Hier ist ein Freikörperdiagramm der Kugeln:

… und eines der Wasservolumina:

Die vier Bilanzgleichungen lauten

$$ \ begin {align} B_1 - T_1 - m_1 g & = 0 \\ B_2 + T_2 - m_2 g & = 0 \\ F_1 + T_1 - B_1 - M g & = 0 \\ F_2 - B_2 - M g & = 0 \ end {align} $$

wobei $ \ color {magenta} {B_1} $, $ \ color {magenta} {B_2} $ sind die Auftriebskräfte, $ \ color {red} {T_1} $, $ \ color {red} {T_2} $ sind die Schnurspannungen und $ M g $ ist das Gewicht des Wassers, $ m_1 g $ das Gewicht der Tischtenniskugel und $ m_2 g $ das Gewicht der Stahlkugel.

Das Lösen der obigen ergibt

$$ \ begin {align} F_1 & = (M + m_1) g \\ F_2 & = M g + B_2 \\ T_1 & = B_1 - m_1 g \\ T_2 & = m_2 g - B_2 \ end {align} $ $

Es wird also nach rechts kippen, wenn der Auftrieb der Stahlkugel $ B_2 $ größer ist als das Gewicht der Tischtenniskugel $ m_1 g $.

$$ \ boxed {F_2-F_1 = B_2 - m_1 g > 0} $$

Dies ist die gleiche Antwort wie @rodrigo, jedoch mit Diagrammen und Gleichungen.

Das Gewicht auf der linken Schüssel entspricht dem Gewicht des Wassers plus Vase plus Tischtennisball (plus Faden, ignoriert).

Das Gewicht auf der rechten Schüssel entspricht dem Gewicht des Wassers plus Vase plus Auftrieb der Stahlkugel (plus Auftrieb des eingetauchten Fadens, ignoriert). Dieser Auftrieb ist das Gewicht eines äquivalenten Wasservolumens.

Da der Tischtennisball leichter als Wasser ist, kippt die Waage nach rechts.

Warum ist das das Gewicht? auf der richtigen Schüssel? Betrachten Sie es so: Der Ball befindet sich im Gleichgewicht, sodass die Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte 0 beträgt. Diese Kräfte sind Gewicht, Spannung am Faden und Auftrieb. Die Spannung am Faden ist also $ Spannung = Kugel - Auftrieb $ (offensichtlich?). Und das Gewicht auf der rechten Platte ist die Summe aller Gewichte abzüglich der Spannung am Faden. Das ist $ Wasser + Vase + Ball - Spannung $, was $ Wasser + Vase + Auftrieb $ entspricht.

Ein Gedankenexperiment

Wir können ohne besondere Kenntnisse der Physik zu einer intuitiven Erklärung gelangen. Die Strategie besteht darin, das Setup so genau wie möglich neu zu erstellen und dabei die beiden Seiten im Gleichgewicht zu halten.

Stellen Sie sich vor, Sie beginnen mit zwei identischen Bechern, die mit der gleichen Menge Wasser gefüllt sind und keine Kugeln enthalten. Auf der Waage platziert, balancieren sie.

Platzieren Sie links einen Ping-Ping-Ball mit einem baumelnden Faden. Stellen wir uns vor, dass der Faden und die Wände der Kugel ein vernachlässigbares Gewicht haben. Mit dieser Annäherung bleiben die Skalen ausgeglichen. (Schließlich haben wir nur einer beliebigen Luftkugel über dem Wasser einen Namen gegeben.)

Stellen Sie sich als Nächstes vor, dass sich am unteren Rand des linken Bechers ein Wassersprite befindet, der eine Winde betätigt , die Schnur festziehen. Dies hat wiederum keine Auswirkung auf die Waage, da die Konfigurationsänderung am linken Becherglas in sich geschlossen ist. Der Ball sinkt und der Wasserstand steigt.

Senken Sie rechts einen durchlässigen Ball an einer Schnur ins Wasser. (Stellen Sie sich vor, dass die Wände des Balls ein vernachlässigbares Gewicht haben.) Der Ball füllt sich mit Wasser, das sich bereits im Becher befand. Auch hier bleibt die Skala ausgeglichen, da wir nur einer beliebigen Wassersphäre einen Namen gegeben haben.

