Betrachten Sie der Einfachheit halber den Fall $ u = v $. Die "langsame" Formel ist dann $ 2u $ und die "schnelle" Formel ist $ \ frac {2u} {1+ (u / c) ^ 2} $. In der Darstellung sehen Sie diese Ergebnisse in Einheiten von $ c $. Die "langsame" Formel (rot / gestrichelt) ist für $ u \ ne0 $ immer falsch, aber für kleine $ u / c $ ist sie gut genug [nahe genug an der "schnellen" Formel (blau / durchgehend)]. Der von Ihnen gewählte Grenzwert hängt von der erforderlichen Genauigkeit ab. Bei $ u<c / 10 $ ist der Unterschied wahrscheinlich nur für hochpräzise Arbeiten wichtig.

Eine Reihenerweiterung um $ u = v = 0 $ zeigt die "langsame" Formel als ersten Term und dass die Korrekturen für $ uv \ ll c ^ 2 $ klein sind:

$$ \ frac {u + v} {1 + uv / c ^ 2} = (u + v) \ left [1- \ frac {uv} {c ^ 2} + \ left (\ frac { uv} {c ^ 2} \ rechts) ^ 2 + O \ links (\ frac {uv} {c ^ 2} \ rechts) ^ 3 \ rechts] $$

Ich bin normalerweise etwas spezifischer mit meinen Schülern. Betrachten wir ein Auto, das die Autobahn mit einer Geschwindigkeit von 30 m / s (ca. 60 km / h) entlangfährt. Dann ist der Nenner in der relativistischen Formel so etwas wie $$ 1 + \ left (\ frac vc \ right) ^ 2 = 1 + \ left (\ frac {30 \ rm \, m / s} {3 \ times10 ^ 8 \ rm \, m / s} \ right) ^ 2 = 1 + 10 ^ {- 14} $$ In Ihrem Auto beginnt der Unterschied zwischen der galiläischen und der relativistischen Geschwindigkeitsaddition mit der vierzehnten Dezimalstelle. Kennen Sie die Geschwindigkeit Ihres Autos auf vierzehn Dezimalstellen? Hier lachen sie mit mir.

In Experimenten ist es üblich, Fehler auf Prozentebene zu ignorieren, dh einer Zahl mit etwa drei Dezimalstellen zu vertrauen. Spiegel dieser Größe treten zwischen klassischer und relativistischer Dynamik auf Wenn Sie $ v / c \ ca. 0,1 $ haben, ist dies ein üblicher Grenzwert für "schnell".

Beachten Sie, dass, wenn Sie Korrekturen auf Prozentebene nicht ignorieren können, Ihre Definition von "schnellen" Änderungen. Zum Beispiel hat ein Satellit in einer erdnahen Umlaufbahn eine Geschwindigkeit von $$ v = \ frac {2 \ pi R_ \ oplus} {90 \ rm \, Minuten} \ ca. 7500 \, \ mathrm {m / s} \ ca. 2 \ times10 ^ {- 5} c $$ und hat daher relativistische Korrekturen $ (v / c) ^ 2 \ ca. 10 ^ {- 10} $, die ungefähr mit der zehnten Dezimalstelle beginnen. Im Global Positioning System (GPS) liegt die gesamte relativistische Korrektur von ungefähr $ 38 \ rm \, \ mu s / Tag \ ungefähr 5 \ times10 ^ {- 10} $ ebenfalls ungefähr auf diesem Niveau ebenso wie die Zentimetergenauigkeit $$ \ frac {1 \ rm \, cm} {26 \, 000 \ rm \, km} \ ca. 4 \ times10 ^ {- 10} $$, die gelegentlich für militärische Zwecke beansprucht wird- Grad GPS-Hardware.

Unabhängig von der Geschwindigkeit der betreffenden Objekte lautet die Formel für die Geschwindigkeitsaddition immer $ \ frac {u + v} {1 + uv / c ^ 2} $.

Dort ist kein Übergangspunkt, an dem sich die Formel von $ u + v $ zur speziellen Relativitätstheorie ändert. Es ist nur so, dass der Unterschied, den Sie in beiden Formeln bei "niedrigen Geschwindigkeiten" erhalten, sehr, sehr vernachlässigbar ist. $ c ^ 2 $ in $ m ^ 2 / s ^ 2 $ ist $ 9 * 10 ^ {16} $. Die durchschnittliche Geschwindigkeit eines Busses beträgt $ 3,6 $ $ m / s $. Selbst für viel größere $ u, v $ -Werte als diese ist $ uv / c ^ 2 $ vernachlässigbar. Aus diesem Grund ist die Formel in Fällen mit niedriger Geschwindigkeit nicht sehr nützlich. Die Signifikanz wird beobachtet, wenn $ uv / c ^ 2 $ ein signifikanter Teil von $ 1 $ ist.

Die "schnelle" Formel ist immer die richtige.

Eine "schnelle" Geschwindigkeit ist mit der Lichtgeschwindigkeit vergleichbar. Wenn jedoch beide beteiligten Geschwindigkeiten viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind, ist die "langsame" Formel eine sehr gute Annäherung.

Wann geht ein Objekt schnell [genug, um die Verwendung von $ \ frac {u + v} {1+ uv / c ^ 2} $ zu erfordern]?

Wenn Sie sich der Lichtgeschwindigkeit nähern.

Wie schnell müssen Sie gehen, um sich der Lichtgeschwindigkeit zu nähern?

Das hängt von der Genauigkeit ab.

Der Schlüssel ist, dass $ \ frac {u + v} {1+ uv / c ^ 2} $ immer funktioniert. Es ist jedoch nicht ganz einfach, daher verwenden wir im Allgemeinen gerne eine Näherung: $ u + v $. Diese Annäherung ist ziemlich genau, es sei denn, Sie nähern sich der Lichtgeschwindigkeit. Sofern Sie keine hohe Präzision benötigen, sollten Sie $ u + v $ verwenden, solange $ u < 0.1 * c $ und $ v < 0.1 * c $.

Haftungsausschluss: Ich denke, alles war bereits vorhanden sagte, ich habe nur versucht, es neu zu formulieren, damit es die Frage genauer anspricht.

Andere Antworten haben effektiv oder tatsächlich gesagt, wenn Sie mit $ 0.1 c $ oder mehr zu tun haben, sollten Sie relativistische Effekte in Betracht ziehen.

Sie können dies sehen, indem Sie $ \ nur geringfügig neu anordnen frac {u + v} {1+ uv / c ^ 2} $ Formel:

$$ \ frac {u + v} {1+ uv / c ^ 2} = \ frac {u + v } {1+ (\ frac {u} {c}) (\ frac {v} {c})} $$

Und von dort aus können Sie sehen, während sowohl $ u $ als auch $ v $ sind $ \ lt 0.1 c $ ist die Varianz kleiner als $ 1 \% $.

Natürlich können Sie dies auch verwenden, um zu sehen, dass $ (\ frac {u} {c}) ^ 2 $ relativistisch ist Korrektur in Robs Antwort erwähnt.