Die erste allgemeine Relativitätstheorie wird in der Regel im vierten Studienjahr oder manchmal sogar im Grundstudium unterrichtet. Dies setzt natürlich eine gute Grundausbildung in Mathematik und Physik voraus. Persönlich bin ich eher der Meinung, dass man andere Physik lernen sollte, bevor man sich mit der allgemeinen Relativitätstheorie befasst. Ein solider Hintergrund in der klassischen Mechanik, zumindest mit Hamiltonianern, Lagrangianern und Handlungsprinzipien. Ein Kurs in Elektromagnetismus (auf der Ebene von Griffiths) ist meiner Meinung nach auch eine gute Sache.

Mathematisch denke ich, dass die Voraussetzungen etwas höher sind, und da die Frage nach mathematischen Details fragt, habe ich Ich werde mich darauf konzentrieren. Ich lernte die Relativitätstheorie aus einer sehr differenzgeometriezentrierten Perspektive (ich wurde von einem Mathematiker unterrichtet) und fand, dass mein Verständnis der Differentialgeometrie sehr hilfreich für das Verständnis der Physik war. Ich war noch nie ein Fan von Hartles Buch, dem meiner Meinung nach die mathematischen Details sehr fehlen, das aber gut für die körperliche Intuition ist. Nachdem ich jedoch schon seit einiger Zeit in der Relativitätstheorie gearbeitet habe, denke ich, dass es besser ist, aus mathematischer Sicht zu unterrichten, damit Sie die übergeordneten Konzepte leicht aufgreifen können.

Außerdem denke ich, dass Sie wirklich verstehen müssen, was mathematisch vor sich geht, um zu verstehen, warum wir Dinge so konstruieren müssen, wie wir es tun. Ich muss hier mit Nibot nicht einverstanden sein und sagen, dass Sie mehr als nur lineare Algebra und College-Kalkül brauchen. Kalkül Sie müssen mindestens bis zur Vektorrechnung gesehen haben und damit vertraut sein. Lineare Algebra ist etwas, das Sie sehr gut verstehen sollten, wenn man bedenkt, dass es sich um Vektoren handelt. Ein guter Kurs in abstrakterer Algebra, der sich mit Vektorräumen, inneren Produkten / Orthogonalität und dergleichen befasst, ist ein Muss. Meines Wissens wird dies normalerweise in einem linearen Algebra-Kurs im zweiten Jahr unterrichtet und normalerweise aus Kursen im ersten Jahr ausgeschlossen. Offensichtlich ist ein Kurs in Differentialgleichungen erforderlich, und wahrscheinlich ist auch ein Kurs in partiellen Differentialgleichungen erforderlich.

Ich denke nicht, dass ein Kurs in Analyse erforderlich ist. Da es jedoch mehr um den mathematischen Aspekt geht, würde ich sagen, dass ein Kurs in Analyse bis hin zu topologischen Räumen ein großes Plus ist. Auf diese Weise können Sie, wenn Sie neugierig auf die mathematischere Natur von Mannigfaltigkeiten sind, ein Buch wie Lee in die Hand nehmen und zu den Rennen gehen. Wenn Sie etwas auf einem höheren Niveau studieren möchten, sagen wir Wald, dann ist ein Kurs in Analyse einschließlich topologischer Räume ein Muss. Sie könnten damit durchkommen, aber ich denke, es ist besser, am Ende des Tages zu haben.

Ich würde auch sagen, dass ein guter Kurs in klassischer Differentialgeometrie (2- und 3-dimensionale Dinge) eine gute Voraussetzung ist, um eine geometrische Vorstellung davon zu bekommen, was vor sich geht, obwohl die in diesen Typen verwendeten Methoden von Kursen nicht verallgemeinern.

Natürlich geht es auch um die mathematische Reife. Es ist eine lustige Sache, die sich nicht quantifizieren lässt. Obwohl ich den richtigen mathematischen Hintergrund hatte, verstand ich nicht sofort die ganze Idee, einen Tangentenraum an jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit einzuführen und wie $ \ {\ partielle_ {i} \} $ eine Basis für diesen Vektorraum bilden. Ich habe etwas länger gebraucht, um das herauszufinden.

