Die Antwort ist, dass es keine Rolle spielt.

Die Entfernung, in der Felder der einer Punktladung ähneln, ist auch die Entfernung, in der es keine Rolle spielt, wo sich dieser Punkt innerhalb der Struktur befindet.Die Feldänderung aufgrund des Schaltens des Ursprungs innerhalb des Leiters ist vergleichbar mit den Korrekturen der Punktladungsnäherung, die sich beide aus Multipoltermen gleicher Ordnung ergeben

Aufgrund einiger Hin- und Herbewegungen, die ich sehe, denke ich, dass Sie die falsche Frage stellen. Ich denke, die Frage, die Sie stellen möchten, lautet: "Bei einer Gebührenverteilung $ \ rho (\ mathbf {r}) $ sollte ich eine Punktquelle platzieren, damit das genaue Potenzial $ \ phi (\ mathbf {r}) = \ int \ rho (\ mathbf {r} ') / | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' | dv '$ wird am ehesten durch das Potential aus der Punktquelle angenähert? "

Die Antwort lautet, dass Sie $ \ mathbf {r} _0 $ so auswählen möchten, dass

$ \ int (\ mathbf {r} '- \ mathbf {r} _0) \ rho (\ mathbf {r}') dv '= 0 $

Wenn die Ladungsverteilung gleichmäßig ist, liegt die Antwort im Schwerpunkt. Der Grund, warum dies der richtige Punkt ist, ist, dass das Dipolmoment der Differenz zwischen exakten und ungefähren Lösungen auf Null geht. Der Fehler im Potential ist also $ \ mathcal {O} (1 / r ^ 3) $, während bei jeder anderen Wahl der Fehler den Dipolterm einschließen würde und daher $ \ mathcal {O} (1 / r ^ 2) ist ) $. (Wenn Sie die Größe der Punktladung richtig einstellen, wird der Monopolterm von $ \ mathcal {O} (1 / r) $ berücksichtigt.)

Weitere Klarstellung:

Die Auswahl von $ \ mathbf {r} _0 $, die die oben genannte Dipolbedingung erfüllt, ist

$ \ mathbf {r} _0 = \ frac {\ int \ mathbf {r} '\ rho (\ mathbf {r}') dv '} {\ int \ rho (\ mathbf {r}') dv ' } $

und kann als "Ladungszentrum" ähnlich einem Massenschwerpunkt betrachtet werden.

Die multipolare Erweiterung des Potentials $ \ phi (\ mathbf {r}) $ enthält Begriffe aufsteigender Reihenfolge in $ 1 / r $

• Monopolterme zerfallen mit $ \ mathcal {O} (1 / r) $. Alle Ladungsverteilungen mit derselben Gesamtladung innerhalb einer lokalen Region haben dasselbe Monopolmoment. Aus diesem Grund funktioniert eine Punktladung mit derselben Gesamtladung als Annäherung, und es spielt keine Rolle, wo sie sich befindet, solange sie sich in der Nähe derselben Region befindet. Mit dieser Näherung beträgt der Fehler zwischen dem exakten Potential und der Näherung $ \ mathcal {O} (1 / r ^ 2) $. Wenn $ r $ groß genug ist, funktioniert es, wie alle anderen sagen, einwandfrei und es spielt keine Rolle, wo sich $ \ mathbf {r} _0 $ befindet.
• Wenn wir jedoch wollen, können wir mit einer vernünftigen Wahl des Ortes der Punktladung noch genauer sein.Dipolterme zerfallen mit $ \ mathcal {O} (1 / r ^ 2) $.Da die Punktquelle eindeutig kein Dipolmoment hat, wird durch Auswahl des Punkts $ \ mathbf {r} _0 $, sodass das genaue Potential kein Dipolmoment um $ \ mathbf {r} _0 $ aufweist, $ \ mathcal {O} (1 / r) entfernt^ 2) $ Abhängigkeit vom Fehler.Dies lässt nur $ \ mathcal {O} (1 / r ^ 3) $ und höhere Fehlerterme übrig.

Die Multipolexpansion ist eine nützliche Annäherung an eine niedrige Ordnung (Mono-, Di-, Quadrupol), wenn der Durchmesser der Ladungsverteilung $ d $ viel kleiner ist als die Entfernung, in der Sie das Feld oder Potential $ r $ beobachten.

