Die vom GPS vorhergesagte Fehlergrenze für die Position beträgt $ 15 \ text {m} $. Das GPS-System muss also die Zeit mit einer Genauigkeit von mindestens $ 15 \ text {m} / c $ einhalten, was ungefähr $ 50 \ text {ns} $ entspricht.

Also entspricht $ 50 \ text {ns} $ Fehler in der Zeitmessung bis $ 15 \ text {m} $ Fehler bei der Entfernungsvorhersage.
Daher entspricht für $ 38 \ text {μs} $ Fehler bei der Zeitmessung $ 11 \ text {km} $ Fehler bei der Entfernungsvorhersage.

Wenn wir keine Korrekturen mit GR auf GPS anwenden, wird ein Fehler von $ 38 \ text {μs} $ bei der Zeitmessung pro Tag eingeführt.

Sie können dies selbst überprüfen, indem Sie die folgenden Formeln verwenden

$ T_1 = \ frac {T_0} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} $ ... Die Uhr läuft relativ langsamer, wenn sie sich mit hoher Geschwindigkeit bewegt.

$ T_2 = \ frac {T_0} {\ sqrt {1- \ frac {2GM} {c ^ 2 R}}} $ ... Die Uhr läuft aufgrund der schwachen Schwerkraft relativ schneller.

$ T_1 $ = 7 Mikrosekunden / Tag

$ T_2 $ = 45 Mikrosekunden / Tag

$ T_2 - T_1 $ = 38 Mikrosekunden / Tag

Verwenden Sie die in diesem sehr guten Artikel angegebenen Werte.

Und für Gleichungen siehe HyperPhysics.

Stephen Hawking hat also Recht ! :-)

Es gibt den Artikel der Ohio State University http://www.astronomy.ohio-state.edu/~pogge/Ast162/Unit5/gps.html, der recht gut erklärt, warum die Uhren auf a GPS-Satelliten sind täglich um etwa 38 Mikrosekunden schneller. Der Artikel behauptet dann, dass eine Kompensation dieser 38 Mikrosekunden pro Tag dazu führen würde, dass ein GPS um etwa 11 km pro Tag ausgeschaltet ist, was eindeutig unbrauchbar ist, und behauptet, dass dies (die Tatsache, dass wir die 38 Mikrosekunden kompensieren müssen, damit GPS funktioniert) ) ist ein Beweis für die Allgemeine Relativitätstheorie.

Das Problem ist, dass die Uhren zwar um 38 Mikrosekunden pro Tag ausgeschaltet sind und die Allgemeine Relativitätstheorie in Ordnung ist, wir dies jedoch nicht kompensieren müssten. Das GPS in Ihrem Auto oder Ihrem Telefon hat keine Atomuhr. Es hat keine Uhr, die präzise genug ist, um mit GPS zu helfen. Es wird nicht gemessen, wie lange es gedauert hat, bis das Signal von Satellit A zu GPS gelangt ist. Es misst die Differenz zwischen dem Signal von Satellit A und dem Signal von Satellit B (und zwei weiteren Satelliten). Dies funktioniert, wenn die Uhren schnell sind: Solange sie alle genau gleich schnell sind, erzielen wir immer noch die richtigen Ergebnisse.

Das heißt, fast. Satelliten stehen nicht still. Wenn wir uns also auf eine Uhr verlassen, die 38 Mikrosekunden pro Tag schnell ist, führen wir die Berechnungen basierend auf der Position eines Satelliten durch, der 38 Mikrosekunden pro Tag abweicht. Der Fehler ist also nicht (Lichtgeschwindigkeit mal 38 Mikrosekunden mal Tage), sondern (Geschwindigkeit des Satelliten mal 38 Mikrosekunden mal Tag). Dies sind ungefähr 15 cm pro Tag. Nun, Satellitenpositionen werden einmal pro Woche korrigiert. Ich hoffe, niemand glaubt, wir könnten die Position eines Satelliten für lange Zeit fehlerfrei vorhersagen.

