Der harmonische Oszillator ist wichtig, da er eine ungefähre Lösung für nahezu jedes System mit einem Minimum an potentieller Energie darstellt.

Die Argumentation stammt aus der Taylor-Expansion. Stellen Sie sich ein System vor, dessen potentielle Energie durch $ U (x) $ gegeben ist. Sie können $ U $ bei $ x = x_0 $ durch $$ U (x) = U (x_0) + (x-x_0) \ left approximieren. \ Frac {dU} {dx} \ right | _ {x_0} + \ frac {(x-x_0) ^ 2} {2!} \ left. \ frac {d ^ 2U} {dx ^ 2} \ right | _ {x_0} + \ cdots $$ Das System tendiert dazu, sich in die Konfiguration einzugliedern wo $ U (x) $ ein Minimum hat --- aber per Definition verschwindet dort die erste Ableitung $ dU / dx = 0 $. Auch ein konstanter Versatz zu einer potentiellen Energie hat normalerweise keinen Einfluss auf die Physik. Das lässt uns $$ U (x) = \ frac {(x-x_0) ^ 2} {2!} \ Left. \ Frac {d ^ 2U} {dx ^ 2} \ right | _ {x_0} + \ mathcal O (x-x_0) ^ 3 \ approx \ frac12 k (x-x_0) ^ 2 $$ ist das harmonische Oszillatorpotential für kleine Schwingungen um $ x_0 $.

Beachten Sie zunächst, dass es in der Physik mehr als eine Inkarnation des "harmonischen" Oszillators gibt. Bevor Sie also seine Bedeutung untersuchen, ist es wahrscheinlich von Vorteil, zu klären, was er ist.

Was ist der harmonische Oszillator?

In der Physik gibt es mindestens zwei grundlegende Inkarnationen des "harmonischen Oszillators": den klassischen harmonischen Oszillator und das Quanten harmonischer Oszillator. Jedes davon ist eine mathematische Sache, die verwendet werden kann, um einen Teil oder alle bestimmten physikalischen Systeme je nach Kontext entweder exakt oder ungefähr zu modellieren.

Die klassische Version ist in der folgenden gewöhnlichen Differentialgleichung (ODE) für eine unbekannte reelle Funktion $ f $ einer reellen Variablen gekapselt: \ begin {align} f ' '= - \ omega ^ 2 f \ end {align} wobei Primzahlen hier Ableitungen bezeichnen und $ \ omega $ eine reelle Zahl ist. Die Quantenversion wird durch die folgende Kommutierungsbeziehung zwischen einem Operator $ a $ auf einem Hilbert-Raum und seinem angrenzenden $ a ^ \ Dolch $ gekapselt: \ begin {align} [a, a ^ \ dagger] = I. \ end {align} Es mag an dieser Stelle nicht offensichtlich sein, dass diese etwas miteinander zu tun haben, aber sie tun es, und anstatt Ihren Spaß zu verderben, lade ich Sie ein, weitere Untersuchungen durchzuführen, wenn Sie mit dem Quantum nicht vertraut sind harmonischer Oszillator. Wie in den Kommentaren erwähnt, werden $ a $ und $ a ^ \ dagger $ aus Gründen, die wir hier nicht ansprechen, oft als Leiteroperatoren bezeichnet.

Jede Inkarnation harmonischer Schwingung, an die ich denken kann Die Physik läuft darauf hinaus zu verstehen, wie eines dieser beiden mathematischen Dinge für ein bestimmtes physikalisches System relevant ist, ob im genauen oder ungefähren Sinne.

Warum sind diese mathematischen Modelle wichtig?

Kurz gesagt, die Bedeutung sowohl des klassischen als auch des quantenharmonischen Oszillators beruht auf ihrer Allgegenwart - sie sind in der Physik absolut überall anzutreffen. Wir könnten enorm viel Zeit damit verbringen, zu verstehen, warum dies so ist, aber ich denke, es ist produktiver, nur die Verbreitung dieser Modelle anhand einiger Beispiele zu sehen. Ich möchte bemerken, dass, obwohl es sicherlich wahr ist, dass der harmonische Oszillator ein einfaches, elegantes Modell ist, ich denke, dass die Beantwortung Ihrer Frage mit der Aussage, dass es wichtig ist, weil dieser Tatsache die Frage aufwirft . Einfachheit ist keine ausreichende Voraussetzung für die Nützlichkeit, aber in diesem Fall haben wir das Glück, dass das Universum dieses System wirklich "mag".

Wo finden wir den klassischen harmonischen Oszillator?

(Dies ist keineswegs eine vollständige Liste, und Vorschläge für Ergänzungen sind mehr als willkommen!)

