Hier ist ein mathematischer Satz: Die Innenwinkel eines Dreiecks addieren sich zu 180 Grad (d. h. eine halbe vollständige Drehung). Um etwas gründlicher zu sein, definieren wir ein Dreieck: Es ist eine geschlossene Figur, die aus drei geraden Linien besteht, und eine gerade Linie ist die Linie mit dem kürzesten Abstand zwischen zwei Punkten. Ok, wir haben also einen schönen mathematischen Satz.

Jetzt gehen wir in die Welt und beginnen Dreiecke zu messen. Sie alle haben Innenwinkel von bis zu 180 Grad, was der Präzision unserer Instrumente entspricht. Wir sind also beruhigt. Aber dann bekommen wir präzisere Instrumente und größere Dreiecke, und etwas passiert: Die Winkel summieren sich nicht mehr richtig! Ach nein! Was ist passiert? Ist es ein Widerspruch? Oder waren unsere Linien vielleicht nicht gerade? Wir überprüfen, ob die Linien tatsächlich einen Mindestabstand hatten. Schließlich kehren wir zu unserem mathematischen Theorem zurück und stellen fest, dass es eine versteckte Annahme hatte. Es war eine Annahme, die auf subtile Weise mitten im Herzen der Geometrie lag, und es stellt sich heraus, dass es sich um eine Annahme handelt, die nicht unbedingt gelten muss. Eine, die mit parallelen Linien zu tun hat, genannt Euklids fünftes Postulat. Dann entdecken wir eine allgemeinere Methode zur Geometrie und können unsere Messungen wieder verstehen - unter Verwendung der Theorie der allgemeinen Relativitätstheorie und der Geometrie gekrümmter Räume.

Um Ihre Frage zu beantworten: Was passiert, wenn physikalische Beobachtungen einer mathematischen Aussage widersprechen, hat sich bisher immer wie oben herausgestellt. Was passiert ist, dass wir feststellen, dass die mathematische Aussage in ihrem eigenen richtigen Kontext wahr ist, wobei die Annahmen den verwendeten Konzepten zugrunde liegen, aber dieser Kontext ist nicht derjenige, der für die physische Welt gilt. Zumindest bis jetzt hat die Physik der Mathematik nie widersprochen, aber sie hat wiederholt gezeigt, dass bestimmte mathematische Ideen, von denen angenommen wurde, dass sie auf die physikalische Welt zutreffen, dies nicht oder nur in einem eingeschränkten Sinne oder in einem begrenzten Fall tun.

Das Banach-Tarski-Paradoxon scheint ein offensichtlicher Kandidat zu sein. Es ist möglich, eine Kugel in endlich viele Stücke zu schneiden und sie dann wieder zu zwei Kugeln zusammenzukleben, die jeweils mit dem Original identisch sind

Die Mathematik ist korrekt, aber dies ist in der realen Welt offensichtlich nicht möglich. Was ist also los?

Jeder mathematische Beweis basiert auf einer Reihe von "Axiomen" oder Annahmen. Wenn die Logik des Beweises stichhaltig ist, wir aber ein Ergebnis erzielen, das in der realen Welt unmöglich ist, bedeutet must, dass mindestens eines unserer Axiome in der realen Welt nicht gilt. In diesem Fall ist es wahrscheinlich das Axiom der Unendlichkeit (oder möglicherweise das Axiom der Wahl) .

Um die Frage explizit zu beantworten, wenn wir eine Gleichung wie annehmen, gilt $ \ nabla \ cdot B = 0 $ span>, aber das erlaubt uns, etwas zu beweisen, das nicht funktioniert Wenn dies in der realen Welt nicht zutrifft, bedeutet notwendigerweise , dass eine der im Beweis verwendeten Annahmen in der realen Welt nicht zutrifft.

Der wahrscheinlichste Kandidat wäre die ursprüngliche Gleichung selbst, obwohl es etwas subtileres sein könnte, wie "in Schritt 12 nehmen wir an, dass die Geometrie des Raums euklidisch ist" . Es könnte sogar sein, dass die Gesetze der Logik (erster Ordnung) in unserem Universum nicht gelten, aber wenn dies der Fall wäre, wären wir wahrscheinlich in Schwierigkeiten!

Wenn Sie eine physikalische Theorie haben, ausgedrückt als Mathematik, dann beweisen Sie auf der Grundlage der Prämissen der Theorie einen Satz, der, wenn er in die Physik zurückübersetzt, dem Experiment widerspricht, dann ist die physikalische Theorie falsch.

Also nein, es ist nicht möglich, dass sowohl die Prämisse (die physikalische Theorie) als auch der Satz (mit anderen Worten ein Ding mit einem korrekten Beweis) korrekt sind, aber die Schlussfolgerung ist falsch, und in diesem FallDie Prämisse (die physikalische Theorie) ist falsch.

