Ihr Beispiel zeigt eine Grundidee: Obwohl die Einheiten übereinstimmen, bedeutet dies nicht, dass die resultierende Gleichung ein Gesetz der Physik ist. Aus diesem Grund akzeptieren Physiker nur Gesetze, die experimentell getestet wurden.

Diese Idee wird im folgenden XKCD-Comic gut erklärt:

Hier erhalten wir ein extremeres Beispiel als nur das Ändern der Einheiten von $ k $. Es stellt sich heraus, dass wir einer Gleichung willkürlich verschiedene Größen hinzufügen und eine neue Gleichung erhalten können, die vollständig gültig ist. Dies bedeutet, dass not tatsächlich Sinn macht! Ihr neues 'Gesetz' muss mit Experimenten validiert werden, und wie Sie im Comic sehen können, reicht ein einziges Experiment möglicherweise nicht aus.

Die Dimensionsanalyse wird also mit not verwendet, um neue Gesetze der Physik allein durch reines Denken abzuleiten. Stattdessen wusste Ihr Professor aus irgendeinem Grund bereits, dass $ t \ propto h ^ \ alpha m ^ \ beta g ^ \ gamma $. Auch das ist schon ein kleiner Vertrauenssprung - nichts ^{+ sup> hält Sie davon ab, $ t \ propto \ ln h $ anzunehmen. So zitieren Sie Ihren eigenen Beitrag:}

[...] wie in seinem Gedankenexperiment und verified in real-life bewiesen.

Stattdessen sollten Sie die Dimensionsanalyse als ein sehr nützliches Werkzeug betrachten, das Teil eines größeren Toolset ist, um bestimmte Gesetze und Gleichungen abzuleiten. Wenn Sie beispielsweise eine Gleichung auf andere Weise ableiten, können Sie mithilfe der Dimensionsanalyse check prüfen, ob Ihre neue Gleichung überhaupt möglich ist. Im Fall dieses Professors haben Sie möglicherweise eine allgemeine Vorstellung davon, wohin Ihre Gleichung führen soll, und können dann mithilfe der Dimensionsanalyse eine vernünftige Vorstellung von der endgültigen Form dieser Gleichung erhalten. (Hinweis: Dies kann dazu führen, dass Sie eines Tages in einer Prüfung mit geschlossenem Buch sparen.)

^{+ sup> Das stimmt eigentlich nicht. Es gibt gute Gründe, warum Sie $ \ ln h $ wahrscheinlich nie sehen werden, aber das ist für eine andere Zeit.}

Um eine Dimensionsanalyse durchzuführen, listen wir zunächst alle Größen auf, die sich auf eine interessierende Menge auswirken könnten. Es ist wahr, dass dies ein heikles Geschäft ist. Sie haben völlig Recht, sich zum Beispiel zu fragen, warum wir die Gravitationskonstante $ G $ oder vielleicht die Masse der Erde $ M $ nicht einbeziehen. Insbesondere wenn wir $ M $ einschließen, schlägt das Argument sofort fehl, da die Antwort eine beliebige Potenz von $ m / M $ enthalten kann.

Prof. Lewin umgeht dies durch einen milden Betrug. Während die Werte von $ M $ und $ G $ die Zeit beeinflussen, wissen wir, dass sie das Ergebnis nur durch die Kombination beeinflussen $$ g = \ frac {GM} {R_E ^ 2} $$ Dabei ist $ R_E $ der Radius der Erde. Wenn wir dies annehmen, nehmen wir jedoch die Schlussfolgerung an, also ist es ein leichter Betrug.

Neben der Ausgabe von $ M $ und $ G $ können wir jedoch auch andere 'dimensionale Konstanten' ausschließen, sodass das Argument durchgeht. Zum Beispiel könnte man sagen, dass die Konstante $ k $ etwas mit der Planck-Masse zu tun haben könnte, aber wir wissen, dass dies nicht möglich ist, da dies $ \ hbar $ beinhaltet und die Quantenmechanik hier irrelevant ist. Ähnliche physikalische Überlegungen können in den meisten Situationen die Anzahl der Mengen ausreichend reduzieren, ohne zu schummeln.

Durch das Akzeptieren des Vorhandenseins von "Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft" $ g $ hat Prof. Lewin bereits postuliert, dass keine Masse hineinkommt. Mit anderen Worten - er hat bestimmte Kenntnisse über die Physik des Systems hinzugefügt (nämlich - wenn es eine Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft gibt und diese Zahl eine Konstante ist, bedeutet dies, dass alle Dinge auf die gleiche Weise beschleunigen. Und wenn sie beschleunigen Ebenso besteht keine Abhängigkeit von der Masse. Dies umgeht die Frage "Kann die Masse des Objekts die Zeit bis zum Fall beeinflussen?".

Wenn Sie diese Frage beantworten möchten, können Sie in Ihrer Dimensionsanalyse NICHT davon ausgehen, dass die Antwort "Nein" lautet. Ebenso können Sie das Newtonsche Gravitationsgesetz nicht annehmen (denn wenn Sie dies tun würden, würden Sie zu derselben Schlussfolgerung kommen).