Angenommen, in der rechten Kugel befindet sich ein König Midas, der Wasser in Gold oder Stahl verwandelt. oder was auch immer dichteres Material. Es macht keinen Unterschied, da jedes zusätzliche Gewicht von der Saite getragen wird, die den richtigen Ball aufhängt.

Bisher bleiben die Skalen ausgeglichen. Aber was ist der Unterschied zwischen dem bisherigen Szenario und dem in Ihrer Frage? Der Wasserstand auf der rechten Seite stieg nicht an, als wir die poröse Kugel in das rechte Becherglas senkten, so wie wir eine massive Stahlkugel abgesenkt hätten.

Gießen Sie also eine Menge Wasser in die rechte Becher entspricht dem Volumen der Stahlkugel, und Sie haben das Setup neu erstellt! Natürlich würde die Skala dann nach rechts kippen.

Ich bin erstaunt, dass dies für manche so verwirrend ist. Dies ist zu lang, um ein Kommentar zu sein, also mache ich daraus eine Antwort. Die TL; DR-Version: Die Antworten, die besagen, dass die Skala nach rechts geneigt wird, sind korrekt. Das mit Wasser gefüllte Becherglas mit der von oben hängenden Stahlkugel ist schwerer als das Becherglas mit der von unten verankerten Tischtenniskugel.

Annahmen

• Die beiden Flaschen sind identisch. Um dies zu erreichen, bringen wir bis zur Haarspaltung einen Stecker an der Unterseite beider Flaschen an. Der Anschluss wird verwendet, um die Tischtenniskugel links unten zu verankern. Wir benötigen denselben unbenutzten Anschluss auf der rechten Seite, um die Kolben identisch zu machen.
• Die beiden Kolben enthalten identische Mengen Wasser.
• Die Tischtennis- und die Stahlkugel sind identisch die gleiche Größe und sind vollständig im Wasser aufgehängt.
• Der Tischtennisball ist weniger dicht als Wasser, während der Stahlball natürlich dichter als Wasser ist.
• Die Saiten sind aus vernachlässigbare Masse.
• Die Skalen sind sehr empfindlich und können Unterschiede in der Masse zum Subzentrigramm-Niveau erkennen.

Experiment Nr. 1: Verankerter Tischtennisball links , keine Stahlkugel rechts

Das ist einfach: Die linke Seite ist schwerer. Eine einfache Erklärung ist, den Wasser + Tischtennisball auf der linken Seite als System zu betrachten. Dieses System ist statisch, daher ist die Nettokraft Null. Die Masse des Systems ist die Summe der Massen des Wassers und der Kugel: $ m_ {w + b} = m_w + m_b $ span>. Die Schwerkraft übt eine Abwärtskraft von $ g m_ {w + b} = g (m_w + m_b) $ span> aus. Ohne den atmosphärischen Druck zu berücksichtigen, ist die einzige andere Kraft die des Bodens der Kolben auf dem Wasser. Dies muss genau dem Gewicht des Wasser + Ball-Systems entgegenwirken, um eine Nettokraft von Null zu haben. Somit ist die auf die linke Seite der Skala übertragene Kraft $ W_l = g (m_f + m_w + m_b) $ span> wobei $ m_f $ span> ist die Masse des Kolbens. Auf der rechten Seite befindet sich nur die Masse des Wassers und des Kolbens. Die auf die Waage auf der rechten Seite übertragene Kraft beträgt also $ g (m_f + m_w) $ span> oder $ g m_b $ span> weniger als links. Die Skala zeigt nach links unten.