Es gibt viele Beispiele dafür, insbesondere seit Beginn des 20. Jahrhunderts, als die Mathematik, die auf die klassische Mechanik der &-Thermodynamik angewendet wurde, falsche Antworten gab.Einige Beispiele:

1) Die Präzession des Planeten Merkur, die größer ist als der nach Newtons Gravitationstheorie berechnete Wert: https://en.wikipedia.org/wiki/Tests_of_general_relativity

3) Das beobachtete Spektrum der Schwarzkörperstrahlung stimmte nicht mit der klassischen Theorie überein: https://en.wikipedia.org/wiki/Planck%27s_law

Viele Ausdrücke, die ohne einen zweiten Gedanken mathematisch geschrieben werden können, sind physikalisch nicht sinnvoll, wenn Dimensionen berücksichtigt werden.

Zum Beispiel ist $ x + x ^ 2 $ span> für eine Länge $ x $ span nicht sinnvoll >. Dieses Argument erstreckt sich dann auf jede transzendentale Funktion, die als Reihe geschrieben ist.

Die Dimensionsanalyse unterliegt im Allgemeinen starken Einschränkungen für mathematische Ausdrücke. Nur eine winzige Teilmenge davon ist ebenfalls gültig wenn in einem gegebenen dimensionalen System untersucht.

Es gibt viele solcher Systeme, nicht nur die bekanntesten Systeme wie das SI-System oder das alte CGS, sondern auch sehr undurchsichtige Systeme wie Huntleys gerichtete Dimensionen oder Sianos System. Diese betrachten Dimensionen in verschiedenen Richtungen als dimensional unterschiedlich, ein interessanter Nebeneffekt davon ist, dass Drehmoment und Energie nicht mehr die gleichen Einheiten haben.

Eine Anwendung ist das Buckingham Pi-Theorem, das besagt, dass jedes physikalische Gesetz in der Form geschrieben ist $ f (q_1, ..., q_n) $ span> kann als Funktion von $ k $ span> geschrieben werden dimensionslose Pi-Gruppen $ F (\ pi_1, ... \ pi_k) $ span>, Dabei ist $ k $ span> die Dimension des Kernels, die von den Dimensionen der Argumente $ q_i $ span> überspannt wird.

Mit dem Buckingham Pi-Theorem können dimensionslose Zahlen abgeleitet werden, die in der Strömungsmechanik eine Rolle spielen.

Alle diese Argumente lassen sich auch auf lineare Algebra übertragen, wo sie die Arten von Operationen, die als physikalisch betrachtet werden, noch stärker einschränken. Dies ist immer noch ein aktuelles, wenn auch obskures Forschungsthema.

Es ist einfach, Mathematik zu konstruieren, die selbstkonsistent ist, aber nicht die reale Welt beschreibt.

Mathematik basiert nicht auf Beobachtungen über die reale Welt, sondern auf logischen Konstruktionen, die auf verschiedenen Axiomen beruhen. Und diese Axiome und Ergebnisse entsprechen möglicherweise nichts in der realen Welt der Physik. Es gibt weitaus logisch konsistentere mathematische "Welten" als die realen Welten der Physik.

Die euklidische Geometrie beschreibt eine mögliche logische Welt. Aber es funktioniert zum Beispiel nicht auf der Oberfläche einer Kugel. Die offensichtlichen Vorhersagen der mathematischen Theorie funktionieren also nicht empirisch, wenn Sie sie auf der Erdoberfläche testen. Dies bedeutet nicht, dass die Mathematik falsch ist, nur dass wir das falsche mathematische Modell ausgewählt haben, um die Erdoberfläche zu beschreiben. Die Mathematik kann alle Arten von selbstkonsistenten Geometrien konstruieren, aber nicht alle beschreiben die spezifischen Teile des realen Universums, die wir tatsächlich haben.

In einem sehr einfachen Sinne ist es also sehr einfach, Mathematik zu konstruieren, die physikalisch unhaltbar ist. In der Mathematik gibt es weitaus mehr logische Strukturen als in der realen Welt. So viele, wenn nicht die meisten, ist Mathematik physikalisch nicht plausibel. Der Sinn der Physik besteht darin, experimentell zu testen, welche mathematischen Modelle in der Welt funktionieren, in der wir tatsächlich leben. Zum Beispiel dachten wir einmal, Newtons mathematische Beschreibung der Schwerkraft beschreibe die reale Welt, aber sorgfältige Beobachtungen sagten, dass dies falsch sei, und wir nahmen eine andere mathematische Beschreibung an, die auf der Allgemeinen Relativitätstheorie basiert. Und einige verfolgen jetzt noch komplexere Modelle der Welt, die auf Strings oder Breanes in mehreren Dimensionen basieren (obwohl wir noch keine guten Experimente haben, um zu sagen, ob diese mathematischen Ideen besser sind).

Es ist für die Mathematik auch möglich, Lösungen zu erhalten, die sehr wahrscheinlich nicht physikalisch sind, während gleichzeitig andere Lösungen vorhanden sind.Der Alcubierre-Antrieb ist eine solche sehr wahrscheinlich unphysische Lösung für die Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie.Es gibt jedoch viele GR-Lösungen, die in unserem Universum sehr real sind (unter anderem Merkurs Präzession und Schwarze Löcher).

