Als ich über Allgemeine Relativitätstheorie forschte, fand ich Einsteins Gleichung für die Gravitationszeitdilatation.Ich entdeckte, dass die Gleichung eine imaginäre Antwort geben würde, wenn Sie einen ausreichend großen Wert für $ M $ (ungefähr $ 10 ^ {19} $ Kilogramm) und $ 1 $ für $ r $ einstecken würden.Was bedeutet das?
Schöne Entdeckung! Die Formel für die Zeitdilatation außerhalb eines kugelförmigen Körpers lautet
$$ \ tau = t \ sqrt {1- \ frac {2GM} {c ^ 2r}} $$
wobei $ \ tau $ die richtige Zeit ist, die von Ihrem Objekt im Koordinatenradius $ r $ gemessen wird, $ t $ die Zeit ist, die von einem Beobachter im Unendlichen gemessen wird, $ M $ die Masse des Kugelkörpers und $ G $ und $ c $ die Gravitationskonstante und die Lichtgeschwindigkeit. Sie haben bemerkt, dass die Quadratwurzel imaginär werden kann, wenn $ r $ klein genug wird. Um ein echtes Ergebnis zu erzielen, müssen Sie
haben$$ r> \ frac {2GM} {c ^ 2} = r_S $$
wo ich $ r_S $ definiert habe, den Schwarzschild-Radius.
Nun, dafür gibt es einen einfachen Grund. Wenn Ihr Körper einen Radius hat, der kleiner als $ r_S $ ist, handelt es sich um ein Schwarzes Loch, und die Formel gilt nicht, da Objekte innerhalb des Schwarzen Lochs (dh mit $ r<r_S $) keine Signale nach außen senden können Der Begriff der Zeitdilatation eines Signals (in diesem Zusammenhang auch Rotverschiebung genannt) ist nicht sinnvoll.
Wenn sich $ r $ dem Schwarzschild-Radius (von oben) nähert, nähert sich die Rotverschiebung der Unendlichkeit. Aus diesem Grund heißt es, wenn Sie von weitem beobachten, wie eine Sonde in ein Schwarzes Loch fällt, wird sie roter und bewegt sich langsamer, wenn sie fällt. Sie werden nie sehen, wie es in das Schwarze Loch gelangt.
Um die Frage im Titel zu beantworten: Nein, es gibt keine imaginäre Zeitdilatation. Ein imaginäres Ergebnis zu erhalten, ist ein Zeichen dafür, dass die Formel nicht immer sinnvoll ist.
Ich stimme Javier fast zu, mit einem Punkt: Raum- und Zeitwechselpositionen innerhalb eines Schwarzen Lochs, und so ist die imaginäre Zeitdilatation im Grunde eine Raumdilatation.Kurz gesagt, imaginäre Zeit ist Raum und imaginärer Raum ist Zeit (weil die Multiplikation mit $ i $ span> das Vorzeichen des Begriffs in der Metrik ändert)