Beachten Sie, dass ich die Kräfte auf die Saite, den Auftrieb und den Druck ignoriert habe. Das Aufrufen dieser Ergebnisse erfolgt in derselben Antwort wie oben, jedoch mit viel mehr Aufwand. Auf den Ball wirken drei Kräfte: Gravitation ( $ W_b = g m_b $ span> nach unten), Auftrieb ( $ B = g \ rho_w V_b $ span> nach oben) und Spannung ( $ T $ span> nach unten). Der Ball ist statisch, also $ T + W_b = B $ span> oder $ T = B-W_b $ span> . Auf das Wasser wirken drei Kräfte: die Gravitation ( $ W_w = g m_w $ span> nach unten), das dritte Gesetz, das der Auftriebskraft widerspricht, die das Wasser auf den Ball ausübt ( $ B = g \ rho_w V_b $ span>, aber jetzt eher nach unten als nach oben gerichtet) und die Kraft des Kolbenbodens auf das Wasser ( $ F_p $ span> nach oben). Die Nettokraft auf das Wasser ist Null, also $ F_p = W_w + B $ span>. Die Kräfte am Boden des Kolbens sind die nach oben gerichtete Spannung in der Saite und die nach unten gerichtete Druckkraft aus dem Wasser: $ F_f = F_p - T = (W_w + B. ) - (B-W_b) = W_w + W_b = g (m_w + m_b) $ span>.

Einige werden sagen "aber wie überträgt sich die Reaktionskraft auf den Auftrieb auf den Boden des Kolbens?" Beachten Sie, dass ich mich nicht auf Newtons drittes Gesetz im Zusammenhang mit dem Zähler der Auftriebskraft berufen habe, die schließlich auf den Boden des Kolbens einwirkt. Ich habe statische Analyse verwendet. Die Erklärung, wie diese Kraft schließlich auf den Boden des Kolbens übertragen wird, erfolgt über Druck. Die Kraft des Kolbens auf das Wasser ist gleich, aber entgegengesetzt zu der Kraft des Wassers auf den Kolben, und dies ist der Druck mal Bereich. Das Vorhandensein der Kugel erhöht die Höhe der Oberseite des Wassers um einen Betrag, der erforderlich ist, um das Volumen der Kugel aufzunehmen, und dies erhöht den Druck am Boden des Kolbens. Wenn der Kolben zylindrisch ist, ist dies eine ziemlich einfache Berechnung: $ \ Delta h = V_b / A $ span> und somit $ \ Delta P = \ rho g \ Delta h A = \ rho g V_b $ span>. Das ist die Größe der Auftriebskraft.

Experiment 2: Keine Tischtenniskugel links, hängende Stahlkugel rechts

Jetzt wird die Skala nach rechts geneigt. Es gibt einen einfachen, einen schwierigen und einen schwierigeren Weg, dies zu lösen. Der schwierigere Weg beinhaltet Druck und das Ergebnis ist das gleiche wie bei den beiden anderen Ansätzen. Ich werde den Druck umgehen. Der einfache Weg ist eine statische Analyse. Das Wasser übt eine Auftriebskraft auf den Ball aus, die eine gleiche, aber entgegengesetzte Kraft auf das Wasser ausübt. Das Wasser ist statisch, daher übt der Boden des Kolbens eine Kraft auf das Wasser aus, die der Summe seines Gewichts und der Größe der Auftriebskraft entspricht: $ W_w + B = g m_w + B $ span>. Wenn Sie das Gewicht des Kolbens addieren, erhalten Sie rechts das Gesamtgewicht: $ W_r = g (m_f + m + w) + B $ span>. Links haben wir nur das Gewicht des Kolbens und des Wassers. Die Skala neigt sich nach rechts.

Experiment 3: Verankerte Tischtenniskugel links, hängende Stahlkugel rechts

Jetzt kennen wir das Gewicht, das links vom Kolben + Wasser + Tischtennisballsystem registriert wird, und das Gewicht, das rechts vom Kolben + Wasser + hängendem Stahlkugelsystem registriert wird. Es ist eine einfache Sache, die beiden zu vergleichen: $ W_r - W_l = g (m_f + m + w) + B - g (m_f + m_w + m_b) = B - g m_b $ . Da der Tischtennisball schwebt, $ B>g m_b $ span>, neigt sich die Skala nach rechts.

Experiment 4: Wie Experiment # 2, aber jetzt links Wasser hinzufügen

In Experiment 2 können wir einfach Wasser in den Kolben links geben, um die Waage auszugleichen. Wenn wir das tun, werden wir sehen, dass sich die Waage ausbalanciert, wenn sich der Wasserstand in den beiden Kolben genau auf der gleichen Höhe über dem Boden des Kolbens befindet. (Dies ist das Druckargument.) Wenn wir die Menge des hinzugefügten Wassers messen, entspricht das Volumen dem Volumen des Balls. (Dies ist das Auftriebsargument.)