Diese Beobachtungsentfernung bezieht sich auf einen Ursprung, den Sie bequem irgendwo in der Ladungsverteilung platzieren.Betonung auf irgendwo , da das Wackeln mit dem Ursprung höchstens eine Entfernung $ d $ nicht viel ändert $$ | r | ^ {- 1} \ approx | r + d | ^ {- 1} \ text {für $ d \ ll r $} $$ Sie können den Ursprung, auch bekannt als die Quelle des Monopolfelds, an einer beliebigen Stelle innerhalb der Ladungsverteilung platzieren.Es ist kein Punkt, der von der Theorie diktiert wird.Normalerweise würde man es so wählen, dass höhere Momente verschwinden.

Man kann das Dipolmoment immer verschwinden lassen, indem man den Ursprung in den Mittelpunkt der Ladung stellt.

$ ^ 1 $ Sie können es außerhalb des (konvexen Kegels um) die Ladungen platzieren, aber dann werden Sie nie höhere Momente bekommen, um zu verschwinden.

Sie gehen implizit davon aus, dass das elektrische Feld in ausreichendem Abstand von einer begrenzten Ladungsverteilung perfekt radial wird, dh jede elektrische Feldlinie würde sich an einem einzelnen Punkt treffen, wenn Sie es nur in einer Geraden projizieren Linie zurück in die Nachbarschaft der Ladungsverteilung. Dies ist jedoch nicht der Fall. Wenn Sie die Richtung der weit entfernten elektrischen Felder so genau messen könnten, dass Sie sie mit einer Genauigkeit, die besser ist als die räumliche Verteilung der Quellenladung, auf den Quellbereich zurückrechnen könnten, würden Sie feststellen, dass sie sich nicht genau am selben Punkt schneiden. Die elektrischen Felder an verschiedenen weit entfernten Punkten würden auf leicht unterschiedliche Teile der Ladungsverteilung hinweisen. Je weiter Sie sich entfernen, desto näher kommen die elektrischen Felder dem Radialbereich. Daher müssen Sie ihre Richtungen immer genauer kennen, um festzustellen, auf welchen bestimmten Teil der Ladungsverteilung sie ausgerichtet sind. Das Messen der Felder mit dieser zusätzlichen Genauigkeit entspricht eher dem Messen des Dipols als des Monopolbeitrags (der schneller abfällt). Diese Dipoldaten geben Ihnen wiederum mehr Informationen über die Details der Ladungskonfiguration als nur die Gesamtladung, die Sie aus dem rein radialen Teil des Feldes erhalten.

Ich möchte ein weiteres Beispiel hinzufügen und eine meiner Aussagen in den Kommentaren zur Frage des OP klarstellen.

Wenn Sie ein quadratisches Blech mit einer Seitenlänge von 1 cm haben. Sie können das berücksichtigen Zeigen Sie, dass Sie sich in der Nähe des Metalls befinden, wenn Sie eine Meile entfernt sind. Der Punkt ist NICHT der Schwerpunkt. Der Schwerpunkt ist eine rein geometrische Größe. Das Die Ladungsdichte kann über die Geometrie variieren. Normalerweise bekommt man das Position des Punktes, an dem Sie die Näherungen auf die exakte anwenden Formel.

Es gibt keinen festen Punkt, aber Sie erhalten den Ort, nachdem Sie den angewendet haben Annäherung. Betrachten Sie beispielsweise einen Dipol, wenn Sie r as verwendet haben die Entfernung von dem Punkt, an dem Sie die Feldstärke ermitteln möchten bis zum Mittelpunkt des Dipols. Dann werden Sie das alles annehmen Die Ladung konzentriert sich von weitem auf den Mittelpunkt des Dipols entfernter Ort.

Ihr interessierender Punkt P ist so weit vom Dipol entfernt, dass der Abstand zwischen dem Punkt P und dem Mittelpunkt des Dipols im Wesentlichen dem Abstand zwischen dem Punkt P und der negativen Ladung des Dipols entspricht.

Die Änderung des Ortes der Punktladung bewirkt keine signifikante Änderung der Antwort.

Sie können davon ausgehen, dass sich die Punktladung in der Mitte des Dipols oder in der positiven oder in der negativen Ladung befindet. Jeder Punkt, den Sie wählen, Ihre Antwort wird so ziemlich die gleiche Zahl ergeben. In früheren Zeiten ist die Unsicherheit in unseren Messinstrumenten viel größer, sodass wir den Unterschied nicht erkennen können, wenn wir die Position des Punkts ändern. Natürlich können Sie mit Ihrer Annäherung nicht weit davon entfernt sein.