Ihre Aussage

arbeitet mit und subtrahiert Unendlichkeiten ... die im Allgemeinen keine mathematische Bedeutung haben

ist nicht wirklich korrekt und scheint zu haben ein häufiges Missverständnis darin. Die technischen Schwierigkeiten von QFT kommen nicht von Unendlichkeiten. Tatsächlich wurden seit Beginn der Mathematik Ideen verwendet, die im Wesentlichen der Renormierung und Regularisierung entsprechen - siehe z. B. viele Artikel von Cauchy, Euler, Riemann usw. Tatsächlich hat G.H. Hardy hat ein Buch zum Thema divergierende Serien veröffentlicht:

http://www.amazon.com/Divergent-AMS-Chelsea-Publishing-Hardy/dp/0821826492

Es gibt sogar einen ganzen Zweig der Mathematik namens "Integrationstheorie" (von dem Dinge wie die Lebesgue-Integration eine Teilmenge sind), der diese Art von Problemen verallgemeinert. Das Auftauchen von Unendlichkeiten ist also überhaupt kein Problem, in gewissem Sinne tauchen sie aus Bequemlichkeit auf.

Die Idee, dass Unendlichkeiten irgendetwas damit zu tun haben, QFT axiomatisch zu machen, ist also nicht richtig.

Das eigentliche Problem ist aus formaler Sicht, dass Sie "wollen" Konstruieren Sie QFTs über eine Art Pfadintegral. Aber das Pfadintegral ist formal (dh für Mathematiker) ein Integral (im allgemeinen Sinne, das in Themen wie "Integrationstheorie" vorkommt) über einem ziemlich pathologisch aussehenden unendlich dimensionalen LCSC-Funktionsraum.

Versuchen Das Definieren eines vernünftigen Maßes für einen unendlich dimensionalen Funktionsraum ist problematisch (und die allgemeinen Eigenschaften dieser Räume scheinen nicht besonders gut verstanden zu sein). Sie haben Probleme, wenn alle vernünftigen Mengen "zu klein" sind, um ein Maß zu haben, wenn Sie sich Gedanken über Maße pathologischer Mengen machen und wenn Sie sich Gedanken darüber machen, welche Eigenschaften Ihre Maßnahme haben sollte, wenn Sie "$ \ mathcal {D} \ phi $" Begriff ist überhaupt ein Maß, etc ...

Wenn Sie versuchen, dieses Problem zu beheben, stoßen Sie bestenfalls auf ein Problem wie in der Definition des Lebesgue-Integrals, in dem es das Integral definiert und Sie einige mathematisch interessante Eigenschaften konstruieren, aber der größte Teil seiner Nützlichkeit besteht darin, Sie zuzulassen Missbrauche das Riemann-Integral so, wie du es wolltest. Die Berechnung von Integralen aus der Definition des Lebesgue-Integrals ist im Allgemeinen nicht einfach. Dies ist nicht wirklich genug, um die Aufmerksamkeit zu vieler Physiker auf sich zu ziehen, da wir bereits eine Definition haben, die funktioniert, und alle formalen Eigenschaften zu kennen, wäre schön und würde uns sicherlich einige überraschende Dinge erzählen, aber es ist nicht klar, dass dies der Fall ist Dies wäre im Allgemeinen alles sehr nützlich.

Aus algebraischer Sicht haben Sie meines Erachtens Probleme, unterschiedliche Produkte von Operatoren zu definieren, die vom Renormierungsschema abhängen. Daher benötigen Sie eine Familie von $ C ^ * $ - Algebren, die den Fluss der Renormierungsgruppe auf die richtige Weise respektieren, aber es scheint nicht so, als hätten die Leute versucht, dies auf vernünftige Weise zu tun.

Aus physikalischer Sicht tun wir das nicht Das interessiert mich nicht, denn wir können über Renormierung sprechen und verlangen, dass unsere Antworten "physikalisch vernünftige" Eigenschaften haben. Sie können dies auch mathematisch tun, aber die Mathematiker sind nicht daran interessiert, eine vernünftige Antwort zu erhalten. Was sie wollen, ist eine Reihe von "vernünftigen Axiomen", aus denen die vernünftigen Antworten folgen, so dass sie dazu verdammt sind, auf technische Schwierigkeiten zu stoßen, wie ich oben erwähnt habe.

