Die Fortschritte bei den Turbulenzen sind in Anfällen und Schüben zu verzeichnen und sind in den letzten Jahren aufgrund des Einflusses von AdS / CFT sehr aktiv. Ich denke, es wird bald gelöst sein, aber diese Meinung wurde von vielen in früheren Generationen geteilt und ist möglicherweise viel zu optimistisch.
Navier-Stokes-Gleichungen
Die grundlegenden Bewegungsgleichungen für turbulente Strömungen sind seit dem 19. Jahrhundert bekannt. Die Flüssigkeitsgeschwindigkeit folgt den inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen:
$$ \ dot v_i + v ^ j \ nabla_j v ^ i + \ partielle_i P = \ nu \ partielle_j \ partielle_j v_i $$ span> und
$$ \ partielle_j v_j = 0 $$ span>
Wo wiederholt Indizes werden summiert und die Masseneinheiten normalisieren die Fluiddichte auf 1.
Jeder der Begriffe ist leicht zu verstehen: Der nichtlineare Term gibt die Advektion an, er besagt, dass die Kraft auf das Fluid wirkt Beschleunigen Sie die Flüssigkeit, während Sie sich mit der Flüssigkeit bewegen, nicht an einer festen x-Position. Der Druck-P-Term ist nur eine Beschränkungskraft, die Inkompressibilität erzwingt, und er wird bestimmt, indem die Divergenz der Gleichung genommen und erzwungen wird, dass $ \ Partial_i v_i = 0 $ span>. Dies bestimmt den Laplace-Wert des Drucks
$$ \ partielle_i v ^ j \ partielle_j v_i + \ partielle_i \ partielle_i P = 0 $$ span>
Die Reibungskraft besagt, dass die Geschwindigkeit nicht nur mit sich selbst mitbewegt und gebogen wird, um die Dichte konstant zu halten, sondern auch mit einer Diffusionskonstante $ \ nu $ span diffundiert >. In der Grenze $ \ nu = 0 $ span> erhalten Sie die Euler-Gleichungen, die die Hydrodynamik ohne Reibung beschreiben.
In jeder geeigneten Grenze Bedingungen wie periodische Box oder verschwindende Geschwindigkeiten im Unendlichen bestimmt die Druckgleichung den Druck aus der Geschwindigkeit. Die Gleichungen können in einem Raster gelöst werden, und die Zukunft wird aus der Vergangenheit bestimmt.
Tonproblem hat nichts mit Turbulenzen zu tun
Das Problem zu zeigen, dass die Grenze, wenn das Gitter auf Null geht, überall sinnvoll und glatt ist, ist alles andere als trivial. Es ist eines der Millionen-Dollar-Preisprobleme des Clay-Instituts. Der Grund, warum dies nicht trivial ist, hat nichts mit Turbulenzen zu tun, sondern mit der viel einfacheren Reynolds-Skalierung.
Es gibt eine Skalierungsinvarianz im Lösungsraum, wie in Terrance Taos Blog beschrieben. Die klassische Reynolds-Skalierung besagt, dass wenn Sie einen inkompressiblen Flüssigkeitsfluss haben und diesen doppelt so klein und doppelt so schnell machen, Sie einen zweiten Fluss erhalten, der ebenfalls in Ordnung ist. Sie können sich einen Flüssigkeitsfluss vorstellen, der eine kleinere, schnellere Kopie von sich selbst usw. erzeugt und schließlich einen singulären Punkt erzeugt, an dem der Fluss unendlich schnell und unendlich klein ist - eine Singularität.