Sie können all dies immer überspringen und nur mit der klassischen Indexgymnastik der Physiker davonkommen (Tensoren sind Dinge, die sich auf diese Weise verändern), aber ich denke, wenn Sie ein ernsthafter Schüler der Relativitätstheorie sein wollen, würden Sie lernen der mathematischere Standpunkt.

BEARBEITEN: Auf Vorschlag von jdm ist auch ein Kurs in klassischer Feldtheorie gut. Es gibt ein nettes kleines Dover-Buch mit dem passenden Titel Klassische Feldtheorie, das am Ende zur allgemeinen Relativitätstheorie führt. Ich habe jedoch nie einen Kurs besucht und ich glaube, dass viele Universitäten ihn leider sowieso nicht anbieten. Auch eine gute Einführung, wenn Sie Quantenfeldtheorie lernen möchten.

Das Fach ist überraschend eigenständig, vielleicht hauptsächlich, weil Physiker normalerweise gleichzeitig die physikalische Theorie und die damit verbundene Mathematik lernen. Ich würde sagen, die Hauptvoraussetzung ist ein wenig "mathematische Reife" und körperliche Intuition. Jeder Kontakt mit Differentialgeometrie und abstrakter Mathematik kann nur helfen. Ein Kurs in analytischer klassischer Mechanik würde Sie in die richtige Denkweise bringen.

Wenn Sie College-Kalkül und lineare Algebra studiert haben und ein gewisses Verständnis für spezielle Relativitätstheorie haben, dann schlage ich vor, dass Sie sofort einsteigen und stellen Sie Fragen, wenn Sie auf Schwierigkeiten stoßen.

Colins ausgezeichnete Antwort ist genau richtig, um einen gründlicheren Hintergrund zu beschreiben. Seien Sie einfach nicht zu schüchtern, um sofort in Sean Carrolls Notizen zu stöbern und zu sehen, wie viel Sie verstehen und wie viel Sie überprüfen müssen.

Einige Antworten hier stehen kurz davor, "einen Mathematik-Abschluss zu machen, dann einen Physik-Abschluss". Ich denke, das haben Sie nicht erwartet. Während Ihres Studiums ist es sachlich und natürlich, all diese Fächer zu lernen, aber in Ihrer Freizeit versuchen Sie, all dieses Wissen allein zu erwerben, ohne Professoren, ohne Unterricht, ohne Presse, um an bestimmten Daten Prüfungen abzulegen ... das ist fast unmöglich.

Nachdem ich das gesagt habe, denke ich, ich verstehe genau, was Sie wollen, weil ich die gleiche Frage einmal hatte. Ich bin Physiker, aber nach meinem Abschluss wurde mir klar, dass mein Verständnis von GR aus mathematischer Sicht nur oberflächlich war. Also recherchierte ich über die Frage und entwarf schließlich eine "Schritt für Schritt" -Bibliographie, die ich in meiner Freizeit immer noch verfolge. Hier haben Sie es:

1) Beginnen Sie mit der alten Ausgabe des kleinen Schaum-Buches 'Vector Calculus' von Murray M. Spiegel. Es beginnt mit der sehr grundlegenden Definition von Vektoren aus der High School und endet mit Christoffel Symbols and Geodesics. Jedes Kapitel enthält eine minimalistische Beschreibung des Wesentlichen, gefolgt von gelösten Übungen. Lesen Sie nur den beschreibenden Teil der Kapitel 1 bis 6 (die ersten 3 oder 4 Kapitel sind Ihnen sicherlich vollständig bekannt, aber es ist gut, sie zu aktualisieren) und arbeiten Sie dann an den vollständigen Kapiteln 7 (krummlinige Koordinaten) und 8 (Tensorrechnung) ), Ich meine: studiere die Kapitel 7 und 8 auch mit den gelösten Übungen.

Arbeite speziell ALLE gelösten und ungelösten Übungen von Kapitel 8.

Dies kann keine Wunder bewirken (dh Es kann kein Ersatz für einen vollständigen Abschluss in Mathematik sein. Es bietet Ihnen jedoch in sehr kurzer Zeit sehr nützliche grundlegende mathematische Werkzeuge. Wenn Sie eine partielle Ableitung durchführen können, aber nicht wissen, was "Ableiten der Christoffel-Symbole in sphärischen orthogonalen Koordinaten" bedeutet, müssen Sie mit diesem Buch beginnen.