Formal kann man jedoch definieren, dass sie nicht interagieren QFTs und quantenmechanische Pfadintegrale. Es ist wahrscheinlich der Fall, dass die formale Definition einer QFT in Reichweite dessen liegt, was wir tun könnten, wenn wir es wirklich wollten, aber es ist kein zwingendes Thema für die Menschen, die verstehen, wie Renormierung die Lösungen für physikalisch vernünftige (Physiker) und die formale Aspekte sind nicht gut genug verstanden, so dass man den Formalismus "kostenlos" bekommen könnte.

Mein Eindruck ist also, dass es weder Physikern noch Mathematikern im Allgemeinen wichtig genug ist, zusammenzuarbeiten, um dieses Problem zu lösen, und es wird erst gelöst, wenn es als Folge des Verständnisses anderer Dinge "kostenlos" durchgeführt werden kann.

Bearbeiten:

Ich sollte auch kurz hinzufügen, dass CFTs und SCFTs mathematisch viel sorgfältiger definiert sind. Eine sinnvolle Alternative zu den oben erwähnten klassischen Ideen könnte daher sein, mit a zu beginnen SCFT, und definieren Sie eine allgemeine Feldtheorie als eine Art "kleine" Modifikation davon, die so durchgeführt wird, dass genau die richtigen Dinge genau definiert bleiben.

Erstens: Es gibt keine strenge Konstruktion des Standardmodells, streng im Sinne der Mathematik (und nein, es gibt nicht viel Ambivalenz hinsichtlich der Bedeutung von Strenge in der Mathematik).

Das ist eine Menge Referenzen, die Daniel zitiert hat, werde ich versuchen, sie ein wenig zu klassifizieren :-)

Axiomatische (synonym: lokal oder algebraisch) QFT b> versucht, Axiome für die zu formulieren Heisenberg-Standpunkt b> (Zustände sind statisch, Observable sind dynamisch). Es sind drei Sätze von Axiomen bekannt:

• die Wightman-Axiome,

• die Haag-Kastler-Axiome

• die Osterwalder-Schrader-Axiome

Grob , die Wightman-Axiome beschreiben, wie Felder sich auf Observable beziehen, die Osterwalder-Schrader-Axiome sind die Wightman-Axiome für die euklidische Feldtheorie, und die Haag-Kastler-Axiome weichen Feldern vollständig aus und beschreiben die Observablen an sich. Alle drei Sätze von Axiomen sind ungefähr äquivalent, was bedeutet, dass die Äquivalenz bewiesen wurde, manchmal mit zusätzlichen Annahmen, die Physiker für irrelevant halten.

"PCT, Spin und Statistik und all das" war die erste Einführung zu den Wightman-Axiomen.

"Lokale Quantenphysik: Felder, Teilchen, Algebren" ist eine Einführung in die Haag-Kastler-Axiome, ebenso wie "Mathematische Theorie der Quantenfelder".

"Störende Quantenelektrodynamik und axiomatische Feldtheorie" ist eine Beschreibung der QED unter dem Gesichtspunkt der Haag-Kastler-Axiome.

"Einführung in die algebraische und konstruktive Quantenfeldtheorie" befasst sich mit der Quantisierung gegebener klassischer Gleichungen in der Geist von Haag-Kastler.

"Quantenphysik: Ein funktionaler integraler Gesichtspunkt" verwendet die Osterwalder-Schrader-Axiome.

2D-konforme Feldtheorie kann mit dem Osterwalder- axiomatisiert werden. Schrader-Axiome zum Beispiel.

Die funktionale Quantenfeldtheorie b> axiomatisiert die Schrödinge r Standpunkt b>, siehe z. hnLab auf FQFT.

Dazu gehören beispielsweise topologische Quantenfeldtheorien, die im Wesentlichen Theorien mit endlichen Freiheitsgraden beschreiben. Dieser Zweig hat einen großen Einfluss auf die Mathematik, insbesondere in Bezug auf die Differentialgeometrie und hier auf die Theorie der glatten 3D- und 4D-Mannigfaltigkeiten. Ich würde

Daniel S. Freed (Autor), Karen K. Uhlenbeck: "Geometrie und Quantenfeldtheorie"

in diese Kategorie einordnen.

" Geometrie und Quantenfeldtheorie "

Quantisierung klassischer Feldtheorien b>: Beachten Sie, dass die axiomatischen Ansätze nicht von klassischen Feldtheorien abhängen, die quantisiert werden müssen, sondern die Türen für öffnen eine direkte Konstruktion von Quantensystemen ohne klassischen Spiegel. Der Lagrange-Ansatz für QFT ist ein Beispiel für einen Ansatz, der mit einer klassischen Feldtheorie beginnt, die quantisiert werden muss, für die verschiedene Mittel verwendet werden können.