Dieser Typ der Singularität hat in 3d eine verschwindend kleine Energie, weil das Volumen schneller schrumpft als die Geschwindigkeitsenergiedichte explodiert. Dies ist sowohl gut als auch schlecht - es ist schlecht für Mathematiker, weil es bedeutet, dass Sie keine einfache Energie verwenden können, um diese Art von Divergenz zu verbieten. Es ist gut für die Physik, weil es bedeutet, dass diese Arten von Explosionen, selbst wenn sie auftreten, völlig irrelevante kleine Flecken sind, die die Bewegung des Gesamtbildes, in der die Turbulenzen auftreten, nicht beeinflussen. Wenn sie auftreten, beeinflussen sie nur kleine Nullpunkte in winzigen Entfernungen und würden durch neue Physik, eine stärkere Hyperviskosität, aufgelöst, die sie vor dem Aufblasen zu etwas Glattem zerfallen lassen würde. Sie führen nicht zu einem Verlust der Vorhersagbarkeit außerhalb eines mikroskopischen Bereichs, da es eine galileische Symmetrie gibt, die großräumige Strömungen von kleinräumigen Strömungen entkoppelt. Ein großer Fluss kümmert sich nicht um eine Punktdivergenz, sondern weist nur auf die Divergenz hin. Dies ist keine strenge Mathematik, aber es ist im physikalischen Sinne offensichtlich und sollte niemanden, der Turbulenzen studiert, dazu bringen, den Schlaf über die Existenz / Einzigartigkeit zu verlieren.
Wenn Sie die Geschwindigkeitsdiffusion durch eine schnellere Dämpfung ersetzen, die als "Hyperviskosität" bezeichnet wird, können Sie Existenz und Einzigartigkeit nachweisen. Das Problem der Turbulenzen wird jedoch von der Hyperviskosität oder sogar von der normalen Viskosität nicht beeinflusst. Es passiert alles im Euler-Regime - lange bevor die Viskosität einsetzt. Dies ist ein weiterer Grund, um sicherzugehen, dass das Tonproblem irrelevant ist.
Wenn ich das Tonproblem schreiben würde, würde ich es nicht tun haben um Existenz / Einzigartigkeit gebeten. Ich hätte nach einer statistischen Verteilung auf Differentialgeschwindigkeitsfeldern gefragt, die einen anziehenden stationären Zustand für langwellige gerührte NS-Strömungen darstellt. Dies ist ein viel schwierigeres und viel wichtigeres Problem, da es sich um das Problem der Turbulenzen handelt. Wenn eine solche Verteilung existiert und wenn sie ausreichend anzieht, könnte dies ferner zeigen, dass die NS-Gleichungen eine glatte Lösung haben, die von einem Maß-Null-Satz von Anfangsbedingungen entfernt ist. Der anziehende Fixpunkt wird sicherlich einen exponentiellen Abfall der Energie im viskosen Regime haben, und wenn sich alles diesem annähert, bleibt alles glatt.
Warum Turbulenzen?
Horace Lamb, a Der bekannte mathematische Physiker des 19. Jahrhunderts, als ein alter Mann witzelte, wenn er in den Himmel kommt, würde er Gott zwei Fragen stellen: "Warum Relativitätstheorie und warum Turbulenzen?" Er sagte dann, er sei optimistisch, eine gute Antwort auf die erste Frage zu bekommen.
Ich denke, er hätte auch in Bezug auf die zweite Frage optimistisch sein sollen. Der Grund für Turbulenzen ist bereits in der Ultraviolettkatastrophe der klassischen statistischen Mechanik klar. Wenn Sie ein klassisches Feld haben, bedeutet die Aufteilung der Energie, dass die gesamte Energie in den Modi mit der kürzesten Wellenlänge konzentriert ist, aus dem einfachen Grund, dass es nur eine Schiffsladung gibt, die mehr Modi mit kurzer Wellenlänge als Modi mit langer Wellenlänge enthält. Dies bedeutet, dass es unmöglich ist, ein Gleichgewicht zwischen klassischen Teilchen und klassischen Feldern zu erreichen. Die Felder saugen die gesamte Energie auf die kürzesten Entfernungsskalen ab.