Experiment Nr. 5: Verankerter Tischtennisball links, linker Kolben aus Experiment Nr. 4 rechts

Seit den beiden Kolben in Experiment Nr. 4 haben das gleiche Gewicht, die Waage kippt immer noch nach rechts, genau wie in Experiment 3. Wenn wir uns die beiden Flaschen ansehen, werden wir feststellen, dass der Wasserstand in ihnen gleich ist.

Experiment 6: Verankerter Tischtennisball links, verankerter zerquetschter Tischtennisball rechts

Hier ersetzen wir die Stahlkugel in Experiment 3 durch eine zerquetschte Tischtenniskugel, die von unten verankert ist. Da die Auftriebskraft im Ping-Pong-Ball + Wasser-System nachlässt (siehe Experiment Nr. 1), könnte man denken, dass der Test zwischen intaktem und zerquetschtem Ping-Pong-Ball ausgeglichen wird. Das ist nicht der Fall. Der intakte Tischtennisball wiegt ein kleines bisschen mehr. Es enthält ungefähr 4 Zentigramm Luft. Dies ist Teil der Messung links, aber nicht rechts. Das System mit dem intakten Tischtennisball ist etwas schwerer. Da unsere Skala auf das Subzentigramm-Niveau genau ist, wird die Skala in diesem Experiment nach links geneigt. Strike>

Das Obige ist falsch. Der Wasserstand ist auf der Seite des zerquetschten Tischtennisballs etwas niedriger. Wenn Ping-Pong-Bälle nicht auf wesentlich mehr als den atmosphärischen Druck aufgepumpt werden, gleicht der leicht erhöhte Druck auf der Seite der zerkleinerten Ping-Pong-Bälle die Verringerung der Masse mehr oder weniger aus.

Experiment Nr. 7: Ersetzen Sie die Stahlkugel In Experiment 2 mit einem intakten Tischtennisball

Ersetzen wir abschließend die am Turm befestigte Schnur, die die Stahlkugel im Wasser aufhängt, durch eine starre Stange am Turm, zu der ein Tischtennisball gezwungen wird unter Wasser getaucht werden. Das Ergebnis ist identisch mit Experiment 2. Die Auftriebskraft entspricht dem Volumen, nicht der Masse. Es spielt keine Rolle, welche Art von Ball wir verwenden, solange die Lautstärke gleich bleibt. Die Auswirkungen auf den Turm sind natürlich deutlich unterschiedlich, aber der Turm ist nicht Teil der Systeme, die wir wiegen.

Nun, ich habe das sehr falsch verstanden und mich bei denen, die ich gehandelt habe, entschuldigend entschuldigt.

Es schien einfach: Das Wasser in beiden hat das gleiche Gewicht, also dachte ich, dass das Entfernen keinen Unterschied für das Wasser machen würde Balance. Dies war falsch: Das Entfernen des Wassers aus dem rechten Becher hat einen Effekt. Das Vorhandensein der schwebenden Kugel erhöht das Gewicht, sodass die rechte Pfanne abfällt.

Ich habe einige Experimente durchgeführt, um dies zu überprüfen Mit einem Plastikbecher auf einer empfindlichen digitalen Waage wurde ich durch das maximale Gewicht, das die Waage anzeigen würde, auf insgesamt 200 g begrenzt, was meine Durchführung der Tests einschränkte. Ich habe die Ergebnisse fotografiert (Entschuldigung für die Hintergründe, ignorieren Sie das grüne Etikett):

. Das erste Foto (oben links) zeigt die Tasse mit Wasser und einem Stück Plastik, das am Boden befestigt ist. Die zweite (oben rechts) hat den Kunststoff entfernt und am Rand des Bechers über dem Wasser aufgehängt und zeigt, dass es keinen Unterschied im Gewicht gibt. Das habe ich erwartet. Das dritte Bild (unten links) zeigt nur das Wasser (der Haken hat sich gelöst und ich habe es weggeworfen), notieren Sie das Gewicht, und auf dem letzten Foto ist ein Testgewicht aus 100 g Stahl im Wasser aufgehängt, und zu meiner anfänglichen Überraschung das Das auf der Waage angegebene Gewicht ist gestiegen. Die richtige Schlussfolgerung ist also, dass die rechte Pfanne abfällt.