Ticciati: "Quantenfeldtheorie für Mathematiker" ist eigentlich eine ziemlich kanonische Einführung in die Lagrange-QFT, ohne viel Aufhebens.

Es gibt viel Material über die Geometrie klassischer Feldtheorien und Varianten, um sie zu quantisieren, wie "geometrische Quantisierung".

Das Buch Welington de Melo, Edson de Faria: "Mathematische Aspekte der Quantenfeldtheorie" ist ein Beispiel dafür.

Viel weiter fortgeschritten ist "Quantenfelder und Strings: Ein Kurs für Mathematiker (2 Bände)"

Für das Pfadintegral gibt es zwei Gesichtspunkte:

• Das Pfadintegral ist - zusammen mit den Feynman-Regeln - ein Buchhaltungsgerät für ein Spiel namens Renormierung, mit dem Sie Zahlen nach arkanen Regeln berechnen können.

• Das Pfadintegral ist a mathematisches Konstrukt wie ein "Maß" - aber kein Maß im Sinne der heute bekannten Maßtheorie - das entdeckt und entsprechend definiert werden muss.

AFAIK Beim zweiten Standpunkt wurden keine großen Fortschritte erzielt, aber es gibt Leute, die daran arbeiten, zum Beispiel die Autoren des Buches "Mathematische Theorie der Feynman-Pfadintegrale: Eine Einführung". Weitere Informationen zur mathematischen Theorie der Pfadintegrale finden Sie im nLab hier.

Hier ist meine Antwort aus Sicht der Physik der kondensierten Materie:

Die Quantenfeldtheorie ist eine Theorie, die den kritischen Punkt und den Nachbarn des kritischen Punkts eines Gittermodells beschreibt (Gittermodelle haben eine strenge Definition).

Eine genaue Definition von Quantenfeldtheorien bedeutet also, ihre UV-Vervollständigung zu finden.

Um Quantenfeldtheorien zu klassifizieren, müssen alle möglichen kritischen Punkte von Gittermodellen klassifiziert werden. Dies ist ein sehr wichtiges und sehr schwieriges Projekt.

(Man kann "Gittermodell" in ersetzen das obige durch "nicht störend reguliertes Modell")

Es gibt mehrere Bücher, die sich QFT (und / oder Messgerätetheorie) aus verschiedenen Ebenen der 'mathematischen Strenge' nähern (für eine Definition von "mathematischer Strenge" - die Moshe genehmigen würde ;-).

Lassen Sie mich Ihnen eine Art 'vorläufige Liste' geben… sie ist keineswegs vollständig und auch in keiner bestimmten Reihenfolge, aber ich denke, sie kann den Weg für weitere Arbeiten ebnen.

1. Lokale Quantenphysik: Felder, Teilchen, Algebren;
2. PCT, Spin und Statistik und all das;
3. Endliche Quantenelektrodynamik: Der kausale Ansatz;
4. störende Quantenelektrodynamik und axiomatische Feldtheorie;
5. Quantenfeldtheorie für Mathematiker;
6. Quantenfeldtheorie;
7. Mathematische Aspekte der Quantenfeldtheorie;
8. Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie: Eine mathematische Grundierung;
9. Quantenfeldtheorie I: Grundlagen in Mathematik und Physik: Eine Brücke zwischen Mathematikern und Physikern (v. 1 ) und Quantenfeldtheorie II: Quantenelektrodynamik: Eine Brücke zwischen Mathematikern und Physikern;
10. Mathematische Theorie der Feynman-Pfadintegrale: Eine Einführung;
11. Einführung in die algebraische und konstruktive Quantenfeldtheorie;
12. Quantenphysik: Ein funktionaler integraler Gesichtspunkt;
13. Quantenfelder und Strings: Ein Kurs für Mathematiker (2 Bände);
14. Geometrie und Quantenfeldtheorie;
15. Mathematische Theorie der Quantenfelder.
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Auf jeden Fall… gibt es viel mehr, nicht nur in Bezug auf Themen (Renormierung usw.), sondern auch in Bezug auf Artikel, Bücher und so weiter.

Es gibt also eine Menge "mathematischer Strenge" in QFT (und Stringtheorie), einschließlich verschiedener "Ebenen" davon, die unterschiedlichen Geschmäcken gefallen und entsprechen sollten .

PS: Es gibt hier andere Themen, die sich in der einen oder anderen Form mit diesem Thema befassen, z. B. Haags Theorem und praktische QFT-Berechnungen. Sei also nicht schüchtern und schau dich um. :-)

Ich denke, alles ist streng genug, wenn Sie es nach den mathematischen Regeln tun.