2) Studieren Sie nach dem Schaum das Buch "Die Bedeutung der Relativitätstheorie" (1922) von Einstein. Es ist ein Buch, das auf einer Reihe von Vorlesungen basiert, die er 1921 in Princeton hielt, mit progressiven Erklärungen von der Tensorrechnung bis zur Friedman-Kosmologie, einschließlich der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie. Es soll in der Mathematik selbsterklärend sein, aber es wird für Sie viel mehr Bedeutung haben, wenn Sie zuerst das Schaum-Buch ausgearbeitet haben. Es erfordert auch einige kurze Einblicke in Wikipedia, wenn Ihr Hintergrund in Physik nicht gut ist (d. H. Die Poisson-Gleichung oder die Maxwell-Gleichungen und ihre Bedeutung, wenn Sie ihnen begegnen), aber nichts Schwieriges. Das einzige Problem bei diesem Buch ist manchmal die altmodische Notation oder von Zeit zu Zeit einige Details, die Sie erraten müssen (zum Beispiel nimmt er für die spezielle Relativitätstheorie c = 1 an und es kann sehr verwirrend sein, wenn Sie dies nicht getan haben bemerkte). Aber es ist sehr anregend, von Einstein selbst zu lernen, und die modernen Bücher sind im Allgemeinen entweder zu einfach oder zu voreingenommen in eine Richtung.

3) Nachdem ich die Punkte 1 und 2 bearbeitet habe, habe ich jetzt sprang zu den Kapiteln 1 bis 6 aus dem Buch "Allgemeine Relativitätstheorie" von Wald, einschließlich der Übungen (dies ist sehr wichtig), die irgendwo im Internet gelöst werden (google for it). Dies ist jedoch ein ziemlich schwieriges Buch, und ich bedaure manchmal, dass ich nicht zuerst einen anderen Text verwendet habe. Ich empfehle Ihnen daher, hier das Buch "Raumzeit und Geometrie: Eine Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie" von Sean Carroll zu lesen. Es ist nicht so schwer wie Wald, aber streng und gut erklärt, und die Auswahl der Themen ist sehr interessant.

Ein weiterer direkter Ansatz, um die Relativitätstheorie von Anfang an zu lernen, ist möglicherweise das Buch "Ein erster Kurs zur Allgemeinen Relativitätstheorie" von Schutz. Dieses Buch ist in seiner Art einzigartig, da es einen geometrischen, rigorosen, aber progressiven und einfachen Ansatz für die Allgemeine Relativitätstheorie und ihre mathematische Maschinerie entwickelt, vorausgesetzt, der Zielleser weiß zu Beginn kaum, wie man eine partielle Ableitung und etwas weniger mehr macht. Es gibt viele Übungen, deren detaillierte Lösungen im Internet leicht zu finden sind. Die allerletzten Kapitel über Schwarze Löcher und Kosmologie sind nur einführend, aber wenn Sie sie erreichen, sind Sie in einer guten Position, um ehrgeizigere Projekte (Carroll, Weinberg usw.) zu starten. Tatsächlich denke ich ernsthaft darüber nach, Wald für den Moment aufzugeben, und komme auf dieses Buch zurück, das ich teilweise in meinem Studium verwendet habe, und arbeite es von Anfang an aus. Ich bin sicher, Roger Penrose hält Wald in einer Hand und liest abgelenkt, während er morgens seine Cornflakes isst, wie Sie und ich es mit einer Zeitung tun, aber für mich ist es immer noch zu abstrakt ...

Kann ich diese Videos von der Stanford University empfehlen, wie sie von Leonard Susskind gegeben wurden?

Sehr gründlich und sehr hilfreich für mich im Sommer, bevor ich den Kurs belegte.