In den meisten Situationen gibt es jedoch Bewegungen, die Energie nicht einfach direkt auf kurze Strecken übertragen können. Der Grund ist, dass diese Anträge durch Naturschutzgesetze geschützt sind. Wenn Sie beispielsweise eine Schallwelle haben, sieht diese lokal wie eine Übersetzung des Kristalls aus, was bedeutet, dass Energie nicht sofort in kurze Modi umgewandelt werden kann, sondern eine Weile dauert. Für Schall gibt es eine allmähliche Dämpfung, die bei langen Wellenlängen verschwindet, aber die Dämpfung ist real. In einem Schritt gibt es einen Energiefluss von den langwelligen zu den kürzesten Wellenlängenmoden.
In anderen Feldtheorien ist der Energiefluss jedoch in $ lokaler k $ span> -Raum. Das Analogon der Schallwellenreibung in Navier-Stokes ist die Dämpfung einer Geschwindigkeit aufgrund der Viskosität. Dies ist ein Diffusionsprozess und skaliert als $ \ sqrt {r} $ span>, wobei $ r $ span> der ist Skala der Geschwindigkeitsänderung. Wenn Sie einen Begriff haben, der nichtlineare Modi verwechselt, der auf große Entfernungen besser skaliert und weniger Zeit benötigt, um Energie in kleinere Modi zu bringen als der einstufige diffusive Dissipationsprozess, dominiert er auf großen Entfernungen.
Wenn dies ein energiesparender nichtlinearer Polynomterm ist, erfolgt die Vermischung im Allgemeinen zwischen nahe gelegenen Skalen. Der Grund ist die Additivität von Wellenvektoren unter Multiplikation. Ein quadratischer Term mit einer Ableitung (wie in der Navier-Stokes-Gleichung) erzeugt neue Wellenzahlen im Bereich der Summe der Wellenzahlen der ursprünglichen Bewegung.
Es muss also ein lokaler Energiefluss in kleinere erfolgen Wellenzahlen, nur aus der Zählung des Ultraviolett-Katastrophenmodus, und dieser Energiefluss muss aufgrund der Einschränkung der Wellenzahladditivität lokal (lokal im logarithmischen Raum) sein. Das Phänomen der Turbulenz tritt in dem Regime auf, in dem dieser Energiefluss, der als (Abwärts-) Kaskade bezeichnet wird, die Dynamik dominiert und der Reibungsterm vernachlässigbar ist.
Kolmogorov-Theorie
Der erste große Durchbruch bei der Untersuchung von Turbulenzen gelang Kolmogorov, Heisenberg, Obukhov und Onsager in den Kriegsjahren. Der Zusammenbruch der wissenschaftlichen Kommunikation während des Krieges bedeutet, dass diese Ergebnisse wahrscheinlich unabhängig waren.
Die Theorie, die sich herauskristallisierte, wird allgemein als K41 (für Kolmogorov 1941) bezeichnet und ist die Beschreibung nullter Ordnung von Turbulenzen. Um die Kaskade zu beschreiben, nahm Kolmogorov an, dass es einen konstanten Energiefluss nach unten gibt, der als $ \ epsilon $ span> bezeichnet wird und an dem Regime endet, an dem die Viskosität einsetzt, und dass es zwischen dem Pumpbereich, in dem Sie die Flüssigkeit antreiben, und dem viskosen Bereich, in dem Sie die Energie ablassen, viele Jahrzehnte lokaler $ k $ span> -Raumfluss gibt.
Das Ergebnis ist, dass das Spektrum in jedem Modus eine statistische Energieverteilung aufweist. Kolmogorov gab ein dimensionales Argument für diese Verteilung an, das ungefähr der Messgenauigkeit zu diesem Zeitpunkt entsprach.
Aus dem Skalierungsgesetz konnten alle Korrelationsfunktionen der Geschwindigkeit extrahiert werden, und es gab eine genaue Beziehung: Kolmogorov -Obukhov -5/3 Gesetz. Es wurde angenommen, dass diese Beziehungen das Problem für ein Jahrzehnt lösen.