Betrug beginnt, wenn sie sagen: "Das Integral der Delta-Funktion im Quadrat, obwohl es als unendlich aussieht, muss bestimmt werden aus den experimentellen Daten ". Es ist einfach lustig.

Einmal stieß ich auf eine ähnliche Unendlichkeit in einem einfacheren, aber genau lösbaren Problem. Zuerst wollte ich Renormierungen durchführen (Bestimmung des Integralwerts aus experimentellen Daten), aber glücklicherweise gelang es mir, eine bessere Anfangsnäherung zu wählen und die Störungskorrekturen zu verringern. Das Problem liegt also in der anfänglichen Annäherung. Wenn es gut ist, sind die störenden Korrekturen klein . Ansonsten sind sie groß.

Ich habe auch eine Erklärung gefunden, warum Subtraktionen (Korrekturen verwerfen) manchmal funktionieren. Aus meiner gegenwärtigen Sicht muss die QFT neu formuliert werden, da sie schlecht konstruiert ist. Die neu formulierte QFT muss ihre Lösungen nicht unterwegs reparieren.

Der Ruf von QFT, mathematisch nicht einwandfreie Methoden zu verwenden, ist heutzutage nicht wirklich verdient. Sicherlich ist nicht alles unter perfekter analytischer Kontrolle, aber die Situation ist nicht viel schlimmer als in der Fluiddynamik.

Insbesondere wird die Sache "Subtraktion von Unendlichkeiten" nicht wirklich als solche angesehen ein Problem mehr. Die Mathematiker, die sich das kürzlich angesehen haben (wie Borcherds & Costello), sind im Grunde zu dem Schluss gekommen, dass die Wilsonsche effektive Feldtheorie diese Schwierigkeit löst. Sie können alle Berechnungen ausschließlich in Form von effektiven Ferngrößen durchführen. Dies sind die Dinge, die zurückbleiben, wenn Physiker Unendlichkeiten subtrahieren. Kurzstrecken-Unendlichkeiten stellen daher kein Problem für die Definition von Korrelationsfunktionen dar; Der grundlegende Pfadintegralformalismus ist nicht widersprüchlich.

Dies ist wirklich die gleiche Schlussfolgerung, zu der die konstruktiven Feldtheoretiker gekommen sind, als sie Beispiele für niedrigere Dimensionen in den 70er Jahren des & der 80er Jahre untersucht haben.

Die Herausforderung bei der strengen QFT besteht darin, sich mit Infrarotdivergenzen zu befassen. Wenn Ihre Raumzeit ein unendliches Volumen hat, kann Ihr Feldsystem Freiheitsgrade von beliebig großer Größe haben. Die Kopplung an diese Freiheitsgrade kann Ihnen Unendlichkeiten geben. Hier gibt es echte mathematische Probleme, aber sie beschreiben eher die Lösungen einer Gleichung als die Beschreibung der Gleichung selbst. (Wirklich nicht triviale Dinge können passieren. In QCD gibt es zum Beispiel eine Beschränkung: Viele der Observablen, von denen Sie naiv erwarten würden, dass sie in Bezug auf das Pfadintegralmaß integrierbar sind - wie das Observable, das einen freien Quark oder einen freien darstellt Gluon - nicht. Stattdessen sind die integrierbaren Observablen komplizierte Gemische aus Quarks und Gluon, wie Protonen, Neutronen und Glueballs.) Der größte Teil des schweren Hebens in Glimm & Jaffe zum Beispiel stammt nicht aus der Konstruktion des 2d $ \ phi ^ 4 $ path Integralmaß, aber vom Nachweis, dass seine $ n $ -Punktkorrelationsfunktionen tatsächlich existieren.

Dies bedeutet natürlich, dass die meisten Berechnungen beobachtbarer Erwartungswerte - wie in der Gittermaßtheorie - sind nicht unter strenger analytischer Kontrolle. Die Konvergenz in der Simulation ist vorerst meistens eine Frage des guten Urteilsvermögens.

Um mit ziemlicher Sicherheit etwas über dieses Zeug zu sagen, müssen Mathematiker die Renormierung in nicht störenden Umgebungen (dh auf dem Gitter) besser in den Griff bekommen ). Es gibt eine gute Anzahl von Mathematikern, die aktiv an diesem Zeug arbeiten. Geometer und Topologen werden in Bezug auf die topologische Feldtheorie immer ausgefeilter, während die Analysten die statistische Feldtheorie aufgegriffen haben.