Als letztes Experiment, das nicht fotografiert wurde, habe ich den Wasserstand und den Skalenwert notiert, bevor ich das Stahlgewicht abgesenkt habe. Nachdem ich das Gewicht gesenkt habe Auf der Oberfläche entfernte ich das Wasser wieder auf das gleiche Niveau. Das heißt, ich entfernte das Wasser, das durch das Gewicht verdrängt wurde, und der Skalenwert ging auf das Original zurück. Für mich zeigt dies, dass das zusätzliche Gewicht auf der Pfanne, wenn die schwere Masse eingetaucht ist, gleich dem Gewicht des verdrängten Wassers ist.

Dies führt zu einer einfachen Erklärung, warum die rechte Pfanne eintaucht. Entfernen Sie die Stahlkugel und stellen Sie sich vor, sie hinterlässt ein Loch im Wasser, das genau so groß ist wie die Kugel, so dass der Gesamtpegel der Wasseroberfläche dem entspricht, in dem sich die Kugel noch befindet. Stellen Sie sich vor, dieses Loch füllt sich mit zusätzlichem Wasser: Dann sind die Kräfte auf den kugelförmigen Wasserfleck, der den Ball ersetzt hat, genau die gleichen wie auf den hängenden Ball. Für mich zeigt dies, dass das Vorhandensein des Balls ein Gewicht hinzufügt, das dem des verdrängten Wasservolumens entspricht.

Es zeigt auch, dass die einzigen zwei Dinge, die für das schwebende Objekt wichtig sind, sein Volumen sind, und das es ist dichter als Wasser. Sein Gewicht und seine Form sind unerheblich (solange es keine zusätzliche Luft einfängt, wenn es unter die Oberfläche gesenkt wird).

Mir ist jetzt klar, dass in den bereits gegebenen Kommentaren und Antworten etwas sehr Ähnliches gesagt wurde. und obwohl ich alleine dazu gekommen bin, schätze und bestätige ich ihre vorherige Einsicht.

Für eine gewisse Höhe der Flüssigkeit beträgt der Druck des Wassers am Boden des Bechers $ P = h \ rho g $, wobei $ \ rho $ die Dichte des Wassers * ist. Da $ h $ für beide Becher gleich ist, ist $ P $ gleich.

Die Nettokraft auf der Unterseite des linken Bechers ist die Summe des Wasserdrucks $ PA $ abzüglich der Spannung beim Ziehen der Schnur unten:

$$ F_ {left} = PA - T $$

Auf der rechten Seite ist die einzige Kraft am Boden des Bechers

$$ F_ {right} = PA $$

Der Unterschied ist die Spannung in der Saite: Solange die Spannung positiv ist (dh der Pingpong-Ball würde schweben, wenn wir die Saite schneiden ), die rechte Seite wird nach unten kippen.

* Hinweis - weiter unten zu kommentieren (was möglicherweise verschwindet), ich meine "Dichte des Wassers", und nicht "effektive Dichte von Wasser, das leichter ist, weil Masse / Volumen kleiner ist, da ein bisschen Volumen ohne Wasser darin ist". Genau so funktioniert die Hydrostatik: Der Druck wird durch die Wassersäule verursacht und ist an jedem Punkt am Boden gleich. Anders zu sagen bedeutet, die Verwirrung aufrechtzuerhalten.

Meine Antwort ist, dass der Becher mit der Stahlkugel nach unten kippt, obwohl meine Erklärung seltsam klingen mag:

Es geht nicht um Masse und Auftrieb, sondern um Druck und Auftrieb.

1- Der Wasserdruck an beiden Becherböden entspricht der Wasserhöhe x der Becherbodenfläche und sie sind gleich

2- Am Becher rechts ist nichts angebracht, was ihn nach unten oder oben drücken würde

3- Links am Becher befindet sich ein Tischtennisball, der nach oben gehen möchte.

Bonus-Puzzle: Was passiert in den ersten Millisekunden, wenn wir beide Saiten genau zum richtigen Zeitpunkt abschneiden?