TL; DR: Diese Antwort kommt ungefähr zu dem gleichen Ergebnis wie die Antwort von Kyle Kanos, dh zusätzlich zu den Überlegungen zur Nutzlast liegt die Schwierigkeit darin, eine kleine Rakete zu stopfen mit einer Kraftstoffmasse, die die Masse der Rakete selbst überschreitet. Diese Antwort ist jedoch strenger in der Behandlung des $ \ Delta v $ -Budgets.
Die Raketengleichung:
Betrachten Sie die Tsiolkovsky-Raketengleichung, die die Bewegung von Fahrzeugen beschreibt, die sich selbst antreiben, indem sie einen Teil ihrer Masse mit einer bestimmten Geschwindigkeit ausstoßen. Eine vereinfachte Version, die nur (konstante) Schwerkraft und Schub berücksichtigt, ist unten angegeben:
$$ \ Delta v (t) = v_e \ cdot \ ln \ frac {m_0} {m (t)} - g \ left (\ frac {m_f} {\ dot m} \ right) $$ wobei $ v_e $ die effektive Abgasgeschwindigkeit ist, $ m_f $ die Masse des Kraftstoffs an Bord ist, $ \ dot m $ die Masse ist Verbrennungsrate (zeitlich konstant), $ m_0 $ ist die Anfangsmasse der Rakete und $ m (t) $ ist die aktuelle Masse der Rakete.
Beachten Sie, dass dies im Wesentlichen ein Impuls ist Austauschgleichung: Durch das Ausstoßen von Treibstoff steht eine begrenzte Menge an Impuls zur Verfügung, die Sie für die Erhöhung der Geschwindigkeit der Rakete + des verbleibenden Treibstoffsystems sowie für die Überwindung der Schwerkraft (dh das Ziehen des Planeten jemals) aufwenden müssen so leicht). Eine Form der Tsiolkovsky-Gleichung, die dies nicht berücksichtigt (wie in der anderen Antwort), führt zu nicht physikalischen Ergebnissen.
Eingeschränkte Variablen:
Womit können wir nun in dieser Gleichung spielen? Angenommen, $ t_ {Flucht} $ ist der Zeitpunkt, zu dem die Rakete der Schwerkraft der Erde entkommt:
- $ \ Delta v (t_ {Flucht}) $ ist einfach unsere gewünschte Fluchtgeschwindigkeit (vorausgesetzt, die Rakete startet aus der Ruhe), die davon abhängt, wohin wir die Rakete senden wollen
- $ m (t_ {Flucht}) $ ist optimalerweise die Masse der Rakete ohne Treibstoff
- Die effektive Abgasgeschwindigkeit $ v_e $ und die Massendurchflussrate $ \ dot m $ hängen vom Typ des verfügbaren Motors / Treibmittels ab.
ol> Dies bedeutet, dass keine dieser Größen vorhanden ist verhandelbar; Wir sind durch die Anforderungen der Mission und die verfügbare Technologie eingeschränkt.
Entwicklung einer Beziehung zwischen Rakete und Treibstoffmasse:
Alles was wir sind Zum Spielen bleiben die anfänglichen Massen des Raketentreibstoffs $ m_f $ und des Raketenkörpers $ m_r $. Ersetzen wir die Werte von $ v $ und $ m $ in dem Moment, in dem die Rakete der Schwerkraft entkommt, und stellen fest, dass $ m_0 = m_f + m_r $:
$$ \ begin {align} v_ {Escape } & = v_e \ cdot \ ln \ frac {m_f + m_r} {m_r} - g \ left (\ frac {m_f} {\ dot m} \ right) \\ & = v_e \ cdot \ ln \ left (1 + \ frac {m_f} {m_r} \ rechts) - g \ links (\ frac {m_f} {\ dot m} \ rechts) \ end {align} $$
Neu anordnen, wir haben:
$$ m_r = m_f \ cdot \ left (\ exp \ left (\ frac {v_ {esc} + g \ left (\ frac {m_f} {\ dot m} \ right)} {v_e} \ rechts) -1 \ rechts) ^ {- 1} $$
Beachten Sie, dass dies effektiv $ m_r $ als Funktion von $ m_f $ liefert, da alle anderen Parameter durch die Einschränkungen von festgelegt sind Mission und Ausrüstung sowie Umweltkonstanten. Da die Beziehung nicht sofort offensichtlich ist, ist hier ein Diagramm von $ m_r $ gegen $ m_f $ für ausgewählte Werte der Konstanten:
In rot haben wir ein Diagramm der Raketenmasse gegen die anfängliche Kraftstoffmasse, während wir in blau ein Diagramm des Verhältnisses der anfänglichen Kraftstoffmasse zur Gesamtmasse haben. Beachten Sie, dass die Achse für das blaue Diagramm bei 0,9 beginnt !! Dies bedeutet, dass unabhängig von der von Ihnen ausgewählten Raketenmasse die anfängliche Nettomasse Ihres Fahrzeugs fast ausschließlich aus Kraftstoff bestehen müsste.
Was bedeutet das?
Das Befüllen eines Fahrzeugs mit einer Kraftstoffmasse, die die eigene übersteigt, wird für kleine Raketen immer schwieriger, für viel größere Raketen jedoch nicht so schwierig (denken Sie daran, wie sich das eingeschlossene Volumen eines Hohlkörpers gegenüber der Masse skaliert). Aus diesem Grund wird es immer schwieriger, immer kleinere Raketen herzustellen.
Zusätzlich wird eine Mindestgrenze für die Raketenmasse, die wir wählen können, durch das Gewicht der Nutzlast festgelegt, die sie tragen muss, von der alles sein kann ein Satellit für eine einzelne Person.
Obergrenze der Nutzlast:
In der Nähe des Wendepunkts der Kurve zwischen Raketenmasse und Kraftstoffmasse passiert etwas sehr Interessantes . Vor dem Wendepunkt konnten wir durch Hinzufügen von mehr Kraftstoff eine größere Nutzlast auf die gewünschte Geschwindigkeit heben.
Irgendwo um die $ 4 \ cdot 10 ^ 6 $ kg Kraftstoffmasse (für unsere ausgewählten Parameterwerte) stellen wir jedoch fest, dass das Hinzufügen von mehr Kraftstoff die Nutzlast verringert gehisst! Was hier passiert, ist, dass die Kosten für den zusätzlichen Kraftstoff, der gegen die Schwerkraft kämpfen muss, gegen den Vorteil eines hohen Massenverhältnisses von Kraftstoff zu Nutzlast zu gewinnen beginnen.
Dies zeigt, dass es eine theoretische Obergrenze für die Nutzlast gibt, die mit der verfügbaren Treibstofftechnologie auf der Erde gehoben werden kann. Es ist nicht möglich, die Nutzlast und die Kraftstoffmasse einfach im gleichen Verhältnis zu erhöhen, um beliebig große Lasten anzuheben, wie dies unter Verwendung der Tsiolkovsky-Gleichung ohne zusätzliche Begriffe für die Schwerkraft nahegelegt würde.