Ich möchte darauf hinweisen, dass es verschiedene Probleme gibt, die sich aus unterschiedlichen Blickwinkeln zu diesem Thema ergeben. Es wäre sehr kompliziert, alle zu kommentieren, also lassen Sie mich auf einen bestimmten beschränken.

Als erste Bemerkung muss ich feststellen, dass niemand, der in Mathematik arbeitet, Zweifel daran haben kann, was "streng" bedeutet. Ich werde dies nicht kommentieren, da es den Anschein hat, dass es bereits klar erklärt wurde.

In Bezug auf Ihre Frage möchte ich feststellen, dass QFT keine "einzigartige" Theorie ist, sondern eine Reihe verschiedener Theorien, die aufgrund einiger intrinsischer Beschreibungen weniger miteinander verwandt sind. Zum Beispiel ist das "Verhalten" und die Konstruktion der (realen oder komplexen) Skalarfeldtheorie und der Eichentheorie ziemlich unterschiedlich. Dies ist eine natürliche Konsequenz der Tatsache, dass die Klassische Feldtheorie (ClFT) (die bis zu einem gewissen Grad völlig streng ist, obwohl sie immer noch einige nichttriviale Probleme enthält) auch eine Sammlung verschiedener Theorien ist, die eine allgemeine Geometrie teilen Beschreibung, die aber ihre eigenen besonderen Schwierigkeiten haben: Als eine bestimmte Einstellung von ClFT können wir klassische Mechanik, Elektromagnetismus oder sogar nichtabelsche Eichentheorie usw. erhalten. Lassen Sie mich auch hinzufügen, dass die allgemeine Philosophie, die ClFT zugrunde liegt, in gewissem Sinne als die einzige erscheint Art und Weise, relativistische Erweiterungen der freien Situation als Hauptunterschied zur klassischen Mechanik zu konstruieren, bei der Sie einem freien Teilchen jede Einschränkung hinzufügen können, ohne ein Grundprinzip der Theorie zu brechen. Ich formuliere nur um, was P. Deligne und D. Freed im ersten Band von "QFT and Strings for Mathematicians" sagen, der bereits erwähnt wurde.

In Bezug auf das Problem der Quantisierung der einzelnen Einstellungen, die Sie in ClFT berücksichtigen können, gibt es verschiedene Probleme. Lassen Sie mich zwei verschiedene Aspekte des Problems betrachten: störende und nicht störende QFT. Wir können sagen, dass Ersteres (moralisch) ein Schatten des Letzteren ist. Darüber hinaus kann die störende QFT (pQFT) in vielen Situationen mathematisch streng entwickelt werden. Sie können den Artikel von R. Borcherds in der arXiv "Renormierung und Quantenfeldtheorie" sehen (obwohl einige der Ideen bereits in anderen Texten in der Literatur vorhanden waren und meiner Meinung nach hinter einigen Konstruktionen lauern und Beweise des Autors, siehe zum Beispiel die Artikel von O. Steinmann, die auch von R. Brunetti, K. Fredenhagen usw. berücksichtigt wurden. In dieser Situation definiert er streng ein Objekt, das sich wie das Feynmann-Maß verhält ("über das Riesz-Theorem"), und gibt einen sehr vollständigen Überblick darüber, wie die pQFT in mehreren Situationen beschrieben werden sollte. Das Problem bleibt jedoch bei der korrekten Formulierung der nicht störenden QFT. Dies ist ein großes Problem, und es wurden nur wenige strenge Konstruktionen bis zur Dimension 2 (auch Dimension 3, aber meines Wissens wirklich wenige. Es wäre schön, die Experten in diesem Punkt zu hören) durchgeführt. Sie können das Buch von J. Glimm und A. Jaffe "Quantenphysik - ein funktionaler integraler Gesichtspunkt" sehen. Tatsächlich tritt das Hauptproblem auf, wenn versucht wird, die Eichentheorie als Untersammlung von Situationen der QFT zu quantisieren. Das Fehlen eines solchen allgemeinen Bildes bedeutet in der Tat, dass wir tatsächlich nicht wissen, wie eine Quantum Field Gauge-Theorie wirklich aussieht (oder nur ist, wenn Sie wollen). Insbesondere (ich sage dies, weil einige Leute argumentieren, dass das Folgende eine Folge nur einer störenden Beschreibung ist), zwei Hauptansprüche von Physikern bezüglich des Standardmodells (die in gewissem Sinne verwandt sind), der Massenlücke und der Quarkbeschränkung, sind nicht bewiesen (ersteres stellt tatsächlich eines der Millennium-Preisprobleme dar). Unnötig zu sagen, dass keines der physischen heuristischen Argumente eindeutig ausreicht.