Mathematik ist ein Werkzeug, mit dem wir die Welt beschreiben. Wenn die Mathematik nicht funktioniert, ist die Mathematik falsch, nicht die Welt.Mathematik ist ein Werkzeug, wenn auch ein sehr nützliches, keine Wahrheit.

Aus unserem naturwissenschaftlichen Geschichtskurs gab es auch eine Art entgegengesetztes Beispiel: komplexe Zahlen.Sie entstanden als mathematisch mögliche, aber sehr unphysikalische Lösung für Gleichungen.Wer könnte eine Zahl verwenden, die es in einer physischen Welt nicht gibt? .. im 19. Jahrhundert.

Und dann kam die Luftfahrt (was Windströmungen um verschiedene Flügelformen beweist), Radio / Elektronik und viele andere Anwendungen, die Sie nicht berechnen können, ohne Zahlen durchzugehen, die "nicht existieren".

Und plötzlich hatte die mathematische Neugier, über die sich die Menschen bestenfalls lustig machten, sehr ernsthafte Verwendungen und praktische Ergebnisse, ohne die wir uns das 20. Jahrhundert nicht vorstellen können.

Was Sie fragen, ist die wissenschaftliche Methode .

Es ist nicht nur möglich, dass mathematische oder physikalische Theorien zu falschen Ergebnissen führen, sondern dies wird auch erwartet und gewünscht , wenn Sie Wissenschaft betreiben. Das Schlüsselwort hier ist "Fälschbarkeit", was bedeutet, dass jede Theorie einen Weg enthalten muss, sie zu widerlegen.

Dies ist ein wesentlicher Teil dessen, was die Wissenschaft von der Pseudowissenschaft unterscheidet: Die Pseudowissenschaft enthält normalerweise keine Möglichkeit, ihre Aussagen zu widerlegen. Jede wissenschaftliche Theorie, jeder Satz, jede Hypothese, jede Annahme, jeder Satz, jede Aussage oder wie auch immer Sie sie nennen, muss fälschbar sein.

Daraus folgt, dass es keine Möglichkeit gibt, zu beweisen, dass etwas ewig korrekt ist. Absolute Aussagen dieser Art sind grundsätzlich uninteressant; und wird von einem guten Wissenschaftler sofort umgedreht, um einen Weg zu finden, sie zu widerlegen. Wenn es keine bekannte Möglichkeit gibt, dies zu widerlegen, kann (und sollte) es verworfen werden, um "weißes Rauschen" zu vermeiden.

Zu Ihrem Beispiel: "B = 0 => ein Planet existiert" kann widerlegt werden, indem gezeigt wird, dass "B = 0 UND kein Planet existiert". Beide Seiten dieser logischen Aussagen können und sollten getrennt betrachtet werden. Nach unserem besten Wissen sind heute beide Seiten wahr, also ist die ganze widerlegende Aussage wahr, also ist Ihr ursprünglicher Satz falsch.

Hier hört es nicht auf, aber jetzt beginnt die Arbeit des Wissenschaftlers. Denken Sie daran, dass Sie in Ihrem Szenario zunächst Mathematik verwendet haben, um Ihre Aussage abzuleiten. Dies bedeutet, dass irgendwo ein Fehler sein muss. Entweder haben Sie einen ehrlichen Berechnungsfehler gemacht. In diesem Fall begraben Sie Ihr Papier und vergessen es.

Oder - und dies ist der Kern der wissenschaftlichen Methode - Sie finden einen Fehler in Ihren Annahmen (dh einigen Vorkenntnissen, zum Beispiel "B = 0"), dem von Ihnen verwendeten mathematischen Ableitungsprozess und Ihrer Interpretation derProzess, Ihre Messungen (dh es gibt tatsächlich einen Planeten, den wir vorher nicht gesehen haben) oder was auch immer sonst beteiligt ist.Wenn Sie das finden, wird Ihr lächerlicher Vorschlag zu einem sehr guten Ergebnis führen und wir haben neues Wissen gewonnen.

Ich habe diese verwandte Frage letztes Jahr gestellt, ob wir die Tatsache nutzen können, dass die allgemeine Relativitätstheorie der Quantenmechanik & zusammen mit dem Explosionsprinzip inkonsistent ist, um buchstäblich jede Aussage zu beweisen, z."Gegenstände müssen nach oben fallen".Und tatsächlich funktioniert es oberflächlich.Wenn Sie mit inkonsistenten Aussagen beginnen, wird schließlich alles möglich!

Außer natürlich, es ist Unsinn.Wie die Antworten in dieser Frage sagen:

Wir erwarten nicht, dass physikalische Theorien in einem absoluten Sinne formaler Logik wahr sind.Wir erwarten, dass sie unter bestimmten Bedingungen gute Annäherungen sind.

Und

Im Allgemeinen haben Begriffe aus Logik und Mengenlehre keinerlei Relevanz für die Physik.