Damit können Sie mit einem anderen Satz möglicher Eingaben beginnen. Die Zeit zum Fallen kann von der Masse der Erde $ M $, der Masse des Objekts $ m $, der Höhe $ h $ und "etwas anderem, das Zeit in die Gleichung bringt", $ X $, abhängen. Ich nenne es $ X $, weil wir keine Informationen über seine Rolle haben. Wir wissen nur, dass $ X $ mindestens die Dimensionen $ T $ (mit unbekannter Potenz) und $ L $ enthalten muss (weil die Antwort Zeiteinheiten haben muss - die wir momentan nicht haben - und nicht können Längeneinheiten haben - die wir gerade haben). Und möglicherweise $ M $.

Und das führt zu einem unlösbaren Durcheinander - drei Gleichungen (vier, wenn Sie eine Symmetrie in der Masse annehmen) mit sieben Unbekannten (wir kennen die Potenz von X nicht und wir kennen die relativen Größen der Koeffizienten nicht von $ M $, $ L $ und $ T $ in X). Die Dimensionsanalyse liefert uns nicht immer die Antwort auf jedes Problem - wir müssen tatsächlich physisches Wissen einfügen, um Fortschritte zu erzielen.

Wenn wir nur postulieren, dass $ G $, die Gravitationskonstante, auch "etwas damit zu tun hat", dann haben wir Dimensionen für $ X $ ($ L ^ 3 M ^ {- 1} T ^ {- 2} $) und wir haben nur noch vier Unbekannte. Wir können zuerst versuchen, die Kraft auf den Apfel zu finden:

$$ F = k ~ M ^ a m ^ b G ^ c h ^ d $$

Aus dem wir diese Gleichung erhalten:

$$ M ^ 1 L ^ 1 T ^ {- 2} = k ~ M ^ a M ^ b L ^ {3c} M ^ {- c} T ^ {- 2c} L ^ d $$

was zu Gleichungen in $ L $, $ M $ und $ T $ führt:

$$ T: -2 = -2c \\ M: 1 = a + b - c \\ L: 1 = 3c + d $$

Schließlich wissen wir, dass die Kraft symmetrisch ist - daher sollten wir die gleiche Antwort erhalten, wenn wir $ a $ und $ b $ tauschen, was zu einer vierten Gleichung führt

$$ a = b $$

Wir können dies jetzt lösen, um jeweils zu erhalten $$ c = 1 \\ d = -2 \\ a = b = 1 $$

Mit anderen Worten - wir finden das Newtonsche Gravitationsgesetz (innerhalb einer Konstanten).

Und sobald wir sehen, dass die Kraft proportional zur Masse ist, wissen wir, dass die Beschleunigung konstant ist - und dann kann das Argument normal ablaufen.

Ich denke, Ihr Einwand ist gültig.Angenommen, wir setzen $ z = 1 $, dann würde die Formel wie folgt aussehen:

$$ t = \ frac {m} {m_0} \ sqrt {\ frac {h} {g}} $$

wobei $ m $ die Masse des Apfels und $ m_0 $ eine grundlegende physikalische Konstante mit Masseneinheiten ist.Dies ist mathematisch konsistent.Wenn dies ein Naturgesetz wäre, würde es "nur" bedeuten, dass wir eine fundamentale Konstante $ m_0 $ mit Masseneinheiten haben.Dies scheint seltsam, ist aber nicht beispiellos;Beispielsweise sind im Standardmodell die Quark-, Lepton- und Neutrino-Massen fundamentale (nicht abgeleitete) Konstanten mit Masseneinheiten.Wir sehen in der klassischen Physik einfach nicht viele solcher nicht einheitlosen Konstanten.

Um eine Dimensionsanalyse durchzuführen, listen wir alle Größen auf, die das Ergebnis beeinflussen könnten, und schreiben (konventionell) die Terme mit der niedrigsten Leistung, die die Dimensionen auf beiden Seiten der Gleichung ausgleichen.Wir fügen auch eine nicht-dimensionale Konstante hinzu, da diese Analyse den endgültigen Maßstab nicht bestimmen kann.

Then Wir schreiben alle möglichen nichtdimensionalen Kombinationen von Größen auf, zum Beispiel die Reynolds-Zahl (die in einer Definition (Massenbeschleunigung) / (dynamische Viskosität (Geschwindigkeit / Entfernung) .Bereich) ist) und akzeptieren, dass unsere 'Die Antwort der niedrigsten Begriffe kann mit der any-Potenz eines dimensionslosen Begriffs multipliziert werden.Das ist so weit, wie uns die Dimensionsanalyse bringen wird.

Wenn unsere Intuition gut ist, können wir mit Occams Rasiermesser die Masse irrelevanter dimensionsloser Begriffe abhacken.Das Experiment ist der letzte Arbiter dessen, was die Gleichung tatsächlich ist, für die dimensionslose Terme enthalten sein müssen, und legt auch einen Wert für die Konstante fest.