Die Physikarbeit auf diesem Gebiet ist streng genug. Hawking und Ellis sind eine Standardreferenz und in Bezug auf die Genauigkeit vollkommen in Ordnung.

Exkurs auf Notation

Wenn Sie beispielsweise eine Tensorkontraktion von mäßiger Komplexität haben :

$$ K_ {rq} = F_ {ij} ^ {kj} G_ {prs} ^ i H ^ {sp} _ {kq} $$

und Sie versuchen es Um es in einer indexfreien Notation auszudrücken, bedeutet dies normalerweise, dass Sie einen Ausdruck in Klammern erstellen, der

$$ K = G (F, H) $$

oder vielleicht

$$ K = F (G, H) $$

Oder etwas anderes. Es ist sehr einfach (rigoros) zu beweisen, dass es keine Klammernotation gibt, die Tensorindexkontraktionen reproduziert, da Klammern durch eine Stapelsprache (kontextfreie Grammatik in Chomskys Klassifikation) analysiert werden, während Indizes auf diese Weise nicht analysiert werden können, da sie allgemein sind Grafiken. Die Klammern erzeugen Analysebäume, und Sie haben immer exponentiell viele maximale Bäume in einem Diagramm, sodass die Notation exponentiell redundant ist.

Dies bedeutet, dass jeder Versuch einer indexfreien Notation, bei der Klammern verwendet werden, wie z. B. Mathematiker do, muss kläglich scheitern: Es wird exponentiell viele verschiedene Ausdrücke für denselben Tensorausdruck haben. In der mathematischen Literatur sehen Sie häufig Tensorräume, die als Karten definiert sind, mit vielen "natürlichen Isomorphismen" zwischen verschiedenen Klassen von Karten. Dies spiegelt die schreckliche Übereinstimmung zwischen funktionaler Notation und Indexnotation wider.

Diagrammatische Formalismen korrigieren das exponentielle Wachstum

Da die Notation in Klammern für Tensoren fehlschlägt und die Indexkontraktion mit Objekten in Paaren übereinstimmt, gibt es viele nützliche schematische Formalismen für Tensorobjekte. Diagramme stellen Kontraktionen auf eine Weise dar, für die kein Name für jeden Index erforderlich ist, da die Diagrammlinien Sockel mit Steckern mit einer Linie abgleichen, ohne einen Namen zu verwenden.

Für die Lorentz-Gruppe und die allgemeine Relativitätstheorie führte Penrose eine schematische Indexnotation ein, die sehr nützlich ist. Für die High-Spin-Darstellungen von SU (2) und ihren Clebsch-Gordon- und Wigner 6-j-Symbolen sind Diagramme vom Typ Penrose unbedingt erforderlich. Ein Großteil der neueren Literatur zu Quantengruppen und Jones-Polynomen hängt beispielsweise vollständig von der Penrose-Notation für SU (2) -Indizes und manchmal auch von SU (3) ab.

Feynman-Diagramme sind der bekannteste Diagrammformalismus , und diese sind auch nützlich, weil die Kontraktionsstruktur von Indizes / Propagatoren in einem Ausdruck der Quantenfeldtheorie zu exponentiellem Wachstum und nicht offensichtlichen Symmetrien führt. Feynman-Diagramme haben die algebraischen Ausdrücke im Schwinger-Stil übernommen, da die algebraischen Ausdrücke im Vergleich zu den Diagrammen dieselbe exponentielle Redundanz aufweisen.

Im Bereich der theoretischen Biologie tritt das gleiche Problem der Explosion der exponentiellen Notation auf. Proteininteraktionsdiagramme sind in der Petri-Netz-Notation oder in algebraischen Ausdrücken exponentiell redundant. Die dort eingeführten Diagrammnotationen lösen das Problem vollständig und ergeben eine gute Übereinstimmung zwischen dem Diagrammausdruck und der Proteinfunktion in einem Modell.

Im Bereich der Semantik innerhalb der Philosophie (wenn noch etwas davon übrig ist) Die Ideen von Frege führen auch zu einem exponentiellen Wachstum des gleichen Typs. Frege betrachtete einen Satz als eine Zusammensetzung von Subjekt und Prädikat und das Prädikat als eine Funktion vom Subjekt zur Bedeutung. Die Funktion wird definiert, indem das Prädikat an das Subjekt angehängt wird. "John rennt" wird also als die Funktion "läuft" ("John") betrachtet.