1. Messe auf einem Hookeschen Gesetz Frühling (der Klassiker!). In diesem Fall beschreibt die klassische harmonische Oszillatorgleichung die exakte Bewegungsgleichung des Systems.
2. Viele (aber nicht alle) klassische Situationen, in denen sich ein Teilchen bewegt in der Nähe eines lokalen Minimums eines Potenzials (wie Rob in seiner Antwort schreibt). In diesen Fällen beschreibt die klassische harmonische Oszillatorgleichung die ungefähre Dynamik des Systems, sofern seine Bewegung nicht nennenswert vom lokalen Minimum des Potentials abweicht.
3. Klassische Systeme von gekoppelten Oszillatoren . In diesem Fall kann man, wenn die Kopplungen linear sind (wie wenn ein Bündel von Massen durch Hookesche Gesetzfedern verbunden ist), lineare Algebra-Magie (Eigenwerte und Eigenvektoren) verwenden, um normale Moden des Systems zu bestimmen, von denen jede wie eine einzelne Klassik wirkt harmonischer Oszillator. Diese normalen Modi können dann verwendet werden, um die allgemeine Dynamik des Systems zu lösen. Wenn die Kopplungen nicht linear sind, wird der harmonische Oszillator eine Näherung für kleine Abweichungen vom Gleichgewicht
4. Fourier-Analyse und PDEs . Denken Sie daran, dass Fourier-Reihen, die entweder periodische Funktionen auf der gesamten realen Linie oder Funktionen in einem endlichen Intervall darstellen, und Fourier-Transformationen unter Verwendung von Sinus und Cosinus konstruiert werden und die Menge $ \ {\ sin, \ cos \} $ eine Basis bildet für den Lösungsraum der klassischen harmonischen Oszillatorgleichung. In diesem Sinne verwenden Sie jedes Mal, wenn Sie die Fourier-Analyse zur Signalverarbeitung oder zur Lösung einer PDE verwenden, nur den klassischen harmonischen Oszillator für massiv leistungsstarke Steroide.
5. Klassische Elektrodynamik . Dies fällt tatsächlich unter den letzten Punkt, da elektromagnetische Wellen aus der Lösung von Maxwell-Gleichungen stammen, die in bestimmten Fällen die Wellengleichung ergeben, die mithilfe der Fourier-Analyse gelöst werden kann.
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Wo finden wir den Quantenharmonischen Oszillator?

1. Nehmen Sie eines der oben genannten physikalischen Systeme, betrachten Sie eine quantenmechanische Version dieses Systems, und das resultierende System wird vom Quantenharmonischen Oszillator gesteuert. Stellen Sie sich zum Beispiel ein kleines System vor, in dem ein Teilchen in einem quadratischen Potential gefangen ist. Wenn das System ausreichend klein ist, dominieren Quanteneffekte, und der Quantenharmonische Oszillator wird benötigt, um seine Dynamik genau zu beschreiben.
2. Gitterschwingungen und Phononen . (Ein Beispiel für das, was ich in Punkt 1 behaupte, wenn es auf große Systeme gekoppelter Oszillatoren angewendet wird.
3. Quantenfelder. Dies ist vielleicht der grundlegendste und wichtigste Punkt in einem dieser beiden Es stellt sich heraus, dass das grundlegendste physikalische Modell, das wir derzeit haben, nämlich das Standardmodell der Teilchenphysik, letztendlich auf der Quantifizierung klassischer Felder (wie elektromagnetischer Felder) und der Erkenntnis basiert, dass Teilchen im Grunde nur aus Anregungen dieser Felder und dieser entstehen Anregungen werden mathematisch als ein unendliches System gekoppelter quantenharmonischer Oszillatoren modelliert.

Der harmonische Oszillator ist üblich.

Er kommt in vielen alltäglichen Beispielen vor: Pendel, Federn, Elektronik (wie die RLC-Schaltung), stehende Wellen auf einer Saite usw. Es ist trivial, Demonstrationen dieser Phänomene zu erstellen, und wir sehen sie ständig.

Der harmonische Oszillator ist intuitiv

Wir können uns die Kräfte auf Systeme wie z als Pendel oder gezupfte Schnur. Dies macht es einfach, im Klassenzimmer zu lernen. Im Gegensatz dazu gibt es viele "alltägliche" Beispiele, die nicht intuitiv sind, wie der berüchtigte Bernoulli-Effekt das Anheben einer Scheibe durch Abblasen von Luft nach unten . Diese Paradoxe sind großartige Rätsel, aber sie würden (die meisten) Anfänger verwirren.

Der harmonische Oszillator ist mathematisch einfach.

Mathematik ist Teil der Physik. Beim Studium der einfachen harmonischen Bewegung können die Schüler sofort die Formeln verwenden, die ihre Bewegung beschreiben. Diese Formeln sind verständlich: Beispielsweise zeigt die Frequenzgleichung das intuitive Ergebnis, dass eine zunehmende Federsteifigkeit die Frequenz erhöht. Auf einer fortgeschritteneren Ebene können die Schüler die Gleichungen aus ersten Prinzipien ableiten. Die Fähigkeit, ein reales Problem so einfach zu lösen, ist eine klare Demonstration der Verwendung von Mathematik durch die Physik.