Stanford Uni GR-Kurs

Es würde auch nicht schaden, sich einige Kurse ohne Kosmologie anzusehen, die einige der physikalischen Phänomene abdecken, für die GR zur vollständigen Beschreibung erforderlich ist

Ich habe den größten Teil von Schutz 'erstem Kurs direkt nach dem Abitur und vor der Universität gelesen. http://www.amazon.com/First-Course-General-Relativity/dp/0521277035 Ich hatte ein Mathematik- und Physik-Abitur gemacht (Standard für 18-Jährige in Großbritannien, um weiterzumachen Mathematik an der Universität). Es erfordert das Verständnis, was eine partielle Ableitung und eine grundlegende lineare Algebra sind, sowie einen Mangel an Angst. Es hat geholfen, dass ich vorher viel Popwissenschaft über spezielle Relativitätstheorie gelesen hatte, aber es beginnt mit einer Ableitung von SR, was das Buch ziemlich eigenständig macht.

Für die spezielle Relativitätstheorie wird nicht viel Mathematik benötigt. Hier ist es einer der ersten Kurse im Bachelor-Lehrplan. Einige lineare Algebra kann nützlich sein, ist aber nicht unbedingt erforderlich. Dies hängt ein wenig von dem Text ab, den Sie verwenden werden.

Die allgemeine Relativitätstheorie ist erheblich schwieriger und erfordert einen stärkeren Hintergrund in der Mathematik, insbesondere in Bezug auf die Differentialgeometrie. Es hängt von Ihren eigenen Vorlieben ab, ob Sie es auf physikalische Weise (d. H. Alles in lokalen Koordinaten und mit Tensorindizes) oder in Mathematik (koordinatenfrei) studieren möchten. Ein gutes Buch über die allgemeine Relativitätstheorie würde die notwendige Mathematik einführen. Ich mochte Walds Allgemeine Relativitätstheorie, aber mit Ihrem Hintergrund ist sie meiner Meinung nach nicht sehr geeignet. Ein gutes Verständnis der mehrdimensionalen Analysis ist sicherlich eine Voraussetzung.

Bearbeiten: Dies war eine Antwort auf eine Frage, die mit dieser zusammengeführt wurde.

Abgesehen von den Feynman-Vorlesungen ist mein Favorit Die Relativitätstheorie für sich selbst entdecken von Sam Lilley. Er unterrichtete viele Jahre lang Schüler wie Hausfrauen und Handwerker in Abendkursen in Relativitätstheorie hatte wenig Hintergrund, aber starke Entschlossenheit. Er geht in sehr bescheidenen Schritten durch die spezielle Relativitätstheorie zur allgemeinen Relativitätstheorie und achtet darauf, dass die Leute nicht zurückbleiben. Er beginnt mit sehr wenig Mathematik und führt die Mathematik sorgfältig ein, während er fortfährt. Bis zum Ende ist er ziemlich mathematisch, aber er hat alle mitgebracht, damit sie es verstehen. Bei jedem Schritt des Weges macht er es intuitiv und interessant, insbesondere indem er ein kleines Pappgerät verwendet, das als "Schlitz" bezeichnet wird In den Raum-Zeit-Diagrammen können Sie klar verstehen, was passiert.

Spezielle Relativitätstheorie ist natürlich die erste Voraussetzung. Dies sollte die notwendige lineare Algebra, Gruppentheorie und klassische Feldtheorie einschließen, da GR selbst eine Feldtheorie ist.

Danach müssen Sie vor allem die Berechnung bis einschließlich der Kettenregel für partielle Ableitungen verstehen, die für die Zusammensetzung von Koordinatentransformationen auf Tensorfeldern entscheidend ist.

Das ist alles, was wichtig ist, um die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie zu erlernen. Vielleicht brauchen Sie auch eine gute geometrische Intuition. Wenn Sie es haben, kann GR viel früher als normalerweise gelehrt oder gelernt werden.

Es gibt einige andere Dinge, die helfen könnten, wie das Verständnis des Prinzips der geringsten Aktion, das die Variationsrechnung verwendet. Es lohnt sich auch, zuerst die Elektromagnetik bis zur Formulierung der Maxwellschen Gleichungen in SR kennenzulernen.

Dann nehmen Sie das kleinste Buch über GR, das Sie finden können (das wäre Diracs), und arbeiten es durch. Später können Sie zu moderneren Behandlungen und größeren Texten mit mehr Details übergehen.