Zurück zur ursprünglichen Annahme, dass der Fehler ohne Kompensation 11 km pro Tag betragen würde: Die Satellitenuhren werden mit einem Faktor von knapp 1 multipliziert, damit sie mit der richtigen Geschwindigkeit fahren. Aber das würde nicht funktionieren. Der Effekt, der 38 Mikrosekunden pro Tag erzeugt, ist nicht konstant. Wenn der Satellit über einen Ozean fliegt, ist die Schwerkraft geringer. Die Satellitengeschwindigkeit ändert sich ständig, da der Satellit nicht auf einem perfekten Kreis um eine perfekt runde Erde aus perfekt homogenem Material fliegt. Wenn GR einen nicht kompensierten Fehler von 11 km pro Tag verursacht, ist es nicht vorstellbar, dass eine einfache Multiplikation der Taktrate ausreicht, um diesen zu reduzieren und GPS nutzbar zu machen.

Dies erfahren Sie ausführlich in der hervorragenden Zusammenfassung hier: Was sagt uns das globale Positionierungssystem über die Relativitätstheorie?

Auf den Punkt gebracht:

1. Allgemeine Relativitätstheorie sagt voraus, dass Uhren in einem höheren Gravitationsfeld langsamer laufen. Das ist die Uhr an Bord der GPS-Satelliten, die schneller "klickt" als die Uhr auf der Erde.
2. Außerdem sagt die Spezielle Relativitätstheorie voraus, dass eine sich bewegende Uhr langsamer ist als die stationäre. Dieser Effekt verlangsamt also die Uhr im Vergleich zu dem auf der Erde.
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Wie Sie sehen, wirken in diesem Fall die beiden Effekte in die entgegengesetzte Richtung, aber ihre Die Größe ist nicht gleich, heben Sie sich also nicht gegenseitig auf.

Nun ermitteln Sie Ihre Position, indem Sie das Zeitsignal einer Reihe von Satelliten vergleichen. Sie befinden sich in unterschiedlicher Entfernung von Ihnen und es dauert dann unterschiedlich lange, bis das Signal Sie erreicht. Daher unterscheidet sich das Signal von "Satellit A sagt jetzt, dass es 22:31:12 ist" von dem, was Sie Satellit B im gleichen Moment hören. Aus der Zeitdifferenz des Signals und der Kenntnis der Satellitenpositionen (Ihr GPS weiß das) können Sie Ihre Position auf dem Boden triangulieren.

Wenn man die unterschiedlichen Taktraten nicht kompensiert, wäre die Entfernungsmessung falsch und die Positionsschätzung könnte Hunderte oder Tausende von Metern oder mehr abweichen, was das GPS-System im Wesentlichen unbrauchbar macht.

Der Effekt der Gravitationszeitdilatation kann sogar gemessen werden, wenn Sie von der Erdoberfläche zu einer Erdumlaufbahn gelangen. Da GPS-Satelliten die Zeit messen, die Nachrichten benötigen, um Sie zu erreichen und zurückzukehren, ist es daher wichtig, die Echtzeit zu berücksichtigen, die das Signal benötigt, um das Ziel zu erreichen.

Ich glaube nicht, dass GPS "von der Relativitätstheorie abhängt" in dem Sinne, dass eine technologische Zivilisation, die niemals eine spezielle / allgemeine Relativitätstheorie entdeckt hat, kein funktionierendes GPS-System herstellen kann. Sie können die Uhr in einem Satelliten immer mit den Uhren am Boden vergleichen und die Rate anpassen, bis sie nicht mehr synchron sind, unabhängig davon, ob Sie verstehen, warum sie nicht mehr synchron sind. Tatsächlich synchronisieren sie sie empirisch, nicht indem sie blind einer theoretischen Berechnung vertrauen.

Die Frage, was passieren würde, wenn die Uhren (aus irgendeinem Grund) um 38 μs / Tag driften würden, ist seltsam kontrafaktisch, da dies darauf hindeutet, dass niemand das System wartet. In diesem Fall würde es vermutlich schnell verschiedenen anderen Problemen erliegen -relativistischer Ursprung. Wenn jemand einige Teile des Systems synchron hält, müssen Sie wahrscheinlich angeben, welche Teile. Wenn die Satelliten beispielsweise ihre Positionen in Bezug auf einen Trägheitsrahmen, der sich mit dem Erdmittelpunkt bewegt, genau kennen, die Ausrichtung der Erde jedoch ab der Tageszeit berechnet wird, liegt ein akkumulierter Positionsfehler von 38 μs vor Erdrotation oder ein paar Zentimeter am Äquator pro Tag. Wenn die Satelliten jedoch ihre Position in Bezug auf einen korotierenden Referenzrahmen genau kennen, wäre der Fehler viel kleiner.