Auch das Engineering profitiert stark. Viele Systeme, auch sehr komplexe, sind linear. Komplizierte lineare Systeme wirken als Oszillatoren mit mehreren Harmonischen. Zum Beispiel vibriert eine angeheftete Saite natürlich mit Frequenzen, die ein Vielfaches ihrer Grundfrequenz sind. Jede Bewegung der Saite kann als Summe jeder Komponentenschwingung dargestellt werden, wobei jede Komponente unabhängig von anderen Komponenten ist. Diese Überlagerung ermöglicht es uns, Dinge wie das Zupfen der Saite zu modellieren. Kreisförmige Platten, Gitarrenkammern, Wolkenkratzer, Funkantennen und sogar Moleküle sind komplexer. Überlagerungen und andere Werkzeuge aus der linearen Systemtheorie ermöglichen es uns jedoch immer noch, massive Verknüpfungen für die Berechnung zu verwenden und den Ergebnissen zu vertrauen. Diese Berechnungsmethoden eignen sich auch gut als Lehrmittel für Themen der linearen Algebra und der Differentialgleichungen.

Da der harmonische Oszillator ein bekanntes System ist, das so eng mit grundlegenden Themen in Mathematik, Naturwissenschaften und Ingenieurwissenschaften verbunden ist, ist es eines der am weitesten untersuchten und verstandenen Systeme.

Die anderen Antworten decken bereits viele der wichtigsten Aspekte ab. Eine interessante Anwendung besteht darin, herauszufinden, wie die Form des harmonischen Oszillators mit der Gaußschen (Normal-) Verteilung verbunden ist, einem anderen häufig verwendeten mathematischen Konstrukt. Ich hätte dies vielleicht der Liste von joshphysics vorschlagen können, aber da es einige Details erfordert, um es zu verstehen, habe ich beschlossen, es zu einer eigenständigen Antwort zu machen (aber es ist wirklich eher ein langwieriger Kommentar).

Nehmen Sie $ N. $ unabhängige Zufallsvariablen $ X_i $, jede mit der Varianz $ \ sigma $ und der Einfachheit halber $ 0 $. Die charakteristische Funktion für eine beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung $ P_X $ ist nun $ G_X (k) = \ langle e ^ {ikX} \ rangle = \ int e ^ {ikx} P_X (x) \ mathrm {d} x $. Wenn wir das Exponential in Taylor-Reihen schreiben (wo wir alle Terme nach dem Quadrat abschneiden) $ e ^ {ikx} \ ca. 1 + ixk - \ frac {1} {2} x ^ 2k ^ 2 $, haben wir $ G_X (k) \ ca. 1 - \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2k ^ 2 $.

Definieren Sie nun eine neue Zufallsvariable $ Z = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ N X_i} {\ sqrt {N}} $, also $ G_Z (k) = \ left (G_X \ left (\ frac {k} {\ sqrt {N}} \ right) \ right) ^ N \ approx \ left (1 - \ frac {\ sigma ^ 2k ^ 2} {2N} \ right) ^ N $ und als $ N \ bis \ infty $ (alle Terme höherer Ordnung im Summenabfall) haben wir per Definition $ G_Z (k) = e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2k ^ 2} $ , was dann die Gaußsche Verteilung $$ P_Z (z) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ 2}} e ^ {- \ frac {z ^ 2} {2 \ sigma ^ 2} ergibt } $$

Dies ist eine vereinfachte Ableitung des zentralen Grenzwertsatzes, der in mehreren Bereichen der Wissenschaft von großer Bedeutung ist und wahrscheinlich zu den grundlegendsten Ergebnissen der Statistik gehört.

Beachten Sie, dass bei der Ableitung alle Terme höherer Ordnung (als $ N \ bis \ infty $) ausfielen und der einzige verbleibende Term der quadratische, harmonische Term war. Dies geschieht regelmäßig in Anwendungen über verschiedene Domänen hinweg, aber ich kann keinen fundamentalen Grund nennen, warum dies so sein sollte.

Ich denke, Robs Antwort ist ziemlich umfassend und wahr. Ich möchte nur etwas hinzufügen. Wenn Sie das Potenzial über Taylor-Reihen erweitern, sucht die zweite Ableitung nach einem Tangentialvektor am Punkt $ x_0 $, der der minimale Punkt der Kurve ist, also Null. Wir haben also ein Potential der Form $ \ frac {1} {2} k (x-x_0) ^ 2 $, bei dem wir den Ursprung von x an die Stelle von $ x_0 $ verschoben haben. Wir würden also die Kurve des Potentials einer Parabel annähern. Das macht den harmonischen Oszillator für die Physik wichtig.