2D-Turbulenzen
In 2D wurde von Kraichnan ein bemerkenswertes Phänomen vorhergesagt - die inverse Kaskade. Das generische ultraviolette Argument geht davon aus, dass die Bewegung auf der Energieoberfläche ergodisch ist, und dies erfordert, dass es keine zusätzlichen Erhaltungsgesetze gibt. Aber in 2d bewahrt der Fluss das Quadrat der Vorticity, das als Enstrophie bezeichnet wird. Die Enstrophie $ U $ span> ist
$$ U = \ int | \ nabla \ times v | ^ 2 $$ span>
Und dies hat zwei Ableitungen mehr als die Energie, so dass es mit $ k $ span> schneller wächst. Wenn Sie eine statistische Boltzmann-Verteilung für $ v $ span> bei konstanter Energie und konstanter Enstrophie erstellen, wird die hohe $ k $ span > Modi werden stark unterdrückt, weil sie eine große Enstrophie haben. Dies bedeutet, dass Sie keine hohen $ k $ span> -Modi generieren können, beginnend mit kleinen $ k $ span> -Modi.
Stattdessen finden Sie mehr Freiheit in kleinen $ k $ span> -Modi! Die Energiekaskade steigt generisch an und nicht an, da Sie bei längeren Wellenlängen die Energie mit derselben anfänglichen Enstrophie auf mehr Bewegungen verteilen können, da die Enstrophieeinschränkung verschwindet. Dies ist die inverse Kaskade, und sie wurde 1968 von Kraichnan theoretisch vorhergesagt.
Die inverse Kaskade ist bemerkenswert, weil sie die Intuitionen der ultravioletten Katastrophe verletzt. Es wurde durch Simulationen und Experimente in ungefähren 2d-Flüssen ausführlich verifiziert. Es liefert eine Erklärung für die Entstehung großräumiger Strukturen in der Atmosphäre, wie Hurrikane, die durch die umgebenden turbulenten Strömungen verstärkt werden, anstatt zu zerfallen. Es ist der bedeutendste Fortschritt in der Turbulenztheorie seit K41.
Moderne Theorie
Ich werde versuchen, die neuere Literatur zu überprüfen, aber ich kenne nicht viel davon, und das ist es auch ein sehr tiefes Feld mit vielen Meinungsverschiedenheiten zwischen verschiedenen Lagern. Leider gibt es auch sehr viele falsche Ergebnisse.
Ein großer Impuls für die moderne Arbeit ist die Analyse turbulenter Strömungen in neuen Systemen analog zu Flüssigkeiten. Das Phänomen der Turbulenz sollte in jeder nichtlinearen Gleichung auftreten, und das Kaskadenbild sollte immer dann gültig sein, wenn die Wechselwirkungen durch Polynome, die im log- $ k $ span> -Raum lokal sind, angemessen angenähert werden .
Ein Ort, an dem dies intensiv untersucht wird, ist die Kosmologie, Modelle des Vorheizens. Das Feld, das hier die Turbulenzen verursacht, ist eine skalare Inflation (oder Felder, die an die Inflation gekoppelt sind), die Energie in einer Kaskade überträgt, um schließlich Standardmodellpartikel zu erzeugen.
Ein weiterer Ort, an dem dies untersucht wird, ist Quarkgluon Plasmen. Diese Flüssigkeiten haben ein Strömungsregime, das durch AdS / CFT mit einem Gravitationsdoppel verwandt ist. Das Gravitationsanalogon der turbulenten Strömungen hat ein klassisches Gravitationsgegenstück in den Gesetzen des Membranparadigmas der Schwarzen Löcher. Yaron Oz ist einer der Menschen, die daran arbeiten.
Eines der erstaunlichsten Ergebnisse der letzten Jahre ist die Ableitung der genauen Gesetze der turbulenten Skalierung durch Oz allein aus den Erhaltungsprinzipien, ohne dass dies vollständig ausgewachsen ist Kaskadenannahme. Dies ist http://arxiv.org/abs/0909.3404 und http://arxiv.org/abs/0909.3574
Kraichnan-Modell
Kraichnan gab ein interessantes Modell für die Advektion passiver Skalarfelder durch eine turbulente Strömung. Das Modell ist ein Staubpartikel, das von der Flüssigkeit getragen wird.
