Wie die andere Antwort sagte, hat ein aufgeladener Träger nichts mit Renormalisierbarkeit zu tun. Ich würde sagen, dass das, was das Buch sagt, keine bloße Vereinfachung ist, sondern direkt falsch.
Der Grund, warum die Schwerkraft nicht renormierbar ist, hängt mit der Massendimension der Kupplung zusammen. Genauer gesagt sollte man sagen, dass die Theorie durch Potenzzählung nicht renormierbar ist. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu erreichen, die meiner Meinung nach gleich wichtig sind.
R-Normalisierung als Verfahren zur Heilung von Divergenzen
Bei der Berechnung von Feynman-Diagrammen ist es manchmal möglich, eine schlecht definierte, abweichende Antwort zu erhalten. Der Zweck der Renormierung besteht darin, herauszufinden, wie dies sinnvoll ist.
Die Idee ist, dass ich mit einem Lagrange als Funktion einiger Kopplungen beginne und die Theorie mit einem Parameter $ \ Lambda $ span> modifiziere, um endliche Ergebnisse zu erhalten. Dann passe ich die Parameter $ g_i $ span> meines Lagrange sorgfältig an, damit die Abhängigkeit von $ \ Lambda $ span> aufgehoben wird von allen physikalischen Observablen. Mit anderen Worten, ich habe eine Maschinerie $ \ mathcal {F} _ \ Lambda $ span> (die Feynman-Diagramme), die aus $ \ stammt mathcal {L} _0 (g_i) $ span> (der Lagrange) erzeugt die Observablen $ f_j $ span>
$$
\ mathcal {L} _0 (g_i) \; \ to \; \ boxed {\ mathcal {F} _ \ Lambda} \; \ to \; f_j (g_i, \ Lambda) \ ,,
$$ span>
und ich wähle $ g_i $ span>, damit $ f_j $ span> tatsächlich nicht von $ \ Lambda $ span> überhaupt. Das Problem ist, dass dies nicht immer möglich ist und wir manchmal andere Kopplungen in den Lagrange einführen müssen
$$
\ mathcal {L} _1 (g_1, \ ldots g_ {n + 1}) = \ mathcal {L} _0 (g_1, \ ldots g_n) + g_ {n + 1} \ mathcal {O} \ ,.
$$ span>
Diese neue Kopplung war am Anfang nicht vorhanden, muss jedoch die Abhängigkeit $ \ Lambda $ span> aufheben. Jedes Mal, wenn ich eine Berechnung mit höherer Genauigkeit durchführe, besteht die Gefahr, dass ich immer mehr Kopplungen hinzufügen muss. Gibt es also Hoffnung, dass dieser Vorgang irgendwann endet?
Ja, die Antwort lautet Leistungszählung. Es gibt eine nette Eigenschaft der Divergenzen, die in Feynman-Diagrammen auftreten: Wenn die in das Diagramm eingegebenen Kopplungen die Massendimension $ \ delta_i = g_i $ span> haben, kann der divergierende Teil durch Kopplungen mit einer Dimension größer oder gleich $ \ sum_i \ delta_i $ span> absorbiert werden.
Klar $ \ delta_i \ leq d $$ \; {} ^ {\ underline {1}} $ span>, da es keine Operatoren mit negativer Massendimension gibt. Wenn also alle $ \ delta_i $ span> positiv sind, werden die Kopplungen unter Renormierung geschlossen. Ich kann alle Abweichungen konsistent beseitigen, indem ich (im schlimmsten Fall) alle möglichen Operatoren der Dimension $ 0 \ leq \ delta_i \ leq d $ span> setze.
Wenn andererseits mindestens einer der $ \ delta_i $ span> negativ ist, gibt es ein Diagramm, das einen Operator benötigt, dessen Kopplung die Dimension $ 2 \ delta_i $ span>. Was noch negativer ist, also brauchen wir noch eine mit $ 3 \ delta_i $ span> und so weiter. In diesem Szenario hat die Prozedur kein Ende und wir haben eine unendliche Anzahl von Kopplungen
$$
\ mathcal {L} _1 = \ mathcal {L} _0 + g_ {n + 1} \ mathcal {O} + g_ {n + 2} \ mathcal {O} '+ \ ldots \,.
$$ span>
Wir brauchen unendlich viele Experimente $ f_j $ span>, um all diese $ g_i $ span> zu reparieren, also die Theorie ist nutzlos.
Ansatz der R-Normalisierungsgruppe
Ein weiterer komplementärer Ansatz ist der der Renormierungsgruppe. Der Renormierungsgruppenansatz untersucht das Verhalten eines Quantensystems beim "Herauszoomen". Das heißt, wenn wir die mikroskopischen Details ignorieren und nur die dynamischen Variablen beibehalten, die die Physik in größeren Maßstäben beschreiben.
Der Nettoeffekt dieser Transformationen ist eine Änderung der Kopplungen im Lagrange und möglicherweise die Hinzufügung neuer. Sehr ähnlich wie beim Renormierungsprozess.
Dieses Verfahren ist offensichtlich eine Möglichkeit, da wir dabei Informationen verlieren. Trotzdem kann man versuchen, rückwärts darüber nachzudenken. Die Operatoren, deren Kopplungen $ \ delta_i > 0 $ span> haben, sind Eigenvektoren dieser Transformation mit einem Eigenwert kleiner als eins. So werden sie auf kleinen Entfernungen (hohe Energien) immer weniger wichtig. Auf der anderen Seite explodieren Operatoren mit $ \ delta_i<0 $ span> im Hochenergiebereich. Um sie rückwärts zu verfolgen, müssen wir alle Kopplungen all dieser Operatoren mit extrem hoher Genauigkeit kennen.
Dies ist eine weitere Signatur der Tatsache, dass Theorien mit Kopplungen negativer Massendimensionen nicht auf hohe Energie extrapoliert werden können, ohne eine unendliche Menge an Informationen liefern zu müssen.
So was ist mit der Schwerkraft?
Ja, wie die andere Antwort hervorhob, hat die Schwerkraft eine Kopplung mit negativer Dimension und es ist die Newton-Konstante (oder äquivalent die Planck-Masse zum $ - 2 $ span >) $ \, {} ^ {\ underline {2}} $ span>
$$
8 \ pi G = M_P ^ {- 2} \,.
$$ span>
Aber es ist nicht alles verloren.Wie ich im letzten Absatz zu erklären versuchte, ist das Problem der Nicht-Renormierbarkeit tatsächlich ein Problem hoher Energien.Die Theorie bleibt prädiktiv für die Energien, die wir im Collider erreichen können.Bei Energien, die größer als $ M_P $ span> sind, haben wir jedoch keine Ahnung.
$ \; \; {} ^ {\ underline {1}} $ span> Die Anzahl der Dimensionen, dh $ 4$ span>.
$ \; \; {} ^ {\ underline {2}} $ span> Ich verwende natürliche Einheiten.