copenhagen-Interpretation der Quantenmechanik, bei der man einem Teilchen eine Wellenfunktion (mit allen Eigenschaften einer Welle) entspricht; Dadurch baut man einen direkten mathematischen Kanal zwischen Teilchen- und Wellenverhalten auf. In diesem Bild können Sie diese Naturen nicht trennen. Dieser sehr wichtige erste Schritt wird durch das " Prinzip der Komplementarität " ausgedrückt.

• ($ 000 $) Jetzt ist dieses Bild nicht vollständig und um dies anzuhängen Bild zu greifbarer Erfahrung, sie " entsprechen " dem Quadrat der Amplitude der Wellenfunktion zur Wahrscheinlichkeit des Teilchens an einem bestimmten Punkt in Raum und Zeit sein.

WARNING: Ihre Frage bezieht sich auf diese Entsprechung, nicht direkt auf den Begriff der Wahrscheinlichkeit.

Nun möchte ich auf zwei weitere Bausteine ​​des Kopenhagener QM hinweisen, die Ihre probabilistische Korrespondenz vervollständigen:

Quantenmechanische Wahrscheinlichkeit

• ($ 00 $) IN QM sind Raum und Zeit genau wie in der klassischen Mechanik kontinuierlich und der Impuls ist für die Verschiebung (Übersetzung) verantwortlich. Aber Übersetzung von was in was? Übersetzung von komplexen Vektoren aus dem Hilbert-Raum (Ket-Zustände) , die grundlegende abstrakte mathematische Darstellungen sind, die für diese neue indirekte Darstellung der physikalischen Phänomene erforderlich sind, in der gewöhnliche dreidimensionale Raum . Diese Ket-Zustände bilden einen Vektorraum, der ein Dual hat, d. H. Den Bra-Raum. Quantum mechanische Wahrscheinlichkeiten werden basierend auf dem inneren Produkt von Elementen aus BH- und Ket-Räumen definiert. Zum Beispiel ist $ | \ alpha \ rangle $ ein Ket-Zustand, der BH-Zustand $ \ langle \ alpha | $ ist sein Dual, und das innere Produkt von $ \ langle \ beta | $ und $ | \ alpha \ rangle $ wird bezeichnet von $ \ langle \ beta | \ alpha \ rangle $. Die Wahrscheinlichkeit, $ | \ beta \ rangle $ in $ | \ alpha \ rangle $ zu finden, entspricht, basierend auf den Grundprinzipien der Wahrscheinlichkeitstheorie, dem Finden von $ | \ alpha \ rangle $ in $ | \ beta \ rangle $ ist dann gegeben durch

$$ \ left | \ langle \ beta | \ alpha \ rangle \ right | ^ 2 = \ left | \ langle \ alpha | \ beta \ rangle \ right | ^ 2 $$

Dies entspricht einem der beiden wichtigen Postulate der inneren Produkte im Hilbert-Raum:

$$ \ langle \ beta | \ alpha \ rangle = \ langle \ alpha | \ beta \ rangle ^ * $$

Das zweite Postulat heißt das Postulat einer positiven bestimmten Metrik, nach der

$$ \ langle \ alpha | \ alpha \ rangle \ geq 0 $$

Ein weiteres wichtiges Merkmal betrifft die Erhaltung der Wahrscheinlichkeit beim Übersetzen der Ket-Zustände; So extrahiert man die Einheitlichkeit der Übersetzungsoperatoren. Ich glaube, dies ist wahrscheinlich das wichtigste Postulat in Bezug auf die quantenmechanische Wahrscheinlichkeit. Dies muss einer Annahme in Bezug auf die Struktur der Raumzeit entsprechen.

• ($ 0 $) Wenn nun zwei quantenmechanische Zustände, die den Anfangszustand eines Ereignisses beschreiben, orthogonal sind, bleiben sie orthogonal und entwickeln sich rechtzeitig; weil der Zeitentwicklungsoperator einheitlich ist. Daher würden sich zwei disjunkte quantenmechanische Ereignisse überhaupt nicht mit der Zeit vermischen. Diese einfache Hilbert-Raumdarstellung wäre jedoch nicht so einfach, wenn sie in Raum-Zeit projiziert würde. Wenn beispielsweise die Wellenfunktion eines Teilchens Null ist (normalerweise gibt es mehrere solcher Punkte), wäre das Quadrat der Amplitude ebenfalls Null, dh die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen an diesem Punkt der Raumzeit zu finden, wäre währenddessen absolut Null Zum Beispiel kann in den Nachbarpunkten das Teilchen gefunden werden. Es ist, als ob einige Punkte der Raumzeit singulär und wahrscheinlich wären. Der Grund, warum ich es Singular nenne, ist, dass eine Wahrscheinlichkeit von Null darin besteht, absolut nicht da zu sein.

Und der letzte Punkt: Jede Theorie, die gegen Bell's Ungleichung verstößt, wäre nicht lokal invariant und würde Vorhersagen liefern, die kein lokaler Realismus treffen würde.

Die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine entartete Grenze der Quantenwahrscheinlichkeitstheorie. Es gibt also eine asymmetrische Beziehung zwischen den beiden. Sie können die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie vollständig aus der Quantenwahrscheinlichkeitstheorie ableiten, aber nicht umgekehrt. Es ist tatsächlich so, dass die Wahrscheinlichkeiten selbst, die in der realen Welt auftreten, selbst wenn sie fest im klassischen Bereich liegen, immer durch die quadratische Amplitude eines quantenmechanischen Zustandsvektors gegeben sind, der die Physik beschreibt. Wie hier ausgeführt, sind keine Beispiele für klassische Wahrscheinlichkeiten bekannt, die keinen solchen quantenmechanischen Ursprung haben.

Wie im Artikel ausgeführt, kann immer gezeigt werden, dass die Wahrscheinlichkeiten rein quantenmechanischen Ursprungs sind, unabhängig davon, ob Sie Münzwürfe, Wetten auf die Ziffern von pi usw. berücksichtigen oder nicht aus dem angeführten klassischen Denken, das auf unzureichendem Wissen beruht. Die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie ist daher nicht grundlegend, sie sollte als geeignete Annäherung an die Quantenmechanik abgeleitet werden.

Die Mathematik der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie funktioniert jedoch grundlegend anders als die Mathematik der Quantenwahrscheinlichkeitstheorie. Wie kann es dann keinen grundsätzlichen Unterschied geben? Die Antwort ist, dass die klassische Theorie eine entartete Grenze der quantenmechanischen Theorie ist. In der klassischen Grenze verschwinden Kommutatoren des beobachtbaren Verschwindens, sodass Sie mathematisches Denken verwenden können, das in der Quantentheorie nicht zulässig ist. Aber Sie können die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie ohne Probleme innerhalb der Quantenwahrscheinlichkeitstheorie durchführen und dann die klassische Grenze nehmen.