Dies ist wichtig, da das empfohlene Partikel einen Levy-Flug und keine Brownsche Bewegung ausführt. Dies wurde experimentell verifiziert, ist aber auch wichtig, da es eine qualitative Erklärung für die Intermittenz liefert.
Abgabenflüge häufen sich in Regionen, bevor sie durch einen großen Sprung weitergehen. Die Geschwindigkeit fördert sich selbst genauso wie ein Staubpartikel. Wenn der Staub also einen Levy-Flug durchführt, ist es vernünftig, dass die Geschwindigkeit dies auch tut. Dies bedeutet, dass Sie erwarten, dass sich Geschwindigkeitsstörungen in Regionen mit isolierten Turbulenzen konzentrieren, und dass diese Konzentration gemäß der skalaren Advektion einem genau definierten Potenzgesetz folgen sollte.
Diese Ideen beziehen sich auf das Mandelbrot-Modell von Multifraktalen. Mandelbrot gab diesem Modell zu verstehen, wie es ist, dass turbulente Strömungen einen Geschwindigkeitsgradienten haben können, der in bestimmten geometrischen Bereichen konzentriert ist. Das Modell ist qualitativ, aber das Bild korrigiert die K41-Exponenten, die davon ausgehen, dass die Geschwindigkeit über den gesamten Raum homogen kaskadiert.
Martin-Siggia-Rose-Formalismen
Der größte Fortschritt in der Der Renormierungsansatz für Turbulenzen kam in den 1970er Jahren mit der Entwicklung des Martin-Siggia-Rose-Formalismus. Dies ermöglichte eine formale Beschreibung der Statistik einer klassischen Gleichung unter Verwendung eines Lagrange-Multiplikatorfelds, das für die Renormierungsanalyse verwendet wird.
Forster Nelson Stevens gab eine klassische Analyse des Problems der inversen Kaskade in 3d das Problem des langwelligen Profils einer Flüssigkeit, die in kurzen Abständen gerührt wird. Dieses Problem hängt zwar nicht direkt mit Turbulenzen zusammen, hat jedoch einen gewissen Zusammenhang, da für die statistische Verteilung im stationären Zustand Wechselwirkungen zwischen benachbarten Moden berücksichtigt werden müssen, die zu einer Kaskade führen.
Die FNS-Fixpunkte schließen Kolmogorov-ähnliche Spektren mit einigen Rührkräften ein, aber es gibt keine Bedingung dafür, dass sich die Rührkräfte an einem festen Punkt der Renormierungsgruppe befinden. Ihre Analyse bleibt jedoch der Höhepunkt des MSR-Formalismus in Bezug auf Turbulenzen. Dieses Thema ist seit fast dreißig Jahren inaktiv.
Was noch zu tun ist
Das größte ungelöste Problem ist die Vorhersage der Intermittenz-Exponenten - der Abweichungen von der Kolmogorov-Skalierung in den Korrelationsfunktionen von voll entwickelten Turbulenzen. Ich glaube, diese Exponenten sind jetzt experimentell mit zwei Dezimalstellen bekannt, und ihre Universalität wurde ausführlich überprüft, so dass das Konzept einer homogenen statistischen Kaskade Sinn macht.
Das Ableiten dieser Exponenten erfordert ein neues Prinzip, mit dem man die statistische Verteilung eines nichtlinear wechselwirkenden Feldes aus den Bewegungsgleichungen extrahieren kann. Es gibt formale Lösungen, die Sie nicht weiterbringen, da sie weit entfernt von Fixierungspunkten für die Renormierung beginnen. Dennoch ist jeder Ansatz auf die eine oder andere Weise aufschlussreich.
Dies ist eine schreckliche Überprüfung aus dem Gedächtnis, aber besser als nichts. Entschuldigung an die vernachlässigte Mehrheit.