Dann ist ein Adverb eine Funktion von Prädikaten zu Prädikaten, also bedeutet "John läuft schnell" ( "schnell" ("läuft")) ("John"), wobei das schnell auf "läuft" reagiert, um ein neues Prädikat zu erstellen, und dies wird auf "John" angewendet.

Aber was ist nun mit Adverb-Modifikatoren wie "sehr", wie in "John läuft sehr schnell"? Sie können diese Funktionen von Adverbien zu Adverbien oder als Funktionen von Prädikaten zu Prädikaten darstellen, je nachdem, wie Sie Klammern setzen:

(("sehr" ("schnell")) ("Läuft")) ("John")

vs.

(("sehr") (("schnell") ("läuft")) ("John")

Welche dieser beiden Klammern richtig ist, definiert zwei Schulen der semantischen Philosophie. Es gibt endlose Debatten über die richtige fregsche Darstellung verschiedener Wortarten. Die Lösung besteht wie immer darin, die richtige Diagrammform zu identifizieren, die die exponentielle Mehrdeutigkeit beseitigt Die Tatsache, dass Philosophen dies in 100 Jahren dieser Art von Debatte über die Fregsche Semantik nicht getan haben, zeigt, dass das Feld nicht gesund ist.

Ich stimme Ron Maimon zu, dass die großräumige Struktur der Raumzeit von Hawking und Ellis mathematisch schon ziemlich streng ist. Wenn Sie darauf bestehen, dies irgendwie zu ergänzen:

• Für die rein differenziellen / pseudo-Riemannschen geometrischen Aspekte empfehle ich Semi-Riemannsche Geometrie von B. O'Neill.
• Für die analytischen Aspekte, insbesondere das Anfangswertproblem in der allgemeinen Relativitätstheorie, können Sie auch Das Cauchy-Problem in der allgemeinen Relativitätstheorie von Hans Ringström konsultieren.
• Für Als Schwerpunkt auf Singularitäten habe ich einige gute Dinge über die Analyse von Raum-Zeit-Singularitäten von CJS gehört Clarke, aber ich habe dieses Buch selbst noch nicht ausführlich gelesen.
• Für Probleme, die mit dem No-Hair-Theorem zusammenhängen, sind Markus Heuslers Theorems zur Einzigartigkeit des Schwarzen Lochs ziemlich umfassend und in sich geschlossen.
• Eine andere Möglichkeit ist, sich Frau anzusehen. Choquet-Bruhats Allgemeine Relativitätstheorie und Einsteins Gleichungen . Das Buch eignet sich nicht wirklich als Lehrbuch, aus dem man lernen kann. Aber als ergänzendes Quellenbuch ist es ziemlich gut.

Wenn Sie mehr über die mathematischen Werkzeuge erfahren möchten, die in der modernen klassischen GR verwendet werden, und weniger über die tatsächlichen Theoreme, lesen Sie das erste Dutzend Kapitel von Exakte Lösungen von Einsteins Feldgleichungen (von Stephani et al ) macht einen ziemlich guten Job.

Ich empfehle Yvonne Chocquet-Bruhat, Géométrie différentielle et systèmes extérieurs , weil es so kurz ist, Übungen enthält und in der gewünschten Notation vorliegt. Ich empfehle es sehr (auch wenn Sie es nicht mit ihrem eingeschriebenen Autogramm bekommen können.)

Ich empfehle sie auch sehr viel länger (aber versuchen Sie, die erste Ausgabe zu bekommen, die noch viel lang ist). Analyse, Mannigfaltigkeiten und Physik von Yvonne Choquet-Bruhat, Cecile Dewitt-Morette und Margaret Dillard-Bleick, die viele Übungen und viel mehr Physik hat ... aber zu lang ist. Meine Güte, es enthält sogar Brownsche Bewegungs- und Pfadintegrale ....

Das heißt, Dirac und Schroedinger haben gute und sehr kurze Physikbücher zu diesem Thema, ich empfehle diese auch, obwohl sie nicht ganz das sind, was Sie sind gefragt.

Bob Gerochs Buch ist auch wertvoll.